初三+圆相似三角形三角函数+贾国晶

精锐教育学科教师辅导讲义

学员编号： 年 级：初三 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：贾国晶 授课 类型 C (锐角三角函数) C （相似三角形） T （与圆有关的综合） 授课日 期时段 教学内容 专题概况 1. 正确记忆理解四个锐角三角函数 （1）正弦：在直角三角形中，一个锐角所对的直角边与斜边的比，叫这个锐角的正弦。 即：如图1 B c a A C b 图1 a斜边c ?B的对边bsinB??斜边csinA?? （2）余弦：在直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比，叫这个锐角的余弦。 即：如图1 ?A的对边

b斜边c ?B的邻边acosB??斜边ccosA?? （3）正切：在直角三角形中，一个锐角所对的直角边与相邻直角边的比，叫这个锐角的正切。 即：如图1 ?A的邻边?A的对边a??A的邻边b ?B的对边btanB???B的邻边atanA? （4）余切：在直角三角形中，一个锐角相邻的直角边与所对的直角边的比，叫这个锐角的余切。 即：如图1 ?A的邻边b??A的对边a ?B的邻边acotB???B的对边bcotA? 2. 特殊角的三角函数值： 三角函数值 三角函数名称 角 0° 30° 45° 60° 90° sin? 0 1 22 22 21 3 21 23 1 cos? 1 3 23 33 0 tan? 0 不存在 cot? 不存在 1 3 30 一、 专题精讲

1例1：（2013.中考14）(1?3)0??2?2cos45??()?1。 4 答案：5 例2：（2010东城一模6）如图，在3ⅹ3的正方形的网格中标出了，则的值为（ ） A． B． C． D． 答案：C 3：例3：（2013东城一模20）如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点． （1）求证：∠CED=∠DAG； （2）若BE=1，AG=4，求的值． 答案：（1）证明：∵ 矩形ABCD， ∴ AD∥BC. ∴ ∠CED =∠ADE. 又∵点G是DF的中点， ∴ AG=DG. ∴ ∠DAG =∠ADE. ∴ ∠CED =∠DAG. (2) ∵ ∠AED=2∠CED，∠AGE=2∠DAG， ∴ ∠AED=∠AGE. ∴ AE=AG. ∵ AG=4， ∴ AE=4. 在Rt△AEB中，由勾股定理可求AB=. ∴ . 例4：（2010东城一模19）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=5，E

为DC中点，tanC= ．求AE的长度． 答案：过点E作BC的垂线交BC于点F，交AD的延长线于点M. 在梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC的中点， ∴∠M=∠MFC，DE=CE. 在△MDE和△FCE中， ∠M=∠MFC， ∠DEM=∠CEF， DE=CE. ∴△MDE≌△FCE . ∴EF = ME，DM=CF. ∵AD=2，BC=5，∴DM=CF=. 在Rt△FCE中，tanC==， ∴EF = ME =2. 在Rt△AME中，AE= . 二、专题过关 检测题1：（2013北京中考13） 答案：22-7

检测题2：（2011东城一模18）如图，在平行四边形于点E，AF⊥CD于点F． （1）求证：∠BAE=∠DAF； 中，过点A分别作AE⊥BC（2）若AE=4，AF=，，求CF的长． 答案：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D. 又AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB=∠AFD.∴∠BAE=∠DAF. （2）在Rt△ABE中，sin∠BAE=，AE=4,可求 AB=5. 又∵∠BAE=∠DAF， ∴ sin∠DAF=sin∠BAE=. 在Rt△ADF中，AF=sin∠DAF , =,可求DF=，∵ CD=AB=5.∴CF=5-=． .展开后继续折叠，检测题3:（2013海淀一模11）如图,将正方形纸片对折，折痕为使点落在 答案： 上，折痕为，则的正切值是______. 三、学法提炼 1、专题特点：近几年中考中在填空及选择题对于锐角三角函数单独考查的题目相对较少，在模拟题中偶有出现，分值在4分左右，更多的是与四边形或圆的综合考查，此外在计算题中特殊角的三角函数值与实数相结合的题目较为固定，题型较为基础，大部分学生得分较为容易 2、解题方法：锐角三角函数的研究载体是直角三角形，因此也常常与直角三角形有关的性质相结合进而来求解，如勾股定理，含特殊角的直角三角形等，并且也常常需要角

度的转化 3、注意事项：注意直角三角形的选择与构造，并且要熟记各三角函数所表示的边之间的关系，切勿张冠李戴 一、专题精讲 例1：（2013中考5）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度ABA. 60m B. 40m C. 30m D. 20m 等于

