广东省东莞市2017中考数学一模试卷（含解析）

2017年广东省东莞市中堂星晨学校中考数学一模试卷

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1．﹣2的绝对值是（ ） A．2

B．﹣2 C．

D．

2．为了响应中央号召，今年我市加大财政支农力度，全市农业支出累计达到235000 000元，其中235000 000元用科学记数法可表示为（ ）

A．2.34×108元 B．2.35×108元 C．2.35×109 元 D．2.34×109元 3．下面几个几何体，主视图是圆的是（ ）

A． B． C． D．

4．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（ ） A．（x+1）=6 B．（x+2）=9 C．（x﹣1）=6

2

2

2

D．（x﹣2）=9

，则AB的长为（ ）

2

5．河堤横断面如图所示，坝高BC=6米，迎水坡AB的坡长比为1：

A．5米 B．4

2

米 C．12米 D．6米

6．一元二次方程x﹣4x+5=0的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定

7．如图是小刘做的一个风筝支架示意图，已知BC∥PQ，AB：AP=2：5，AQ=20cm，则CQ的长是（ ）

A．8cm B．12cm C．30cm D．50cm

8．如图，在矩形ABCD中，AB=2，∠AOB=60°，则OB的长为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

9．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D=32°，则∠OAC=（ ）

A．64° B．58° C．72° D．55°

10．在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=bx+a的图象可能是（ ）

2

A． B． C． D．

二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分，请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上）

11．分解因式：x﹣4= ．

12．某药店响应国家政策，某品牌药连续两次降价，由开始每盒16元下降到每盒14元．设每次降价的平均百分率是x，则列出关于x的方程是 ．

13．若两个相似三角形的周长之比为2：3，较小三角形的面积为8cm，则较大三角形面积是 cm．

14．已知点A（1，y1），B（2，y2）是如图所示的反比例函数y=图象上两点，则y1 y2（填“＞”，“＜”或“=”）．

2

2

2

15．如图，已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，则正六边形的边心距是 cm．

16．如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn的值为 ．（用含n的代数式表示，n为正整数）

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 17．计算：（）﹣1﹣（﹣1）2017﹣（π﹣3）0+

．

18．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=

（1）作⊙O，使它过点A、B、C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的圆中，圆心角∠BOC= °，圆的半径为 ，劣弧

的长为 ．

19．商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同．

（1）若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是 ；

（2）若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率．

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）

20．某商店购买一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出400件．据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高一元，销售量相应减少20件．如何提高销售价，才能在半月内获得最大利润？

21．如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°． （1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度； （2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．

22．平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点，分别过顶点B，C作两对角线的平行线交于点E，得平行四边形OBEC．

（1）如果四边形ABCD为矩形（如图），四边形OBEC为何种四边形？请证明你的结论； （2）当四边形ABCD是 形时，四边形OBEC是正方形．

五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）

23．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B（3，b）两点．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标； （3）求△PAB的面积．

24．如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）求证：ED平分∠BEP；

（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．

25．如图，在直角坐标系中，点A（0，4），B（﹣3，4），C（﹣6，0），动点P从点A出发以1个单位/秒的速度在y轴上向下运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度在x轴上向右运动，过点P作PD⊥y轴，交OB于D，连接DQ．当点P与点O重合时，两动点均停止运动．设运动的时间为t秒． （1）当t=1时，求线段DP的长；

（2）连接CD，设△CDQ的面积为S，求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值； （3）运动过程中是否存在某一时刻，使△ODQ与△ABC相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．

2017年广东省东莞市中堂星晨学校中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1．﹣2的绝对值是（ ） A．2

B．﹣2 C．

D．

【考点】绝对值．

【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答． 【解答】解：﹣2的绝对值是2， 即|﹣2|=2． 故选：A．

2．为了响应中央号召，今年我市加大财政支农力度，全市农业支出累计达到235000 000元，其中235000 000元用科学记数法可表示为（ ）

A．2.34×108元 B．2.35×108元 C．2.35×109 元 D．2.34×109元 【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：将235000 000用科学记数法表示为：2.35×108． 故选：B．

