第二章-光的衍射5

§2 - 5傅里叶光学 光学

信息处理

光学与电通讯和电信息理论相互结合，逐渐形成了傅里叶光学。傅里叶光学的数学基础是傅里叶变换，它的物理基础是光的衍射理论。

一、空间频率和复振幅

设一维简谐波以相速度u沿x轴正方向传播，

?(x,t)?Acos(?t?kx??0)

简谐振动的时间周期性：

时间周期T 时间频率? 时间角频率?

简谐波还具有空间周期性 ？

波速u：（单位时间内振动状态的传播距离称为波速，相速） 40)

552

u??T?????? (2. 2?

图2 - 19 一维简谐波

空间周期性：

空间周期：波长? （表示振动在一个周

期T内所传播的距离，两个相邻的振动相位相同的点之间距离。）

空间频率：1/? 空间角频率：波数2π/?

553

若两个单色波沿其传播方向有不

同的空间频率，意味着它们有不同的波长。

时间周期性和空间周期性的联系（对单色光）：

? ＝uT

沿空间任意k方向传播的单色平面波，复振幅

ik?r? E0(r)?A0e

?A0eik(xcos??ycos??zcos?)

其中? , ? 和? 为传播矢量k的方位角。在多数情况下，若不考虑光波随时间的变化，可以只用复振幅表示光波以简化计算。

554

二、空间频率概念的推广（二维） 通常，要处理一个二维的复振幅分布或光强分布，如分析平面上的衍射花样，这时要推广空间频率。

沿k方向传播的单色平面波,z?z0平面的复振幅分布为

555

x x k z0y z y

ikz0cos?ik(xcos??ycos?E0(x,y)?A0ee （2－41）

对于沿一定方向传播的平面波，e常数，则

ik(xcos??ycos?)?E0(x,y)?Aeikz0cos?＝

（2－42） where A?A0eikz0cos?=复常数

so, x, y平面上各点复振幅的差别 from 不同的（x, y）处有不同的位相差

x x ?O k ?B 556 z ? y y

x y平面上的相位分布？

K方向传播的平面波的波面如上图示，

z?z0平面与任一波面的交线（虚）上，各

点的位相＝该波面的位相值；

交线族 ＝ 等位相线族，其方程为

2??(xcos??ycos?)?const

（2－43）

故，z?z0平面上复振幅分布的特点：

等位相线是一组平行线, 呈周期分布（周期为2?）。

557

若波矢K在xz平面内，单色平面波沿xz平面的直线传播，则方向余弦

co?s? 0xcos??const等位相线化为

x?const

这时，xy平面的等位相线＝垂直于x轴的平行线族

558

第一图：位相依次差2π的几个波面与xz平面的交线

第二图：在xy平面上位相依次差2π的等位

相线族：等间距平行线，其上光振动相同，

复振幅在xy平面上变化的空间周期＝dx（位相差2π的等位线间距） 等位相线族可写为

??kxco?s?co nst求微分得（位相差??对应两平行线

沿x方向的距离）

o s ?x???/kc?

559

2??dx??kcos?cos?（2－44）

（令x方向上单位长度内的变化周期数为）复振幅的空间频率 （2－45）

y方向上的空间周期和空间频率：

u?1/dx?co?s?

dy?（2－46）

?cos?，

v?cos??

x y平面上复振幅的周期分布（用一组空间频率表为）

560

?(x,y?E)0i?2u(x?Aev

y是一个在x y平面上沿x、 y方向分别以空间频率（u, v）作周期变化的周期函数分布，也表示一个传播方向为（cos??u?, cos??v?）的平面波。

空间频率（u, v）的物理意义：用来描述平面波光场中平面上复振幅的基本周期分布的特征量。每一组（u, v）的值对应一组空间频率的成分，也对应一个沿一定方向传播的平面波。据光波叠加原理，如果光场中某一平面上的复振幅可以分解成许多这样的周期分布，而每一种基本的周期成分由一组周期频率值来表示，则可以说这平面上的复振幅含有多种空间频率成分，并表示有

561

许多沿不同方向传播的平面波通过这一平面。

三 阿贝成象原理

由几何光学，物象成点点对应关系： P F' O' O F

P' 点点对应： P ? P' 物 O ? O' 象 1873年，阿贝在显微镜成象原理的论述中，首次提出了空间频率和空间频谱以及两次衍射成象的概念，并用傅里叶变换来阐明显微镜成象的物理机制。1906年，波特用实

562

验证实了阿贝成象原理。 （一）实验介绍

物: 以透光率为a?bcos(2?用单色平行相干光照射;

