长沙理工大学概率论与数理统计练习册

院（系） 班 姓名 学号 第一章 概率论的基本概念 练习1.1 样本空间、随机事件

一、写出以下随机试验的样本空间：

1.从两名男乒乓球选手A,B和三名女乒乓球选手C,D,E中选拔一对选手参加男女混合双打，观察选择结果。

2.10件产品中有4件次品，其余全是正品，从这10件产品中连续抽取产品，每次一件，直到抽到次品为止，记录抽出的正品件数。

二、有三位学生参加高考，以Ai表示第i人考取（i?1,2,3）.试用Ai表示以下事实： 1.至少有一个考取；2.至多64738291有两人考取；3.恰好有两人落榜。 三、投掷一枚硬币5次，问下列事件A的逆事件A是怎样的事件？

1. A表示至少出现3次正面；2. A表示至多出现3次正面；3. A表示至少出现3次反面。 四、袋中有十个球，分别编有1至10共十个号码，从其中任取一个球，设事件A表示“取得的球的号码是偶数”， 事件B表示“取得的球的号码是奇数”， 事件C表示“取得的球的号码小于5”，则C,A?C,AC,A?C,A?B,AB分别表示什么事件？

五、在某系的学生中任选一名学生，令事件A表示“被选出者是男生”；事件B表示“被选出者是三年级学生”；事件C表示“被选出者是运动员”。 （1）说出事件ABC的含义；

（2）什么时候有恒等式A?B?C?C; (3) 什么时候有关系式C?B正确; （4）什么时候有等式A?B成立。

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练习1.2 概率、古典概型

一、填空

B?)1.已知事件A，B的概率P(A)?0.7,P(0.6,积事件AB的概率P(AB)?0.4,则

P(A?B)? , P(A?B)? , P(A?B)? ,

P(A?B)? ,P(AB)? , P(A?AB)? . 2. 设A,B为两个事件，P(B)?0.7,P(AB)?0.3,则P(A?B)? . 3. 设A,B为两个任意不相容事件，,则P(A?B)? .

4. 设A,B为两个事件，P(A)?0.5,P(A?B)?0.2，则P(AB)? . 5. 已知P(A)?P(B)?P(C)?生的概率为 .

二、设A,B是两事件，且P(A)?0.6，P(B)?0.7,求

(1) 在什么条件下，P(AB)取到最大值？ (2) 在什么条件下，P(AB)取到最小值？ 三、一批产品20件，其中3件次品，任取10件，求

(1) 其中恰有一件次品的概率；(2) 至少有一件次品的概率。

四、甲、乙两艘油轮驶向一个不能同时停泊两艘油轮的码头，它们都将在某日8时至20时抵达码头。甲轮卸完油要一小时，乙轮要两小时。假设每艘油轮在8时到20时的每一时刻抵达码头的可能性相同。

1.求甲乙两轮都不需等候空出码头的概率；

2.设A表示甲、乙同一时刻抵达码头，问A是否是不可能事件，并求P(A)。 五、某年级有10名大学生是1986年出生的，试求这10名大学生中

1.至少有两人是同一天生日的概率；2.至少有一人在十月一日过生日的概率。 六、设P(A)?P(B)?11,P(AB)?0，P(AC)?P(BC)?，则A,B,C全不发461,求证：P(AB)?P(AB) 2七、设A,B为两个事件，P(A)?0.7,P(A?B)?0.3,求P(AB)。

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练习1.3 条件概率、全概率公式

一、填空

1.设A,B为两个事件，P(A)?a,P(B)?b,P(B|A)?c,且a,b,c都是已知的小于1的正数，则P(AB)? ，P(A?B)? , P(A?B)? ,

P(AB|)? ，P(B|A)? , P(B|A)? . 2.设A,B为两个事件，P(A)?0.9,P(AB)?0.36,则P(AB)? . 3. 设A,B,C为一完备事件组，且P(A)?0.5,P(B)?0.7,则P(C)? ,P(AB)? . 4. 已知A1,A2,A3为一完备事件组，P(A1)?0.1，P(A2)?0.5，P(B|A1)?0.2，

P(B|A2)?0.6，P(B|A3)?0.1，则P(A1|B)? . 5. 设A,B为随机事件，且P(A)?0.92,P(B)?0.93,P(B则P(AB ｜)? ，｜A)?0.85，

P(A?B)? . 二、一台电子仪器出厂时，使用寿命1000小时以上的概率为0.6，1500小时以上的概率为0.4，现已使用了1000小时，求还能使用500小时以上的概率。

三、有十箱产品，已知其中三、二、五箱分别是第一、第二、第三车间生产的，各车间的次品率分别是0.2，0.1，0.05，现在任取一箱，再从中任取一件：

1.求此件为次品的概率；2.如果此件为次品，问是哪个车间生产的可能性最大？ 四、人群中患肝癌的概率为0.0004.用血清甲胎蛋白法检查时，患有此病被确诊的概率为0.95，未患被误诊的概率为0.01.问普查时，任一人被此法诊断为肝癌患者的概率有多大 ？？设此人被此法诊断为肝癌患者，问此人真患有肝癌的概率有多大？比未作检查时的概率增大了多少倍？

五、有两箱同型号的零件，A箱内装50件，其中一等品10件；B箱内装30件，其中一等品18件.装配工从两箱中任选一箱，从箱子中先后随机地取两个零件（不放回抽样）。求： (1)先取出的一件是一等品的概率；

(2)在先取出的一件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率。 六、为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统（I）和（II），每种系统单独使用时，系统（I）和系统（II）有效的概率分别为0.92和0.93.在系统（I）失灵的情况下，系统（II）仍有效的概率为0.85，求两个警报系统至少有一个有效的概率。

七、设一人群中有37.5%的人血型为A型，20.9%为B型， 33.7%为O型，7.9%为AB型，已知能允许输血的血型配对如下表，现在在人群中任选一人为输血者，再选 一人为需要输血者，问输血能成功的概率是多少？（V：允许输血；X：不允许输血）。 输血者 受血者 A型 B型 AB型 O型 A型 B型 AB型 O型

