全国名校真题模拟专题训练8-圆锥曲线解答题3（数学）

08圆锥曲线

三、解答题(第三部分)

51、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)已知直线l过椭圆E:x2?2y2?2的右焦点F，且与E相交于P,Q两点.

????1????????(1)设OR?(OP?OQ)（O为原点），求点R的轨迹方程；

211?(2)若直线l的倾斜角为60°，求的值. |PF||QF|解：(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x,y)

x1?x2?x?????1?????????1?2 OR?(OP?OQ)?(x,y)?[(x1,y1)?(x2,y2)]??22?y?y1?y2?2?2x 由x2?2y2?2??y2?1，易得右焦点F(1,0) 2----------（2分）

当直线l?x轴时，直线l的方程是：x?1，根据对称性可知R(1,0) 当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y?k(x?1)

22222y P o Q F x 4k2代入E有(2k?1)x?4kx?2k?2?0??8k?8?0; x1?x2?2----（5分）

2k?1x1?x22k2于是R(x,y): x?; y?k(x?1) ?222k?1消去参数k得x2?2y2?x?0而R(1,0)也适上式，故R的轨迹方程是x2?2y2?x?0-（8分）

(2)设椭圆另一个焦点为F'，

在?PF'F中?PFF'?1200,|F'F|?2,设|PF|?m，则|PF'|?22?m

2由余弦定理得(22?m)2?22?m2?2?2?m?cos1200?m?

22?1同理，在?QF'F，设|QF|?n，则|QF'|?22?m

2也由余弦定理得(22?n)2?22?n2?2?2?n?cos600?n? 22?1111122?122?1于是??????22 ---------（12

|PF||QF|mn22分）

x2y252、(河南省开封市2008届高三年级第一次质量检)双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左、

ab右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点，点A在双曲线的右支上，点B在双曲线左准线上，

F2O?AB,OF2?OA?OA?OB.

（1）求双曲线的离心率e；

（2）若此双曲线过C（2，3），求双曲线的方程；

（3）在（2）的条件下，D1、D2分别是双曲线的虚轴端点（D2在y轴正半轴上），过D1

的直线l交双曲线M、N，D2M?D2N,求直线l的方程。

解：（1）F2O?AB,?四边形F2ABO是平行四边形

OA(OF2?OB)?0,即OA?BF2?0 ?OA?BF2,

∴四边 形F2ABO是菱形. ∴|AB|?|F2A|?|F2O|?c. 由双曲线定义得|AF1|?2a?c,e?|AF1||AB|?2a?c2??1, ce?e2?e?2?0,

?e?2(e??1舍去)

（2）e?2?2c, a2x2y2?c?2a,b?3a，双曲线方程为2?2?1,

a3a把点C(2,3)代入有

432??1.?a?3, 22a3ax3y2??1. ∴双曲线方程39（3）D1（0，－3），D2（0，3），设l的方程为y?kx?3,M(x1,y1),N(x2,y2)

?y?kx?3?则由?x2?(3?k2)x2?6kx?18?0 y2?1??9?3因l与与双曲线有两个交点，

?k??3. ?x1?x2??6k?18 ,x?x?12223?k3?k?18?y1?y2?k(x1?x2)?6?,y1?y2?k2x1x2?3k(x1?x2)?9?9 23?k?D2M?(x1,y1?3),D2N?(x2,y2?3),D2M?D2N,

?x1?x2?y1?y2?3(y1?y1)?9?0

??18?182?9?3?9?0.即k?5, 223?k3?k?k??5.故所求直线l方程为y?5x?3或y??5x?3

53、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)直线AB过抛物线x＝2py(p>0)的焦点F，并与其

相交于A、B两点，Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点，O是坐标原点．

2

(1)求????MN?2????MB的取值范围；

(2)过A、B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点．

求证：????MN?2???OF?＝0，???NQ?∥???OF?．

54、设圆满足:（1）截直线y=x所得弦长为2;（2）被直线y=－x分成的一段劣弧所在的扇1

形面积是圆面积的倍．在满足条件（1）、（2）的所有圆中,求圆心到直线x+3y=0的距离

4最小的圆的的方程．

解：设所求圆的圆心为P（a,b）,半径为r,

则P到直线y=x、直线y=－x的距离分别为

a?b2、

a?b2．???（2分）

由题设知圆P截直线y=－x所得劣弧所对圆心角为90°,

a?b2?2r???圆P截直线y=－x所得弦长为2r,故r=

?2??（2）， ??2

2即r=（a+b），????????（4分）

22

(a?b)2又圆P截直线y=x所得弦长为2，所以有r=1+,

22

从而有a2?6ab?b2?2．????????（6分）

又点P到直线x+3y=0的距离为d=

2

2

2

2

2

a?3b10,

所以10d=|a+3b|=a+6ab+9b=8b+2≥2????????（8分） 当且仅当b=0时上式等号成立,

此时5d=1,从而d取得最小值,由此有a=±2,r=2．????（10分）

2

于是所求圆的方程为（x－2）+y=2或（x－2）+y=2????（12分）

2

2

2

2

55、(河南省许昌市2008年上期末质量评估)已知椭圆＋y＝l的左焦点为F，O为坐标原

2

点．

( I )求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；

(Ⅱ)设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在直线x＋y＝0上，求直

线AB的方程．

56、(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)已知P(?3,0),点R在y轴上，点Q在x的正半轴上，点M在直线RQ上，且PR?RM?0,RM??（1）当R在y轴上移动时，求M点轨迹C；

（2）若曲线C的准线交x轴于N，过N的直线交曲线C于两点AB，又AB的中垂线

交x轴于点E，求E横坐标取值范围； （3）在（2）中，?ABE能否为正三角形. 解：(1)设M(x1,y1)则由RM??3MQ. 23MQ得 2883yR(0,?)又由PR?RM?0得 (3,?).(x,)?0.

2222即y?4x??????????4分 (2)由(1)知N（－1，0）设得：y?k(x?1)

?y2?4x.得k2x2?2(k2?2)x?k2?0 由??y?k(x?1)由??0得k?1且k?0 设A(x1,y1),B(x2,y2)

22k?k2对x1?x2?k2y1?y2?k(x1?x2?2)?4 k2?k22∴AB的中点为(,) 2kk212?k2∴AB的中点为y???(x?) 2kkk令y?0得x0?即x0＞3.