象: 在透镜L2后方一定位置的屏幕E上将得到模板。

可证: 在透镜L2的象方焦面上放一屏幕F2'，则在F2'上将得到由三个亮斑组成的夫琅禾费衍射图样。

fxx)的模板(正弦光 栅),置于凸透镜L前某处，

2

图2 - 22 正弦光栅的象及衍射图样

563

图2- 23 正交光栅的象及衍射图样

用两个黑白光栅互相垂直重叠成一正交光栅，放在L2的物平面上，则在F2'上的衍射图样将是图2 - 23所示的规则排列的许多亮点。

如果在L2的象方焦面上不再放置屏幕，而是插入一狭缝只让中间竖直的一列亮点通过，档住其他亮点，则正交光栅的象的竖直条纹消失，只剩下象的水平条纹；如果把狭缝转过90?，让水平的一行亮点通过，则正交光栅的象的水平条纹消失，只剩下象的竖直条纹。

564

（二）成象原理

成象过程 ＝ （入射光经物面衍射后在透镜的）象方焦平面上形成夫琅禾费衍射图样

＋衍射图样所发出的子波

在透镜的象平面上相干叠加

（第二次衍射） ＝ 二次衍射成象

衍射图样与物的空间结构之间有着某种内在的联系（因不同物的夫琅禾费衍射图样不同）

1、象方焦面上的夫琅禾费衍射图样的成因？

例1、正弦光栅的透光率（透光率函数：

565

透过光栅后的复振幅与入射在全息图前表面上的复振幅之比）为

t(x)?a?bcos(2?fxx) 它是空间变量x的周期函数，

空间频率：fx，在单位长度上透光率重复的次数。

空间周期：1/fx

常数项a: 可看成是周期为无穷大的周期函数，只是它的空间频率为零。

1i2?cos(2?fxx)?(e2fxx?e?i2?fxx),

其中，每一指数项代表一单色平面波，它在透镜的象方焦面上会聚成一点，从正弦光栅输出的是三列波，空间频率为0及?fx。它

566

们在透镜象方焦面上会聚成三个亮斑，分别是0级和?1级衍射斑。每个亮斑的光强代表所对应的分量的强度。

因此，夫琅禾费衍射图样反映了物光波的傅里叶展开中各个分量的空间频率和强度。

利用惠更斯?菲涅耳原理可以证明，在透镜象方焦面上的复振幅分布(衍射图样)，是物面的复振幅分布(透射率)的傅里叶变换。

例2、黑白光栅的透光率t(x)

是一个空间周期为1/fx的方形波

函数

透光部分的透射光振幅相等

567

(t?1)，

不透光部分的透射光振幅为零(t?0)。

这样一个周期函数的傅里叶变换，除了空间频率为fx的基波外，还包含有空间频率为2fx,3fx,?的高次谐波分量，因此黑白光栅在透镜象方焦面上的衍射图样为一系列亮点，正交黑白光栅的衍射图样是平面上规则排列的亮点。

总之，夫琅禾费衍射图样反映了物

光波的各种空间频率分量的组成情况。故：

2、物的空间频谱为焦平面上的夫琅禾费衍射图样

进一步用不同的空间周期的正弦光

568

栅实验表明：

1）空间频率越大，空间频谱面（焦平面）上的衍射象的位置离中心点越远。且中心亮点对应于空间频率为零的常数项。

2）当在空间频谱面上改变频谱分量时，象的性质也会发生改变。这个过程称为空间滤波。

（三）傅立叶变换在光学成象中的应用

1、 傅立叶变换

据傅立叶分析，将满足一定条件的一维

i2??xf(x)函数展成一系列基元函数e的线性

叠加

569

?f(x)?whereF(?)????f(?)ei2??xd???

f(x)e?i2??xdx??（2－47）

函数F(?)： 空间频率为?的成分所占

的权重的大小，为f(x)的空间频谱函数，或频谱。

对在光学中，如缝或圆孔的衍射的光场是两维信息，可进行二维的傅立叶变换：

将满足一定条件的二维函数f(x,y)展成一系列基元函数ei2?(ux?vy)的线性叠加

570

??f(x,y)?where??????f(u,v)ei2?(ux?vy)dudv?F(u,v)????????f(x,y)e?i2?(ux?vy)dxdy （2－48）