√ × √ × × √ √ × √ √ √ × √ √ √ √ 院（系） 班 姓名 学号

练习1.4 独立性

一、填空

1. 将一枚骰子独立地先后掷两次，以X和Y分别表示先后掷出的点数，设

｛X?Y｝A=｛X+Y=10｝，B=,则

（1）P(B|A)? ; (2) P(A|B)? ；（3）P(A?B)? 。 2.设A,B为两个相互独立的事件，P(A)?0.2，P(B)?0.4，则P(A?B)? 。 3. P(A，A2，A3为相互独立的事件,则 1)?P(A2)?P(A3)?1/3,A1（1）A，A2，A3至少出现一个的概率为 ； 1（2）A，A2，A3恰好出现一个的概率为 ； 1（3）A，A2，A3最多出现一个的概率为 。 14.设P(A)?0.3，P(A?B)?0.6，那么：（1）若A,B为互不相容的事件，则P(B)? ；（2）若A,B为相互独立的事件，则P(B)? ；（3）若A?B，则P(B)? . 二、设5件产品中2件是次品3件是正品，对每件产品进行检验，令A表示被检验到的那件产品是次品，则P(A)?2/5, P(A)?3/5.对一件产品作检验可看成一次试验，于是作了5次试验，据二项概率公式可知，事件A恰好发生2次的概率为

?2??3?P5(2)?C?????0.3456.因此这5件产品中恰有2件次品的概率为0.3456，另一方

?5??5?2523面这5件产品恰有2件次品是已有的事实，因此其概率为1，从而1=0.3456，请找出理由推翻此“等式”。

三、甲、乙、丙三人各自去破译一个密码，他们能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4,试求： (1) 恰有一人译出的概率；（2）密码能破译的概率。

四、某种电阻的次品率为0.01，作有放回抽样4次，每次一个电阻，求恰有2次取到次品的概率和至少有3次取到次的概率。

五、某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。

六、加工某一零件共需要经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别是0.02，0.03，0.05，假设各道工序是互不影响的，问加工出来的零件是次品的概率是多少？

七、甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率。

八、若事件A,B相互独立，证明A,B也相互独立

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自测题（第一章）

一、填空（每空2分）

1.几何概率中，每个样本点的发生具有 ，而样本点的个数是 。 2.若事件A,B ,则称A,B互斥。 若又 ,则称A,B互逆。

3.若事件A,B ,则P(A?B)?P(A)?P(B),否则P(A?B)?P(A)?P(B)? . 4.设

A,B为两事件且P(A)?0，则 ?P(A)P(B|A),当A,B 时，

P(AB)?P(A)P(B. )5.事件A发生，而事件B和C至少发生一个这一事实可表示成 。事件A发生，必导致事件B和C至少发生一个这一事实可表示成 。

6. A表示投掷10次钱币时，至少出现4次正面，则A表示 正面或 反面。 7.在图书馆任取一本书，设A=｛是数学书｝，B=｛是中文版的｝，C=｛90年后出版的｝，则当图书馆里 时，有

A?B?C?A,当 时，有

(A?B)?C??.

二、判断正误（每小题3分）

1.若事件A的概率P(A)?0,则A??. ( ) 2.对任两事件A,B，有P(A?B)?P(A)?P(AB). ( )

3.若A=｛男足球队员｝，则A=｛女足球队员｝。 （ ） 4.若事件A,B有关系A?B,则P(A)?P(B). ( ) 5.若事件A,B,C相互独立，则A,B,C也相互独立。 ( ) 6.口袋中有四个球，其中三个球分别是红、白、黄色的，另一个球染有红、白、黄三色。现从口袋中任取一球，观察其颜色。令A=｛球染有红色｝，B=｛球染有白色｝，C=｛球染有黄色｝，那么事件A,B,C相互独立。 ( ) 三、写出以下两个试验的样本空间（每小题5分）

1.10件产品有3件是次品，其余均是正品。每次从中任取一件（取后不放回），直到3件次品全取出为止，记录取的次数。

2.30名学生进行一次考试，观察平均成绩（个人成绩采用百分制）。 四、（12分）设两相互独立的事件A,B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P(A)。

五、（10分）一个班组有7男3女十名工人，现要派4人去学习，求4名代表中至少有2名女工的概率。 六、（10分）甲、乙、丙三人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为1/5,1/3,1/4， 求此密码未被丙译出而甲、乙至少有一个译出的概率。 七、（12分）一种产品的正品率为0.96，使用一种简易方法检验时，将正品判为正品的概率为0.98，将次品误判为正品的概率为0.05。现任取一件用此法检验。 1.求此件被判为正品的概率；2.当判为正品时，求此件确是正品的概率。

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第二章 随机变量

练习2.1 随机变量及其分布函数

一、填空

1.随机变量X的分布函数F(x)是事件 的概率。 2．用随机变量X的分布函数F(x)表达下述概率： P{X?a}? ; P{X=a}? ;

P{X?a}? ; P{x1?X?x2}? . 3.若P{X?x2}?1??,P{X?x1}?1??，其中x1?x2,则P{x1?X?x2}? . 二、分析下列函数中，哪个是随机变量X的分布函数？

x??2?0,x?0?0,?1??F(x)?,?2?x?0F(x)???sinx,0?x??; (1) 1; (2) 2?1,?2x???2,x?0????0,x?0?1?1F(x)?x?,0?x??(3) 3.

22?1?1,x???2?1,x?(1)?2F(X)?三、设随机变量X的分布函数有如下形式：,试填上(1),(2),(3)项。 ?1?x??(2),x?(3)四、设随机变量X的分布函数为F(x)?A?B?arctgx,(???x??),求（1）A与B;(2)

P{?1?X?1}.