57、(湖北省八校高2008第二次联考)已知A,B是抛物线x2?2py?p?0?上的两个动点，O为坐标原点，非零向量OA,OB满足OA?OB?OA?OB．

（Ⅰ）求证：直线AB经过一定点；

（Ⅱ）当AB的中点到直线y?2x?0的距离的最小值为????????????????????????2?1?3 2k????????????????25时，求p的值． 5解：?OA?OB?OA?OB, ?OA?OB.设A,B两点的坐标为（x1,y1），（x2,y2）则

2x12?2py1,x2?2py2.

（1）经过A，B两点的直线方程为(x2?x1)(y?y1)?(y2?y1)(x?x1).

22x12x2x2x12 由y1?，得(x2?x1)(y?y1)?(?)(x?x1). ,y2?2p2p2p2p ?x1?x2?y?y1?x2?x1x?xxx(x?x1). 令x?0，得y?y1?21(?x1), ?y??12.

2p2p2p????????x12x22OA,OB. (否则, 有一个?OA?OB?x1x2?y1y2?0,从而x1x2??xx?0?0124p2为零向量),

得 y?2p ，（6?x1x2??4p2. 代入①，?AB始终经过定点?0,2p?. ?????

分）

（2）设

AB中点的坐标为(x,y)，则x1?x2?2x,1y?2 y?2,y2?x12?x2?2py1?2py2?2p(y1?y2).

2 又?x12?x2?(x1?x2)2?2x1x2?(x1?x2)2?8p2, ?4x2?8p2?4py，

即 y?12x?2p.?????① py?2x5AB的中点到直线y?2x?0的距离d?12x?2p?2xp5. 1(x?p)2?pp5将①代入，得d?因为d的最小值为?1(x?p)2?pp5?. 25p25,??,?p?2. ?????（12分） 555（若用导数求切线的斜率为2的切点坐标，参考给分.）

58、(湖北省三校联合体高2008届2月测试)已知半圆x?y?4(y?0)，动圆M与此半圆相切且与x轴相切。

（1）求动圆圆心M的轨迹方程。

（2）是否存在斜率为3的直线l，它与（1）中所得轨迹由左到右顺次交于A、B、C、D四

个不同的点，且满足|AD|=2|BC|？若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由。 （1）设动圆圆心M(x,y)，作MN⊥x轴于点N

22①若两圆外切： |MO|?|MN|?2，则x?y?y?2 化简得：

221x2?y2?y2?4y?4? x2?4(y?1) (y?0)?????3分

22222②若两圆内切： |MO|?2?|MN|，则x?y?2?y? x?y?4?4y?y

? x2??4(y?1) (y?0)?????5分

综上，动圆圆心的轨迹方程是

x2?4(y?1) (y?0)及x2??4(y?1) (y?0)???6分

其图象为两条抛物线位于x轴上方的部分，如图所示。 （2）假设直线l存在，可设l的方程为y?3x?b。

依题意得，它与曲线x?4(y?1)交于点A,D，与曲线x??4(y?1)交于点B,C。 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。即

错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。① 3x2?错误！未找到引用源。4x?12b?12?0 3x2?4x?12b?12 ?0 ②

221)2|xA?xD|， |BC|?1?(1)2|xB?xC| |AD|?1?(133?|AD|?2|BC| ?|xA?xD|=2|xB?xC|

424(即3)+3424((12b?12)=4[3)－3(12b?12) 得b?3?????11分

102将其代入方程①得 xA??2 xD?3

因为曲线x?4(y?1)的横坐标范围为(??,?2)?(2,??)，所以这样的直线l不存在。?????13分

2x2y259、(湖北省鄂州市2008年高考模拟)已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别

ab是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足|F1Q|?2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足PT?TF2?0,|TF2|?0. ????c （Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明|F1P|?a?x；

a （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；

（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=b2.若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由．

解 （Ⅰ）设点P的坐标为（x,y）,由P（x,y）在椭圆上，得

????c2b222222|F1P|?(x?c)?y?(x?c)?b?2x?(a?x).aa又由x??a,知a?cx??c?a?0， a????c所以|F1P|?a?x.

a （Ⅱ） 当|PT|?0时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上．

????????????????????????当|PT|?0且|TF2|?0时，由|PT|?|TF2|?0，得PT?TF2． ?????????又|PQ|?|PF2|，所以T为线段F2Q的中点．

????1????在△QF1F2中，|OT|?|FQ|?a，所以有x2?y2?a2. 12综上所述，点T的轨迹C的方程是x2?y2?a2.

22?x0?y0?a2,（Ⅲ） C上存在点M（x0,y0）使S=b2的充要条件是??12??2c|y0|?b.?2③

④2b2b. 所以，当a?时，存在点M，使S=b2； 由③得|y0|?a，由④得|y0|?cc

2当a?b时，不存在满足条件的点M．

c2??????????b当a?时，MF1?(?c?x0,?y0),MF2?(c?x0,?y0)， c??????????22由MF1?MF2?x0?c2?y0?a2?c2?b2，

????????????????????MF1?MF2?|MF1|?|MF2|cos?F1MF2，

S???????1????|MF1|?|MF2|sin?F1MF2?b2，得tan?F1MF2?2. 2【总结点评】平面向量与椭圆的综合问题是《考试大纲》所 强调的问题，应熟练掌握其解题技巧，一般地，在这类问题 种，平面向量只起“背景”或“结论”的作用，几乎都不会 在向量的知识上设置障碍，所考查的核心内容仍然是解析几 何的基本方法和基本思想，比如本题（Ⅰ）本质是焦半径公 式，核心内容还是椭圆的第二定义的转化思想．（Ⅱ） 由

“PT其实为线段QF2的垂直平分线”可联想到下面的题目：如右图，Q为长轴为2a椭圆上一动点，QP是∠F1QF2的外角平分线，且F1P⊥QP，延长F2Q，使F2Q与F1P交于点M，则|QF1|=|QM|，所以点M的轨迹是以F2为圆心2a为半径的圆，进一步可得到P的轨迹是以O为圆心a为半径的圆．

60、(湖北省黄冈市麻城博达学校2008届三月综合测试)已知直线

x2y2x?y?1?0与椭圆2?2?1(a?b?0)相交于A、B两点，M是线段AB上的一点，

abAM??BM，且点M在直线l:y? （Ⅰ）求椭圆的离心率；

1x上. 222 （Ⅱ）若椭圆的焦点关于直线l的对称点在单位圆x?y?1上，求椭圆的方程. 解：（Ⅰ）由AM??BM知M是AB的中点，

设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)

