高考数学二轮专题突破课堂讲义 第11讲 数列求和及其综合

第11讲 数列求和及其综合应用

1. 掌握数列的求和方法：(1) 直接利用等差、等比数列求和公式；(2) 通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；(3) 根据数列特征，采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和；(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；(5) 在证明

2

有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n－1)

2. 数列是特殊的函数，这部分内容中蕴含的数学思想方法有函数与方程思想、分类讨论思想、化归转化思想、数形结合思想等，高考题中所涉及的知识综合性很强，既有较繁的运算又有一定的技巧，在解题时要注意从整体去把握．

n－1

1. 若数列{an}的通项公式是an＝(－1)·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝________． 答案：－15

解析：∵ a1＋a2＝a3＋a4＝…＝a9＋a10＝－3， ∴ a1＋a2＋…＋a10＝5×(－3)＝－15.

An7n＋5a7

2. 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则＝________．

Bnn＋3b7

答案：6

a7a1＋a13A137×13＋5解析：＝＝＝＝6.

b7b1＋b13B1313＋3

2an＋1*

3. 若数列{an}满足2＝p(p为正常数，n∈N)，则称{an}为“等方比数列”，则“数列

an

{an}是等方比数列”是“数列{an}是等比数列”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．

答案：必要不充分

?1?4. 已知等比数列{an}的首项为2，公比为3，前n项和为Sn.若log3?an（S4m＋1）?＝9，?2?

14

则＋的最小值是________． nm

5答案： 2

4m

2（1－3）n－14m

解析：由题设an＝2×3，S4m＋1＝＋1＝3，

1－3

11??4m＋n－1

∴ an(S4m＋1)＝3.又log3?an（S4m＋1）?＝9， 2?2?1141?14?9

∴ an(S4m＋1)＝3，即4m＋n－1＝9，∴ 4m＋n＝10.又＋＝?＋?(4m＋n)＝

2nm10?nm?4n4m?51?4n4m

·?17＋＋?≥，当且仅当＝，即m＝n＝2时，“＝”成立．

mn?210?mn

题型一 等差、等比数列求和公式及利用

例1 已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．

(1) 求数列{an}和{bn}的通项公式； (2) 求数列{bn}的前n项和．

解：(1) 设等差数列{an}的公差为d，

- 1 -

a4－a112－3

由题意得d＝＝＝3.

33

所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1，2，…)． 设等比数列{bn－an}的公比为q，

b4－a420－123

由题意得q＝＝＝8，解得q＝2.

b1－a14－3

n－1n－1

所以bn－an＝(b1－a1)q＝2.

n－1

从而bn＝3n＋2(n＝1，2，…)．

n－1

(2) 由(1)知bn＝3n＋2(n＝1，2，…)．

n

31－2n－1n

数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，数列{2}的前n项和为1×＝2－1，

21－2

3n

所以，数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2－1.

2

题型二 可转化为等差、等比数列求和

2

n＋n*

例2 已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N.

2

(1) 求数列{an}的通项公式；

n

(2) 设bn＝2an＋(－1)an，求数列{bn}的前2n项和． 解：(1) 当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，

22

n＋n（n－1）＋（n－1）

an＝Sn－Sn－1＝－＝n.

22

故数列{an}的通项公式为an＝n.

nn122n

(2) 由(1)知，bn＝2＋(－1)n.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(2＋2＋…＋2)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．

122n

记A＝2＋2＋…＋2，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，

2n

2（1－2）2n＋1

则A＝＝2－2，

1－2

B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.

2n＋1

故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝2＋n－2. 题型三 根据数列特征，用适当的方法求和

12*

例3 已知数列{an}的前n项和Sn＝－n＋kn(k∈N)，且Sn的最大值为8.

2

(1) 确定常数k，求an；

?9－2an?

(2) 求数列?n?的前n项和Tn.

?2?

121212*2

解：(1) 当n＝k∈N时，Sn＝－n＋kn取最大值，即8＝－k＋k＝k，故k＝4，从而

222

979

an＝Sn－Sn－1＝－n(n≥2)．又a1＝S1＝，所以an＝－n.

222

9－2ann23n－1n

(2) 因为bn＝n＝n－1，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋＋2＋…＋n－2＋n－1，所以Tn＝2Tn

222222

11n1nn＋2

－Tn＝2＋1＋＋…＋n－2－n－1＝4－n－2－n－1＝4－n－1. 222222 已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，a2＝2，an>0，bn＝anan＋1(n∈N)，且{bn}是

以q为公比的等比数列．

2

(1) 证明：an＋2＝anq；

(2) 若cn＝a2n－1＋2a2n，证明：数列{cn}是等比数列；

111111

(3) 求和：＋＋＋＋…＋＋.

a1a2a3a4a2n－1a2n

- 2 -

*

bn＋1an＋1an＋2an＋22*

(解法1)(1) 证明：由＝q，有＝＝q, ∴ an＋2＝anq(n∈N) .

bnananan＋1222n－222n－2

(2) 证明：∵ an＝an－2q，∴ a2n－1＝a2n－3q＝…＝a1q，a2n＝a2n－2q＝…＝a2q，∴ cn

2n－22n－22n－22n－22

＝a2n－1＋2a2n＝a1q＋2a2q＝(a1＋2a2)q＝5q，∴ {cn}是首项为5，以q为公比的等比数列．

112－2n112－2n111111

(3) 解：由(2)得＝q，＝q，于是＋＋…＋＝(＋＋…＋)＋

a2n－1a1a2na2a1a2a2na1a3a2n－1

111?1111?11113

(＋＋…＋)＝?1＋2＋4＋…＋2n－2?＋(1＋2＋4＋…＋2n－2)＝

q?a2a4a2na1?qqa2qqq2

1??1＋12＋14＋…＋2n－2. ?qqq???