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练习2.2 离散型随机变量及其分布

一、填空

(1) 设随机变量X的分布列为P{X?k}?ak(k?1,2,?,N),则a? . N(2)设随机变量X的分布列为 1 3 6 8 X pi 则P{0.2 0.1 0.4 0.3 1?X?3}= . 2(3)在一批10个零件中有8个标准件，从中任取2个零件，这2个零件中标准件的分布列是 . (4）已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个数值，其相应的概率依次为

1352,,,,则2c4c8c16cc= . (5)设随机变量X的分布律为P{X?k}?a?kk!,(k?0,1,2,?),??0为常数，试确定a= .

二、设在15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取一只作不放回抽样，以X表示取出的次品数，求X的分布列。

三、某一设备由一个独立工作的元件构成，该设备在一次试验中每个元件发生故障的概率为0.1。试求出该设备在一次试验中发生故障的元件数X的分布列。 四、P{X?n}?1(n?1为自然数）是一随机变量X的概率分布吗？为什么？

n(n?1)五、一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明，在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，求在同一时刻

（1）恰有2个设备被使用的概率；（2）至少有一个设备被使用的概率。

六、设每次射击击中目标的概率为0.001。如果射击5000次，试求击中两次或两次以上的概率。

七、有2500名同一年龄和同一社会阶层的人参加了保险了保险公司的人寿保险。在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可以保险公司领取2000元赔偿金，求： （1）保险公司亏本的概率；

（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率。

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练习2.3 连续型随机变量及其分布

一、填空

0?x?1;?x,?f(x)?X?a?x,1?x?2;，则a? . (1) 设随机变量的概率密度为

?0,其它。?(2)设X~N(?,?2),且P{??k??X???k?}?0.95,则k? 。

?2x, 0?x?1;,则P{0.3?X?0.7}? 。

0, 其它。?(3)设随机变量X的概率密度f(x)??(4)设测量某一目标的距离时发生的随机误差为X（米），且X量中误差的绝对值不超过30米的概率为 。

~N(20,402)，则在一次测

(5)设电阻的阻值R为一个随机变量，且均匀分布在900欧～1100欧，则R的概率密度函数

为 ，分布函数为 。

?k(1?x2)?,?1x?1;(6)若随机变量X的概率密度为f(x)??则k? ,

?0, 其它。1P{X?}? , P{0?X?2}? , P{0?X?2}? . 22(7) 设X服从正态分布N(3,2),则P{2?X?5}? , P{?2?X?7}? ,若

P{X?c}?P{X?c},则c? .

x?1?1000e,x?0;?(8)已知电气元件寿命X服从指数分布：f(x)??1000假设仪器装有5个这

?0, x?0。?样元件且其中任一个元件损坏时仪器即停止工作，则仪器无故障工作1000小时以上的概率为 .

???cosx, ??x?;?二、某学生求得一连续型随机变量的概率密度为f(x)??22试问该学生

??0, 其它。计算是否正确。

???cosx, 0?x?;三、连续型随机变量X的概率密度为f(x)??2试求分布函数F(x)及

??0, 其它。P{?X?}.

42??

四、设随机变量X的概率密度为f(x)?Ae?|x|,???x???.求（1）系数A; (2)

P{0?X?1}; (3) X的分布函数。

五、设某仪器有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（小时）都服从同一指数分布，概

x?1?600e,x?0;?率密度为f(x)??600试求在仪器使用的最初200小时内，至少有一只元件

?0, x?0。?损坏的概率。

六、设随机变量X在?2，5?上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率。

?bx,0?x?1,?1?七、设随机变量X的概率密度函数为f(x)??2,1?x?2,试确定常数b,并求其分布函数

?x??0,其它；

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练习2.4 随机变量函数的分布

一、填空

1.设X的分布列为 X ?1 0 1 2 3 4 1/12 1/6 1/3 1/12 1/4 1/12 pi

则Y?1?X的分布列为 。

k若X?2n;?1,1??2.设X可能取值为1，2，?,k,?,并设P{X?k}???,令Y??，

?2???1,若X?2n?1n?1,2,?.则Y的分布列为 。

3.设X的概率密度为f(x),则Y?X的概率密度为 。 4.设X的概率密度为f(x)??3?2x, 0?x?1,?X,则Y?e的概率密度为 。

?0, 其它.5.若X1,X2,?,Xn是正态总体N(?,?2)的一组简单随机样本，则

X?1(X1?X2???Xn)服从 。 n?e?x,x?0,6.设连续型随机变量X的概率密度为f(x)??则X的函数Y??0,x?0.X的概率密度

?Y(y)? 。

2二、设X～N(?,?),求证Y?3?X也服从正态分布。 5三、测量球的直径，设其值服从[a,b]上的均匀分布，求球的体积的分布密度。 四、设随机变量X服从标准正态分布，求随机变量Y?1?2|X|的分布密度。 五、已知离散型随机变量X的分布列为： X -2 1/5 -1 1/6 0 1/5 1 1/15 2 11/30 P{X?ai} 2试求：(1) Y?2X?1; (2) Y?X的分布列。

六、设随机变量X的概率密度为f(x)???2x,0?x?1,求Y?3X?1的概率密度。

?0,其它?2/[?(1?x2)],x?0,七、设随机变量X的概率密度为fX(x)??求Y?lnX的概率密度。

0,x?0,?

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自测题（第二章）

一、填空（每小题4分）

1.将一枚匀质硬币抛掷三次，设X为三次中出现正面的次数，则P{X?1}? 。 2.设X在[a,b]内服从均匀分布，则X落在[a,c](c?b)内的概率为 。 3.设X的概率密度为f(x)???Csinx, 0?x??,则C= 。

?0, 其它,?1?e?x, x?0,4.设X的分布函数为F(x)??则X的概率密度为 。

0, x?0,?5.若某电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，则每分钟恰有8次呼唤的概

率为 。

二、判断正误（每小题4分）

x2(???x???)一定是某一随机变量X的分布函数； （ ）1.函数F(x)? 21?x2.设

X 1 2 3

pi 0.3 0.4 0.5

则它必为某随机变量的分布列； （ ）

?4x3, 0

0, 其它?24.若X～N(?,?)，则Y?X???也是一随机变量，且Y～N(0,1) ( )

三、（12分）设X～0--1分布，其分布列为P{X?1}?p,P{X?0}?q,其中p?q?1,求

X的分布函数，并作出其图形。

四、（13分）设X服从泊松分布，且P{X?0}?0.4,求P{X?2}.

