2007年高考备考复习第一轮第二章第二单元重要不等式

上海市晋元高级中学2007年高考数学备考复习（一轮复习） 赵建华

2007年高考备考复习（一轮复习）

第二章 不等式

要注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这

17字方针。

,只要求掌握两个正数的情况,两个正数的算术平均数

a+b

与几何平均数的定理(如果a、b是正数,那么ab,当且仅当a=b时取“=”号)在解决问

2

a

题和实际问题中有着广泛的应用,如求某些非二次函数的最大值、最小值,如函数y=x+(a>0)

x

的最值问题

.

[问题举例]

1.已知x

R,求

2的最小值___________________

（答：；

2.下列命题中正确的是

4

4

C、y 2 3x (x 0)的最大值是2 D、y 2

3x (x 0)的最小值

xx

是2

（答：C）；

3.若x 2y 1

，则2 4的最小值是______（答：； 4.正数x,y满足x 2y

1，则

x

y

11

的最小值为______（答：3 ； xy

11x 2yx 2y2yx

3 略解：

xyxyxy

11

（变式1）正数x,y满足x 3y

2，则 的最小值为______（答：2 ；

xy

x3y

x 3y 2 1

22

略解： x3yx3y

113yx 2 xyxy2x2y

21

（变式2）正数x,y满足2x 3y 4，则 的最小值为______（答： ）；

xy

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)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单

,如求某些非二次函数的最大值、最小值,

(A组)

1.在利用平均值不等式求最值时,一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件.即每项都是正数,积或和是定值,所有的项能同时相等;而“二定”这个条件是对不等式

进行巧妙分拆、组合、添加系数等使之能变成可用均值不等式的形式,倘若要多次用均值不等式求最值,必须保持每次取“=”号的一致性.

2.在应用定理解决实际问题时,要注意:

①先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数; ②建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题; ③在定义域内,求出函数的最大值或最小值;

④正确写出答案.试题解法突出常规方法,淡化特殊技巧,一般以求最值的形式来设问. 例1.(2005福州质检一)若x 0,y 0且

38

1，则xy有 x

y

（ ）

AB

CD96

)

939

A．- B. C. D. -

2222

答案:A.

(-x)29-x)29解析:9-x=-(-x9-x -.

22

例3.(2005年福建,文5)下列结论正确的是( )

11

A.当x>0且x≠1时,lgx+2 B.当x>0时,x+ 2

lgx11

C.当x 2时2 D.当0<x 2时,x-

xx

81

【原题】(人教版《数学》第二册(上)第11页练习3)已知x≠0,当x取什么值时,x2+x2小?最小值是多少?

【探源】本考题是教材练习题的深化,主要考查利用基本不等式时“等号”成立的条件,

要求考生对基本不等式有深刻的理解.正确答案选B.

3.常用不等式有：

(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （1 222

（2）a、b、c R，a b c ab bc ca（当且仅当a b c时，取等号）；

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（3）若a b 0,m 0，则利用基本不等式比较大小 例4.若a b 1,P 小。

bb m （糖水的浓度问题）。 aa m

1

lga lgb ,R lga b，试比较P，Q。R的大22

lga lgb,Q

解： a b 1, lga lgb 0

1

lga lgb a lgb，即Q P 2

a ba b1

ab, lg lgab lga lgb ， R Q 又222

即R Q P

利用基本不等式证明不等式

例5.已知a,b,c R，求证a2 b2 b2 c2 c2 a2

2 a b c

a2 b2 a b 证明：

2 2 2

2

同理 c

2

2

b c , c2 a2 2 c a 22

三式相加得a2 b2 b2 c2 c2 a2

2 a b c

111

abc

(作业)已知a,b,c为不等正数，且abc=1，求证：a 证一： a,b,c为不等正数，且abc=1

c

a c

111111

111bcacab 1 1 1 bcacab222abc

证二： a,b,c为不等正数，且abc=1

111bc caba cabc ba

bc ac ab abc222 abc2 a2bc ab2c a c

111

abc

例4.如果正数a、b满足ab a b 3，则ab的取值范围是_________（答： 9, ）

所以a

c

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4.应用不等式的关键是建立不等量关系,其建立途径主要有:

（1）利用几何、代数意义; （2）利用判别式;

（3）利用变量的有界性;

（4）利用函数的单调性;⑤利用均值不等式.

例5.已知A、B两地相距200km，一只船从A地逆水到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为v km/h(8<v v0)，若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，当v=12 km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度v0应为多少？ 分析：本题是应用不等式知识解决实际问题的应用题，中间体现了分类讨论这一重要的数学思想，本题中的分类讨论思想很隐蔽，它是由均值不等式中“等号”能否成立引起的，解题中要重视。

解：设每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k>0)，则y1 kv2 当v=12时，y1=720