?x?y?1?0,?由?x2y2?2?2?1.b?a得:(a2?b2)x2?2a2x?a2?a2b2?0

2a22b2x1?x2?2,y1?y2??(x1?x2)?2?2， 22a?ba?ba2b2,2) ∴M点的坐标为(222a?ba?b4分

a22b2又M点的直线l上：?2?2?0 22a?ba?b?a2?2b2?2(a2?c2)?e?c2?. a2?a2?2c2

7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知b?c，不妨设椭圆的一个焦点坐标为F(b,0),设F(b,0)关于直线l：

y?1x上的对称点为(x0,y0)， 2?y0?013????1,x?b???x0?b2?05则有? 解得:??x0?b?2?y0?0.?y?4b.0??5?2?222由已知x0?y0?1,?(b)2?(b)2?1,

10分

3545x2?y2?1 ?b?1，∴所求的椭圆的方程为2212分

61、(湖北省黄冈市2007年秋季高三年级期末考试)在△ABC中AC?23，B是椭圆

x2y2??1在x轴上方的顶点，l是双曲线x2?y2??2位于x轴下方的准线，当AC在直54线l上运动时。

(1)求△ABC外接圆的圆心P的轨迹E的方程；

(2)过定点F(0,)作互相垂直的直线l1,l2，分别交轨迹E于M、N和R、Q，求四边形MRNQ面积的最小值。

32x2y2??1及双曲线方程x2?y2??2可得点B(0,2),直线l方程是解：（1）由椭圆方程54y??1

?AC?23,且AC在直线l上运动。 可设A(m?3,?1),C(m?3,?1),

则AC的垂直平分线方程为x?m ① AB的垂直平分线方程为y?1m?3m?3?(x?) ② 222

?P是△ABC的外接圆圆心，?点P的坐标(x,y)满足方程①和② x2由①和②联立消去m得y?

6故圆心P的轨迹E的方程为x?6y

(2)由图可知，直线l1和l2的斜率存在且不为零，设l1的方程为y?kx?23， 213?l1?l2，?l2的方程为y??x?

k2?y＝kx＋3

2

由? 得 x1?y＝6x

2

2?6kx?9?0

?△=26k?36?0,?直线l1与轨迹E交于两点。 设M(x1,y1),N(x2,y2)，则x1?x2?6k,x1x2?9。

2?|MN|?1?k2?(x1?x2)2?4x1x2?1?k2?36k2?36?6(1?k2).

同理可得：|RQ|?6(1?1).?四边形MRNQ的面积 2kS?111|MN|?|RQ|?18(k2?2?2)?18(2?2k2?2)?72. 2kk当且仅当k2?1，即k??1时，等号成立。 k2故四边形MNRQ的面积的最小值为72。（13分）

2262、(湖北省荆门市2008届上期末)已知F1、F2为双曲线C：x2?y2?1的左、右焦点，O为

ab?????????坐标原点，P在双曲线的左支上，点M在右准线上，且满足：F1O?PM，

?????????????OF1OM（λ＞0）

?)OP???(?????????|OF1||OM| （1）求此双曲线的离心率；

（2）若过点N（2，3）的双曲线C的虚轴端点分别为B1、

??????????B2（B1在y轴正半轴上），点A、B在双曲线上，且B2A??B2B，????????B1A?B1B?0，求双曲线C和直线AB的方程. a2c，0），M（，y）

c解：（1）法一：依题意四边形OF1PM为菱形，设P（x，y）则F1（－

???????????a22b22222|?|OM|?()?y?cx???|FO1xy???cc代入2?2?1得 ???????????2222ab??FM?OP?0?(a?c)x?y2?0?y2?b(a?c)1??cc2??b4a2?c2 ??1 化简得e＝2 ?????4分 2a2????c2????c?法二：F1O?PM?OF1PM为平行四边形，

?????????????OM（λ＞0）知P在?FOM的角平分线上 1又OP???(OF?????)?????1|OF1||OM|∴四边形OF1PM为菱形，且边长为c，∴PF2?2a?PF1?2a?c ???4分 由第二定义知

PF2PM?e,即

2a?c2?e??1?e 又e?1?e?2 ce??a2?b2?c2?a?12?y2?1 ?????8分 （2）?c?2??b?3∴双曲线C的方程为x???3?a?c?2??23??1??a2b2?????????????????? ∵B2A??B2B∴过B2的直线交曲线C于A、B两点，且B1A?B1B

2y2?1得设直线AB：y?kx?3代入x?（3?k2)x2?23kx?6?0 3????????设A（x1，y1），B（x2，y2）由 B1A?B1B

?x1x2?(kx1?3?3)(kx2?3?3)?0?(1?k2)x1x2?23k(x1?x2)?12?0623k?(1?k)?2?23k?2?12?0?k??5k?3k?3∴直线AB的方程为y??5x?3

22??3?k?0?22????(23k)?24(3?k)?0?k?(?6,?3)?(3,6)

63、(湖北省荆州市2008届高中毕业班质量检测)如图，已知E、F为

????????????????|EF|?6，|FG|?10且2EH?EG，平面上的两个定点，G为动点，????????HP?GE?0（P是HP和GF的交点）

⑴建立适当的平面直角坐标系求出点P的轨迹方程；

⑵若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B，且线段AB的中垂线与

GPH????9EF（或EF的延长线）相交于一点C，证明：|OC|?（O为EF5的中点）

EF 解：⑴如图1，以EF所在的直线为x轴，EF的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系

G yyGPAHCEOFxPH

由题设2EH?EG,HP?GE?0

?????????????????????????????????????|PG|?|PE|，而|PF|?|PE|?|FG|?10?6

x2y2?点P是以E、F为焦点、长轴长为10的椭圆，故点P的轨迹方程为??1

2516（6分）

????????⑵如图2，设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x0,0)，?x1?x2，且|CA|?|CB|，

即(x1?x0)2?y12?(x2?x0)2?y22，又A、B在轨迹上，

x12y12x22y2216??1即y12?16?x12,???1,2516251625代入整理得：

y22?16?162x2 252(x2?x1)?x0?9(x22?x12) 25?（10分）

x1?x2，

?x0?9(x1?x2) 50??5≤x1≤5，?5≤x2≤5，??10≤x1?x2≤10 ?x1?x2，?10?x1?x2?10

????999???x0?，即|OC|?。

55564、(湖北省随州市2008年高三五月模拟)已知方向向量为e?(1,3)的直线l过点

?x2y2A(0,?23)和椭圆C:2?2?1(a?b?0)的焦点，且椭圆C的中心O和椭圆的右准线

ab?????????????e?0,AB?AO。 上的点B满足：OB?