五、（15分）设一支步枪击中飞机的概率为0.005，试求当1000支步枪同时开火时， 1.飞机被击中的概率；2. 飞机恰中一弹的概率。

六、（12分）随机变量X在[a,b]内的分布密度为f(x),在[a,b]外为0，求随机变量Y?3X的分布密度。

七、（12分）若随机变量X在(1,6)内服从均匀分布，则方程y?Xy?1?0有实根的概率为多大？

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第三章 随机向量

练习3.1 二维随机向量及其分布

一、填空

,4y??C, ?5x?10?1.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),则??0, 其它 ?C? ; ?2e?(x?2y), x ? y0?,0,2. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),则??其它 ?0, P{X?Y?1}? ; ?1?e?x?e?y?e?x?y, x?0,y?0,3.设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)??,则

?0, 其它 二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ;

4. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)?20,则二维随机变量222?(16?x)(25?y)(X,Y)的分布函数为 ; 5.用(X,Y)的联合分布函数F(x,y)表示下述概率：

（1）P{a?X?b,Y?c}? ; （2）P{X?a,Y?b}? ; （3）P{0?Y?a}? ; （4）P{X?a,Y?b}? .

二、掷二枚硬币，以X表示第一枚硬币出现正面的次数，Y表示第二枚硬币出现正面的次数，试求二维随机变量(X,Y)的联合分布。

?2xy?y?2,?x?, 0?x?1,0三、设二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)??,试求3?其它 ?0, P{X?Y?1}。

??C(R?x2?y2, x2?y2?R2,四、设二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)??,

222??0, x?y?R222求:(1) 系数C; (2) (X,Y)落在x?y?r(r?R)内的概率。

五、设随机变量的联合分布律如下表： X Y 1 2 ?1 1/4 1/6 0 1/4 a 试求：（1）a的值；（2）(X,Y)的联合分布函数F(x,y).

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练习3.2-3.3 二维随机变量的边缘分布和条件分布

?Cx2y, x2?y?1,一、设二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)??

?0, 其它1. 试确定常数C；2. 求边缘概率密度。

二、设连续型随机变量(X,Y)在以原点为中心，各边平行于坐标轴，边长为2a和2b的矩形内服从均匀分布，求：

1. (X,Y)的概率密度；2.关于X和Y的边缘分布密度。

三、已知?的概率密度函数为P{??k}?(0.3)k(0.7)1?k,k?0,1,而且在??0及??1的条件下关于?的条件分布如下表：

? P{?|??0} P{?|??1} 1 1/7 1/2 2 2/7 1/3 3 4/7 1/6 试求：1. 二维随机变量(?,?)的联合分布律； 2. 关于?的边缘分布；

3. 在??3的条件下关于?的条件分布律。 四、设随机变量(?,?)的概率密度f(x,y)???1, |y|?x,0?x?1,求条件概率密度

?0, 其它 f?|?(y|x),f?|?(x|y).

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练习3.4 随机变量的独立性

一、填空

1.设(X,Y)的联合分布律如下表所示，则(p,q)? 时，X与Y相互独立。 Y X 0 1 2 2. 离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为：

?1 1/15 q 1/5 1 p 1/5 3/10 (X,Y) P (1,1) 1/6 (1,2) 1/9 (1,3) 1/18 (2,1) 1/3 (2,2) (2,3) ? ? 若X与Y独立，则?? ，?? 。 二、设(X,Y)的联合分布为 Y X 0 1

判断X与Y是否相互独立。

0 9/25 6/25 1 6/25 4/25 ?32?xy, 0?x<2,0?y?1,三、设(X,Y)的概率密度为：f(x,y)??2试求关于X与Y的边

??0, 其它 缘分布密度，且问X与Y是否相互独立。 四、设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为 Y y1 y2 1/9 y3 X x1 x2 a 1/9 c 1/3 b

若X与Y相互独立，求参数a,b,c的值。 五、设(X,Y)为G:x2?y2?4上的均匀分布，求

1.关于X与Y的边缘分布密度；2. 判断X与Y是否独立。

六、设X与Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的概率密

?5e?5y, y?0,度是fY(y)??

?0, y?0 1.求X与Y的联合分布密度；2.求P{Y?X}.

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练习3.5 两个随机变量的函数的分布

一、填空

1.设X与Y是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为FX(x),FY(y),则

Z?max{X,Y}的分布函数是 ，W?min{X,Y}的分布函数是 。

2.设随机变量X与Y是相互独立，且X~N(a1,?1)，Y~N(a2,?2)，则Z?X?Y仍具有正态分布，且有Z~ 。

3.已知随机变量X~N(?3,1)，Y~N(2,1)，且X与Y是相互独立的，Z?X?2Y?7，则Z~ 。

二、设两个相互独立的随机变量X与Y的分布律分别为 22X Pk 1 0.3 3 0.7 Y 2 0.6 4 0.4 Pk 求X?Y的分布律。

三、两个相互独立的均匀分布的随机变量X与Y的分布密度分别为：

?1, 0?x?1,?1, 0?y?1, fX(x)??fY(y)??0, 其它 0, 其它 ??求Z?X?Y的概率密度。

四、设X与Y是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为?1,?2的泊松分布，证明

Z?X?Y服从参数为?1??2的泊松分布.

