江苏省常州市2018届高三上学期期末考试数学（理）试题Word版含答

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高三数学Ⅰ试题

参考公式：

圆锥的体积公式：V圆锥=1Sh，其中S是圆锥的底面积，h是高. 321n1n2样本数据x1，x2，???，xn的方差s??(xi?x)，其中x??xi.

ni?1ni?1一、选择题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分. 请把答案填写在答题．．卡相应位置上. ．．．．．．

21.若集合A?{?2,0,1}，B?{xx?1}，则集合AB? ▲ .

2命题“?x?[0,1]，x2?1?0”是 ▲ 命题（选填“真”或“假”）. 3.若复数z满足z?2i?z?1（其中i为虚数单位），则z? ▲ .

4.若一组样本数据2015，2017，x，2018，2016的平均数为2017，则该组样本数据的方差为

5.如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是 ▲ .

2

1的定义域记作集合D，随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的lnx每个面上分别标有点数1，2，???，6），记骰子向上的点数为t，则事件“t?D”的概率

6.函数f(x)?为 ▲ .

7.已知圆锥的高为6，体积为8，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为 ▲ .

8.各项均为正数的等比数列?an?中，若a2a3a4?a2?a3?a4，则a3的最小值为 ▲ . x2y2x?y?1?0与双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)9.在平面直角坐标系xOy中，设直线l：

ab的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是 ▲ .

?x?y?0,?10.已知实数x，y满足?2x?y?2?0,则x?y的取值范围是 ▲ .

?x?2y?4?0,?11.已知函数f(x)?bx?lnx，其中b?R，若过原点且斜率为k的直线与曲线y?f(x)相切，则k?b的值为 ▲ .

12.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y?sin(?x??)(??0,0????)的图像与x轴的交点A，B，C满足OA?OC?2OB，则?? ▲ .

13.在?ABC中，AB?5， AC?7，BC?3，P为?ABC内一点（含边界），若满足

BP?1BA??BC(??R)，则BA?BP的取值范围为 ▲ ． 414.已知?ABC中，AB?AC?3，?ABC所在平面内存在点P使得

PB2?PC2?3PA2?3，则?ABC面积的最大值为 ▲ ．

二、解答题 ：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答．．．．．．．应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.已知?ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，3bsinC?ccosB+c， （1）求角B； （2）若b2?ac，求

11?的值. tanAtanC16.如图，四棱锥P?ABCD的底面ABCD是平行四边形，PC?平面ABCD，PB?PD，点Q是棱PC上异于P、C的一点.

（1）求证：BD?AC；

QF//BC. （2）过点Q和的AD平面截四棱锥得到截面ADQF（点F在棱PB上），求证：

17.已知小明（如图中AB所示）身高1.8米，路灯OM高3.6米，AB，OM均垂直于水平地面，分别与地面交于点A，O.点光源从M发出，小明在地上的影子记作AB'.

（1）小明沿着圆心为O，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求AB'扫过的图形面积； （2）若OA?3米，小明从A出发，以1米/秒的速度沿线段AA1走到A1，?OAA1??3，

且AA1?10米.t秒时，小明在地面上的影子长度记为f(t)（单位:米），求f(t)的表达式与最小值.

x2y218.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2?2?1(a?b?0)的右焦点为F，点Aab是椭圆的左顶点，过原点的直线MN与椭圆交于M，N两点（M在第三象限），与椭圆的右准线交于P点.已知AM?MN，且OA?OM?42b. 3

（1）求椭圆C的离心率e； （2）若S?AMN?S?POE?10a，求椭圆C的标准方程. 319.已知各项均为正数的无穷数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1?a（其中a为常数），

22an?an?1nSn?1?(n?1)Sn?n(n?1)(n?N).数列{bn}满足bn?(n?N*).

anan?1*（1）证明数列{an}是等差数列，并求出{an}的通项公式；

（2）若无穷等比数列{cn}满足：对任意的n?N*，数列{bn}中总存在两个不同的项bs，

bt(s,t?N*)使得bs?cn?bt，求{cn}的公比q.

20.已知函数f(x)?lnxa2，其中为常数.

(x?a)（1）若a?0，求函数f(x)的极值；

（2）若函数f(x)在(0,?a)上单调递增，求实数a的取值范围；

（3）若a??1，设函数f(x)在(0,1)上的极值点为x0，求证：f(x0)??2.

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数学Ⅱ（附加题）

21.【选做题】在A、B、C、D四小题只能选做两题，每小题10分，共计20分.．．．．．．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ．．．．．．．

A.选修4-1：几何证明选讲

在?ABC中，N是边AC上一点，且CN?2AN，AB与?NBC的外接圆相切，求

BC的BN值.

B.选修4-2：矩阵与变换

?42?已知矩阵A???不存在逆矩阵，求：

a1??（1）实数a的值；（2）矩阵A的特征向量. C.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C的

?x?2cos??1?参数方程为?（?为参数），直线l的极坐标方程为?sin(??)?2，直线

4?y?2sin?l与曲线C交于M，N两点，求MN的长.

D.选修4-5：不等式选讲

a3?b3已知a?0，b?0，求证:2?ab. a?b2【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.已知正四棱锥P?ABCD的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量?的值：

若这两条棱所在的直线相交，则?的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）； 若这两条棱所在的直线平行，则??0；

若这两条棱所在的直线异面，则?的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制). （1）求P(??0)的值；

x?(0,?a)，?(x?a)3?0，

?1?a?2lnx?0对x?(0,?a)恒成立， x?a?2xlnx?x对x?(0,?a)恒成立.

