2017福州一中追梦计划招生数学答案

2017年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇和农村

地区（“追梦计划”）招生考试数学与逻辑参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

题号 答案

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．13．

1 C 2 B 3 D 4 C 5 B 6 A 7 C 8 C 9 A 10 B ?5x?2y?10 ??2x?5y?812． x?5

13?23?33?43?53?63?212

15．

0?n?1 314． 4?43

三、解答题（本大题共7小题，满分90分）

16. 本小题主要考查实数的运算、代数式的化简等基础知识，考查代数运算能力、化简能力，分类与整合思想等．满分12分． 解：（Ⅰ）原式=1?33?1?6?3+8????????5分2

=8??????????????6分

x2?2x4?x2?（Ⅱ）原式?2??????????????8分x?1x?x

x2?2xx?1??????????9分 ?2?x?x?2?x??2?x?

=? 当x??1.??????????????11分 x?212时，原式??.???????????12分 2317. 本小题主要考查圆的几何性质、等腰三角形的判定及性质等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，考查演绎论证及度量计算的逻辑思想等．满分12分．

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证明：（Ⅰ）∵ 四边形ABED为⊙O的圆内接四边形

? ?B??ADE?180??????????????2分 又 ∵ ?CDE??ADE?180

? ?B??CDE??????????????3分 ∵ AB?AC

? ?B??C??????????????4分 ? ?C??CDE??????????????5分 ? ?CDE为等腰三角形??????????????6分 （Ⅱ）法一：连接AE，∵ ⊙O的直径为AB

????AEB?90??AE?BC...............................7分

∵AB?AC

1BC?4.........................................8分 2由(Ⅰ)知?B??C??EDC，?C??C ??ABC∽?EDC BCAC?...........................................10分 ?DCECBC?CE32?.................................11分 ?AC?DC3∵AB?AC

16.??????????????12分 O∴⊙的半径为 3?CE?法二：连接AE，过点E作EF?CD，垂足为F 由（Ⅰ）知?CDE是以CD为底边的等腰三角形 ? CF?13CD???????7分 22 ∵ ⊙O的直径为AB

??AEB?90????????8分 ∵ AB?AC

?BE?CE?4???????9分 ∵ ?B??C，?AEB??EFC

∴ ?EFC∽?AEB，???????????10分 ∴

?FCCE???????????????11分 BEAB追梦计划 数学与逻辑答案 第2页 共8页

CE?BE4?432??

3FC3216.??????????????12分 O∴⊙的半径为 3 ∴ AB?18.本题考察反比例函数图像及性质、一次函数解析式求解问题,及求平面四边形面积问题,

涉及对称与割补思想方法.满分12分． 解：（Ⅰ）过点C分别作CE?AO于点E， 设点C(m,n)， ∵tan?COA?2?n?2m,..................................1分 ∵CB//OA ?yB?n,

?yD?∵D为AE的中点，

n,..............................................2分 2

又C,D在反比例函数图象上，

?mn?xD?yD?k,?xD?2m, ..............................................4分

∵xB?2, ?m?1, ?n?2,.............................................5分

?k?mn?2.

所以，反比例函数的解析式为y?2............................................6分 x （Ⅱ）由（Ⅰ）得C(1,2),D(2,1)，

法一：S四边形OCDA?S?AOC?S?ACD......................9分

115??2?2??1?1?..............12分

22 2 法二：S四边形OCDA?S四边形OABC?S?BCD

?S?COE?S矩形ABCE?S?BCD...............9分

115??1?2?1?2??1?1?...........12分

22219. 本小题主要考查三角形全等、相似的判定方法；特殊四边形的性质及判定等基础知识，考查识图、辩图、逻辑推理能力，考查几何直观等形象思维．满分12分．

（Ⅰ）法一：证明：过P作PM?AB于M，PN?BC于N，????????1分 ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ ?ABC?90， ∴ 四边形BMPN是矩形，

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?

又 ∵ BD是?ABC的角平分线，

∴ PM?PN??????????????2分 ∴ 四边形BMPN是正方形， ∴ ?MPN?90， ∵ AP?PE， ∴ ?APE?90，

∴ ?APE??MPE??MPN??MPE

∴ ?APM??EPN??????????????4分 在?APM和?EPN中，

??

∴ ?APM≌?EPN（ASA），??????????????5分 ∴ AP?PE.??????????????6分 法二：连AE，由?ABC??APE?90，

???AMP??ENP?， ?PM?PN??APM??EPN??B、P两点都在以AE为直径的圆上，.....................2分

∴ ?ABP??AEP.....................3分 ∵ 四边形ABCD是正方形，

∴?ABP?45，∴ ?AEP?45 ，∴?EAP?45

?????EAP??AEP......................5分 ∴ AP?PE.??????????????6分

（Ⅱ）法一：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ?BAD?90， 又∵?PBM?90， ∴ PM∥AD， ∴ ?BPM∽?BDA， ∴

??PMBP?，??????????????7分 ADBDPNBP?， CDBD追梦计划 数学与逻辑答案 第4页 共8页

同理，

PMPN?， ADCDPMAD63?==，??????????????9分 ∴

PNCD42∴

∵ ?AMP??ENP?90，?MPA??EPN， ∴ ?APM∽?EPN.??????????????10分 ∴

?APPM???????????????11分 PEPN∴ AP:PE?3:2.为定值.?????????????12分 法二：连AE，由?ABC??APE?90，