⑴求椭圆C的方程；

⑵设E为椭圆C上任一点，过焦点F1,F2的弦分别为ES,ET,设

?????????????????EF1??1F1S,EF2??2F2T，求?1??2的值。

65、(湖北省武汉市武昌区2008届高中毕业生元月调研测试)已知圆A：

(x?2)2?y2?251，圆B：(x?2)2?y2?，动圆P与圆A、圆B均外切，直线l的441

方程为x＝a(a≤).

2

（Ⅰ） 求动圆P的圆心的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点B的直线与曲线C交于M、N两点，（1）求｜MN｜的最小值；（2）若MN的中点R在l上的射影Q满足MQ⊥NQ，求a的取值范围. 解：（Ⅰ）设动圆P的半径为r，则│PA│＝r?51，│PB│=r?, 22∴│PA│－│PB│=2.

故点P的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，

y2?1（x≥1）. ???????????????3分 其方程为x?32（Ⅱ）(1)设MN的方程为x?my?2，代入双曲线方程，得

?3m2?1y2?12my?9?0.

??3m2?1?0,33?由???0,，解得?. ???????????????5分 ?m?33?yy?0?12设M?x1,y1?,N?x2,y2?,则

6m2?1?4?MN?1?my1?y2??2?1??. 21?3m21?3m??2??当m2?0时,MN(2)由（1）知R?min?6. ???????????????7分

6m?6m??2? ，. ,Qa,??222?1?3m1?3m1?3m????由MQ?NQ,知RQ?1MN. 23m2?1223m2?1a??1??a?所以，从而.

3m2?11?3m21?3m21?3m2由???33,得a??1. ???????????????13分 ?m?33另解：

(1)若MN的斜率存在，设斜率为k，则直线MN的方程为y?k(x?2)，代入双曲线方程,

得(3?k)x?4kx?4k?3?0.

2222?3?k2?0,????0,2??4k由?x?x? 解得k2?3. ?????????????5分 ?0,123?k2??4k2?3?x1x2???0.3?k2?设M?x1,y1?,N?x2,y2?,则

MN＝1?k2│x1?x2│＝6＋

24?6. 2k?3当直线斜率不存在时，x1?x2＝2，得y1＝3，y2＝－3.此时MN＝6.

所以MNmin＝6. ?????????????????7分 (2)当MQ⊥NQ时，│RQ│＝

MN2＝xR?a.①

又

MB1xM－2＝

NB1xN?2＝2，即

MB?NBxM?xN?1＝2 ，

所以│MN│＝4xR?2， 故xR?MN?24. ②

将②代入①，得│MN│＝2－4a.

由│MN│＝2－4a?6,得a≤－1. ???????????????13分

2

66、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)已知抛物线x＝4y上的点P(非原点)处切线与x、y轴分别交于Q、R点，F为抛物线的焦点。 （Ⅰ）若PQ??PR , 求?的取值范围；

y （Ⅱ）若抛物线上的点A满足PF??FA .求△APR面积的最小值，并写出此时过P点的切线方程。 解：（Ⅰ）设P(t,F ． Q R P t)(t?0),则PR所在直线的方程为： 42A x t2ty???x?t?

42?t2?t?0,-令y?0得Q?,0? ,令x?0得R??4?2??

??? ??tt2?PQ????2,?4??PQ???t2?? , PR????t,?2????? ?1?1?PR ,即?的取值范围为??。 2?2?t2?1Ⅰ)知PA的方程为：y?1?4（Ⅱ）由(x

t?t2?1???44?4联立?y?1?x 得点A的坐标为?-,2? t?tt??2??x?4y而S△APR11t24?RF?xP?xA?1??t? 224t1t34?2t? =

24t1?t3?2t?显然只需考查函数f?t????2?4因为f/?t??1?324t?2??2?4t24??当t?0时的最小值。 ?t?23?/??,令ft?0得t? ?3??23??23??时，f/?t??0,t???时，f/?t??0 当t??0,,????3?3??????23?16323??所以f?t?当且仅当t?时取得最小值f? ??339??1t3423?2t?是关于t的偶函数，同样当t?? 又因为时，也取得最小值24t3163 。 9 故此时过P点的切线PR的方程为：

y?313x? 或y?—x?1 33367、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿

某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B?；折痕l与AB交于点E，点M满足关系式EM?EB?EB?。若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图）： （Ⅰ）．求点M的轨迹方程；

（Ⅱ）．若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形A1B1C1D1的三边A1B1,B1C1,C1D1分别与曲线S切于点P,Q,R.求梯形

y A1B1C1D1面积的最小值.

解：（1）如图，设M（x,y），B/(x0,2)，又E（0，b）

显然直线l的斜率存在，故不妨设直线l的方程为y=kx+b,,则

A 错误！D E 错误！未找到kBB/?/x21???k??0 x0k2B O C l x x而BB的中点(0,1)在直线l上，

22x0x0x0故(?)??b?1?b?1?，①

224)由于EM?EB?EB??(x,y?b?x2y???1，又0?x0?2

4(?0b,?x)0?x?x?(b,?2?)0代入①即得

?y?2?bx2?1（0?x?2）-------------6分 点M的轨迹方程y??4x2?1(?2?x?2) （2）易知曲线S的方程为y??4设梯形A1B1C1D1的面积为s，点P的坐标为(t,?t2?1)(0?t?2). 由题意得，点Q的坐标为(0,1)，直线B1C1的方程为y?1.

14x2xt?1 ?y??? ?y?|x?t?? y??422 ? 直线A1B1的方程为y?(?12tt?1)??(x?t), 42

即：y??t1x?t2?1 24t2?4t2?4 令y?0 得，x?,?A1(,0).

2t2t令y?1 得，x?11t?B1(t,1) 22?

当且仅当t?11t2?42s??(t?)?1?2?t??22 222tt2，即t?2时，取“=”且2??0,2?， tt? ? 2时，s有最小值为22. ?梯形A1B1C1D1的面积的最小值为22----------13分

68、(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)已知圆M：（x+5）+y=36及定点N

2

2

（5，0），点P是圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足NP?2NQ,GQ?NP?0.

（1）求点G的轨迹C的方程.

（2）过点K（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设OS?OA?OB，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

??NP?2NQ解：（1）??Q为PN的中点，且GQ?PN?GQ是PN的中垂线.

??GQ?NP?0∴|PG|?|GN|.

又|GM|?|GP|?|GM|?|GN|?|PM|?6. ∴点G的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，a?3,c?225.

x2y2??1.??????????????∴b?a-c?2,?G的轨迹方程是（5分） 94（2）?OS?OA?OB?四边形OASB为平行四边形，假设存在直线l，使|OS|?|OB|；则四边形OASB为矩形.?OA?OB?0. 若直线l的斜率不存在，则l的方程为x?2.