令g(x)?2xlnx?x，x?(0,?a)，则g'(x)?2lnx?1， ①若0??a?e?12，即0?a??e?12，则g'(x)?2lnx?1?0对x?(0,?a)恒成立，

?g(x)?2xlnx?x在(0,?a)上单调递减，

则a?2(?a)ln(?a)?(?a)，?0?ln(?a)，?a??1与a??e?2矛盾，舍去； ②若?a?e当0?x?e当e?12?12121，即a??e?12，令g'(x)?2lnx?1?0，得x?e?12，

?时，g'(x)?2lnx?1?0，?g(x)?2xlnx?x单调递减，

?x??a时，g'(x)?2lnx?1?0，?g(x)?2xlnx?x单调递增，

?12?当x?e时，[g(x)]min?g(e)?2e?ln(e)?e?a??2e.综上a??2e.

（3）当a??1时，f(x)??12?12?12?12?12?12??2e，

?12lnxx?1?2xlnxf'(x)?，，

(x?1)2x(x?1)3令h(x)?x?1?2xlnx，x?(0,1)，

则h'(x)?1?2(lnx?1)??2lnx?1，令h'(x)?0，得x?e?2，

①当e?2?x?1时，h'(x)?0，?h(x)?x?1?2xlnx单调递减，h(x)?(0,2e?2?1]，

111?f'(x)?1x?1?2xlnxlnx??0?f(x)?恒成立，单调递减，且f(x)?f(e2).

x(x?1)3(x?1)21②当0?x?e?2时，h'(x)?0，?h(x)?x?1?2xlnx单调递增，

?h(e)?e?1?2e?ln(e)?2e又h(e?2)?e?2?1?2e?2?ln(e?2)?1?12?12?12?12?12?1?0

5?1?0， e2?存在唯一x?(0,e?2)，使得h(x0)?0，?f'(x0)?0，

0当0?x?x0时，f'(x0)?0，?f(x)?lnx单调递增，

(x?1)21lnx?单调递减，且f(x)?f(e2)， (x?1)2当x?x?e0?12时，f'(x0)?0，?f(x)?由①和②可知，f(x)?lnx在(0,x0)单调递增，在(x0,1)上单调递减，

(x?1)2lnx取极大值.

(x?1)2?当x?x0时，f(x)?h(x0)?x0?1?2x0lnx0?0，?lnx0?x0?1， 2x011lnx0???f(x0)?11，

(x0?1)22x0(x0?1)2(x0?)2?2211211?f(x0)???2又x?(0,2e)，?2(x0?)??(?,0)，. 12102(x0?)?222221?2常州市教育学会学业水平监测 高三数学Ⅱ（附加题）参考答案

21.A.解：记?NBC外接圆为O，AB、AC分别是圆O的切线和割线，所以

AB2?AN?AC，

又?A??A，所以?ABN与?ACB相似，所以

2BCABACAC?BC??3. ，???3???BNANABAN?BN?BCABAC??，所以 BNANABB.解：（1）由题意

42a1?0，即4?2a?0，解得a?2；

（2）

??4?2?0，即(??4)(??1)?4?0，所以?2?5??0，解得?1?0，?2?5

?2??1??4x?2y?0?1??1?0时，?，y??2x，属于?1?0的一个特征向量为??；

?2x?y?0???2??2?5时，??x?2y?0?2?x?2y??0，，属于1的一个特征向量为??.

?2x?4y?0??1?C.解：曲线C：(x?1)2?y2?4，直线l：x?y?2?0，圆心C(1,0)到直线l的距离为

d?1?0?212?12?21，所以弦长MN?2r2?d2?24??14. 225511D.证明：a?0，b?0，不妨设a?b?0，则a2?b2，a2?b2，由排序不等式得

aa?bb?ab?ba，

所以aa?bb?ab?ba?222252125212521252125212521252125212a?ba?bab.

22.解：根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，容易得到?PAC，

2共C8?28种情况，其中：??0?PBD为等腰直角三角形，?的可能取值为：0，，，

32??时，有2种；???3221?； （1）P(??0)?2814?4?165?63?，P(??)??， （2）P(??)?328722814根据（1）的结论，随机变量的分布列如下表：

时，有3?4?2?4?20种；???时，有2?4?6种；

? P 0 1 141?5?329??????. 根据上表，E(?)?0?143721484? 35 7? 23 14n?11?2?????n?2. 23.解：（1）Sn?n!(n?1)!（2）

T22T211T47?，?，?， S23S36S42?3?2?4a?2b?c??11111则??9a?3b?c 解得a?，b??，c??，

4126?6?7?2?16a?9b?c?（3）①当n?2时，由（2）知等式成立；

Tk1211?k?k?②假设n?k（k?N，且k?2）时，等式成立，即； Sk4126*当n?k?1时，由f(x)?(x?1)?(x?)?????(x?)?(x? ?[(x?1)?(x?)?????(x?)]?(x?121k1) k?11k11?(?Skx?Tkx2????)(x?) k!k?1121) k?1k?11知Tk?1?Sk?2[1?1(1k2?1k?1)]， T?k?1k(k?1)!k?14126k?12[1?1(1k2?1k?1)]2Tk?1(k?1)!k?14126k(3k?5)k3k?k?2??所以， (k?1?)?Sk?1?k?1?1?12k?212???2?k!111k(3k?5)2(k?1)??又(k?1)?，等式也成立；

412612综上可得，对任意n?2且n?N*，都有

Tn?an2?bn?c成立. Sn

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