111?31113?1

由题知q>0，当q＝1时，＋＋…＋＝?1＋2＋4＋…＋2n－2?＝n；当q≠1时，＋q?2a1a2a2n2?qqa1

－2n2n

111?3?1－q?3?q－1113??.

＋…＋＝?1＋2＋4＋…＋2n－2?＝?－2?＝?2n－22

q?2?1－q?2?q（q－1）?a2a2n2?qq?3

n，q＝1，2111

故＋＋…＋＝ 2n

a1a2a2nq－13??，q≠1.

2n－22??2?q（q－1）?

解法2: (1) 同解法1.

22

cn＋1a2n＋1＋2a2n＋2qa2n－1＋2qa2n2*

(2) 证明：＝＝＝q(n∈N)，又c1＝a1＋2a2＝5，∴ {cn}是

cna2n－1＋2a2na2n－1＋2a2n2

首项为5，以q为公比的等比数列．

111a1＋a22n－22n－2

(3) 解：由(2)的类似方法得a2n－1＋a2n＝(a1＋a2)q＝3q，＋＋…＋＝＋

a1a2a2na1a2

2k－2

a3＋a4a2n－1＋a2na2k－1＋a2k3q3－2k＋21113

＋…＋.∵ ＝4k－4＝q，k＝1，2，…，n, ∴ ＋＋…＋＝a3a4a2n－1a2na2k－1a2k2q2a1a2a2k2

－2－4－2n＋2

(1＋q＋q…＋q)(下面同解法1)．

题型四 数列求和的综合应用

例4 将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a1 a2 a3 a4 a5 a6

a7 a8 a9 a10 …

记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{bn}，b1＝a1＝1，Sn为数列{bn}的前n

2bn

项和，且满足2＝1(n≥2)．

bnSn－Sn

?1?

(1) 证明：数列??成等差数列，并求数列{bn}的通项公式；

?Sn?

(2) 上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比

4

为同一个正数，当a81＝－时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．

912bn2

(1) 证明：由已知，2＝1，又bn＝Sn－Sn－1，∴ 2(Sn－Sn－1)＝Sn(Sn－Sn－1)－Sn，即

bnSn－Sn

?1?1111

2Sn－1－2Sn＝SnSn－1.又S1＝1≠0，∴ SnSn－1≠0，∴ －＝，∴ 数列??成等差数列，且

SnSn－12Sn?Sn?

12

＝1＋(n－1)·，即Sn＝，

2n＋1

??

???

- 3 -

1，n＝1，??

∴ bn＝? 2*

－，n≥2，n∈N.??n（n＋1）

12×13

(2) 解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q＞0.因为1＋2＋…＋12＝2

＝78，所以表中第1行至第12行共含有数列{an}的前78项，故a81在表中第13行第三列，因

422

此a81＝b13·q＝－.又b13＝－，所以q＝2.记表中第k(k≥3)行所有项的和为S，则S

9113×14

kk

bk（1－q）－2（1－2）2k＝＝·＝(1－2)(k≥3)．

1－qk（k＋1）1－2k（k＋1）

1. (2014·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的公差为2，若a2、a4、a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝________．

答案：n(n＋1)

22

解析：∵ 等差数列{an}的公差为2，且a2、a4、a8成等比数列，∴ a4＝a2a8，即(a1＋6)＝(a1＋2)(a1＋14)，解得a1＝2，则an＝2n，∴ Sn＝n(n＋1)．

2. (2014·福建卷)在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81. 若bn＝log3an，则数列{bn}的前n项和Sn＝________．

2

n－n答案：

2

?a1q＝3，?a1＝1，??

解析：设{an}的公比为q，依题意得?4解得?因为bn＝log3an＝n－1，所以

??aq＝81，q＝3.?1?2

n（b1＋bn）n－n

数列{bn}的前n项和Sn＝＝.

22

2

3. (2014·全国卷Ⅰ)已知{an}是递增的等差数列，a2、a4是方程x－5x＋6＝0的根，则?an?

数列?n?的前n项和为________．

?2?

n＋4

答案：Sn＝2－n＋1

22

解析：方程x－5x＋6＝0的两根为2、3. 由题意得a2＝2，a4＝3.

设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，

13故d＝，从而得a1＝.

22

1

所以{an}的通项公式为an＝n＋1.

2

?an?ann＋2设?n?的前n项和为Sn，由(1)知n＝n＋1，

22?2?

34n＋1n＋2

则Sn＝2＋3＋…＋n＋n＋1，

2222

134n＋1n＋2Sn＝3＋4＋…＋n＋1＋n＋2， 22222两式相减得

1?n＋231?1?n＋213?1n＋4

Sn＝＋?3＋…＋n＋1?－n＋2＝＋?1－n－1?－n＋2，所以Sn＝2－n＋1. 2?224?244?2?224. (2014·安徽卷)如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝22，过点A作BC的垂

线，垂足为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…依此类

- 4 -

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