?x?2?x?2??由?x2y2??25

?1?y????4?93??OA?OB?16 ?0，这与OA?OB=0矛盾，故l的斜率存在.?????????（7分）

9设直线l的方程为y?k(x?2),A(x1,y1)、B(x2,y2).

?y?k(x?2)?2（9分） ?(9k2?4)x2?36k2x?36(k2?1)?0 ??????????xy2??1?4?936k236(k2?1)?x1?x2?2,x1x2?. 29k?49k?420k2?y1y2?[k(x1?2)][k(x2?2)]?k[x1x2?2(x1?x2)?4]?2.

9k?4236(k2?1)20k2又?OA?OB?0?x1x2?y1y2?0,（12分） ?2?0?????????29k?49k?43?k??.

2∴存在直线l:3x?2y?6?0或3x?2y-6?0满足条件. ????????（13分） 69、(湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考)在平面直角坐标系中，已知

2??????????????????A1(?2,0),A2(2,0),P(x,y),M(x,1),N(x,?2)，若实数?使得?OM?ON?A1P?A2P（O为坐标原点）

（I）求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型；

2（Ⅱ）当??时，若过点B(2,0)的直线l（斜率不等于零）与（I）中P点的轨迹交于

2??????????????2解：（I）由已知可得A1P?(x?2,y),A2p?(x?2,y),OM?(x?2,0)．

?????2?????????2??(OM)?A1P?A2P, 5分

不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.

??2(x2?2)?x2?2?y2(x?2)

2222即P点的轨迹方程是(1??)x?y?2(1??)(|x|?2) 7分．

x2y2??1(|x|?2),P点的轨迹是两个点(?2,0)． 9分 当1???0 222(1??)2x2y2?1(|x|?2), P点的轨迹1???0，即??(??,?1)?(1,??)时，方程为?22(?2?1)2是双曲线． 11分

1??2?0，即???1时，方程为y?0(x?2), P点的轨迹是两条射线． 13

分

x

70、(湖南省岳阳市2008届高三第一次模拟)已知直线l: y＝2x－3与椭圆C:2 ＋y2＝ 1 (aa

＞1)交于P、Q两点, 以PQ为直径的圆过椭圆C的右顶点A.

3

(1) 设PQ中点M(x0,y0), 求证: x0＜

2

(2)求椭圆C的方程.

2x2

解: (1)设直线l: y＝2x－3与椭圆C: 2 ＋y＝ 1 (a＞1)交于P(x1,y1),Q(x2,y2), 右顶

a点A(a,0), 将y＝2x－3代入x＋ay－a＝0中整理得(4a＋1)x－43ax＋2a＝0

2

43a

x1＋x2=2 ①

4a＋1

2

2a

x1x2=2 ②

4a＋1

2

22

2

2

2

2

22

?????

x1＋x223a333∵M(x0,y0)为PQ中点 ∴x0＝ ＝ 2 ＝ － 故x0＜ 2

24a＋122(4a＋1)2

(2)依题意: 2＝0, 则(x1－a)(x2－a)＋y1y2＝0 又y1＝2x1－3, y2＝2x2－3

432

故 (x1－a)(x2－a)＋(2x1－3)(2x2－3)＝0 由①②代入③ 得: 4a－43a－a＋3＝0

22

∴(a－3)(4a－a－3)＝0 ∵a＞1, 则4a－a－3＞0 故a＝3

2x2

故所椭圆方程为 ＋ y＝1

3

2

x2?y2?1的左焦点为F，O为坐标71、(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知椭圆2原点。过点F的直线l交椭圆于A、B两点．

? （1）若直线l的倾斜角??，求AB；

4 （2）求弦AB的中点M的轨迹；

（3）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点， 线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．

x2?y2?1联立得 解：（1）直线l方程为y?x?1与2442 ?????3x2?4x?0，?x1?x2??AB?33??4分

（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）（2）设弦AB的中点M的坐标为依题意有

?x122?y1?1??2?x222?y2?1?122（x?）?y2?222?x?x?2y?0? ?x1?x2?2x??1

11?y?y?2y2?148?y1?y2y??x?xx?12?1??

所以弦AB的中点M的轨迹是以（?为

1为中心，焦点在x轴上，长轴长为1，短轴长，0）2的

椭

22圆。 ???????8分

（3）设直线AB的方程为y?k(x?1)(k?0),

x2?y2?1,整理得(1?2k2)x2?4k2x?2k2?2?0. 代入2?直线AB过椭圆的左焦点F，?方程有两个不等实根。

4k2记A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0), 则x1?x2??2,

2k?11令y?0,得 ?AB的垂直平分线NG的方程为y?y0??(x?x0).

k2k2k2k211xG?x0?ky0??2?2??2???2.2k?12k?12k?124k?2 1?k?0,???xG?0,21?点G横坐标的取值范围为(?,0). ???????13分

22008

届上期末)抛物线

C

的方程为

72、(吉林省吉林市

y?ax2(a?0),过抛物线C上一点P(x0,y0)(x0?0)，作斜率为k1,k2的两条直线，分别

交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点（P、A、B三点互不相同），且满足

k2??k1?0(??0且???1).

（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；

（2）设直线AB上一点M满足BM??MA,证明：线段PM的中点在y轴上；

（3）当??1时，若点P的坐标为（1，—1），求∠PAB为钝角时，点A的纵坐标的取

值范围. 解：（1）由抛物线C的方程y?ax(a?0)得，

焦点坐标为(0,211),准线方程为y??. ??????????????2分 4a4a （2）设直线PA的方程为y?y0?k1(x?x0),直线PB的方程为y?y0?k2(x?x0)

?y?y0?k1(x?x0)①

点P(x0,y0)和点A(x1,y1)的坐标是方程组? 的解 2

?y?ax②

2将②式代入①式，得ax?k1x?k1x0?y0?0，

于是x1?x0?k1k,故x1?1?x0 ③????????????????4分 aa?y?y0?k1(x?x0)④

又点P(x0,y0)和点B(x2,y2)的坐标是方程组? 的解 2⑤

?y?ax将⑤式代入④式，得ax2?k2x?k2x0?y0?0， 于是x2?x0?k2k,故x2?2?x0 ????????????????4分 aa由已知得，k2???k1,则x2???ak1?x0. ⑥

设点M的坐标为(xM,yM),则BM??MA,则xM?x2??x1.

1??将③式和⑥式代入上式，得xM??x0??x0??x0,即xM?x0?0.

