运筹学-饲料分配

某饲料公司生产雏鸡饲料、蛋鸡饲料、肉鸡饲料三种饲料。这三种饲料是由A、B、C三种原料混合而成。产品的规格要求、产品单价、日销售量、原料单价如表一和表二所示：

表一

产品名称 雏鸡饲料 蛋鸡饲料 肉鸡饲料 规格要求 原料A不少于50% 原料B不超过20% 原料A不少于30% 原料C不超过30% 原料C不少于50% 10 8 18 7 销售量/t 5 售价/百元 9 表二

原料名称 A B C 原料价格/（百元/t） 5.5 4 5

受资金和生产能力的限制，该公司每天只能生产30t饲料，问：如何安排生产计划才能是获利最大？

解：设xij表示第i（我们分别用1,2,3表示雏鸡、蛋鸡、肉鸡三种饲料）种饲料中原材料j的含量（j=1、2、3分别表示原料A、B、C）。例如：x23就表示蛋鸡饲料中原料C的含量。 利润=Σ（售价*实际销售量）-Σ（每种原料单价*使用原料数量） 所以

目标函数： Max f=9(x11+x12+x13)+7(x21+x22+x23)+8(x31+x32+x33)

-5.5(x11+x12+x13)-4(x21+x22+x23)-5(x31+x32+x33)

=3.5 x11+5 x12 +4x13+1.5 x21+3x22+2x23+2.5x31+4x32+3x33 约束条件：由表一可知

x11≥0.5(x11+x12+x13); x12≤0.2(x11+x12+x13); x21≥0.3(x21+x22+x23); x23≤0.3(x21+x22+x23); x33≥0.5(x31+x32+x33);

由表一可知雏鸡、蛋鸡、肉鸡饲料的生产不超过销售量的限额，所以有 x11+x12+x13≤5; x21+x22+x23≤18;

x31+x32+x33≤10;

又由于受资金和生产能力的限制，该公司每天只能生产30t饲料 x11+x12+x13+x21+x22+x23+x31+x32+x33≤30;

整理可得此问题的数学模型如下：

目标函数： Max f=3.5 x11+5 x12 +4x13+1.5 x21+3x22+2x23+2.5x31+4x32+3x33 约束条件：

-x11+x12+x13≤0;

x11-4x12+x13≥0;

-7x21+3x22+3x23≤0; 3x21+3x22-7x23≥0; x31+x32-x33≤0; x11+x12+x13≤5;

x21+x22+x23≤18; x31+x32+x33≤10;

x11+x12+x13+x21+x22+x23+x31+x32+x33≤30;

问题：

1、 最优解是什么？此时最大获利值是多少？

答：最优解是x11=2.5，x12=1，x13=1.5，x21=4.5，x22=10.5，x23=0，x31=0，x32=5，x33=5。

最大获利值=93。

2、 若想增加获利，应选择增加哪种原料？为什么？

答：应选择增加肉鸡饲料中原料C。因为它每增加一个单位，最优目标就增加2.55个单位。

3、 目标函数中的x11的系数C1在什么范围内变化使得最优组合不变？

答：（0.7,4） 4、 目标函数中x12的系数C2从当前5降低到3，最优组合变化了没有？为什么？ 答：变化了。因为变化范围是（4，+∞），3不在此范围内。 5、 若蛋鸡饲料的销售数量从18提高到28，总利润能增加多少？这时最优组合变化了没有？

答：（28-18）*7=70, 增加70 。这时最优组合变化了。

6、 若雏鸡饲料的销售数量从5降低到3.5，蛋鸡饲料的销售数量从18增加到21，用百分之

一百法则能否判断原来的对偶价格有没有发生改变？如不发生变化，请求出最大利润增加了多少？

答：百分之一百法则得：

（5-3.5）/（5-2）+（21-18）/（+∞-18）=50%<100%

所以原来的对偶价格没有发生变化。

最大利润增加量：-（5-3.5）*9+（21-18）*7=7.5 。

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