720 k 122得k=5

设全程燃料费为y，依题意有

2001000v264 64 y y1 1000 v 8 1000v 8 16 32000

v 8v 8v 8 v 8

8<v v0

所以当v 16时，v=16时全程燃料费最省 当v 16时，令t v 8 任取8 v1 v2 v0

则0 v1 8 8,0 v2 8 8

64

v 8

1

64

0

v1 8v2 8 64 t1 t2 v1 v2 1 0 v 8v 812

1000v 264

即t v 8 在 8,v 上为减函数，当v=v0时，y取最小值

v 8v 8

综合得：当v 16时，v=16km/h，全程燃料费最省，32000为元，当v 16时，当v=v0

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1000v 2

时，全程燃料费最省，为元。

v 8

另解：当v 16时，令t v 8

64

v 8

t' 1

64

v 82

8 v v0 16

0 v 8 8,0 v 8 64

2

t' 1

64

v 82

0

t v 8

64

在 8,v0 上为减函数 v 8

以下相同

小结：注意基本不等式应用条件和分类讨论 判断函数单调性用导数是很有效的方法

（解题研究）1.已知a，b为正常数，x，y为正实数，且

解题思路分析：

abbxay

法一：直接利用基本不等式：x y (x y)( ) a b ≥a b 2ab当

xyyx

ab

1，求x+y的最小值。 xy

aybx x y x a ab

且仅当 ，即 时等号成立

ab 1 y b ab xy

说明：为了使得等号成立，本题利用了“1”的逆代换。 法二：消元为一元函数 途径一：由∴ x y

ayab

1得x xyy b

aya(y b) ababab

y y a y (y b) a b y by by by b

∵ x>0，y>0，a>0 ∴ 由

ay

>0得y-b>0 y b

∴ x+y≥2 a b

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ab

y b y b y b ab

当且仅当 ，即 时，等号成立

ab 1 x a ab xy途径二：令∴ x

ba

cos2 ， sin2 ， ∈（0，）

yx2

acos2

asec2 ，y bcsc2

∴ x+y=a(1 tan2 ) b(1 cot2 ) a b atan2 bcot2 ≥a b 2 atan cot

当且仅当 ab时，等号成立

1 xy

说明：本题从代数消元或三角换元两种途径起到了消元作用。

cosx2

,)，求 的最小值。 222cosx

cosx1

,则f(t) t 解：设t 2t

设0 t1 t2 ，则

2

（解题研究）2.已知x (

f(t2) f(t1) (t2 t1) (

11 ) t2t1

＝

(t2 t1)(t2t1 1)

0

t1t2

12

所以f(t)在(0,]上单调递减。

15cosx25

时，f(t)的最小值为，故的最小值为。

222cosx2

cosx2

, R , 【评注】（1）应该避免下述常见错误解法，因为x ( ,)，所以

222cosx

因此，当t

因此有

cosx2 2，故其最小值为2，产生错误的原因在于，2cosx

cosx2

是显然不成立的。 2cosx

由于|cosx| 1，所以

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（2）对于形如g(x) f(x)

1

(f(x) 0)的函数有如下结论：若f(x)在区间Cf(x)

g(x)在区间C内是增内是增（减）函数，则①当f(x) 1时，（减）函数，②当0 f(x) 1

时，g(x)在区间C内是减（增）函数。

（解题研究）3.对号函数单调性与最值问题

【2006年上海秋季高考理22】本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分

已知函数y＝x＋数，在[

a

有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，a]上是减函x

a，＋∞)上是增函数．

2b

（1）如果函数y＝x＋（x＞0）的值域为[6，＋∞)，求b的值；

xc2

（2）研究函数y＝x＋2（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；

xaa2

（3）对函数y＝x＋和y＝x＋2（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的

xx

函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F

(x)＝

n

研究结论）．

2b

解(1) 函数y=x+(x>0)的最小值是22b,则22b=6, ∴b=log29.

x

(2)设0<x1<x2,y2－y1=x2

2

ccc222

x (x x)(1 ). 12122x2x12x12 x2

2

c在[c,+∞)上是增函数； 2xc2

当0<x1<x2<时y2<y1, 函数y=x 2在(0,]上是减函数.

x

c2

又y=x 2是偶函数,于是,该函数在(－∞,－c]上是减函数, 在[－,0)上是增函

x

当<x1<x2时, y2>y1, 函数y=x 数.

(3)可以把函数推广为y=x 当n是奇数时,函数y=x

nn

a

(常数a>0),其中n是正整数. xn

a

在(0,a]上是减函数,在[a,+∞) 上是增函数, nx

在(－∞,－2a]上是增函数, 在[－2a,0)上是减函数.

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当n是偶数时,函数y=x

n

a

在(0,a]上是减函数,在[a,+∞) 上是增函数, nx

在(－∞,－a]上是减函数, 在[－2a,0)上是增函数.

1n1

)+(2 x)n xx111102n12n 3rn

2n 3) Cn(x2n 3r2n 3r) Cn(xn n) =Cn(x 2n) Cn(x

xxxx F(x)= (x

2

因此F(x) 在 [1

2,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数.

所以,当x=12或x=2时, F(x)取得最大值(99

2)n+(4

)n；

当x=1时F(x)取得最小值2n+1.

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1

1.(2004上海春,16)若p=a++2 (a>0),q=arccost( 1 t 1),则下列不等式恒成立的是

a

（ ）

A.p q B.p q 0 C.4 p q D.p q 0 【答案】B.

【解析】本小题主要考查不等式的性质,反三角函数的概念与性质等基础知识.

1

∵a>0,∴2≥4,

a

而反三角函数q=arccost( 1 t 1)的值域为[0, ].故选B.

2.(2004上海，文理18) 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角

2

形. 要求框架围成的总面积8cm. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?

y

x

x

28

1

2=8 x(0<x

于是

, 框架用料长【解析】解：由题意得 xy＋x＝8

，∴y＝

4

时等号成立.此时, x≈2.343,yx为2.343m,y为2.828m时, 用料最省.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zm0m.html