中考数学：3.4-反比例函数（含答案）

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§3.4 反比例函数

A组 全国中考题组

一、选择题

1．(2015·重庆，12，3分)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，3B两点的纵坐标分别为3，1.反比例函数y＝x的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为( ) A．2 C．22

B．4 D．42

解析 由题意可得：A，B的坐标分别为(1，3)，(3，1)，并能求出AB＝22，菱形的高为2，所以面积为42. 答案 D

2．(2015·山东青岛，8，3分)如图，正比例函数y1

k2

＝k1x的图象与反比例函数y2＝x的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1>y2时，x的取值范围是 A．x<－2或x>2 B．x<－2或02

解析 由图象可以观察，在－22时，y1>y2. 答案 D

3．(2015·浙江湖州，10，3分)如图，在平面直角坐标系系中，直线y＝k1x＋2与x轴交于点A，与y

( )

k2轴交于点C，与反比例函数y＝x在第一象限内的图象交于点B，连结BO.若1

S△OBC＝1，tan∠BOC＝3，则k2的值是( ) A．－3 C．2

B．1 D．3

解析 过点B作BD⊥y轴于点D.∵直线y＝k1x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴点C的坐标为(0，2)，∴OC＝2.∵S△OBC＝1，∴BD＝1.1BD1

∵tan∠BOC＝3，∴OD＝3，∴OD＝3，∴点B的坐标为(1，3)．∴k2＝1×3＝3. 答案 D

4．(2015·四川凉山州，10，3分)以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角3坐标系，双曲线y＝x经过点D，则正方形ABCD的面积是 A．10

( )

B．11 C．12 D．13

3

解析 ∵双曲线y＝x经过点D，∴第一象限的小正方形的面积是3，∴正方形ABCD的面积是3×4＝12. 答案 C 二、填空题

5．(2015·浙江绍兴，15，5分)在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标3

轴，A点的坐标为(a，a)，如图，若曲线y＝(x>0)与

x此正方形的边有交点，则a的取值范围是________． 解析 由A点的坐标(a，a)可知C的坐标为(a＋1，a3

＋1)，把A点的坐标代入y＝x中，得a＝±3，把C

3

点的坐标代入y＝x中，得a＝－1±3，又因为与正方形有交点，所以a的取值范围为：3－1≤a≤3.

答案 3－1≤a≤3

6．(2015·浙江杭州，15，4分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P(1，2

t)在反比例函数y＝x的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线lk

上，满足QP＝OP.若反比例函数y＝x的图象经过点Q，则k＝________． 解析 分两种情况，因为QP＝OP＝5，当Q在点P左侧时，Q的坐标为(1－5，2)，在右侧时，Q的坐标为(1＋5，2)分别代入，得k＝2±25. 答案 2＋25或2－25

7．(2015·浙江宁波，18，4分)如图，已知点A，C在反a

比例函数y＝x(a>0)的图象上，点B，D在反比例函b

数y＝x(b<0)的图象上，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB＝3，CD＝2，AB与CD的距离为5，则a－b的值是____________．

解析 设A，B两点的纵坐标为m，C，D两点的纵坐标为n，则点A，B，C，?a??b??a??b?

D的坐标分别为A?m，m?，B?m，m?，C?n，n?，D?n，n?.因为AB＝3，CD＝

????????

baab

2，所以m－m＝3，n－n＝2.解得b－a＝3m，a－b＝2n，所以3m＝－2n，又因为AB与CD的距离为5，所以n－m＝5，解得n＝3，m＝－2.所以a－b＝6. 答案 6

8．(2015·浙江金华，15，4分)如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函k

数y＝x(x>0)的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F.若点D的坐标为(6，8)，则点F的坐标是________．

解析 由点D的坐标可求得菱形的边长为10，点C的坐标为(16，8)，点A440

的坐标为(8，4)，所以k＝32；直线BC的解析式为：y＝3x－3，解方程组32y＝??x，8??

12，?得：x＝－2(舍去)；x＝12，因此F的坐标为. 12?4403???

??y＝3x－38??

答案 ?12，3?

