椭圆周长公式的推导、证明、检验、评价与应用

椭圆周长公式的推导、证明、检验、评价与应用

-----------三探椭圆周长的计算（终结篇）

四川省美姑县中学 周钰承

★ 关键词：椭圆周长，标准公式，近似计算，初等公式。

★ 内容提要：本文搜集了各种椭圆周长公式。无论是标准公式还是近似公式，

本文将对部分公式给予证明，或推导，或否定，或检验、评价与应用，希

望广大读者喜欢。

★ 目录：一、椭圆周长标准公式的推导与椭圆周长准确值的计算 二、两个高精度的椭圆周长初等公式 三、椭圆周长公式集锦与评价

一、椭圆周长的标准公式的推导与椭圆周长精确值的计算

宇宙间宏观物体的运动轨迹大都是椭圆，但其周长不能准确的计算出来。经过数学家的计算与证明，最终得出椭圆周长没有准确的初等公式，但可以用椭圆积分的级数形式表示。下面对椭圆周长的一个标准公式进行证明和计算。

在平面直角坐标系内，椭圆的标准方程是：

xa22?yb22?1，a?0,b?0.

参数方程是： x?acos?,y?bsin?,?0???2?? 函数图像为：

若某条光滑曲线，能用参数方程表示：

x?X?t?，y?Y?t?

??t??，该曲线长度可表示为：

L?22????????X't?Y'tdt???

故椭圆周长为：

?C?4??202aa2sin2??b2cos22?d?2?4?20?1?cos2?2??b2cos?d?

??4a?201?ecos?d?其中e?a2?ba22?c是椭圆的离心率。 a22下面用泰勒公式展开1?ecos? 先由?1?x??1?kx?kk?k?1?2!x?2k(k?1)(k?2)3!x???

3令K=1/2可得：

1?x?1?2x22???n?2??1?n?1?2n?3?!!xn2n!n

令x??ecos?可得：

1?ecos??1?所以：

?22ecos?222???n?2?2n?3?!!e2ncos2n?2n!n

C?4a?21?02?e???4a??2??2ecos?2?22???n?2?2n?3?!!e2ncos2n?2n!?nd? ???2ncos?d???????20cos?d??2?n?2??2n?3?!!e2n?n2n!???20这个式子可以化简。

因为：

??20cos2n?d???12?34?5?2n?1???????????62n2??2n?1?!!?2n!n

2所以：

2?e?1????L?4a??????22?22?????n?2?1?3?5????2n?3??2n?1?en?2n?2n?1?2n!????2?????????2???????2?a?1??????2?a?1?????n?1???1?3?5?????2n?1??2e2n???????????2?4?6????2n?2n?1???????2n?1?!!?2e2n???????????2n?!!?2n?1???????

?n?1 这就是椭圆周长著名的项名达公式，这是一个准确的椭圆周长公式，虽然准确但实际计算时却只能取精确值（谁能长生不老？）。

22468???1?e?13?e?135?e?1357?eC?2?a?1????????????????????????? ?2?1?24?3?246?5?2468?7????其中a为长半轴，e?a?ba222为椭圆离心率。????????（1）

根据项名达公式（1），可写出计算椭圆周长C的计算机程序，并得到椭圆周长真值分布表1：

Private Sub Form_Click ( )

a = 1 :’ 长半轴长度。a、b可根据实际问题改为其它值 b = 0.15 :’ 短半轴长度，应不大于a，否则两者互换 e = sqr(1-b*b/a/a) :’ 椭圆离心率

k0 = 0.25*e^2 :’ （1）式括号中的第二项

s = 1-k0 :’ （1）式括号中的前二项

for I = 2 to 1000000 :’ 级数算到百万项，一般计算机只需几秒钟 k = k0*(2*I-1)^2/(2*I)^2*(2*I-3)/(2*I-1)*e*e :’ (1) 式括号中的某一项

s = s – k :’ 将各项累加到 s 中去，最终就得到 (1) 式括号中的值 k0 = k :’ 为计算下一项，将前一项结果赋给 k0 next I :’ 循环

print 2*3.1415926535*a*s :’ 打印或显示计算结果 End Sub a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b 椭圆周长 4.0000000000? 4.0010983297? 4.0639741801? 4.2892108875? 4.8442241100? 5.5258730400? 5.9731604325? 6.2518088479? 6.2831853070? 表1.椭圆周长真值的分布