五、设随机变量(X,Y)的分布密度为f(x,y)??的分布函数和分布密度。

?3x, 0

0, 其它 ?分布函数。

七、设随机变量X与Y相互独立，且服从同一分布，证明：

P{a?min{X,Y}?b}?[P{X?a}]2?[P{Y?b}]2

八、设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N(160,20)分布，随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率。

2

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自测题(第三章)

一、填空（每小题4分）

1.设离散型随机变量(X,Y)的分布律如表（1），则a? . 2.设离散型随机变量(X,Y)的分布律如表（2），则P{X?1,Y?2}? .

2 Y 0 1 1 X

1/6 1/3 1 0.1 0 a 1 1/9 2 0.3 0

2 1/18 1/9 3 0 0.2

(1) (2)

3．设X与Y的分布律分别为

0 0 1 Y X

q p q pk pk Y X 0 3 0.1 0.1 0 4 0 0.2 0 1 p 0?p?1,p?q?1,且X与Y相互独立，则(X,Y)的分布律为 .

4. 设两个相互独立的随机变量X与Y均在[0，1]上服从均匀分布，则(X,Y)的概率密度为 .

二、（15分）设随机变量(X,Y)的概率密度函数为：

?ke?(2x?5y),x?0,y?0, f(x)??0, 其它?(1) 确定常数k;

(2) 求(X,Y)的分布函数。

三、（10分）设随机变量(X,Y)的概率密度函数为：

?24y(1?x),0?x?1,0?y?x，求关于X、Y的边缘分布密度。 f(x)??0,其它?四、（15分）设随机变量X与Y相互独立，且它们的概率密度分别为：

?e?x,x?0,?2e?2y,, fY(y)??fX(x)???0,其它?0,y?0,其它

试求：1. (X,Y)的联合分布密度与分布函数；2. P{0?X?1,0?Y?2}.

五、（10分）设随机变量(X,Y)的分布函数为：

???siny,0?x?,0?y??sinx?F(x,y)??22

??0, 其它 求(X,Y)的概率密度，且问X与Y是否相互独立？

六、（10分）设相互独立的随机变量X与Y的概率密度分别为：

xy?1?3?1?4?e,?e,x?0,, fY(y)??4fX(x)??3?0,?0,其它??y?0,其它

试求Z?X?Y的分布密度。

七、（10分）设随机变量X与Y的联合分布是正方形G?{(x,y):1?x?3,1?y?3}上的均匀分布，试求随机变量U?|X?Y|的概率密度f(u).

八、(14分)设二维随机变量(X,Y)的密度函数为：

?ce?(3x?4y),x?0,y?0, f(x)??0,其它?（1） 确定常数c;

（2） 求边缘分布密度fX(x),fY(y); （3） 求(X,Y)的联合分布密度； （4） 讨论X与Y的独立性； （5） 求P{0?X?1,0?Y?2}.

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a) 随机变量的数字特征 练习4.1 数学期望

一、填空

1.设随机变量X的分布律为：

0 1 2 ?1 X pk 0.2 0.1 0.3 0.4

则E(X)? ; E(|X|)? ; E(X2)? ; E(2X)? .

x??1,?0, ??arcsinx, ??1x?则1,a? ; 2. 随机变量X的分布函数为F(x)??a?b?1, x?1,?b? ;E(X)? ;E(X2)? . ?k,0?x?1，0?y?1,3. 设随机变量(X,Y)的分布密度为：f(x,y)??

0,其它?则k? ; E(X)? ;E(Y)? ;E(XY)? .

24. 设随机变量X~N(?,?),则E(|X??|)? .

x?0,?0, ?35. 设随机变量X的分布函数为F(x)??x, 0?x?1,则E(X)? .

?1, x?1,?6. 设P(X?n)?1,(n?1,2,?,),则E(X)? . 2n(n?1)（X）7. 若随机变量X的期望E存在，则E[E[E（X）]]? .

8. 设X1,X2,X3都服从[0，2]上的均匀分布，则E(3X1?X2?2X3)? . 9. 设(X,Y)的联合分布律如下表所示，则E(X,Y)? . Y 0 1/10 3/10 1/20 1/10 1 7/20 1/10 2 X -1 2

二、对一台仪器进行重复测试，直到发生故障为止，假定测试是独立进行的，每次测试发生故障的概率均为0.1，求试验次数X的数学期望。 三、设随机变量X的概率密度为f(x)???2(1?x),0?x?1，,试求数学期望E(X).

其它?0,四、对圆的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间[a,b]内，求圆面积的数学期望。

l交x轴于B五、平面上点A的坐标为（0,a),其中a?0,过A点的直线l与y轴的夹角为?，

点，已知?在[0,?4]上均匀分布，求?OAB的面积的数学期望。

六、设X与Y是相互独立的两个随机变量，密度函数分别为：fX(x)???2x,?0,f?e?(y?5),y?5，Y(y)??求E(XY). ?0,其它.

0?x?1，其它；

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练习4.2 方差

一、填空

1. 设X为随机变量，且E（X）?1,E(X2)?2,则D(X)?_______. 2. 设X~N(0，?2)，则D(aX?b)?_______.

（X）?2.4,D（X）?1.44,则二项分布的参数3. 已知随机变量X服从二项分布，且En? , p? 。

（X）存在，且E4. 设随机变量X的期望E（X）?a,E（X2）?b,c为常数，则

D（cX)? . （X）?3，D（X）?5. 设随机变量X服从某一区间上的均匀分布，且E度为 , P{X?2}? , P{1?X?3}? .

1，则X的概率密3（X）? , 6. 设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且P{X?1}?P{X?2},则ED（X）? .

（X）? . 7. 设X为一随机变量，若D(10X?1)?10,则DX2X21?1)?2?1)?,则8. 设随机变量X的期望EX为一非负值，且E(,D(222E（X）? 。

29. 若随机变量X~N(?,?),则Y?X?3服从 分布。 231??010. 若随机变量X1,X2,X3相互独立，且服从相同的两点分布?则X??Xi服?，

i?1?0.80.2?（X）? , D（X）? . 从 分布，且E二、设随机变量X的分布律为P{X?k}?p(1?p)k?1,k?1,2,?,其中0?p?1为常数，

（X）求D。

?x?x2?2e2?,x?0（X）三、设随机变量X的概率密度为f(x)???，其中??0的常数，求D。

?0, x?0?四、（1）设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且有E（Xi）?i,D(Xi)?5?i,i?1,2,3,4,设

2Y?2X1?X2?3X3?1（Y）X4,求D.