??

k

9．(2015·浙江丽水，16，4分)如图，反比例函数y＝x的图象经过点(－1，－22)，点A是该图象第一象限分支上的动点，连结AO并延长交另一支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连结BP. (1)k的值为________；

(2)在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点C的坐标是________． k

解析 (1)把点(－1，－22)代入y＝x得，k＝22. (2)连结OC，作CD⊥y轴于点D，AE⊥y轴于点E，AM⊥x轴于点M，CN⊥x轴于点N.

?22?

?，由反比例函数性质得：设A点坐标为?a，

a??OA＝OB，

由等腰直角三角形性质得：OC＝OA，OC⊥OA， ∴△AOE≌△OCD，∴OD＝AE＝a，CD＝OE＝22

a，

CPBC1?22?

?∴点C?.∴BP平分∠ABC，∴，－aAP＝BA＝2. ?a?CNCP1a1

由△APM∽△CPN得：＝＝即＝，

AMPA2222

a∴a＝2.∴点C(2，－2)． 答案 (1)k＝22 (2)(2，－2)

三、解答题

10．(2015·浙江衢州，19，6分)如图，已知点A(a，3)6是一次函数y1＝x＋b图象与反比例函数y2＝x图象的一个交点．

(1)求一次函数的解析式；

(2)在y轴的右侧，当y1>y2时，直接写出x的取值范围．

6

解 (1)将A(a，3)代入y2＝得，a＝2，

x∴A(2，3)，将A(2，3)代入y1＝x＋b得b＝1， ∴y1＝x＋1. (2)x>2.

11．(2015·四川泸州，23，8分)如图，一次函数y＝kx＋b(k<0)的图象经过点C(3，0)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3. (1)求该一次函数的解析式；

m

(2)若反比例函数y＝x的图象与该一次函数的图象

交于二、四象限内的A，B两点，且AC＝2BC，求m的值． 解 (1)∵一次函数y＝kx＋b(k<0)的图象经过点C(3，0)， ∴3k＋b＝0①，点C到y轴的距离是3. ∵k<0，∴b>0.

∵一次函数y＝kx＋b的图象与y轴的交点是(0，b)， 1

∴2×3×b＝3， 解得：b＝2.

2

把b＝2代入①，解得：k＝－3， 2

故这个函数的解析式为y＝－3x＋2；

(2)如图，作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则AD∥BE.

∵AD∥BE，∴△ACD∽△BCE， ADAC

∴BE＝BC＝2，∴AD＝2BE.

设B点纵坐标为－n，则A点纵坐标为2n. 2

∵直线AB的解析式为y＝－3x＋2， 3??

∴A(3－3n，2n)，B?3＋2n，－n?.

??m

∵反比例函数y＝x的图象经过A，B两点，

3??

∴(3－3n)·2n＝?3＋2n?·(－n)，

??解得n1＝2，n2＝0(不合题意舍去)， ∴m＝(3－3n)·2n＝－3×4＝－12.

B组 全国中考题组

一、选择题

k

1．(2013·浙江温州，6，4分)已知点P(1，－3)在反比例函数y＝x(k≠0)的图象上，则k的值是 A．3

B．－3

1

C.3

1D．－3 ( )

kk

解析 把(1，－3)代入y＝x，得－3＝1，则k＝－3. 答案 B

5

2．(2013·甘肃兰州，5，4分)当x＞0时，函数y＝－x的图象在 A．第四象限 C．第二象限

B．第三象限 D．第一象限

( )

解析 ∵k＝－5＜0，∴当x＞0时，图象在第四象限． 答案 A

3．(2013·浙江台州，5，4分)在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ(单位：kkg/m3)与体积V(单位：m3)满足函数关系式ρ＝V(k为常数，k≠0)，其图象如图所示，则k的值为( )

A．9 C．4

B．－9 D．－4

解析 由图知：ρ＝1.5，V＝6，则k＝ρ·V＝9，故选A. 答案 A

m4．(2014·山东潍坊，11，3分)已知一次函数y1＝kx＋b(k＜0)与反比例函数y2＝x(m≠0)的图象相交于A，B两点，其横坐标分别是－1和3，当y1＞y2时，实数x的取值范围是 A．x＜－1或0＜x＜3 C．－1＜x＜0或x＞3