??B、P两点都在以AE为直径的圆上，..................8分

?ABP??AEP，......................9分 ??tan?ABP?tan?AEP

APAD，tan?ABP?....................11分 AEABAPAD3??......................12分 ∴

AEAB2（或证明?AEP∽?ABD）

∵ tan?AEP?20. 本小题主要考查勾股定理、解直角三角形等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分14分．

解：在ΔABD中作B C?DA于点C.???????2分 在Rt?ABC中， AB?16，?BAC?45，

??BC?AC?82??????????????3分

?CD?AD?AC?142?82?62????????????4分

依题意，以点D为圆心，12海里为半径的圆形区域为暗礁区域??????5分 ∵ 62?12

所以，如果渔船不改变航线继续航行，有触礁危险.???????????6分 在BC上取点E使得ED?12，连接AE，ED . 在Rt?CED中，ED?12，CD?62

所以，CE?ED?CD

222?CE?62???????????8分

在Rt?CEA中，AE?CE?AC

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222

?AE?102???????????9分

所以，在Rt?CEA中，sin?EAC?CE3? AE5??EAC?36?52' ???????????11分

因为该渔船到达点E的时间t?BE222小时. ??442所以巡逻船速度v?AE102??20海里/小时. ?????????13分 t22??'?'所以，巡逻船要以北偏东90?3652?5308的航向和至少每小时20海里的速度前往拦截. ?????????14分 （注：没有取“=”扣1分）

21.本题考察学生的阅读理解能力，解一元二次方程及求解二次函数最值的能力，蕴含了数

形结合的思想. 满分14分．

解：（I）由题意知，max??3,?2???2，......................................2分 所以方程变为 ?2??2x?8x，化简为 x?4x?1?0...................3分 解得 x1?2?5 或 x2?2?5 所以方程max??3,?2???2x2?8x的解为2?5 或2?5.................5分 （II）(1)当x?3x?6?x?x即x?22223时， 2222 y?maxx?3x?6,x?x?x?3x?6,...................................7分

??∵ y?x?3x?6的对称轴为x??

2333,而x?在对称轴x??的右侧， 222?y随着x的增大而增大，

33233 ?x?时，y取最小值，且最小值为y?()?3??6?.................9分

2224322 （2）当x?3x?6?x?x即x?时，

2

y?ma?x2x?32?x6,2x??x?2x?.....................................11,x分

113,而?， 22211211 ?x?时，y取最小值，且最小值为y?()???..................13分

2224122 由（I）（II）得 函数y?max?x?3x?6,x?x?的最小值为?..........14分

4 ∵ y?x?x的对称轴为x?（注：若用数形结合作答的酌情给分.）

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22. 本题考查用待定系数法求函数解析式及一次函数和二次函数的性质，综合了等腰直角三角形、圆、矩形的性质及垂直平分线的判定，解题过程中利用了图象平移的性质，蕴含了化归及数形结合的数学思想．满分14分．

解：（I）由已知设C1:y?a(x?1)2?2(a?0)过B(3,0)，........................1分

1 ..........................2分 211232 ?C1:y?(x?1)?2?x?x? ..........................3分

222 则4a?2?0，a? 抛物线C1的对称轴方程为x?1，由对称性可得A(?1,0)....................4分（II）法一：设直线l：y?kx?b(k?0)由已知得??k?b??2，

3k?b?0?解得k?1,b??3 ?l:y?x?3 ................5分 设直线l交y轴于D(0,?3)

?∵ OB?OD，??ODB?45

由平移的性质可知PQ?BC ∵PF?BC，?PQ?PF?22 ∵PF?l，??PQF为等腰直角三角形.

??FQP?45???ODB，QF?4

?FQ//y轴 ....................7分

设Q(t,t?3)，则F(t,t?t?)，FQ?|12232123t?t??(t?3)|?4 22解得t??1或5，则F(?1,0)或(5,6) ....................9分 法二：连接FQ并延长交x轴于H，连接AF ∵ AC?BC?22，AB?4

??ABC为等腰直角三角形...............5分

?ACB?90?，?ABC??BAC?45?

?∵ FP?l ??FPQ?90 ?AC//PF

∵ PF?BC?PF?AC

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?四边形ACPF为矩形 ?PC//AF ??FAH?45?

由平移的性质可知PQ?BC

??PFQ为等腰直角三角形，?FQP?45?

??AFH?45? ??AFH为等腰直角三角形..........................7分

设F(m,12313m?m?)，则AH?FH即m?(?1)?m2?m? 2222解得m??1或5，即F(?1,0)或(5,6) ..............................9分 （Ⅲ）连接NQ,MQ,AR,QR

由（II）可知?ACB??FPQ?90?，Q(5,2)

?AC//PF

∵AC?PF

?四边形ACPF为矩形

??MAN?90? ?AR?1MN?RQ 2?R在AQ的垂直平分线上，即R的路径是线段....11分

当点M在C处时，R在AQ的中点R1处，当点M在A处时，R在AN上的点R2处 ∵?AR1R2?90?,?AQC??R2AR1 ∵sin?NAQ?ACR1R2 ?CQAR1∵AC?22,CQ?42,AQ?210 ?R1R2?

1010 即R的路径长度为......................................14分 22追梦计划 数学与逻辑答案 第8页 共8页

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