高中数学第2讲参数方程一曲线的参数方程1参数方程的概念2圆的参数方程练习新人教A版选修4 - 4

2 圆的参数方程

一、基础达标

1.已知O为原点，参数方程?A.1 C.3

2222?x＝cos θ，?

??y＝sin θ

(θ为参数)上的任意一点为A，则|OA|＝( )

B.2 D.4

解析 |OA|＝x＋y＝cosθ＋sinθ＝1，故选A. 答案 A

??x＝a＋2cos θ，

2.已知曲线C的参数方程是?(θ为参数)，曲线C不经过第二象限，则实

?y＝2sin θ?

数a的取值范围是( ) A.a≥2 C.a≥1 解析 ∵曲线C2

B.a＞3 D.a＜0

??x＝a＋2cos θ，2

的参数方程是?(θ为参数)，∴化为普通方程为(x－a)

?y＝2sin θ?

＋y＝4，表示圆心为(a，0)，半径等于2的圆. ∵曲线C不经过第二象限，则实数a满足a≥2，故选A. 答案 A

3.圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为( )

??x＝5－cos θ，

A.?(0≤θ＜2π) ?y＝5＋2sin θ???x＝2＋5cos θ，B.?(0≤θ＜2π) ?y＝－1＋5sin θ???x＝－1＋5cos θ，C.?(0≤θ＜π) ?y＝2＋5sin θ???x＝－1＋5cos θ，D.?(0≤θ＜2π) ?y＝2＋5sin θ?

??x＝a＋rcos θ，解析 圆心在点C(a，b)，半径为r的圆的参数方程为?(θ∈[0，2π)).

?y＝b＋rsin θ，?

1

??x＝－1＋5cos θ，

故圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为?(0≤θ＜2π).

?y＝2＋5sin θ?

答案 D

??x＝2＋sinθ，

4.将参数方程?(θ为参数)化为普通方程为( ) 2

?y＝sinθ?

2

A.y＝x－2

C.y＝x－2(2≤x≤3)

B.y＝x＋2

D.y＝x＋2(0≤y≤1)

解析 将参数方程中的θ消去，得y＝x－2.又x∈[2，3]. 答案 C

??x＝6cos θ，

5.若点(－3，－33)在参数方程?(θ为参数)的曲线上，则θ＝________.

?y＝6sin θ?

??x＝6cos θ，??y＝6sin θ

解析 将点(－3，－33)的坐标代入参数方程?(θ为参数)得

??4π

解得θ＝＋2kπ，k∈Z. ?33

??sin θ＝－2，答案

4π

＋2kπ，k∈Z 3

??x＝cos α，

的参数方程为?(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴

?y＝1＋sin α?

1

cos θ＝－，2

6.已知圆C建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为________. 解析 由圆C2

??x＝cos α，

的参数方程为?可求得其在直角坐标系下的方程为

?y＝1＋sin α.?

x2＋(y－

1)＝1，由直线l的极坐标方程ρsin θ＝1可求得其在直角坐标系下的方程为y＝1，由

?y＝1，?x＝±1，??

?2?可解得所以直线l与圆C的交点的直角坐标为(－1，1)，(1，2??x＋（y－1）＝1y＝1.??

1).

答案 (－1，1)，(1，1)

2

??x＝cos θ，

7.已知曲线C：?(θ为参数)，如果曲线C与直线x＋y＋a＝0有公共点，

?y＝－1＋sin θ?

求实数a的取值范围.

??x＝cos θ，

解 ∵?

?y＝－1＋sin θ，?

∴x＋(y＋1)＝1.

|0－1＋a|∵圆与直线有公共点，则d＝≤1，

2解得1－2≤a≤1＋2. 二、能力提升

??x＝1＋5cos θ，

8.若P(2，－1)为圆O′：?(0≤θ＜2π)的弦的中点，则该弦所在直线l?y＝5sin θ?

22

的方程是( ) A.x－y－3＝0 C.x＋y－1＝0

B.x＋2y＝0 D.2x－y－5＝0

解析 ∵圆心O′(1，0)，∴kPO′＝－1.∴kl＝1. ∴直线l方程为x－y－3＝0. 答案 A

9.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x＋y－x＝0的参数方程为________.

2

2

1?1?2

解析 将x＋y－x＝0配方，得?x－?＋y＝，∵圆的直径为1.设P(x，y)，则x＝|OP|cos

4?2?

2

2

2

θ＝1×cos θ×cos θ＝cosθ，y＝|OP|sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ，

?x＝cosθ，?

∴圆x＋y－x＝0的参数方程为?(θ为参数).

?y＝sin θcos θ?

2

2

2

2

??x＝cosθ，

答案 ?(θ为参数)

?y＝sin θcos θ?

2

3

??x＝1，22

10.曲线?(t为参数)与圆x＋y＝4的交点坐标为________.

?y＝sin t＋1?

解析 ∵sin t∈[－1，1]，∴y∈[0，2].

??x＝1，∵方程?表示的曲线是线段x＝1(0≤y≤2).

?y＝sin t＋1?

令x＝1，由x＋y＝4，得y＝3， ∵0≤y≤2，∴y＝3. 答案 (1，3)

11.设点M(x，y)在圆x＋y＝1上移动，求点P(x＋y，xy)的轨迹. 解 设点M(cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点P(x′，y′).

??x′＝cos θ＋sin θ， ①则? ?y′＝cos θsin θ， ②?

2

2

222

1??222

①－2×②，得x′－2y′＝1.即x′＝2?y′＋?.

2??

1??1??2

∴所求点P的轨迹为抛物线x＝2?y＋?的一部分?|x|≤2，|y|≤?.

2??2??

12.已知点M(x，y)是圆x＋y＋2x＝0上的动点，若4x＋3y－a≤0恒成立，求实数a的取值范围.

解 由x＋y＋2x＝0，得(x＋1)＋y＝1，又点M在圆上，∴x＝－1＋cos θ，且y＝sin θ(θ为参数)，

因此4x＋3y＝4(－1＋cos θ)＋3sin θ＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由 4

tan φ＝确定)

3∴4x＋3y的最大值为1.

若4x＋3y－a≤0恒成立，则a≥(4x＋3y)max， 故实数a的取值范围是[1，＋∞).

三、探究与创新

13.已知圆系方程为x＋y－2axcos φ－2aysin φ＝0(a＞0，且为已知常数，φ为参数) (1)求圆心的轨迹方程；

(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值. (1)解 由已知圆的标准方程为：

4

2

2

2

2

2

2

2

2

(x－acos φ)＋(y－asin φ)＝a(a＞0).

??x＝acos φ，

设圆心坐标为(x，y)，则?(φ为参数)，

?y＝asin φ?

222

消参数得圆心的轨迹方程为x＋y＝a.

??x＋y－2axcos φ－2aysin φ＝0

(2)证明 由方程?222

?x＋y＝a?

2

2

222

得公共弦的方程：2axcos φ＋2aysin φ＝a，即xcos φ＋y sin φ－＝0，圆x＋y2＝a的圆心到公共弦的距离d＝为定值.

2∴弦长l＝2

2

2

a22

a?a?a－??＝3a(定值). ?2?

2

2

5

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