( )

B．－1＜x＜0或0＜x＜3 D．0＜x＜3

解析 简要画出一次函数与反比例函数的图象如图，一次函数图象在反比例函数上方即一次函数大于反比例函数，∴x＜－1或0＜x＜3，故选A. 答案 A

5．(2014·四川自贡，9，4分)关于x的函数y＝k

k(x＋1)和y＝x(k≠0)在同一坐标系中的图象大致是

( )

解析 可分情况讨论，当k＞0时，直线y＝k(x＋1)经过第一、二、三象限，k

双曲线y＝在第一、三象限，没有符合要求的选项；当k＜0时，直线y＝k(x

x

k

＋1)经过第二、三、四象限，双曲线y＝x在第二、四象限，选项D符合要求．故选D. 答案 D

二、填空题

6．(2013·浙江绍兴，14，5分)在平面直角坐标系中，O是原点，A是x轴上一点，3

将射线OA绕点O旋转，使点A与双曲线y＝x上的点B重合．若点B的纵坐标是1，则点A的横坐标是________．

3

解析 ∵点B在双曲线y＝x上，∴当y＝1时，x＝3，故点B坐标为(3，1)，∴OB＝3＋1＝2；又OB是由OA旋转得到，故OA＝2；因为射线OA绕点O旋转，没有说明是顺时针还是逆时针旋转，故有两种情况，所以点A的横坐标是2或－2. 答案 2或－2

7．(2013·湖南娄底，13，4分)如图，已知A点是反比k

例函数y＝x(k≠0)的图象上一点，AB⊥y轴于B，且△ABO的面积为3，则k的值为________． k

解析 由反比例函数y＝x系数k的几何意义可知，|k|k

S△ABO＝2＝3.又∵y＝x的图象在第一象限，∴k＝6. 答案 6

6

8．(2013·湖北黄冈，12，3分)已知反比例函数y＝x在第一象限的图象如图所示，点A在其图象上，点B为x轴正半轴上一点，连结AO，AB，且AO＝AB，则 S△AOB＝________．

解析 过A作AC⊥OB于点C，∵AO＝AB，∴OC＝BC，∴△ABC≌△AOC，∴S△AOB＝2S△OAC.∵A点在反1比例函数图象上，∴S△OAC＝2×6＝3，∴S△AOB＝2S△OAC＝6. 答案 6

三、解答题

9．(2014·浙江湖州，20，8分)如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A(2，k

5)在反比例函数y＝x的图象上，过点A的直线y＝x＋b交x轴于点B. (1)求k和b的值； (2)求△OAB的面积．

k

解 (1)把A(2，5)分别代入y＝和y＝x＋b，

xk??＝5，得?2解得k＝10，b＝3； ??2＋b＝5，(2)作AC⊥x轴与点C，

由(1)得直线AB的解析式为y＝x＋3，∴点B的坐标为(－3，0)，OB＝3， 点A的坐标是(2，5)，∴AC＝5， 1115∴S△AOB＝2OB·AC＝2×3×5＝2.

10．(2014·浙江嘉兴，22，12分)实验数据显示，一般成年人喝半斤低度白酒后，1.5时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可以近似的用二次函数y＝－200x2＋400x刻画，1.5小时后(包括1.5小时)y与x可近似k

的用反比例函数y＝x(k>0)刻画(如图所示)． (1)根据上述数学模型计算；

①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？ ②当x＝5时，y＝45，求k的值．

(2)按照国家规定，车辆驾驶人员血液中酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早晨7：00能否驾车去上班？请说

明理由．

解 (1)①y＝－200x2＋400x＝－200(x－1)2＋200， ∴顶点坐标为(1，200)．

∵－200＜0，∴当x＝1时，y有最大值，

即喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200(毫克/百毫升)． kk

②将x＝5，y＝45代入y＝x，得45＝5. ∴k＝45×5＝225. (2)不能驾车上班；

理由：晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小时． 225

将x＝11代入y＝x，

225

得y＝11＞20，

∴第二天早上7：00不能驾车去上班．

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