2

(2)设随机变量X与Y相互独立，且X~N(720,302),Y~N(640,252),求

Z1?2X?Y,Z2?X?Y的分布。

五、证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4.

六、设(X,Y)的联合分布律如下表所示，求E(X?Y),E(XY),D(X?Y),D(XY). 1 2 3 Y X -1 0

0 2/15 1/15 5/15 3/15 4/15 院（系） 班 姓名 学号

练习4.3 协方差与相关系数

一、填空

（Y）?9，?XY?0.5，则D(2X?3Y)? . 1. 设D(X)?4，D(XY?)2. 设两随机变量X与Y的方差分别为25和16，相关系数为0.4，则D2D(X?2Y)? 。

? ；

3. 设X与Y是两相互独立的随机变量，其概率分布分别为：X~N(0,1),Y在（?1，1）上服从均匀分布，则cov(X,Y)= 。

4.如果存在常数a,b(a?0),使P{Y?aX?b}?1,且0?D(X)???,那么为 。

5. 如果X与Y满足D(X?Y)?D(X?Y),则必有X与Y 。

?XY?1, |y|?x,0?x?1二、设随机变量(X,Y)具有概率密度f(x，y)??,求cov(X,Y)。

0, 其它 ?三、设随机变量X与Y的方差分别为25和36，相关系数为0.4，求D(X?Y)及D(X?Y).

?四、已知三个随机变量X、Y、Z中，E(X)D(X)?D(Y)?D(Z)?1,E(W),D(W).

E(Y?)E1(Z)??1 ,,求

?XY?0,?XZ?,?YZ??1212,设W?X?Y?Z?122?, x?y?1五、设随机变量(X,Y)具有概率密度f(x，y)???,试证X与Y是不相关

??0, 其它 的，但是X与Y不是相互独立的。

（X）?20, E(Y)?3, E（Y）?34, 六、设X与Y是两个随机变量，已知E(X)?2, E22?XY?0.5,

求：（1）E(3X?2Y)，E(X?Y);（2）D(3X?2Y)，D(X?Y). 七、假设随机变量X在区间[0,2]上均匀分布，求X与|X-1|的相关系数?

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第五章 大数定律和中心极限定理 一、设随机变量X的方差为2.5，试利用切比雪夫不等式估计概率P{|X?E(X)|?7.5}的值。

二、设某批产品的次品率为p?0.1,现从这批产品中随机地抽取1000件，求抽得次品数在90到100件的概率。

三、设某单位有200台电话机，每台电话大约有5%的时间要使用外线通话，若每台电话是否使用外线是相互独立的，问该单位总机至少需要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证每台电话机需要使用外线时不被占用。 四、设一大批电子元件中，合格品占

1，从中任意选购6000个，试问把误差?限定为多少6时，才能保证合格品的频率与概率之差的绝对值不大于?的概率为0.99？此时，合格品数在哪个范围内？

五、如果?(x)为正的单调递增函数，而E[?(|X|)]?m存在，试证明P(|X|?t)?m. ?(t)六、掷均匀硬币4000次，求正面出现的频率与概率之差的绝对值不超过0.01的概率。 七、设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？

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自测题（第四、五章）

一、填空

1. 设X在[a,b]上服从均匀分布，其分布密度 ，

E(X)?__________,D(X)?__________.

2. 设X服从参数为?的指数分布，其分布密度 ，

E(X)?__________,D(X)?__________.

3. 设

(X,Y)~N(?1,?2,?12,?22,?),则

E(X)?_______,E(Y)?_______，

D(X)?_______,D(Y)?______,cov(XY)?_______,?XY?______.

4. 当X与Y相互独立时，则X与Y 相关；当X与Y不相关时，则X与Y 独立。 5. 设X与Y的方差为D(X)?25,D(Y)?16,相关系数

?XY?0.4，则

D(X?Y)?_____D__?X,Y?(. )?1?(x?y), 0?x?2,0?y?1二、设二维随机变量(X,Y)具有概率密度f(x，y)??3,求数

??0, 其它 学期望E(X),E(Y),方差D(X),D(Y)，协方差cov(X,Y)及相关系数?XY。

?0, x?0?三、已知随机变量X的概率分布密度为f(x)??xm?x,求E(X)及D(X)。

?e, x?0?m!四、设随机变量X的概率分布密度为f(x)???ax(1?x),0?x?1,求a,E(X),D(X)及

0, 其它?P{|X?E(X)|?2D(X)}。

?e?x,x?0五、设随机变量X与Y相互独立，且都服从密度为f(x)??的分布，求

?0, x?0(1) Z?X?Y的分布密度；（2）E(XY).

六、设随机变量X服从泊松分布，且E(X)?6，证明P{0?X?9}?1. 3七、设X为连续随机变量，概率密度满足：当x?[a,b]时，f(x)?0,求证：

?b?a?a?E(X)?b,D(X)???.

?2?

2

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第六章 数理统计的基本概念

练习6.1 随机样本

一、填空：

1. 设X为总体，若X1,X2,?,Xn满足条件 和 ,则称

X1,X2,?,Xn为从总体得到的容量为n的简单随机样本，简称为样本。

2.

样

本

均

值

X?__________,x?__________,样本方差

S2?____________,s2?__________.

二、在五块条件基本上相同的田地上种某种家作物，亩产量分别为92，94，103，105，106（单位：斤），求样本均值和样本方差。 三、设总体X服从均值为

1?的指数分布，X1,X2,?,Xn为X的一个样本，求

E(X) ,E(S2).