答案：B 例2：如图，正方形ABCD的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则DE的长为 ． 答案：2 例3：（2013石景山一模23）如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线(1)求抛物线交轴于另一点M（-3,0）. 的解析式； 关于轴的对称图形的解析式； 是图形的顶点，那么在轴上是否(2)直接写出抛物线 (3)如果点是点A关于原点的对称点，点与△存在点P，使得△ 是相似三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由. 答案：（1）设抛物线的解析式为：∵直线 交轴于A点，交轴于B点， ∴A点坐标为（1,0）、B点坐标为（0,3）. 又∵抛物线经过A、B、M三点，

∴∴抛物线（2）抛物线（3） 解得：的解析式为：关于轴的对称图形. ． 的解析式为：， 与△相似， . 点的坐标为（-1,0），∵．若△∴该抛物线的顶点为①当=时，，点坐标为或 ②当=时，，点坐标为或 ∴当△ 与△是相似三角形时，点坐标为或或或例4：（2011东城一模24）等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F. （1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状； （2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长. 图1 图2 图3 答案：（1）△EPF为等边三角形. （2）设BP=x，则CP＝6－x.

由题意可 △BEP的面积为△ABC的面积为.△CFP的面积为. .设四边形AEPF的面积为y. ∴ =. 自变量x的取值范围为3＜x＜6. （3）可证△EBP∽△PCF. ∴ 设BP=x，则 解得 . . .∴ PE的长为4或. 二、专题过关 检测题1：（2012海淀一模5）如图，在△ABC中，于E，若DE=2， CA=4，则C=90, 点D在CB上，DEAB 的值为（ ） A． B． C． D． 答案：C 检测题2：（2012朝阳一模12）如图,在正方形ABCD中，AB=1，E、F分别是BC、CD边上点，（1）若CE=CB，CF=CD，则图中阴影部分的面积是 ；（2）若CE=CB，CF=CD，则图中阴影部分的面积是 （用含n的式子表示，n是正整数）．

答案：； 检测题3: （2013.1月海淀期末25）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点(B在A的左侧)，顶点为C， 点D（1，m）在此二次函数图象的对称轴上，过点D作y轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线于E点． （1）求此二次函数的解析式和点C的坐标； （2）当点D的坐标为（1，1）时，连接BD、．求证：平分； （3）点G在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似，求点E的横坐标． 答案：（1）∵点D（1，m）在图象的对称轴上， ∴∴． ． ．∴C（1，-4）． ∴二次函数的解析式为

（2）∵D（1，1），且DE垂直于y轴， ∴点E的纵坐标为1，DE平行于x轴． ∴令，则． ，解得． ∵点E位于对称轴右侧， ∴E∴D E =． ． ，求得点A的坐标为（3,0），点令，则B的坐标为（-1,0）． ∴BD =∴BD = D E．∴ ∴ ． ． ． ∴平分． （3）∵以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似， 且△GDE为直角三角形， ∴△ACG为直角三角形． ∵G在抛物线对称轴上且位于第一象限， ∴． ∵A（3,0）C（1，-4），,

∴求得G点坐标为（1，1）． ∴AG=，AC=． ∴AC=2 AG. ∴GD=2 DE或 DE =2 GD. 设（t >1） ， .当点D在点G的上方时，则DE=t -1， GD = ()=. i. 如图2，当 GD=2 DE时， 则有， 解得，= 2(t-1). .(舍负) ii. 如图3，当DE =2GD时， 则有，t -1=2(). 解得，.(舍负) -1， . 当点D在点G的下方时，则DE=t GD=1- ()= -. i. 如图4，当 GD=2 DE时， 则有， 解得，.(舍负) =2（t -1）. ii. 如图5，当DE =2 GD时， 则有，t-1=2（）. 解得，.(舍负)

综上，E点的横坐标为 或或或. 三、学法提炼 1、专题特点：相似图形的性质与判定在中考中的应用要求较高，单独考查相似图形性质及判定的题目在小题部分也时常出现，得分教容易，但大部分对于相似的考查还是在与四边形、二次函数及圆的综合题中，对学生的能力要求较高 2、解题方法： （1）熟练掌握相似的几种常见图形，并能够灵活应用 （2）要善于借助图形中的特殊角度关系及边长关系判定全等，并能够合理的通过特殊点及角度等添加辅助线，构造全等 3、注意事项：在相似三角形与函数综合的存在性问题上注意分类讨论，判定好对应边，避免遗漏或重复

一、专题精讲： 例1：（2010中考11）:如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连结OC，若OC=5，CD=8，则AE=______________. 答案：2 例2：(2013中考8)如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为，△APO的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（ ） 答案：A 例3：（2013海淀一模12）12. 如图1所示，圆上均匀分布着11个点从起每隔个点顺次连接，当再次与点连接时，我们把所形成的图形称为“.阶正十一角星”，其中（为正整数）.例如，图2是“2阶正十一角星”，那么_______ °；当900°时，=______.