1??线

所以线段PM的中点在y轴上 ????????????????????8分 （3）因为点P（1，－1）在抛物

y?ax2上,所以a??1,所以抛物线的方程为y??x2.

由③式知x1??k1?1,代入y??x,得y1??(k1?1)

将??1代入⑥式得x2?k1?1,代入y??x,得y1??(k1?1) 因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为

2222A(?k1?1,?k2?2k1?1),B(k1?1,?k12?2k1?1).于是,AP?(k1?2,k12?2k1),AB?(2k1,4k1)所以AP?AB?2k1(k1?2)?4k1(k12?2k1)?2k1(k1?2)(2k1?1),因为?PAB为钝角且P,A,B三点互不相同,故必有AP?AB?0求得k1的取值范围是k1??2或?故当k1??2时,y1??1;当?

1?k1?0.又点A的纵坐标y1满足y1??(k1?1)2211?k1?0时,?1?y?? 24即y1?(??,?1)?(?1,?)?????????????????????12分 73、(吉林省实验中学2008届高三年级第五次模拟考试)设F1,F2分别是椭圆的

14x2?y2?1左，右焦点。 4

（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1?PF2?求点P的坐标。

5， 4（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线与椭圆交于不同的两点A,B，且?AOB为锐角（其中

O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围。 解：（Ⅰ）易知a?2,b?1,c?3。

?F1(?3,0),F2(3,0).设p(x,y)(x?0,y?0).则

5x2PF1?PF2?（?3?x,?y）(3?x,?y)?x?y?3??,又?y?1，

4422 ????????????3分

7?22?x?1x?y??x2?1?3???4联立?2，解得?23??，p(1,) ??????5分 32?y??x?y2?1?y?4?2???4（Ⅱ）显然x?0不满足题设条件 ????????????????6分 可设l的方程为y?kx?2,设A(x1,y1),B(x2,y2).

?x2??y2?1联立?4?x2?4(kx?2)2?4?(1?4k2)x2?16kx?12?0

?y?kx?2??x1x2?1216k ??????????????7分 ,x?x??121?4k21?4k222222由??(16k)?4?(1?4k)?12?0 16k?3(1?4k)?0,4k?3?0

得k2?31 ????????????????8分 ○4又?AOB为锐角?cos?AOB?0?OA?OB?0，

?OA?OB?x1x2?y1y2?0 ??????????????????9分

又y1y2?(kx1?2)(kx2?2)?kx1x2?2k(x1?x2)?4

2?x1x2?y1y2?(1?k2)x1x2?2k(x1?x2)?4

121612(1?k2)2k?16k?(1?k)??2k(?)?4???4

1?4k21?4k21?4k21?4k22

4(4?k2)122 ??????????????11分 ??0,???k?4. ○241?4k1○2可知综○

333 ????12分 ?k2?4,?k的取值范围是（?2，?）?（，2）42274、(江苏省常州市北郊中学2008届高三第一次模拟检测)在?ABC中，已知A(0,2)，

B(0,?2)，AC、BC两边所在的直线分别与x 轴交于原点同侧的点M、N，且满足OM?ON?4。

(1)求点C的轨迹方程E；

????????????(2)若Q是E上任一点，动点P在线段OQ上，求(PA?PB)?PQ的最小值。

解：（1）设点C(x,y)(x?0)，M(xM,0),N(xN,0)．

当y?2时，AC//x轴，当y??2时， BC//x轴，与题意不符，所以y??2;

由A．C．M三点共线有

2x2?02?y，解得xM?．同理由B．?C．N

0?xM0?x2?y三点共线，解得xN?2x． 2?y2x2x??4， 2?y2?y?xM?xN?0， ?OM?ON?xM?xN?化简得点C的轨迹方程为x?y?4(x?0) （2）解略。最小值为－2

22y275、(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)已知椭圆x?2?1(0?b?1)的左焦点为

bF，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．

（Ⅰ）当m＋n>0时，求椭圆离心率的范围；

（Ⅱ）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论．

解：（Ⅰ）设F、B、C的坐标分别为（－c，0），（0，b），（1，0），则FC、BC的中垂线分别为

2x?y?1?c2，

b11?(x?)．????????????????????????2分 2b2联立方程组，解出

1?c?x?,??2???????????????????????4分 ?2?y?b?c.?2b?1?cb2?cm?n???0，即b?bc?b2?c?0，即（1＋b）（b－c）>0，

22b∴

b>c． ????????????????????????????????6分

从

e2?而b2?c2即有a2?2c2，∴

1．????????????????????7分 2又

0?e?e?0，∴

2． ?????????????????????????8分 2（Ⅱ）直线AB与⊙P不切．?????????????????????????9分

b2?cb?2b?1?c0?2能相

由

kAB?b，

kPB＝

b2?c． ??????????????????10分

b(c?1)如果直线AB与⊙P相切，则b2

b2?cb(c?1)＝－

1． ???????????????12分

解出c＝0或2，与0＜c＜1矛

盾，?????????????????????14分

所以直线AB与⊙P不能相

切． ??????????????????????15分

评讲建议：

此题主要考查直线与直线、直线与圆以及椭圆的相关知识，要求学生理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点，从而大胆求出交点坐标，构造关于椭圆中a，b，c的齐次等式得离心率的范围．第二小题亦可以用平几的知识：圆的切割线定理，假设直线AB与

2

⊙P相切，则有AB＝AF3AC，易由椭圆中a，b，c的关系推出矛盾． 76、(江苏省前黄高级中学2008届高三调研)已知直线y??x?1与椭圆

x2y2??1(a?b?0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l:x?2y?0上. a2b2（Ⅰ）求此椭圆的离心率；

（Ⅱ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆x2?y2?4上，求此椭圆的方程.

?y??x?1，?解：（1）设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).则由?x2y2 得

?2?2?1b?a

(a2?b2)x2?2a2x?a2?a2b2?0, 根据韦达定理，得2a22b2x1?x2?2,y1?y2??(x1?x2)?2?2,

a?b2a?b2a2b2 ∴线段AB的中点坐标为（2）. ,a?b2a2?b2a22b2222222 由已知得2 ??0,?a?2b?2(a?c)?a?2ca?b2a2?b22 2（2）由（1）知b?c,从而椭圆的右焦点坐标为F(b,0), 设F(b,0)关于直线l:x?2y?0 故椭圆的离心率为e?的对称点为(x0,y0),则2020y0?01x?by34???1且0?2?0?0,解得x0?b且y0?b。由已知x0?b222553242x2y22得 x?y?4,?(b)?(b)?4,?b?4，故所求的椭圆方程为??1 .