四、设X1,X2,?,Xn为（0—1）分布的一个样本，E(Xi)?p,D(Xi)?p(1?p),求

E(X),D(X),E(S2).

五、设总体X~b(1,p),X1,X2,?,Xn为X的一个样本, p未知，求对每个

p(0?p?1),n应取多大，才能保证E(X?p)2?0.01.

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练习6.2 抽样分布 一、已知总体X~N(?,?2),其中?已知而?未知，设X1,X2,?,Xn为取自总体X的一

个样本，试指出下面哪些是统计量，哪些不是统计量：

21. X1?X2???Xn; 2. Xi?2?; 3. X12?X2;

24.

1?2??Xi?1ni?X?2; 5. X1??2; 6. max{X1,X2,?,Xn}

二、从总体N(56,6.32)随机抽取一容量为36的样本，求样本均值X落在50.8到53.8之间的概率。

?102?三、设X1,X2,?,X10为N(0,0.3)的一相样本，求P??Xi?1.44?.

?i?1?210Xi?022提示：令Yi?,则?Yi~?(10).

0.3i?1四、在总体N(80,202)中随机抽取容量为100的样本，问样本均值与总体均值的差的绝对值大于3的概率是多少？

五、求总体N(20,3)的容量分别为10，15的两独立样本均值的绝对值大于0.3的概率。 六、查表求出下列诸值：

22),t0.05(9),F0.1(10,9),F0.05(10,9),F0.90(28,2),F0.999(10,10) ?0.05(10),?0.09(15七、设X1,X2,?,X16是总体X~N(?,?)的一个样本，

2?,?2为未知，而

x?12.5,s2?5.333,求P{|X??|?0.4}.

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练习7.1—7.2 点估计和估计量的评价标准 一、设X1,X2,?,Xn为N(0,?2)的一个样本，求?的极大似然估计。 二、设X1,X2,?,Xn为总体X的一个样本，X的密度函数为

2

??x??1,0

?(??1x?)x,?0?

X pk

其中?(0???0 1 2 3 ?2 2?（1??) ?2 1?2? 1)是未知参数，利用总体X的如下样本值 3， 1， 3， 0， 3， 1， 2， 3，22求?的矩估计值和极大似然估计值。

五、 设X1,X2,?,Xn为泊松分布?(?)的一个样本，试证样本方差S是?的无偏估计,并且，对于任意值?(0???1),?X?(1??)S2也是?的无偏估计。

2?1?n2提示：S? X?nX?i??n?1?i?1?22六、设X1,X2,?,Xn总体X~N(?,?)的一个样本，试适当选择常数C,使n?1i?1C?(Xi?1?Xi)2为?2的无偏估计。

提示：E[(Xi?1?Xi)]?D(Xi?1?Xi)?[E(Xi?1?Xi)]

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练习7.3 区间估计

一、填空题

1. 设总体X~N(?,?2)，?的置信度为1??置信区间为 。 2. 设X~N(?,?2)，?与?均未知，则?与?的置信度为1??置信区间为

2

2

和 。

二、随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（以厘米计）为

2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.11 2.14 设钉子长分布为正态的，试求总体均值?的90%的置信区间：

1. 若已知??0.01厘米；2. 若?为未知。

三、随机地抽取某种炮弹9发做实验，得炮口速度的样本标准差为11（米/秒）。设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差?的95%的置信区间。

四、测量铅的比重16次，得x=2.705，s=0.029,试求铅的比重的95%的置信区间。设测量结果服从正态分布，并知测量无系统误差。

五、对方差?为已知的正态总体来说，问抽取容量n为多大的样本，方使总体均值?的置信度为100(1??)%的置信区间长度不大于L.

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自测题（第七章）

一、填空题（每空5分共40分）

1. 设总体X的分布含有未知参数?，对于给定的数?(0???1),依样本X1,X2,?,Xn确

?(X,X,?,X)，??(X,X,?,X)满足P{???????)?1??, 定的两个统计量?112n212n12则 叫做置信度为 的置信区间。

2. 设X1,X2,?,Xn是来自泊松分布?(?)的样本，?为未知参数，则(X1,X2,?,Xn)的概率分布为 ；设n?10时，样本的一组观测值为（1，2，4，3，3，4，5，6，4，

8），则样本均值为 ；样本方差为 。

??e??x,x?03. 设总体X服从指数分布，f(x)??,??0为未知参数，X1,X2,?,Xn是来

? 0, x?0自X的样本，则未知参数?的矩估计量是 ；极大似然估计量是 。 4. 设总体X~N(?,a2)，若?,a2均为未知参数，总体均值?的置信水平为1??的置信区间为?x????ss?,x???,则?的值为 。 nn?二、（10分）设总体X~N(?,102)分布，若使?的置信水平为1??=0.95的置信区间长度为5，试问样本容量n最小应为多少？

?1,0

??0, 其它 ?),并判断??是否为?的无偏估计量。 求：1. ?的矩法估计量??; 2. E(?四、（10分）设(X1,X2)总体X的样本，试证统计量：d1(X1,X2)?13X1?X2; 44d2(X1,X2)?1211X1?X2;d3(X1,X2)?X1?X2都是总体期望E(X)的无偏估计。 3322????1??, x??五、（15分）设总体X的分布函数为F(x)??,其中未知参数??1,??0,x?0, x???设X1,X2,?,Xn为来自总体X的样本。 1.当??1时，求?的矩估计量； 2.当??1时，求?的极大似然估计量；

3.当??2时，求?的极大似然估计量。

?2e?2(x??),x??六、（15分）设总体X的概率密度为f(x)??,其中??0是未知参数，从总

?0, x????min(X,X,?,X). 体X中抽取简单随机样本X1,X2,?,Xn，记?12n1.求总体X的分布函数F(x); 2.求统计量??的分布函数F?(x)； ?3.如果用??作为?的估计量，讨论它是否具有无偏性。

练习 1.1

一、1. ??{(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E)};2. {0,1,2,3,4,5,6}。 二、1. A1?A2?A3; 2. A1A2A3; 3. A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3.