图1 图2 答案：1260;2或7 例4：（2013东城21）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线 交OE的延长线于点F，连结CF并延长交BA的延长线于点P. （1）求证：PC是⊙O的切线. （2）若AB=4， 证明：连结OC ．∵ OE⊥AC，∴ AE=CE ． ∴ FA=FC．∴ ∠FAC=∠FCA． ∵ OA=OC，∴ ∠OAC=∠OCA． ∴ ∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA． 即∠FAO=∠FCO ． ∵ FA与⊙O相切，且AB是⊙O的直径， ∴ FA⊥AB． ∴ ∠FCO=∠FAO=90°． ∴ PC是⊙O的切线． （2）∵∠PCO=90°，即∠ACO +∠ACP =90°. 又∵∠BCO+∠ACO =90°，∴ ∠ACP=∠BCO.∵ BO=CO， ∴ ∠BCO=∠B.∴ ∠ACP=∠B.∵ ∠P公共角，∴ △PCA∽△PBC . ∶=1∶2，求CF的长. ∴ . ∵ ∶=1∶2， ∴ .

∵ ∠AEO=∠ACB=90°，∴ OF∥BC.∴ . ∴ .∴ . ∵ AB=4，∴ AO=2 .∴ AF=1 .∴ CF=1 . 例5：（2012中考20）已知：如图，，过点作（1）求证：的切线，交与相切； 是的直径，是上一点，． 于点 的延长线于点，连结（2）连结 并延长交于点，若， 求的长． 答案：证明：连结 . 与⊙相切，为切点. 直线 是线段的垂直平分线. （2）解：过点作 是⊙的直径. 与⊙相切. 于点，则∥.

在中， 由勾股定理得 在中，同理得 是的中点， ∥， 例6：（2013西城一模22）22．先阅读材料，再解答问题： 小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中， 同弧（或等弧）所对的圆周角相等．如图，点A、B、C、D均 为⊙O上的点，则有∠C=∠D． 小明还发现，若点E在⊙O外，且与点D在直线AB同侧， 则有∠D>∠E． 请你参考小明得出的结论，解答下列问题： (1) 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,7)，点B的坐标为(0,3)， 点C的坐标为(3,0) ． ①在图1中作出△ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法）； ②若在轴的正半轴上有一点D，且∠ACB =∠ADB，则点D的坐标为 ； (2) 如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,m)，点B的坐标为(0,n)， 其中m>n>0．点P为轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，直接写出

此时点P的坐标． 答案：（1）①如图5； ②点D的坐标为 （2）点P的坐标为 例7：（2012中考25）在平面直角坐标系“非常距离”，给出如下定义： 若 若 例如：点为直线，则点与点，则点与点，点的“非常距离”为的“非常距离”为； . 的“非常距离”中，对于任意两点与的． ； ，因为与线段，所以点与点，也就是图1中线段与垂直于轴的直线长度的较大值（点为垂直于轴的的交点）。 （1）已知点，为轴上的一个动点， ①若点与点的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点的坐标； ②直接写出点与点的“非常距离”的最小值；

（2）已知是直线上的一个动点， 的“非常距离”的最小值及 ①如图2，点的坐标是（0，1），求点与点相应的点的坐标； ②如图3，是以原点为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点与点的“非常距离” 的最小值及相应的点和点的坐标。

答案：（1）①点的坐标是（0，2）或（0，-2）；（写出一个答案即可） ②点与点的“非常距离”的最小值是（2）①过点作轴的垂线，过点 如图1，当点在点. ，连结. 的“非作的垂线，两条垂线交于点的左上方且使是等腰直角三角形时，点与点常距离”最小. 理由如下： 记此时 所在位置的坐标为 当点的横坐标大于是线 段与线段时，线段. 的长度变大，由于点与点的“非常距离”长度的较大值，所以点与点的长度变大，点与点的“非常距离”变大；当点的横坐标小于时，线段的 “非常距离”变大. 所以当点的横坐标等于时，点与点的“非常距离”最小. 解得. 点的坐标是. 当点的坐标是时，点与点的“非常距离”最小，最小值是. ②如图2，对于⊙上的每一个给定的点，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两条垂线交于点，连结. 由①可知，当点运动到点的左上方且使是等腰