845577、(江苏省前黄高级中学2008届高三调研)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线

y2?4x相交于不同的A,B两点.

???????? （Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求OA?OB的值；

???????? （Ⅱ）如果OA?OB??4,证明直线l必过一定点，并求出该定点.

解：（Ⅰ）由题意：抛物线焦点为（1，0）

设l:x?ty?1代入抛物线y?4x,消去x得

2y2?4ty?4?0,设A(x1,y1),B(x2,y2)

则y1?y2?4t,y1y2??4， ????????OA?OB?x1x2?y1y2?(ty2?1)(ty2?1)?y1y2?t2y1y2?t(y1?y2)?1?y1y2 =?4t2?4t2?1?4??3

（Ⅱ）设l:x?ty?b代入抛物线y?4x消去x，得

2y2?4ty?4b?0,设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1+y2=4t ，y1y2=－4b。 ?????????OA?OB?x1x2?y1y2?(ty1?b)(ty2?b)?y1y2?t2y1y2?bt(y1?y2)?b2?y1y2

=?4bt2?4bt2?b2?4b?b2?4b。

令b?4b??4,?b?4b?4?0?b?2，∴直线l过定点（2，0）。

78、(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)倾斜角为60°的一束平行光线，将一个半径为3的球投影在水平地面上，形成一个椭圆．若以该椭圆的中心为原点，较长22

的对称轴为x轴，建立平面直角坐标系． （1）求椭圆的标准方程；

（2）若球的某一条直径的两个端点在地面上的投影恰好分别落在椭圆边界的A、B两点上，且已知C（－4，0），求2的取值范围．

x2y2

解：（1）设椭圆方程是2 + 2 = 1 ，由题知b=3，2a=23，a=2

abcos30?所求椭圆的标准方程是 + = 1 ． 6′ 43（2）设A（x1,y1），B（x2,y2），A、B关于坐标原点O对称，

=（x1＋4,y1），=（x2＋4,y2），

2=（x1＋4,y1）2（x2＋4,y2）=x1x2＋4(x1＋x2)＋16＋y1y2

= x1x2＋16＋y1y2 9′

x2y2

AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程是y=kx，代入椭圆方程 + = 1 得：

4

3

?12?12k2

x1x2?,y1y2?3?4k23?4k2x2y2

2=13?3 12′ 3?4k2由于k可以取任意实数，故2∈[12，13）， 14′

19?19?(23)213AB与x轴垂直时，||=||=19，cos∠ACB==

19219?192=13

∴2∈[12，13]． 16′

79、(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)设A、B是抛物线y=2x上两点，

求证：AB的垂直平分线l经过抛物线焦点的充要条件是线段AB的中点落在y 轴上。 证明：设A（x1,y1）,B(x2,y2)，AB的中点落在y 轴上即x1＋x2=0；

∵抛物线y=2x的焦点F(0,) 3′ 充分性：当AB的中点落在y 轴上即x1＋x2=0时，y1=y2，A、B关于y轴对称，直线l即为y轴，经过抛物线的焦点。 6′ 必要性：

（1）直线l的斜率不存在且经过F(0,)时，直线l即为y轴，A、B关于y轴对称，AB的中点落在y 轴上。 （2）直线l经过F(0,)且斜率存在，设斜率为k（显然k≠0），截距为即直线l：y=kx+由已知得：

2

2

1818181， 81 8y1?y21?2(x1?x2)??≠0

x1?x2k即l的斜率存在时，AB的中点不可能落在y 轴上即题设A、B点不存在。 9′

综上所述，l经过抛物线焦点的充要条件是线段AB的中点落在y 轴上。 10′

x2y280、(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)椭圆C：2?2?1,(a?b?0)的两个焦点

ab分别为

F1(?c,0),F2(c,0) ,M是椭圆上一点，且满足F1M?F2M?0。

（1）求离心率e的取值范围

（2）当离心率e取得最小值时，点N( 0 , 3 )到椭圆上的点的最远距离为52

(i)求此时椭圆C的方程

(ii)设斜率为k(k?0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问A、

3

B两点能否关于过点P（0，- ）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若

3

不能，请说明理由。 解：(1)、由几何性质知的取值范围为：

2

≤e＜1??????3分 2

2

2

2xy

(2)、(i) 当离心率e取最小值 时，椭圆方程可表示为2 + 2 = 1 。设H( x , y )是

22bb2 2222

椭圆上的一点，则| NH |=x+(y-3) = - (y+3)+2b+18 ，其中 - b≤y≤b

222

若0＜b＜3 ，则当y = - b时，| NH |有最大值b+6b+9 ，所以由b+6b+9=50解得b = -3±52 (均舍去) ???????5分

2222

若b≥3，则当y = -3时，| NH |有最大值2b+18 ，所以由2b+18=50解得b=16 xy

∴所求椭圆方程为 + = 1??????7分

3216

x1y1

+ = 13216

(ii) 设 A( x1 , y1 ) ，B( x2 , y2 )，Q( x0 , y0 )，则由两式相减得 22

x2y2

+ = 13216

x0+2ky0=0；???① ????????8分

13

又直线PQ⊥直线l，∴直线PQ的方程为y= - x - ，将点Q( x0 , y0 )坐标代入

k3

2

2

?

??

22

13

得y0= - x0- ???② ????????9分

k3233

由①②解得Q( - k , )，而点Q必在椭圆的内部

33

22x0y0

∴ + < 1，????? 10分

3216

472

由此得k< ，又k≠0

2∴ -

9494 < k < 0或0 < k < 22

9494

, 0 ) ∪( 0 , )时，A、B两点关于过点P、Q、的直线对称。????22

故当( - 12分

x2?y2?1交于81、(宁夏区银川一中2008届第六次月考)如图，直线y=kx+b与椭圆4A、B两点，记△AOB的面积为S．

（I）求在k=0，0

（II）当|AB|=2,S=1时，求直线AB的方程．

解：（Ⅰ）解：设点A的坐标为(x1，b)，点B的坐标为(x2，b)， 错错x22由?b2?1，解得x1，2??21?b，

4所以S?错错错1b?x1?x2 2?2b?1?b2

≤b?1?b?1．

当且仅当b?222时，S取到最大值1． 2?y?kx?b，?（Ⅱ）解：由?x2 2??y?1，?4得?k2???1?22?x?2kbx?b?1?0， 4???4k2?b2?1，

4k2?b2?1?2． ② |AB|?1?k?|x1?x1|?1?k?1?k2422设O到AB的距离为d，则

d?2S?1， 又因为d?|b|， |AB|1?k2所以b2?k2?1，代入②式并整理，得

1?0， 413解得k2?，b2?，代入①式检验，??0，

22故直线AB的方程是 k4?k2?y?26262626或y?或y??，或y??． x?x?x?x?2222222282、(山东省聊城市2008届第一期末统考)已知定点A（－2，0），动点B是圆F：

(x?2)2?y2?64（F为圆心）上一点，线段AB的垂直平分线交BF于P.