3．下面几个几何体，主视图是圆的是（ ）

A． B． C． D．

【考点】简单几何体的三视图．

【分析】分别判断A，B，C，D的主视图，即可解答． 【解答】解：A、主视图为正方形，故错误； B、主视图为圆，正确； C、主视图为三角形，故错误； D、主视图为长方形，故错误； 故选：B．

4．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（ ） A．（x+1）2=6 B．（x+2）2=9 C．（x﹣1）2=6 D．（x﹣2）2=9

【考点】解一元二次方程﹣配方法． 【分析】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【解答】解：由原方程移项，得 x2﹣2x=5，

方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得 x2

﹣2x+1=6 ∴（x﹣1）2=6． 故选：C．

5．河堤横断面如图所示，坝高BC=6米，迎水坡AB的坡长比为1：

，则AB的长为（

A．5米 B．4米 C．12米 D．6米

【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．

【分析】根据坡比求出AC的长，再根据勾股定理求出AB的长． 【解答】解：∵河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：

，BC=6m，

）

∴AC=6∴AB=故选C．

m，

=12m．

6．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【考点】根的判别式．

【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=﹣4＜0，由此即可得出方程无解． 【解答】解：∵在方程x﹣4x+5=0中，△=（﹣4）﹣4×1×5=﹣4＜0， ∴方程x﹣4x+5=0没有实数根． 故选A．

7．如图是小刘做的一个风筝支架示意图，已知BC∥PQ，AB：AP=2：5，AQ=20cm，则CQ的长是（ ）

2

2

2

A．8cm B．12cm C．30cm D．50cm 【考点】平行线分线段成比例．

【分析】利用相似三角形的判定与性质得出【解答】解：∵BC∥PQ， ∴△ABC∽△APQ， ∴

=

，

=

=

，求出AC的长，进而求出CQ的长．

∵AB：AP=2：5，AQ=20cm， ∴

=，

解得：AC=8cm，

∴CQ=AQ﹣AC=20﹣8=12（cm）， 故选B．

8．如图，在矩形ABCD中，AB=2，∠AOB=60°，则OB的长为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】矩形的性质．

【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB，然后判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OB=AB即可． 【解答】解：在矩形ABCD中，OA=OB， ∵∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OB=AB=2， 故选：B．

9．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D=32°，则∠OAC=（ ）

A．64° B．58° C．72° D．55° 【考点】圆周角定理．

【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠BAC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAB的度数，进而可得出结论．

【解答】解：∵BC是直径，∠D=32°， ∴∠B=∠D=32°，∠BAC=90°． ∵OA=OB，

∴∠BAO=∠B=32°，

∴∠OAC=∠BAC﹣∠BAO=90°﹣32°=58°． 故选B．

10．在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=bx+a的图象可能是（ ）

2

A． B． C． D．

【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．

【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=bx+a的图象相比较看是否一致．

【解答】解：A、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＜0，由直线可知，图象过一，三象限，a＞0，故此选项错误；

B、由抛物线可知，图象与y轴交在正半轴a＞0，二次项系数b为负数，与一次函数y=ax+b中b＞0矛盾，故此选项错误；

C、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＜0，由直线可知，图象过二，四象限a＜0，故此选项正确；

D、由直线可知，图象与y轴交于负半轴，b＜0，由抛物线可知，开口向上，b＞0矛盾，故此选项错误； 故选C．

二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分，请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上）

11．分解因式：x2﹣4= （x+2）（x﹣2） ． 【考点】因式分解﹣运用公式法．

【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可． 【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）． 故答案为：（x+2）（x﹣2）．

2

12．某药店响应国家政策，某品牌药连续两次降价，由开始每盒16元下降到每盒14元．设每次降价的平均百分率是x，则列出关于x的方程是 16（1﹣x）2=14 ． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【分析】设该药品平均每次降价的百分率是x，则第一次降价后的价格是16×（1﹣x），第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上进行降价的为16（1﹣x）（1﹣x）=14，解方程即可．

【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得16×（1﹣x）（1﹣x）=14， 整理得：16（1﹣x）2=14． 故答案为：16（1﹣x）2=14．