直角三角形时，点与点的“非常距离”最小. 当点在⊙上运动时，求这些最小“非常距离”中的最小值，只需使的长度最小. 因此，将直线沿图中所示由点到点的方向平移到第一次与⊙有公共点，即与⊙在第二象限内相切的位置时，切点即为所求点.作轴于点. 设直线与轴，轴分别交于点可求得. . .可证点的坐标是设点的坐标为. . 解得. 点的坐标是. . 当点的坐标是最小值是1. ，点的坐标是时，点与点的“非常距离”最小， 二、专题检测：

检测题1：（2009北京中考8）如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D点，且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时，设AF=，DE=列中图象中，能表示（ ） A B C D 答案：A 检测题2：（2013东城一模11）已知每个网格中小正方形的边长都是1，图中的阴影图 案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成． 则阴影部分的面积是 ． 答案： ，P为⊙O上一点，与的函数关系式的图象大致是检测题3：（2011西城8）如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=当∠OPA取最大值时，PA的长等于（ ）. A． B． 答案：B C． D． 检测题4：（2013西城一模20）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC

于 点D，过点D作FE⊥AB于点E，交AC的延长线于点F． (1) 求证：EF与⊙O相切； (2) 若AE=6，sin∠CFD=，求EB的长 答案：（1）证明：连接OD . （如图3） ∵OC=OD， ∴∠OCD=∠ODC. ∵AB=AC， ∴∠ACB=∠B. ∴∠ODC=∠B. ∴OD∥AB. ∴∠ODF=∠AEF. ∵EF⊥AB， ∴∠ODF =∠AEF =90°. ∴OD⊥EF . ∵OD为⊙O的半径， ∴EF与⊙O相切. （2）解：由（1）知：OD∥AB，OD⊥EF . 在Rt△AEF中，sin∠CFD = AF = 5，AE=6. ∴AF=10. ∵OD∥AB， ∴△ODF∽△AEF. ∴10-rrAE3. 设⊙O的半径为r， ∴10 = 6 . 解得r= 4 . ∴AB= AC=2r = 2 . ∴EB=AB-AE= 2 -6= 2 1515315三、学法提炼：

1、专题特点：圆在中考中的总分值在9----13分左右，对圆的基础题目考查常出现小题部分，在解答题部分常常出现在20或21题的位置，题型也相对比较固定，通常是对于圆与直线关系的考查及与相似三角形及三角函数的综合题，分值为5分，一般中等偏下的学生在第二问的得分上会有些吃力 2、解题方法：（1）在解决圆与直线位置关系的证明时要善于发现图中特殊的三角形及点，来构造辅助线，一般情况下可以通过平行、倒角、全等的方法来进行证明 （2）在解决圆中求线段长度的问题时要注意相似三角形的构造及判定，通常构造的相似性为母子形、“8”字形、“A”自形及“旋转”形的全等，并注意题中往往会借助三角函数进行求解，计算时要注意角度的转化 3、注意事项：灵活掌握圆的基本性质及作图，在解决圆与函数的相结合的题目时要善于利用圆的性质 课后作业 作业1：（2012中考20）如图，在于点、，点在中，，以为直径的分别交、的延长线上，且. ⑴ 求证：直线是的切线； ⑵ 若，，求. ∵和是的长. 的直径，∴.∴. 13． 答案：⑴ 证明：连结 ∵ ∴. ∵是∴. ∴. ∵ 即的直径，∴直线是的切线．

⑵ 解：过点作于点．∵ ∴∴由．∵.∵中，由勾股定理得 ∴ . ∴在中，可求得. . ∴.∵，∴.∴. ∴. 作业2：（2011西城一模25）在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE与AD的交点为P. （1）若BD=AC，AE=CD，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出∠APE的度数； （2）若 答案：（1）如图9，∠APE= 45 °. （2）解法一：如图10，将AE平移到DF，连接BF，EF． 则四边形AEFD是平行四边形． ∴ AD∥EF，AD=EF． ∵ ，， ，，求∠APE的度数.

∴ ，．∴ ． ． ∵ ∠C=90°，∴ ∴ ∠C=∠BDF．∴ △ACD∽△BDF． ∴ ，∠1=∠2．∴ ．∵ ∠1+∠3=90°， ∴ ∠2+∠3=90°．∴ BF⊥AD ．∴ BF⊥EF．∴ 在Rt△BEF中，∴ ∠APE=∠BEF =30°

．

∴ ，．∴ ． ． ∵ ∠C=90°，∴ ∴ ∠C=∠BDF．∴ △ACD∽△BDF． ∴ ，∠1=∠2．∴ ．∵ ∠1+∠3=90°， ∴ ∠2+∠3=90°．∴ BF⊥AD ．∴ BF⊥EF．∴ 在Rt△BEF中，∴ ∠APE=∠BEF =30°

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