0.00 0.01 0.10 0.25 0.50 0.75 0.90 0.99 1.00 项名达公式虽然易于设计程序，但另一个级数公式收敛得更快，且只含加法运算，如果我们不方便编程，可以事先进行误差估计，从而更有效地按照精确度要求计算椭圆周长。为了方便，我们称下面这个公式为周钰承椭圆周长标准公式。

22242628???1??a?b??1??a?b??1?3??a?b??5!!??a?b?C???(a?b)?1???????????????????????2a?b2?4a?b2?4?6a?b8!!a?b???????????????????? 为了估计误差，我们设??a?ba?b，则周钰承标准公式为：

2222???1?2?1?4?1?3?6?5!!?8C???(a?b)?1???????????????????????（2）

?2??2?4??2?4?6??8!!????? 这个公式中，主干为??(a?b)，我们可以把

?1?2?1?4?1?3?6?5!!?8?????????????????????????????（3） ?2??2?4??2?4?6??8!!?2222称为误差多项式。

假如要求我们误差率低于?，我们设需要计算到误差多项式第n项，不妨设n?2，则误差率为误差多项式（3）第n+1项及其以后无穷多项之和必须满足下列不等式：

?(2n?1)!!?2n?2?(2n?1)!!?2n?4?(2n?3)!!?2n?6????????????? ??????????(2n?2)!!??(2n?4)!!??(2n?6)!!?222因为（注意n?2）：

?(2n?1)!!?2n?2?(2n?1)!!?2n?4?(2n?3)!!?2n?6?????????(2n?2)!!????(2n?4)!!????(2n?6)!!??????????(2n?1)!!?2n?2?(2n?1)!!?2n?4?(2n?1)!!?2n?6?????????(2n?2)!!????(2n?2)!!????(2n?2)!!????????? ?1?2n?2?1?2n?4?1?2n?6??????????????256256256???????1256?222222222?2n?221??所以只须：

12561????2n?22??

?2n?2?256(1??)?

2n?ln256(1??)?2ln??2??1????????????????（4）

公式（4）称为周钰承标准公式（2）的误差公式。n取满足不等式（4）的最小整数，

为此，我们只需要一个带有函数的学生计算器便可以根据精确度要求，知道我们应该计算到第几项，计算所得的值在给定误差率?的情况下是准确的。注意：计算到误差多项式第n

项，就是周钰承标准公式（2）括号中算到2n次方项；若n为负数或者小于2，就算到误差多项式（3）第2项，即公式（2）中括号里的4次方项。如n>-1.86745.则周钰承标准公式中，中括号里应该算到4次方项。因为误差公式证明中n大于或等于2是前提条件。

二、两个高精度的椭圆周长初等公式

如果利用周钰承标准公式来计算椭圆周长，通常只需要级数前两三项就可以达到相当

高的精确度。但当??0.95,??0.0001时，算得:n?ln256(1??)?2ln??2??1?57.42,即用到

误差多项式第58项即116次方项，误差才能保证小于万分之一。为此，我们可以根据周钰承标准公式，构建一个新的函数模型，用以解决

a?ba?bba8?0.1甚至更小时的计算问题。

设??，???24??464??6256?25?16384?49?1065536???????

则C??(a?b)[1??]

我们改造函数模型，考虑到函数?的表达式具有三个重要特征：1.各项均含有因式

2?；2.当b?a时，??a?ba?b?0，椭圆周长趋近于圆周长C?2??a，此时??0；

4??3.当b?0时，??1，椭圆周长趋近两倍长轴长，即C?4a，此时??我们构建函数模型：

?。因此，

??x?y?z?w?22????????????????????????（5）

2（5）式中?是自变量，??a?ba?b，??C?(a?b)?1，x,y,z,w为待定系数。为了

拟合函数，我们取表1中最具有代表性的数据。用b=0.25,b=0.50,b=0.75那三行数据，把三个点的坐标(?,?)：

1?0.54.84422411?0.755.5258730,?1)，(,?1)

1?0.51.5?1?0.751.75?依次代入函数（5），得到三个关于x,y,z,w的一次方程。我们可以设计一个算法，(?1)，(1?0.254.2892109,1?0.251.25?或者用计算器解这个一次方程组，得到x:y:z:w的比例关系。为了帮助记忆和增加公式的美感，我们将它们近似地化为最简整数比为：

x:y:z:w?16:(?3):64:(?16)。

把上述值代入函数（5），得：C??(a?b)[1?入并化简得到椭圆周长近似公式：

16?3?2264?16???]，再把??2a?ba?b代

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