13．若两个相似三角形的周长之比为2：3，较小三角形的面积为8cm，则较大三角形面积是 18 cm．

【考点】相似三角形的性质．

【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求出面积比，根据题意计算即可．

【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比为2：3， ∴两个相似三角形的相似比是2：3， ∴两个相似三角形的面积比是4：9， 又较小三角形的面积为8cm， ∴较大三角形的面积为18cm2， 故答案为：18．

14．已知点A（1，y1），B（2，y2）是如图所示的反比例函数y=图象上两点，则y1 ＞ y2（填“＞”，“＜”或“=”）．

2

2

2

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】先确定k的值为2，得在每一分支上，y随x 的增大而减小，通过判断x的大小来确定y的值．

【解答】解：∵k=2＞0，

∴在每一分支上，y随x 的增大而减小， ∵1＜2， ∴y1＞y2， 故答案为：＞．

15．如图，已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，则正六边形的边心距是

cm．

【考点】正多边形和圆．

【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．

【解答】解：已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，连接OA，作OM⊥AB，得到∠AOM=30度，因而OM=OA?cos30°=正六边形的边心距是

cm．

cm．

16．如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn的值为 24n﹣5 ．（用含n的代数式表示，n为正整数）

【考点】正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．

【分析】根据直线解析式判断出直线与x轴的夹角为45°，从而得到直线与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，再根据点A的坐标求出正方形的边长并得到变化规律表示出第n个正方形的边长，然后根据阴影部分的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上梯形的面积再减去一个直角三角形的面积列式求解并根据结果的规律解答即可． 【解答】解：∵函数y=x与x轴的夹角为45°，

∴直线y=x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形， ∵A（8，4），

∴第四个正方形的边长为8， 第三个正方形的边长为4， 第二个正方形的边长为2， 第一个正方形的边长为1， …，

第n个正方形的边长为2n﹣1，

由图可知，S1=×1×1+×（1+2）×2﹣×（1+2）×2=， S2=×4×4+×（4+8）×8﹣×（4+8）×8=8， …，

Sn为第2n与第2n﹣1个正方形中的阴影部分， 第2n个正方形的边长为2Sn=?22n﹣2?22n﹣2=24n﹣5． 故答案为：24n﹣5．

2n﹣1

，第2n﹣1个正方形的边长为2

2n﹣2

，

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 17．计算：（）﹣1﹣（﹣1）2017﹣（π﹣3）0+

．

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．

【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，乘方的意义，以及二次根式性质计算即可得到结果．

【解答】解：原式=2+1﹣1+2

18．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=

=2+2

．

（1）作⊙O，使它过点A、B、C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的圆中，圆心角∠BOC= 90 °，圆的半径为 1 ，劣弧

的长为

π ．

【考点】作图—复杂作图；等腰直角三角形；圆周角定理；弧长的计算．

【分析】（1）先作出AC的垂直平分线，交AB于点O，则点O即为圆心，最后作出△ABC的外接圆即可；

（2）根据圆周角定理即可得到∠BOC的度数，根据Rt△AOC即可得出AO的长，根据∠BOC=90°，BO=1，运用公式即可得到劣弧

的长．

【解答】解：（1）如图所示，⊙O即为所求；

（2）如图所示，∠BOC=2∠A=90°， Rt△AOC中，AO=AC×cos∠A==

=π．

×

=1，即圆的半径为1，

故答案为：90，1，π．

19．商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同．

（1）若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是

；

（2）若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率． 【考点】列表法与树状图法；概率公式．

【分析】（1）由商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他恰好买到雪碧和奶汁的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：（1）∵商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同，

∴他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是：； 故答案为：；

（2）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，他恰好买到雪碧和奶汁的有2种情况， ∴他恰好买到雪碧和奶汁的概率为：

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）

20．某商店购买一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出400件．据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高一元，销售量相应减少20件．如何提高销售价，才能在半月内获得最大利润？ 【考点】二次函数的应用．

【分析】总利润=每件日用品的利润×可卖出的件数，利用公式法可得二次函数的最值，减去原价即为提高的售价．

【解答】解：设销售单价为x元，销售利润为y元．

根据题意，得y=（x﹣20）[400﹣20（x﹣30）]=（x﹣20）=﹣20x2+1400x﹣20000， 当x=﹣

=35时，y最大=4500，

=．

这时，x﹣30=35﹣30=5．

所以，销售单价提高5元，才能在半月内获得最大利润4500元．

21．如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°． （1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度； （2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】（1）根据题意得：BD∥AE，从而得到∠BAD=∠ADB=45°，利用BD=AB=60，求得两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；

