数值分析（工研）2102002一A答案(1)

2014-2015学年第 一 学期《数值分析》期终考试试卷--1

同济大学课程考核试卷（A卷）

2014 —2015 学年第 一 学期

命题教师签名： 审核教师签名：

课号： 课名： 数值分析(工研) 考试考查：考试

此卷选为：期中考试( )、期终考试(√)、重考( )试卷

年级 专业 学号 姓名 任课教师 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 （注意：本试卷共 8大题，2大张，满分100分．考试时间为 120分钟。要求写出解题过程，否则不予计分。

编程题请只用Matlab编程, 计算题若无指明精度请保留4位有效数字。）

一、(10分) 用追赶法解下列三对角线性方程组

?41??x1?? ??15.251?????x??5??2???3.25?. ?2.510.5????x3?????29??解

?41A????15.251???LU??2.510.5???400??1

L???150??, U??0.250???2.510??010.2?0???001????Ly??5??3.25???,y??1.25??0.4??1??,Ux?y,x?????29?????3??1????3?

???二、(15分)已知函数f(x)的数据如下：

x 0 1 2 f(x) 1 2 4 f'(x) 1 对函数f(x)完成下列2个问题：

（1） 写出函数f(x)的一个3次埃尔米特插值多项式H(x)，使其满足

??H(xi)?f(xi),i?0,1,2,?H'(x

1)?f'(x1)要求将H(x)写成a23x3?a2x?a1x1?a0。

2（2） 用H(x)近似代替函数f(x)，计算积分

?f(x)dx的近似值。

0解（1）H(x)?12x3?x2?32x1?1

22（2）?f(x)dx?x)dx?130?H(03

三、(10分)找出形如a?bcosx?csinx的函数，使之在最小二乘的意义下拟合下表中的数据点。

x 0 ?2 ? 3?2 y 2 1 1 2

解 法方程为

?4a?6 ??2b?1

??2c??1其解为a?32,b?112,c??2

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四、(10分)确定参数?0,?1,?2使得下面的积分公式代数精度最高，并指明其代数精度:

?11?11?x2f(x)dx??0f(?32)??31f(0)??2f(2) 并用它计算积分

?1ex2?1

1?x2dx的近似值。解 让f(x)?1,x,x2，使求积分公式成为等式：

?????0??1??2?????0??3???33????2?0?0?1?2?2?0，得??? ??13???????3?22??3?2???????0?0?1?????2??2????2?2?3取f(x)?x3,x4,x5，上述求积公式为等式，但是f(x)?x6时，求积公式不再精确成立，该求积公式的代数精度为5。

2?1ex?11?x2dx?932?

五、(15分)对下列线性方程组

??10x1? x2? 2x3 ?6,???x1?11x2? x3+3x4?25,2x? x?11, ?12?10x3?x4??? 3x2? x3+8x4?15完成下列3个问题：

（1） 写出求解该线性方程组的Gauss—Seidel迭代格式； （2） 取初始迭代向量x(0)?(0,0,0,0)'，用（1）中的格式计算x(1)；

（3） 该线性方程组的Gauss—Seidel迭代格式收敛吗？给出理由。

解 （1） Gauss—Seidel迭代格式

??x(k?1)1 ?1?6? x(k)? 2x(k)? ,?1023?x(k?1)?1?25?x(k?1)? x(k)?213?3x(k)4?,?11?? ?x(k?1)?1?11?2x(k?1)?x(k?1)?x(k)?3124,?10? x(k?1)1??3x(k?1)(k?1)?4?8152? x3?（2）x(1)??0.62.3272?0.98730.8789?'

（3）系数矩阵对角占优，故收敛。

六、(10分)对非线性方程xcos(?x)?x?1构造牛顿法，并用牛顿法求出该方程在4.5附近的根，迭代精度要求为10?4。

解 牛顿迭代格式 xxkcos(?xk)?xk?1k?1?xk?cos(?x

k)?xk?sin(?xk)?1迭代结果：x0?4.5,x1?4.7664,x2?4.7896,x3?4.7906

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八、(15分) 已知实矩阵A及它的一个近似特征值p，写一个程序，使得该程序能够计算实矩阵A的与p最接近

下面程序为编程题，请只用Matlab编程完成。

七、(15分) 给定如下的常微分方程初值问题， ??dy??y?x2?1,0?x?2, ?dx?y(0)?0.5及三阶Runge-Kutta 公式， ??y1n?1?yn?6?k1?4k2?k3?,? ??k1?hf(xn,yn), ??k2?hf(xn?1?2h,yn?12k1),?k3?hf(xn?h,yn?k1?2k2).编写一个程序满足下列要求：

用上述三阶Runge-Kutta 公式计算出上述问题的近似解，并画出数值解的图像; 解 Matlab代码如下：

function [x,y] = rk3(N)

a = 0; b = 2; h = (b-a)/N; x = a:h:b; hold on; plot(0,1,'bd'); % axis([0 2 0 3]); k = 1; y(1) = 0.5; for k = 2:N+1,

k1=h*f(x(k-1),y(k-1));

k2=h*f(x(k-1)+h/2,y(k-1)+k1/2); k3=h*f(x(k-1)+h,y(k-1)-k1+2*k2); y(k) = y(k-1) + (k1+4*k2+k3)/6;

plot(x([k-1 k]),y([k-1 k]),'bd--','linewidth',2); pause end

function v = f(x,y) v = y-x.^2+1;

的特征值及其对应的特征向量。对该程序满足下列要求：

以函数文件形式给出，函数头格式为

function [lambda,u,it,hist]=eigapp(A,p,v0,tol,maxit) 其中 % 输入变量

% A ---矩阵

% v0 --- 初始向量 % tol --- 迭代精度 % maxit --- 最大迭代步数 % 输出变量

% lambda ---- 矩阵A的与p最接近的特征值

% u ---- 特征向量

% it ----迭代次数

% hist ----迭代向量序列 解 Matlab代码如下：

function [lambda,u,it,hist]=eigapp(A,p,v0,tol,maxit) k = 1;

mt=1; hist=[v0]; [l,u1,q]=lu(A-p); y=l\\(q*v0); v=u1\\y;

[m,i]=max(abs(v)); m=v(i);

u=v/m; it=1;

hist=[hist u]; while abs(mt-m)>ep, mt=m; k = k+1; y=l\\(q*u); v=u1\\y;

[m,i]=max(abs(v)); m=v(i); u = v/m; hist=[hist u];

it=it+1 end

lambda =1/mt+p;

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