数值分析(工研)2102002一A答案(1)
更新时间:2024-05-30 01:13:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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2014-2015学年第 一 学期《数值分析》期终考试试卷--1
同济大学课程考核试卷(A卷)
2014 —2015 学年第 一 学期
命题教师签名: 审核教师签名:
课号: 课名: 数值分析(工研) 考试考查:考试
此卷选为:期中考试( )、期终考试(√)、重考( )试卷
年级 专业 学号 姓名 任课教师 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 (注意:本试卷共 8大题,2大张,满分100分.考试时间为 120分钟。要求写出解题过程,否则不予计分。
编程题请只用Matlab编程, 计算题若无指明精度请保留4位有效数字。)
一、(10分) 用追赶法解下列三对角线性方程组
?41??x1?? ??15.251?????x??5??2???3.25?. ?2.510.5????x3?????29??解
?41A????15.251???LU??2.510.5???400??1
L???150??, U??0.250???2.510??010.2?0???001????Ly??5??3.25???,y??1.25??0.4??1??,Ux?y,x?????29?????3??1????3?
???二、(15分)已知函数f(x)的数据如下:
x 0 1 2 f(x) 1 2 4 f'(x) 1 对函数f(x)完成下列2个问题:
(1) 写出函数f(x)的一个3次埃尔米特插值多项式H(x),使其满足
??H(xi)?f(xi),i?0,1,2,?H'(x
1)?f'(x1)要求将H(x)写成a23x3?a2x?a1x1?a0。
2(2) 用H(x)近似代替函数f(x),计算积分
?f(x)dx的近似值。
0解(1)H(x)?12x3?x2?32x1?1
22(2)?f(x)dx?x)dx?130?H(03
三、(10分)找出形如a?bcosx?csinx的函数,使之在最小二乘的意义下拟合下表中的数据点。
x 0 ?2 ? 3?2 y 2 1 1 2
解 法方程为
?4a?6 ??2b?1
??2c??1其解为a?32,b?112,c??2
2014-2015学年第 一 学期《数值分析》期终考试试卷--2
四、(10分)确定参数?0,?1,?2使得下面的积分公式代数精度最高,并指明其代数精度:
?11?11?x2f(x)dx??0f(?32)??31f(0)??2f(2) 并用它计算积分
?1ex2?1
1?x2dx的近似值。解 让f(x)?1,x,x2,使求积分公式成为等式:
?????0??1??2?????0??3???33????2?0?0?1?2?2?0,得??? ??13???????3?22??3?2???????0?0?1?????2??2????2?2?3取f(x)?x3,x4,x5,上述求积公式为等式,但是f(x)?x6时,求积公式不再精确成立,该求积公式的代数精度为5。
2?1ex?11?x2dx?932?
五、(15分)对下列线性方程组
??10x1? x2? 2x3 ?6,???x1?11x2? x3+3x4?25,2x? x?11, ?12?10x3?x4??? 3x2? x3+8x4?15完成下列3个问题:
(1) 写出求解该线性方程组的Gauss—Seidel迭代格式; (2) 取初始迭代向量x(0)?(0,0,0,0)',用(1)中的格式计算x(1);
(3) 该线性方程组的Gauss—Seidel迭代格式收敛吗?给出理由。
解 (1) Gauss—Seidel迭代格式
??x(k?1)1 ?1?6? x(k)? 2x(k)? ,?1023?x(k?1)?1?25?x(k?1)? x(k)?213?3x(k)4?,?11?? ?x(k?1)?1?11?2x(k?1)?x(k?1)?x(k)?3124,?10? x(k?1)1??3x(k?1)(k?1)?4?8152? x3?(2)x(1)??0.62.3272?0.98730.8789?'
(3)系数矩阵对角占优,故收敛。
六、(10分)对非线性方程xcos(?x)?x?1构造牛顿法,并用牛顿法求出该方程在4.5附近的根,迭代精度要求为10?4。
解 牛顿迭代格式 xxkcos(?xk)?xk?1k?1?xk?cos(?x
k)?xk?sin(?xk)?1迭代结果:x0?4.5,x1?4.7664,x2?4.7896,x3?4.7906
2014-2015学年第 一 学期《数值分析》期终考试试卷--3
八、(15分) 已知实矩阵A及它的一个近似特征值p,写一个程序,使得该程序能够计算实矩阵A的与p最接近
下面程序为编程题,请只用Matlab编程完成。
七、(15分) 给定如下的常微分方程初值问题, ??dy??y?x2?1,0?x?2, ?dx?y(0)?0.5及三阶Runge-Kutta 公式, ??y1n?1?yn?6?k1?4k2?k3?,? ??k1?hf(xn,yn), ??k2?hf(xn?1?2h,yn?12k1),?k3?hf(xn?h,yn?k1?2k2).编写一个程序满足下列要求:
用上述三阶Runge-Kutta 公式计算出上述问题的近似解,并画出数值解的图像; 解 Matlab代码如下:
function [x,y] = rk3(N)
a = 0; b = 2; h = (b-a)/N; x = a:h:b; hold on; plot(0,1,'bd'); % axis([0 2 0 3]); k = 1; y(1) = 0.5; for k = 2:N+1,
k1=h*f(x(k-1),y(k-1));
k2=h*f(x(k-1)+h/2,y(k-1)+k1/2); k3=h*f(x(k-1)+h,y(k-1)-k1+2*k2); y(k) = y(k-1) + (k1+4*k2+k3)/6;
plot(x([k-1 k]),y([k-1 k]),'bd--','linewidth',2); pause end
function v = f(x,y) v = y-x.^2+1;
的特征值及其对应的特征向量。对该程序满足下列要求:
以函数文件形式给出,函数头格式为
function [lambda,u,it,hist]=eigapp(A,p,v0,tol,maxit) 其中 % 输入变量
% A ---矩阵
% v0 --- 初始向量 % tol --- 迭代精度 % maxit --- 最大迭代步数 % 输出变量
% lambda ---- 矩阵A的与p最接近的特征值
% u ---- 特征向量
% it ----迭代次数
% hist ----迭代向量序列 解 Matlab代码如下:
function [lambda,u,it,hist]=eigapp(A,p,v0,tol,maxit) k = 1;
mt=1; hist=[v0]; [l,u1,q]=lu(A-p); y=l\\(q*v0); v=u1\\y;
[m,i]=max(abs(v)); m=v(i);
u=v/m; it=1;
hist=[hist u]; while abs(mt-m)>ep, mt=m; k = k+1; y=l\\(q*u); v=u1\\y;
[m,i]=max(abs(v)); m=v(i); u = v/m; hist=[hist u];
it=it+1 end
lambda =1/mt+p;
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