F(u,v)为f(x,y)的傅立叶变换，

f(x,y)为F(u,v)的傅立叶逆变换。u,v代表各基元函数ei2?(ux?vy)沿xy方向的空间

频率；F(u,v)代表空间频率为u,v的成分所占相对比例的大小，i.e. F(u,v)为

f(x,y)的频谱。

2、两次傅立叶变换的成象过程

571

1）、物面的衍射

''(x,y) and (x,y) Let

为物面和

相面上的坐标；

(?,?) (u,v) 为透镜后焦面上的坐标； 为相应的空间频率的坐

标，坐标原点在焦点上。

?fLet 物面的复振幅分布为(x,y)，则在

?(?,?) 透镜后焦面上的复振幅分布F为

?(x,y)的傅立叶变换 f 572

?(u,v)?For?(?,?)?F??????????(x,y)e?i2?(ux?vy)dxdyf????????(x,y)ef?i2?(?x??y)'f?dxdy （2－49） where

?(x,y)?f????????i2?(ux?vy)?F(u,v)edudv （2－50）

?(x,y)与F?(?,?) [ 或F?(u,v) ]构成f了傅立叶变换对，他们是对同一光场分布的

?f两种本质上等效的描述，(x,y)是空间域的

?(u,v) 为频率域的谱函数，式谱函数，F中

??u?, v?''f?f?

（2－51）

573

为(?,?)方向的空间频率，f距，?为光波的波长。

'为透镜的焦

?f 若(x,y)为一个空间的周期函数，其空间频率将不连续。例如，空间频率为基频

u0 ( u0?1/d )的一维光栅，其复振幅分

布可写成级数

?(x)?f52）

j?????i2?ju0x?Fje （2－

相应的空间频率为谐频

u?0 j(u j=0，它相当于后焦面

,衍射花样中的零级、一级、二级…衍射极大，衍射级数愈高，相应的空间频率愈高。

2）、后焦面和相面的第二次衍射变换

574

相面上的复振幅分布为

?'(x',y')?fwhere''xy u'?, v'?z?z?????????i2?(u'??v'?)?F(?,?)ed?d? （2－ 53） and

??uf?, ??vf?''

（2－54） 带入上式有

?(x,y)?f'''?????????(?,?)eFi2?f'?(ux'?vy')zdudv （2－55）

''(x,y) and (x,y)

为物面和相面

上的坐标, 它们之间有关系

zz'x??'x, y??'yff'

575

图2 - 25 带有灰尘的网格的空间频谱 下灰尘粒子的象。可以用这种空间滤波的方法，去掉照片中的背景

581

空间滤波（光学信息处理中的重要内容）的应用：

1）用来检查集成电路板的缺陷； 2）改造不良照片；

3）图象识别和文字的读取。

五、图象及其数字处理

图象处理的目的：使图象更清晰，使人或

582

机器更易于理解。 （一）两类图象处理: 1) 模拟处理

Includes光学透镜处理、照相、广播电视等，基本为实时处理。透镜装置处理速度快，理论上讲是光速。传统的广播电视是以模拟信号的形式进行处理的，其内容均是真实的活动图象。 优点：处理速度快；

缺点：精度低，灵活性差，很难有判断功能和非线性处理功能。 2）数字图象处理

－－计算机对图象进行处理。与人类对视觉着迷的历史相比，这是一门相对年轻的学科。

583

优点：精度高，处理内容丰富，可进行复

杂的非线性处理。一般具有非常灵活的变通能力，只要改变软件就可以改变处理内容。

缺点：速度较慢，但这可得到不断的改进。 但注意：数字图象处理通常要用到模拟技

术，I/O接口要用模拟技术。

（二）数字图象处理过程 1、图象源

自然景物、照片、底片。。。 2、数字化

图象源经光电变换器变成电信号，再进行数字化变换，把连续变化的电讯号转换成便于计算机处理的数字讯号：

584

1）抽样 在连续变化的信号上每隔一定距离抽取一个样本而得到离散值。抽样间隔是根据图象处理任务中要求重建图象所需的分辨率来确定。

2）分层量化 图象的每一个象点，期亮度是按图像内容随机变化的、从最黑到最亮之间，按其差别可分为许多层。一旦所分层次确定，则位于两层之间的亮度就用舍入法归于上一层或下一层。分层越多误差越小。

3）编码 把每个亮点的亮度在计算机中用二进制码表示。 3、计算机加工处理变换 两类处理方法：

1）空（间）域处理 把图象空间的

585

每一个象点逐个进行处理变换。例如对图象进行灰度变换，把每一个象点按照某种准则（某种函数）进行变换，得到所需要的清晰图象。

2）频（率）域处理 通常用傅立叶变换把图象从空间域变换到频率域中，在频率域中以某种规则改变其频谱分量，即常用的滤波处理，最后再变回到空间域中成为所需要的图象。频率域中常用滤波技术，这是因为常用的正交变换是傅立叶变换，变到频率域后就可以用滤波方法选取频率域中不同的部分，变换后经过滤便于分类，或反变换后到空间域成所需图象。 4、图象重建