（1）求动点P的轨迹E的方程； （2）直线y?3x?1与曲线E交于M，N两点，试问在曲线E位于第二象限部分上是

否存在一点C，使OM?ON与OC共线（O为坐标原点）？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

解：（1）由题意|PA|?|PB|,且|PB|?|PF|?8,

∴|PA|?|PF|?8?|AF|.

因此点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆.????????4分

x2y2设所求椭圆的方程为2?2?1(a?b?0),

ab∴2a?8,a?4,a?b?c?2?4 ∴b2?12

2222x2y2∴点P的轨迹方程为??1.??????????6分

1612（2）假设存在满足题意的点C(x0,y0)(x0?0,y0?0),设M(x1,y1),N(x2,y2),

OM?ON?mOC(m?R,且m?0),则(x1?x2,y1?y2)?m(x0,y0).

?x0?x1?x2y?y2,y0?1. mm?y?3x?1?22得15x?83x?44?0.????????8分 由?x2y?1,???1612?x1?x2??832,y1?y2?3(x1?x2)?2?. 155?x0??832,y0?.????????10分 15m5m22x0y01??1,解得m2?. 又

161215?m??15. 15

又?x0?0,y0?0

?m?15 1585215）????????12分 ,55所以存在满足题意的点C（?x2y283、(山东省实验中学2008届高三第三次诊断性测试)已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)ab的离心率为

3

，直线l:y?x?2与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆3

相切.

（1）求椭圆C1的方程；

（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线

l2垂直l1于点P，线段PF2垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；

???????????? （3）设C2与x轴交于点Q，不同的两点R,S在C2上，且满足QR?RS?0,求QS的

取值范围.

3c2a2?b21222,?e???,?2a?3b解：（Ⅰ）∵e? ??1分 23a3c222∵直线l:x?y?2?0与圆x?y?b相切，

2∴?b,?b?2,b2?2 ????2分

2∴a2?3 ????3分

x2y2??1 ??????4分 ∵椭圆C1的方程是 32（Ⅱ）∵MP=MF2，

∴动点M到定直线l1:x??1的距离等于它到定点F1（1，0）的距离， ∴动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线 ??????6分 ∴点M的轨迹C2的方程为 y?4x ????7分

2y12y2,y1),S(,y2) ????8分 （Ⅲ）Q（0，0），设R(442y12y2?y12,y1),RS?(,y2?y1) ????9分 ∴QR?(44∵QR?RS?0

2y12(y2?y12)?y1(y2?y1)?0 ∴

16∵y1?y2,y1?0，化简得

16∴y2??(y1?) ??????11分

y12562∴y2?y12?2?32?2256?32?64

y122

当且仅当 y12?2562,y1?16,y1??4时等号成立 ????13分 y122y212222(y2?8)2?64，又?y2?64 ∵|QS|?()?y2?44|QS|min?85，故|QS|的取值范围是[85,??)??14∴当y2?64,y2??8时，分

84、(山西大学附中2008届二月月考)已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线l:y??2 的距离小1. （1）求曲线C的方程；

（2）过点P(2,2)的直线m与曲线C交于A,B两点,设AP??PB.当△AOB的面积为42时（O为坐标原点），求?的值.

解：（1）?点M到点F(1,0)的距离比它到直线l:y??2的距离小于1，

∴点M在直线l的上方，点M到F（1，0）的距离与它到直线l?:y??1的距离相等

2?点M的轨迹C是以F为焦点,l?为准线的抛物线，所以曲线C的方程为x2?4y

（2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，

设直线m的方程为y?2?k(x?2),即y?kx?(2?2k)， 代入x?4y得x?4kx?8(k?1)?0 （*）

22??16(k2?2k?2)?0对k?R恒成立,所以,直线m与曲线C恒有两个不同的交点

设交点A，B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)， 则x1?x2?4k,x1x2?8(k?1)

?|AB|?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(1?k2)[(x2?x1)2?4x2x1]?4(1?k2)(k2?2k?2)

点O到直线m的距离d?|2?2k|1?k2，

?S?ABO?1|AB|?d?4|k?1|k2?2k?2?4(k?1)4?(k?1)22

?S?ABO?42,?4(k?1)4?(k?1)2?42，

?(k?1)4?(k?1)2?2?0,(k?1)2?1或(k?1)2??2（舍去） ?k?0或k?2

当

k?0时,方程（*）的解为

?22 若

x1?22,x2??22,则??2?22?22?1?3?22

若x1??22,x2?22,则??2?2222?2?3?22 当k?2时,方程（☆）的解为

4?22

若x1?4?22,x2?4?22,则???2?222?22?2?222?22?3?22

若

x1?4?22,x2?4?22,则???3?22 所以，

??3?22或??3?22

85、(上海市部分重点中学2008届高三第二次联考)设F1,F2分别是椭圆C：

x2y2??1(a?b?0)的左右焦点 a2b23(1)设椭圆C上的点(3,)到F1,F2两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标

2(2)设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程

(3)设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM ，

PN的斜率都存在，并记为kPM,KPN 试探究kPM证明你的结论。

2?KPN的值是否与点P及直线L有关，并

32)(3)32[解]：（1）由于点(3,?1 ------1分 )在椭圆上，2?2ab22a=4, ------2分

(x2y2椭圆C的方程为 ??1--------3分

43焦点坐标分别为（-1，0） ，（1，0）-----------4分

（2）设KF1的中点为B（x, y）则点K(2x?1,2y)--------6分

x2y2把K的坐标代入椭圆??143(2x?1)2(2y)2中得??143-----8分

12y2?1----------10分 线段KF1的中点B的轨迹方程为(x?)?324（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称

设M(x0,y0)N(?x0,?y0),p(x,y) ----11分

x02y02x2y2M,N,P在椭圆上，应满足椭圆方程，得2?2?1，2?2?1------12分

abab

kPMy?y0?x?x0KPNy?y0?-------------------13分 x?x0kPM2y?y0y?y0y2?y02b??2?KPN==?2-----------15分

x?x0x?x0x?x02a故：kPM86、

?KPN的值与点P的位置无关，同时与直线L无关，-----16分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zlbo.html