（2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，根据AF=BD=DF=60，在Rt△AFC中利用∠FAC=30°求得CF，然后即可求得CD的长． 【解答】解：（1）根据题意得：BD∥AE， ∴∠ADB=∠EAD=45°， ∵∠ABD=90°， ∴∠BAD=∠ADB=45°， ∴BD=AB=60，

∴两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；

（2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形， ∴AF=BD=DF=60，

在Rt△AFC中，∠FAC=30°， ∴CF=AF?tan∠FAC=60×又∵FD=60， ∴CD=60﹣20

，

）米． =20

，

∴建筑物CD的高度为（60﹣20

22．平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点，分别过顶点B，C作两对角线的平行线交

于点E，得平行四边形OBEC．

（1）如果四边形ABCD为矩形（如图），四边形OBEC为何种四边形？请证明你的结论； （2）当四边形ABCD是 正方 形时，四边形OBEC是正方形．

【考点】正方形的判定；平行四边形的性质．

【分析】（1）四边形OBEC为菱形，理由为：利用两对边平行的四边形为平行四边形得到OBEC为平行四边形，再利用矩形的性质确定出OB=OC，利用邻边相等的平行四边形为菱形即可得证；

（2）当四边形ABCD为正方形时，得到∠COB为直角，利用一个角为直角的菱形为正方形即可得证．

【解答】解：（1）四边形OBEC是菱形， 证明：∵BE∥OC，CE∥OB， ∴四边形OBEC为平行四边形， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=0.5AC，OB=0.5BD，AC=BD， ∴OC=OB，

∴平行四边形OBEC为菱形；

（2）当四边形ABCD是正方形时，四边形OBEC是正方形， 当四边形ABCD为正方形时，则有∠COB为直角，OB=OC， ∵四边形OBEC为平行四边形， ∴四边形OBEC为正方形． 故答案为：正方

五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）

23．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B（3，b）两点． （1）求反比例函数的表达式；

（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标； （3）求△PAB的面积．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称﹣最短路线问题．

【分析】（1）将A的坐标代入一次函数即可求出a的值，从而求出A的坐标，将A的坐标代入反比例函数即可求出k的值．

（2）作出B关于x轴的对称点D，求出点D的坐标，然后求出直线AD的解析式，令y=0即可求出点P的坐标．

（3）由图形可知S△PAB=S△ABD﹣S△PBD，从而求出△ABD与△PBD的面积即可． 【解答】解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4， 得a=﹣1+4， 解得a=3， ∴A（1，3），

点A（1，3）代入反比例函数y=， 得k=3，

∴反比例函数的表达式y=， （2）把B（3，b）代入上式子得， ∴点B坐标（3，1）；

作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，

∴D（3，﹣1），

设直线AD的解析式为y=mx+n， 把A，D两点代入得解得m=﹣2，n=5，

，

∴直线AD的解析式为y=﹣2x+5 令y=0，得x=， ∴点P坐标（，0），

（3）S△PAB=S△ABD﹣S△PBD=×2×2﹣×2×=2﹣=1.5．

24．如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）求证：ED平分∠BEP；

（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．

【考点】切线的判定．

【分析】（1）如图，连接OE．欲证明PE是⊙O的切线，只需推知OE⊥PE即可；

（2）由圆周角定理得到∠AEB=∠CED=90°，根据“同角的余角相等”推知∠3=∠4，结合已知条件证得结论；

（3）设EF=x，则CF=2x，在RT△OEF中，根据勾股定理得出52=x2+（2x﹣5）2，求得EF=4，进而求得BE=8，CF=8，在RT△AEB中，根据勾股定理求得AE=6，然后根据△AEB∽△EFP，得出

