2015中考数学规律探索复习题（解答题）

2015中考数学规律探索复习题（解答题）

1.

（2014?青岛，第23题10分）数学问题：计算+1）．

探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算+

+

+…+

．

+

+…+

（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥

第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；

第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为+第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…； …

第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为+

+

+…+

；

，最后空白部分的面积是．

根据第n次分割图可得等式：+++…+=1﹣．

探究二：计算+

+

+…+

．

第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；

第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为+

；

第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…； …

第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为+

+

+…+

，最后空白部分的面积是．

根据第n次分割图可得等式：+++…+=1﹣，

两边同除以2，得+++…+=﹣．

探究三：计算+

+

+…+

．

（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）

解决问题：计算+

+

+…+

．

（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空） 根据第n次分割图可得等式：

+

+

+…+

=1﹣

，

所以，+++…+= ﹣ ．

拓广应用：计算 +++…+．

考点作图—应用与设计作图；规律型：图形的变化类．. ： 专题规律型． ： 分析探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面： 积，再除以3即可； 解决问题：按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以（m﹣1）即可得解； 拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解． 解答解：探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分， ： 其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分， 阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分， …， 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分， 所有阴影部分的面积之和为：+++…+， 最后的空白部分的面积是， 根据第n次分割图可得等式：+++…+=1﹣， 两边同除以3，得+ 解决问题：+++…++=++…+=﹣； +﹣+…+=1﹣； ， 故答案为：+++…+=1﹣，﹣； 拓广应用：=1﹣+1﹣++1﹣++…+1﹣+…+， ， =n﹣（+++…+）， =n﹣（﹣）， =n﹣+． 点评本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割： 的方法以及求和的方法是解题的关键．

2．（2014?江西，第24题8分）如图1，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若三角形AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A、B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高。

（1）抛物线y=12x对应的碟宽为____；抛物线y=4x2对应的碟宽为_____；抛物线y=ax22（a>0）对应的碟宽为____；抛物线y=a(x-2)2+3(a>0)对应的碟宽____；

（2）若抛物线y=ax2-4ax-5(a>0)对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值； 3（3）将抛物线yn=anx2+bnx+cn(an>0)的对应准蝶形记为F（…），定义F1，F2，…..Fnnn=1,2,3，

1为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比。若Fn与Fn-1的相似比为，且Fn的碟顶是Fn-1的碟宽的

2中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1.

①求抛物线y2的表达式

② 若F1的碟高为h1,F2的碟高为h2，…Fn的碟高为hn。则hn=_______,Fn的碟宽右端点横坐标为_______；F1，F2，….Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出改直线的表达式；若不是，请说明理由。

22133288【答案】 （1）4、、 、 ；（2） ；（3）①y2?x2?x?；②n?1　 、　2?n?1、y?x?5.

aa322333【考点】 二次函数解析式与图像性质，等腰直角三角形性质，探索规律.

1

【分析】 （1）根据准碟形的定义易算出含具体值的抛物线y= x2、抛物线y=4x2的碟宽，且都利

2

2

用第一象限端点B的横纵坐标的相等，类似推广至含字母的抛物线y=ax（a＞0）．而抛物线y=a(x-2)2+3

（a＞0）为顶点式，可看成y=ax2向右、向上平移得到，因而发现碟宽的规律，只与a有关，碟宽= 2

． a

亦可先根据y=ax2画出二次函数的大致图像，根据题意并从图像分析可知，其准碟形碟宽两端点A、B和抛物线的顶点M围成的△AMB是等腰直角三角形，进而知道A、B两点的纵坐标和横坐标绝对值相等，代入y=ax2即可求出二次项系数a与碟宽之间的关系式，而y=a(x-2)2+3（a＞0）为顶点式，可看成y=ax2平移得到，只与a有关。

2

（2）根据（1）中的结论，根据碟宽为6，列出方程 =6，求出a的值．

a（3）①把(2)中求出的a代入，得出y1的解析式，易推出y2．

②结合画图，易知h1，h2，h3，…，hn?1，hn都在直线x=2上，但证明需要有一般推广，可以考虑hn∥hn?1，且都过Fn-1的碟宽中点，进而可得．另外，画图时易知碟宽有规律递减，所以推理也可得右端点的特点．对于F1，F2，…，Fn的碟宽右端点是否在一条直线上，如果写出所有端点规律不可能，找规律更难，所以可以考虑基础的几个图形关系，如果相邻3个点构成的两条线段不共线，则结论不成立，反正结论成立．而最后一空的求直线表达式只需考虑特殊点即可． 122

【解答】 解：（1）4、 、 、 . 2aa

∵a＞0，∴y=ax2的图象大致如图1，其必经过原点O.

