2011届高三数学一轮复习：1.1.1《函数的平均变化率》测试(新人教B版选修2-2)

函数的平均变化率

一、选择题

1．函数f(x) sin2x的导数f (x) （ ） A．2sinx 答案：D

2．已知函数y 2x3 ax2 36x 24在x 2处有极值，则该函数的一个递增区间是（ ） A．(2，3) 答案：B

3．曲线y x3在点(1，1)处的切线与x轴、直线x 2所围成的三角形的面积为（ ） A．

43

B．2sin2x C．2cosx D．sin2x

B．(3， ∞) C．(2， ∞) D．( ∞，3)

B．

89

C．

83

D．

49

答案：C 4．设f(x) A． 1 答案：D

x

π

sintdt，则f f 的值等于（ ）

2

B．1 C． cos1 D．1 cos1

5．若函数y A．等于0 答案：C

π

e

x

x

在x x0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值（ ） B．等于1

C．等于

12

D．不存在

6．定积分 2sin

2

x2

dx的值等于（ ）

π4

12

12

π4

π2

A．

π4

12

B． C． D． 1

答案：A

7．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k 0)，货款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x 0，0.048)，为使银行获得最大收益，则存款利率为（ ） A．0.032 答案：A

B．0.024

C．0.04

D．0.036

8．若函数f(x) x2lnx(x 0)的极值点为 ，函数g(x) xlnx2(x 0)的极值点为 ，则有（ ） A． B． C． D． 与 的大小不确定

答案：A

9．由曲线y ex，y e x以及x 1所围成的图形的面积等于（ ） A．2

B．2e 2

C．2

1e

D．e

1e

2

答案：D

10．函数f(x) x3 3x2 3x a的极值点的个数是（ ） A．2 B．1

C．0

D．由a确定

答案：C

2

11．经过点(3，0)的直线l与抛物线y x

2

的两个交点处的切线相互垂直，则直线l的斜率k等于（ A．

16

B．

13

C．

12

D．

12

答案：A

12．下列关于函数f(x) (2x x2)ex的判断正确的是（ ） ①f(x) 0的解集是 x|0 x 2 ；

②f(

是极小值，f是极大值； ③f(x)既没有最小值，也没有最大值． A．①③ B．①②③ C．② D．①②

答案：D 二、填空题

13．已知f(x) x2

，g(x) x3，若f (x) g (x) 2，则x ．

答案：

3

14．若函数f(x) 4xx2

1

在区间(m，2m 1)上是单调递增函数，则实数m的取值范围是

答案： 1 m≤0

15．一个质点以速度v(t) t2

t 6（m/s）运动，则在时间间隔(1，4)上的位移是． 答案：31.5m

）

16．已知函数f(x) ． 答案：m≥三、解答题

76

13

x

3

12

x 2x m的图象不经过第四象限，则实数m的取值范围是

2

0≤x≤1， x，

17．已知作用于某一质点的力F(x) （单位：N），试求力F从x 0处运动到x 2处

1 x≤2 x 1，

（单位：m）所做的功． 答案：解：力F所做的功W 答：力F所作的功为3J．

18．已知函数f(x) x3 ax2 bx c．f(x)在点x 0处取得极值，并且在单调区间[0，2]和[4，5]上具有相反的单调性．

（1）求实数b的值；

（2）求实数a的取值范围．

解：（1）f (x) 3x2 2ax b，因为f(x)在点x 0处取得极值， 所以f (0) 0，即得b 0；

（2）令f (0) 0，即3x2 2ax 0， 解得x 0或x 依题意有

23

23a．

10

xdx

2

1

(x 1)dx

1

12 221

x|0 x x |1 3J． 2 2

a 0．

x ( ∞，0) 0

2 0， a

3

23

a

2

a， ∞ 3

f (x) f(x)

0 极大值

0 极小值

23

a≤4，

因为在函数在单调区间[0，2]和[4，5]上具有相反的单调性，所以应有2≤ 解得 6≤a≤ 3．

19．已知函数f(x) x3 x 16．

（1）求曲线y f(x)在点(2， 6)处的切线方程；

（2）直线l为曲线y f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标． 解：（1） f (x) (x3 x 16) 3x2 1，

在点(2，

6)处的切线的斜率k f (2) 3 22

1 13， 切线的方程为y 13x 32；

（2）设切点为(x) 3x2

0，y0)，则直线l的斜率为f (x00 1，

直线l的方程为y (3x20 1)(x x3

0) x0 x0 16．

又 直线l过点(0，0)，

0 (3x2

3

0 1)( x0) x0 x0 16，

整理，得x3

0 8， x0 2，

y3

0 ( 2) ( 2) 16 26，

l的斜率k 3 ( 2)2 1 13，

直线l的方程为y 13x，切点坐标为( 2，

26)．

20．如图所示，求抛物线y2

2px(p 0)和过它上面的点P p

1 ，p

2 的

垂线所围成的平面图形的面积．

解：由题意令y x≥0)，

y

12

2p ，y |

x

p 1，2

所以过P1点且垂直于过P1点的抛物线的切线的直线的斜率为 1． 其方程为y p

x

p

2 ．

切线的

即2x 2y 3p 0．

与抛物线方程联立消去x，得y2 2py 3p2 0， 解得y p或y 3p． 又x y

p

32

p，所以所求平面图形的面积为

2

3 y

S y p dy 3p22p

y2313 p py y | 3p

26p 2

123212 929292

p p p p p p

2622 2 2 163p．

2

21．甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函

数关系x s元（以下称s为赔付价格）．

（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量； （2）甲方每年受乙生产影响的经济损失金额y 0.002t2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？ 解：（1）因为赔付价格为s元/

吨，所以乙方的实际年利润为w st．

2

由w s ，

1000 令w 0，得t t0 ．

s

当t t0时，w 0；当t t0时，w 0， 所以t t0时，w取得最大值．

1000

因此乙方取得最大年利润的年产量t0为 ； （吨）

s

2

（2）设甲方净收入为v元，则v st 0.002t2．

102 1000 9

将t 代入上式，得到甲方净收入与赔付价格之间的函数关系式vsv 10． 4

ss s

10 (8000 s)

s

5

6

3

2

6

又v ，

令v 0，得s 20．

当s 20时，v 0；当s 20时，v 0，

所以s 20时，v取得最大值．

因此甲方应向乙方要求赔付价格s 20（元/吨）时，获最大净收入．

22．由曲线y 2x2 2(1≤x≤3)及直线y 0，绕y轴旋转所得的旋转体做容器，每秒钟向容器里注水

8cm，问几秒钟后能注满容器？（坐标的长度单位是cm）

3

解：如图，底面是x轴上0≤x≤1部分的线段绕y轴旋转所生成的圆，线y 2x2 2上1≤x≤3，0≤y 16部分绕y轴旋转所得的曲面． 由y 2x2 2，得x

2

侧面是抛物

y 22

160

，

y 22

y2 3

dy π y 80π(cm)．

4 0

16

注满容器时的体积为V π

3

每秒注水8cm，充满容器所需时间为80π 8 10π（秒）．

所以10π秒钟后能注满容器．

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