=，求得PF=

，即可求得PD的长．

【解答】（1）证明：如图，连接OE．

∵CD是圆O的直径， ∴∠CED=90°． ∵OC=OE， ∴∠1=∠2．

又∵∠PED=∠C，即∠PED=∠1， ∴∠PED=∠2，

∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°， ∴OE⊥EP， 又∵点E在圆上， ∴PE是⊙O的切线；

（2）证明：∵AB、CD为⊙O的直径， ∴∠AEB=∠CED=90°， ∴∠3=∠4（同角的余角相等）． 又∵∠PED=∠1， ∴∠PED=∠4， 即ED平分∠BEP；

（3）解：设EF=x，则CF=2x， ∵⊙O的半径为5， ∴OF=2x﹣5，

在RT△OEF中，OE=OF+EF，即5=x+（2x﹣5）， 解得x=4， ∴EF=4，

∴BE=2EF=8，CF=2EF=8， ∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∵AB=10，BE=8， ∴AE=6，

2

2

2

2

2

2

∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90°， ∴△AEB∽△EFP， ∴

=

，即，

﹣2=

．

=，

∴PF=

∴PD=PF﹣DF=

25．如图，在直角坐标系中，点A（0，4），B（﹣3，4），C（﹣6，0），动点P从点A出发以1个单位/秒的速度在y轴上向下运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度在x轴上向右运动，过点P作PD⊥y轴，交OB于D，连接DQ．当点P与点O重合时，两动点均停止运动．设运动的时间为t秒． （1）当t=1时，求线段DP的长；

（2）连接CD，设△CDQ的面积为S，求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值； （3）运动过程中是否存在某一时刻，使△ODQ与△ABC相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．

【考点】相似形综合题．

【分析】（1）先由A（0，4），B（﹣3，4），C（﹣6，0）得出OA=4，AB=3，CO=6，再根据当t=1时，AP=1，则OP=3，再证出

=

，最后代入计算即可，

（2）先作DE⊥CO于点E，根据DE=OP=4﹣t得出S=×CQ×DE=﹣t2+4t，从而求出当t=2

时，S有最大值，

（3）分两种情况讨论：①当0≤t＜3时，点Q在CO上运动，根据AB∥CO得出∠BOC=∠ABO＜∠ABC，证得BO=BC从而得出∠BOC=∠BCO＞∠BCA，根据AB∥CO得出∠BAC=∠ACO＜∠BCO=∠BOC从而证出当0≤t≤3时，△ODQ与△ABC不可能相似；②当3＜t≤4时，点Q在x轴正半轴上运动，延长AB，根据AB∥CO得出∠ABC=∠DOQ，OQ=2t﹣6，再由DP∥AB可得OD=

，最后根据

=

和

时，分别进行计算，求出t的值，即可得出答案．

【解答】解：（1）如图1，由A（0，4），B（﹣3，4），C（﹣6，0）可知OA=4，AB=3，CO=6， 当t=1时，AP=1，则OP=3， ∵PD⊥y轴，AB⊥y轴， ∴PD∥AB， ∴∴

=

，

=，

∴DP=；

（2）如图2，∵运动的时间为t秒，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度在x轴上向右运动， ∴CQ=2t， ∴AP=t，OP=4﹣t，

作DE⊥CO于点E，则DE=OP=4﹣t，

∴S=×CQ×DE=×2t×（4﹣t）=﹣t+4t=﹣（t﹣2）+4， 当t=2时，S最大值=4；

（3）如图3，分两种情况讨论：

①当0≤t＜3时，点Q在CO上运动（当t=3时，△ODQ不存在）， ∵AB∥CO，

∴∠BOC=∠ABO＜∠ABC， 可证得BO=BC，

∴∠BOC=∠BCO＞∠BCA，

2

2

∵AB∥CO，

∴∠BAC=∠ACO＜∠BCO=∠BOC，

∴当0≤t≤3时，△ODQ与△ABC不可能相似； ②当3＜t≤4时，点Q在x轴正半轴上运动， 延长AB， ∵AB∥CO，

∴∠FBC=∠BCO=∠BOC， ∴∠ABC=∠DOQ OQ=2t﹣6， 由DP∥AB可得OD=

，

当=时， =，t=；

当时， =，t=；

∴存在t=和t=，使△ODQ与△ABC相似．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zmg3.html