记线段AB为其准蝶形碟宽，AB与y轴的交点为C，连接OA，OB． ∵△OAB为等腰直角三角形，AB∥x轴， ∴OC⊥AB，

11

∴∠AOC=∠BOC＝ ∠AOB＝ 390°=45°，

22即△AOC=△BOC亦为等腰直角三角形，∴AC=OC=BC．

∴xA?yA，xB?yB，即A、B两点x轴和y轴坐标绝对值相同． 代入y?ax2，得方程x?ax2，解得x?∴由图像可知，A（－即AC=OC=BC＝

1， a1. a

11111，），B（ ，），C（0，）， aaaaa12∴AB=22＝，

aa即y?ax2的碟宽为AB＝

2. a112∴①抛物线y= x2对应的a?，得碟宽=4；

22a②抛物线y=4x2对应的a=4，得碟宽③抛物线y=ax2(a＞0)的碟宽为

21=； a22； a④抛物线y=a（x-2）2+3（a＞0）可看成y=ax2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的图形，

∵平移不改变形状、大小、方向，

∴抛物线y=a（x-2）2+3（a＞0）的准碟形≌抛物线y=ax2的准碟， ∵抛物线y=ax2（a＞0），碟宽为

2a， ∴抛物线y=a（x-2）2+3（a＞0），碟宽为2a. （2）解法一：

∵y=ax2―4ax－53 ＝a(x－2)2－（4a＋5

3 )

∴同（1）得其碟宽为2

a ，

∵y=ax2―4ax－5

3 的碟宽为6，

∴2a =6，解得，a=13 . ∴y＝1

3(x-2)2-3．

解法二： ∵y=ax2-4ax-53(a>0)可得，y=a(x-2)2-4a-53，

又已知碟宽在x轴上， ∴碟高＝-4a-53＝6

2

=3，解得a＝±13 ，

又∵a＞0，a＝－ 13 错误！未找到引用源。不合题意舍去，∴

(3) ①解法一：

∵F1的碟宽︰F2的碟宽=2：1， ∴

2a:2?2:1 1a2∵a11?3,

∴a22?3.

∵y121?3（x?2）?3的碟宽AB在x轴上（A在B左边），

a＝1

13 .

∴A（-1，0），B（5，0）， ∴F2的碟顶坐标为（2，0），

22∴y2?（x?2）

3 解法二：

∵y1=a(x-2)2-4a-∴y1=15，a＝ ，

331(x-2)2-3， 3即碟顶M1的坐标为（2，－3）.

∵F2的碟顶是的碟宽的中点，且F1的碟宽线段在x轴上， ∴F2的碟顶M2的坐标为（2,0），设y2?a2(x?2)2， ∵F2与F1的相似比为∴F2的碟宽为63

1，F1的碟宽为6， 2122＝3，即＝3，a2＝. 23a222288∴y2?a2(x?2)2?(x?2)2?(x2?4x?4)?x2?x?.

33333

②∵Fn的准碟形为等腰直角三角形， ∴Fn的碟宽为2hn， ∵

2hn1? 2hn?12112131hn?1?()hn?2?()hn?3?...?()n?1h1. 2222∴hn?∵h1=3，

1n?1（）∴hn?23. 2∵hn∥hn?1，且都过Fn?1的碟宽中点， ∴h1，h2，h3，?，hn?1，hn都在同一条直线上， ∵h1在直线x=2上，

∴h1，h2，h3，?，hn?1，hn都在直线x=2上，

1n?1（）∴Fn的碟宽右端点横坐标为2+23. 2F1，F2，…，Fn的的碟宽右端点在一条直线上，直线为y=-x+5． 理由：

考虑Fn-2，Fn-1，Fn情形，关系如图2， Fn-2，Fn-1，Fn的碟宽分别为AB，DE，GH；

且C，F，I分别为其碟宽的中点，都在直线x=2上， 连接右端点，BE，EH．

∵AB∥x轴，DE∥x轴，GH∥x轴， ∴AB∥DE∥GH，

∴GH平行相等于FE，DE平行相等于CB， ∴四边形GFEH、四边形DCBE都是平行四边形， ∴HE∥GF，EB∥DC，

11

∵∠GFI= ?∠GFH= ?∠DCE=∠DCF，

22∴GF∥DC， ∴HE∥EB，

∵HE，EB都过E点， ∴HE，EB在一条直线上，

∴Fn?2，Fn?1，Fn的碟宽的右端点是在一条直线， ∴F，F2，?，Fn的碟宽的右端点是在一条直线． 1根据②中得出的碟高和右边端点公式，可知

12y1=（x?2）?3准碟形右端点坐标为（5，0），

3211??2y2=（x?2）准碟形右端点坐标为?2?()2?1?3,()2?1?3?，即(3.5，1.5)

322??∴待定系数可得过两点的直线为y=－x+5，

∴F1，F2，…，Fn的碟宽的右端点是在直线y=-x+5上．

【点评】 本题考查学生对新定义和新知识的学习、模仿和应用能力．题目中主要涉及特殊直角三角形，二次函数解析式与图象性质，多点共线证明等知识，综合难度较高，学生对题意要清晰的理解比较困难。

3. （ 2014?安徽省,第16题8分）观察下列关于自然数的等式：

32﹣4312=5 ① 52﹣4322=9 ② 72﹣4332=13 ③ …

根据上述规律解决下列问题：

（1）完成第四个等式：92﹣43 4 2= 17 ；

（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性． 考点： 规律型：数字的变化类；完全平方公式 分析：

由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方

的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可． 解答： 解：（1）32﹣4312=5 ① 52﹣4322=9 ② 72﹣4332=13 ③ …

所以第四个等式：92﹣4342=17；

（2）第n个等式为：（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1， 左边=（2n+1）2﹣4n2=4n2+4n+1﹣4n2=4n+1， 右边=2（2n+1）﹣1=4n+2﹣1=4n+1． 左边=右边

∴（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1．

点评： 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zm5v.html