高等数学 第五章 不定积分

第五章 不定积分

一、 本章提要

1. 基本概念 原函数，不定积分． 2. 基本公式

不定积分的基本积分公式（13个）；分部积分公式． ３．基本方法

第一换元积分法（凑微分法）；第二换元积分法；分部积分法；简单有理函数的积分方法．

二、 要点解析

问题1 应用第二换元积分法应注意什么问题？

解析 用第二换元积分法计算不定积

?f(x)dx关键是要选择合适的变换函数

x??(t)，使得新的被积函数f(?(t))??(t)具有原函数G(t) ，再从x??(t)中得出 t???1(x)代入G(t)，即得f(x)的原函数．上述条件与结论用定理描述为：

定理（第二换元法）若函数x??(t)在某个区间上满足： （1）??(t)可导且 ??(t)?0；

（2）x??(t)的反函数 t??(x)存在； （3）f(?(t))??(t)有原函数G(t)．则有

?1?f(x)dx??f(?(t))??(t)dt?G(?1 ???t?1 ??(t) ?1(x))?C．

上述定理的证明是显然的，只需证明右端的导数是左边的被积函数即可，事实上，

?(G(??1(x))?C)??G?(t)t?x?G(t)

=f(?(t))??(t)?=f(?(t))

1

=f(x)．

在利用第二换元积分法计算不定积分时，可表述为如下过程：

?f(x)dx??f(?(t))d?(t)??f(?(t))??(t)dt

?G(t)?C

?1 =G(?(x))?C，

由此看来，在使用第二换元积分法计算不定积分时，尤其要注意所作代换x??(t)必须存在反函数 t??(x)．

问题2 为什么同一个不定积分用不同的方法可得出形式完全不一样的结果？ 解析 这是因为不定积分

而f(x)的任何两个原?f(x)dx求的是f(x)的一切原函数，

?1函数之间相差一个常数．也正是由于这个缘故，才会出现同一函数的两个原函数在形式上有

较大的差异．但是，不管所求原函数的形式如何，其导数都必须是被积函数．据此，可对所求结果的正确性进行检验．

问题3 在几何上如何根据被积函数的性态，来研究其原函数的形状． 解析 根据不定积分

?f(x)dx的被积函数f(x)的性态，来研究其原函数F(x)（原函

数间彼此差一个常数）的性态．实质上就是，根据F?(x)?f(x)的性态，来研究F(x)的性态．

假设我们有F?(x)的图像，而想画出F?(x)的一个近似图像．首先应注意到：F(x)的图像在任何点的斜率都是等于F?(x)在那点的值，且有：（1）当F?(x)的图像位于x轴之上方时，F(x)是上升的，当F?(x)的图像位于x轴下方时，F(x)是下降的；（2）如果F?(x)图像是递增的，则F(x)的图像就是上凹的，如果F?(x)的图像是递减的，则F(x)的图像是下凹的．

例１ f?(x)的图像如图所示．画出f(0)?0和f(0)?1两种情况下f(x)的图像．

f?1

O 1 2 x 3 4 2 解 对于 0?x?2，f的斜率是常数1，所以f的图像是斜率为1的直线．对于

2?x?4，f?>0,所以f的图像是递增的，又因为f? 的值由1到0逐渐变小，所以f的增

长也是越来越缓慢．当x?4时，f?<0 ,所以f 的图像是递减的，又因为f?(4)?0，所以可导函数f(x)在x?0处达到局部极大值．

注意，关于对应于f(0)?0 和f(0)?1 的两个解，它们在纵轴上的起始点不同，其形状完全一样且彼此平行（相同点具有相同的斜率）．

根据f的上述特性，画出其图像．

O 2 4 x f1 例2 下图给出了函数f? 的图像，画出原函数f的曲线族．

解 先画任意一个原函数，再把此图像上、下平移一个常数，而得到所有其他原函数．函数f?给出了f的斜率，观察f?的图像，可看出f在x??2和x?0处具有水平切线（因为此时f?=0）．由于f?(－2)=0 且f?在x??2处是递减（f??<0）的，所以，f在x??2 处有局部极大值；由于f?(0)?0且f?在x?0处是递增的（f??>0），所以f在x?0处有局部极小值．又因为f?在x??1处有局部极小值（当x由小增大经x??1时，（(f?)）由负

-3 -2 -1 O 1 2 3 f?x 3

变正），所以f 在x＝－1处具有拐点．又因为f?在x?1处，f?有局部极大值（当x由小增大经过x?1时，(f?)?由正变负），所以f在x?1处也具有拐点．

由于x??2时，f??0,f单增；?2?x?0时，f??0, f单减；x?0时，f??0，

f单增．

由f?的图像还可观察到，f?以x轴为水平渐近线，因为x???时，有f??0，这意味着f的图像当x???时，渐趋平坦．

根据f?的原函数f的上述性质，即可画出f的图像，原函数族f(x)?C只需将f的图像进行沿y轴若干次上下平移即可．

三． 例题精解

例３ 求

解

-2 f-1 O 1 x ?xf?()dx． 5?xxxxxxf?()dx =?f?()5d()=5?f?()d() =5f()?C． 555555cosx 为f(x)的一个原函数，求 ?xf?(x)dx． xcosx 为 f(x)的一个原函数，所以 x例４ 设

解 因为

所以

?f(x)dx? cosx?C x?xf?(x)dx??xd[f(x)]

?xf(x)??f(x)dx

4

?xf(x)?2cosx?C． x 例５ 已知f?(sinx)?cosx，求f(x)．

解一 因为 f?(sinx)?cosx， 所以

2f?(sinx)d(sinx)?cos2xd(sinx)

所以

2 f(sinx)?(1?sinx)d(sinx)?sinx??13sinx?C， 3所以

f(t)?t?13t?C， 313x?C． 3即 f(x)? x?解二 因为

f?(sinx)?cos2x?1?sin2x，

令sinx?u,代入上式得

f?(u)?1?u2，

所以

?f?(u)du??(1?u2)du，

所以 f(u)?u?所以 f(x)?x?13u?C， 313x?C． 3例６ 求

?xdxx?12．

解一 令 x?secu, 则 dx?secutanudu．

?x

dxx?12??secu?du

secutanudusecu?12

?

?u?C

?arccos?C．

1x 5

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