三、1. A={至多出现2次正面}；2. A={至少出现4次正面}；3. A={至多出现2次反面} 四、C?{5,6,7,8,9,10};A?C?{1,2,3,4,6,8,10};AC?{2,4};A?C?{6,8,10};

A?B??;AB??

五、（1）该生是三年级男生 但不是运动员； （2）当某系的运动员全是三年级男生时；

（3）当某系除三年级外其它年级的学生都不是运动员时；

（4）当某系三年级的学生都是女生，而其它年级都没有女生时。

练习 1.2

一、1. 0.9， 0.3， 0.6， 0.7， 0.2， 0.9；2. 0.6；3. P(A); 4. 0.7; 5. 7/12.

二、当A?B??时，P(AB)取到最小值为0.3；当AB?A时，P(AB)取到最大值0.6。

1910221C3?C17C17p?三、p1?; .四、1. ；2. A??，但P(A)?0. p?1-121010288C20C2010P36536410,p2?1?五、p1?1?. 1010365365六、提示：利用P(AB)?1?P(A?B)?1?[P(A)?P(B)?P(AB)].

七、P(AB)?1?P(AB),而P(AB)?P(A)?P(AB)?P(A)?P(A?B)?0.7?0.3?0.4. 故P(AB)?1?P(AB)?1?0.4?0.6

练习 1.3

一、1. ac;a?b?ac;a?ac;二、

acb?ac;1?c;. 2. 0.54; 3. 0.2, 0; 4. 1/18; 5. 0.829, 0.988 b1?a2。三、1.0.105；2.第一车间。 32；2.0.4856。 六、0.988。七、61.98%。 5四、0.010376，0.0376， 90。 五、1.

练习 1.4

一、1. 1/3, 1/15, 17/36; 2. 0.52; 3. 26/27, 4/9, 7/27; 4. 0.3, 3/7, 0.6.

二、5次试验不是相互独立的，不能用二项概率公式。三、1.

133；2. 。

53023四、C4(0.01)2(0.99)2; C4(0.01)30.99?(0.01)4. 五、0.104。 六、0.09693

3七、设Ai?{甲进i球}，Bi?{乙进i球}，i?0,1,2,3,则P(八、略。

自测题（第一章）

?AB)?0.32076.

iii?0一、1.等可能性，无穷的；2.不可能同时发生，必然至少有一个发生；3.互斥，P(AB); 4. P(AB),独立；5.A(B?C),A?(B?C); 6.至多3次，至少7次；7.数学书全是90年后出版的中文版的；有外文版90年或90年前出版的数学书。 二、1.错 2. 对 3. 错 4. 对 5.对 6. 错。 三、1. ??{3,4,5,6,?,10};2. ??{七、1. 0.9428；2. 0.9979。

练习 2.1

012300217,,，?,}.四、。五、。六、 303030303320F(a)?F(a?0),1?F(a),F(x2)?F(x1); 3. 1?(???) 一、1. {X?x}; 2. F(a)，二、（1）不是，因为limF1(x)?2; (2) 不是，因为F2(x)?sinx在?x??????,??内单调下降； 2??（3）是，但F3(x)在x?0不连续，也不是阶梯状曲线，故既非连续型也非离散型随机变量的分布函数。

三、（2）=1， （1）=（3）=0. 四、（1） A?

111,B?; (2).P{?1?X?1}?. 2?2一、1.

21?N??练习 2.2

0 1 2 X;2. 0.3; 3.

pi

1/45 16/45 28/45

4.2；5. e二、

X pi

0 1 2

22/35 12/35 1/35

三、

X 0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 pi

四、是。 五、1.0.0729；2.0.4095。 六、1?e

?5?5e?5. 七、1. 0.000069; 2. 0.986305,0.615961.

练习 2.3

?1, 900?x?1100?一、1. 2；2. 1.96；3. 0.4；4. 0.4931；5. f(x)??200,

??0, 其它 x?900?0,?x?900?F(x)??,900?x?1100; 6. 3/4, 0, 1/2, 1/2; 7. 0.5328, 0.9710, 3; 8. e?5

?200x?1100??1,二、错。

??0,x?0?2??三、F(x)??sinx,0?x?;1?;

22???1,x???21x?e, x?0?11?e?1?2四、1. A?; 2. ; 3. F(x)??.

122?1?e?x, x?0 ??2x?0?0,?2?x,0?x?1?2?1五、1?e; 六、 20/27; 七、b?1, F(x)??

31??,1?x?2?2x?1,x?2?

练习 2.4

一、1.

Y ?3 ?2 ?1 0 1 2 pi 1/12 1/4 1/12 1/3 1/6 1/12 1121?22. P{Y?1}?, P{Y??1}?; 3. fY(y)?y3f(y3)；

3331?2?lny,?y?1?4. fY(y)??y； e?0, 其它???2ye?y,y?025. N(?,?); 6. ?Y(y)??

??0, y<02??2). 二、Y~N(3?,5251(y?1)2?233??12?3?3?a?b8?1?e,y?1?y,?y??f(y)?三、fV(y)??b?a?。四、 ?2?Y66?9???0, y?1?0, 其它??五、1.

2.

Y ?3 ?1 1 3 5

P{Y?bk} 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 Y 0 1 4

P{Y?bk} 1/5 7/30 17/30 ?2(y?1),1?y?4?六、fY(y)??9

??0, 其它2ey七、fY(y)?,???y???. 2y?(1?e)

自测题（第二章）

?e?x, x?0c?ae?448一、1. 1/2; 2. ; 3.1/2; 4. f(x)??; 5.

b?a8!?0,x?0x?0?0,?2二、1.错；2.错；3.错；4.对。三、F(x)??q,0?x?1.四、0.6+0.4ln0.4?0.2ln0.4.

?1,x?1?

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