把处理后的图象的象点逐点进行大量计

586

算，再存入存储器中中心建立图象。 图象处理的内容：放大、缩小、平移，坐标变换，坐标轴旋转，透视图制作，位置重合，几何校正，灰度反转，灰度变换，伪彩色增强、平滑，边缘加强和轮廓线抽取，图象复原，图象重建，各种正交变换。。。

（三）频率域处理－增强图象边缘和细节 从频率域角度看一副图象，大的物体明暗变化反映在低频率，而细节和边缘变化反映在高频率。正常图象中高频、低频分量都有一定的比例，比例的改变将会带来图象的劣化。

如，一副正常图象通H 过一个低频通过型滤波器后，大的物体已然可见，但由于

587

高频几乎度不能通过，因而细节和边缘都变成模糊。同理，一副正常图象如果通过一个高频通过型滤波器，只会剩下边缘和细节。 一副劣化的图象，如果是边缘模糊、细节不清，可以用在频率域中加强其高频率分量的方法解决。改变频率分量的一般表示式：在频率域图象表示式上乘上一个变换系数H(u,v),用来改变其高频低频的比例。这相当于H(u,v)对应在空间域中的h(x,y)与劣化的图象函数f(x,y)作卷积积分。但因为卷积积分较复杂，不如在频率域中F(u,v)和H(u,v)直接相乘那样简单，因此在图象处理中常用频率域法。

具体的执行过程是先把图象f(x,y)进行傅立叶变换到频率域为F（u,v）,然后设法把

588

H(u,v)的各频率比例作处理。设一个高频成分增大、低频基本保持的频率域函数H(u,v) ，用H(u,v)与F(u,v)相乘，则使F(u,v)畸变成为高频成分增大的G(u,v),这种畸变恰好使的视觉效果是边缘和细节清晰。因此，把G(u,v)在经过傅立叶逆变换至空间域图象，就是一副边缘何细节较原图象更清晰的效果。

589

若把离散傅立叶变换及逆变换以子程序形式来调用，则流程图很简单。

调入离散图象 f(x, y) 离散傅立叶变换得F(x, y) END 离散傅立叶反变换得g(x, y) F(x, y) 乘 H(x, y) （四）小波变换

在图象处理过程中，传统的变换技术以傅立叶变换为代表。傅立叶变换能用正弦函

590

数之和表示任何分析函数－甚至一个狭窄的瞬态信号。如何实现？通过错综复杂的安排，以相互抵消一些正弦波的方式，构造出在大部分区间都为零的函数。这将是此函数的频谱上呈现一副相当混乱的构成。

分析一下问题之所在：傅立叶变换所用的正交基函数是正弦曲线波。这些函数都在两个方向向无限扩展。对比之下，瞬态信号只在一个很短的区间内非零。与此同时，图象中的许多重要特征（例如边缘）也是在空间位置中高度局域化的。这些成分并不类似于任何一个傅立叶基函数，这就使得傅立叶变换以及类似的其它一些变换，在压缩和分析包含瞬态或局部化成分的信号和图象时，得不到最佳表示。

591

为了克服这些缺陷，人们开发出若干使用有限宽度基函数进行变换的方法。这些基函数不仅在频率上而且在位置上是变化的，它们是有限宽度的波并被称为小波（Wavelet），基于它们的变换为小波变换（Wavelet Transforms）。

小波变换等新技术是面向图象压缩、边缘和特征检测以及纹理分析。近年来引起人们的极大兴趣。

原始图象数据 编码器 被压缩的图重建图象数据 解码器 被压缩的图 图象数据压缩编码流程图 592

（五） 数字图象的应用 1、生物医学领域

■ 一般x-ray 透视图象增强 ■ 细胞分析及识别 ■ 白血球分类 ■ 红血球统计

■ 超声图象的冻结、增强及伪色彩处理 ■ CT（计算机层析技术），包括γ相机，超声CT，核磁共振仪等 ■ 染色体分析

■ 手术方案的计算机图象确定 ■ 射线治疗最小损害方案确定 2、遥感技术

■ 卫星、航测用于农业

593

■ 林业：林区分类、森林防火 ■ 水利：水源调查、水库检测 ■ 海洋：海温测量、海洋预报、鱼群分析 ■ 气象预报

■ 环境：水质、大气污染 ■ 地质及资源调查、地理测绘 ■ 交通：空中管理、铁路选线 ■ 军事 3、其它

科研：结晶分析、谱分析、新粒子发现

工业：CAD、CAE、CAM、无损检测 公安：指纹、面形分析、文件复原 考古，衣服剪裁，图象远距离传送，

594

地震测量。。。

本章习题(共5题)：16 – 1，2，7，9，14。

595

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zm9r.html