概率论与数理统计习题解答全稿(1-7)

习题一

1．设A,B,C为随机试验的三个随机事件，试将下列事件用A,B,C表示出来． （1）仅仅A发生；

（2）所有三个事件都发生；

（3）A与B均发生，C不发生； （4）至少有一个事件发生； （5）至少有两个事件发生； （6）恰有一个事件发生； （7）恰有两个事件发生； （8）没有一个事件发生； （9）不多于两个事件发生．

解：（1）ABC ；（2）ABC；（3）ABC；(4)A?B?C；(5)AB?BC?AC；(6)ABC?ABC?ABC；（7）ABC?ABC?ABC；（8）ABC；（9）ABC．

2．写出下列随机试验的样本空间

（1）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子的点数之和；

（2）将一枚硬币抛三次，观察出现正反面的各种可能结果； （3）对一目标进行射击，且到击中5次为止，记录射击的次数； （4）将一单位长的线段分为三段，观察各段的长度；

（5）从分别标有号码1，2，? ，10的10个球中任意取两球，记录球的号码． 解：（1）{3，4，5，?，18}；（2）?HHH,HHT,HTH,HTT,THH,TTH,THT,TTT?; (3) {5,6,7,?}；(4) ?(x,y,z):x?0,y?0,z?0,x?y?z?1?; (5)?(m,n):1?m?10,1?n?10,m?n?．

3．将12个球随机地放入20个盒子，试求每个盒子中的球不多于1个的概率．

12C20.12!解：设P(A)表式所求的概率，则：P(A)??0.01473． 12204．将10本书任意地放在书架上，其中有一套4卷成套的书，求下列事件的概率： （1）成套的书放在一起；（2）成套的书按卷次顺序排好放在一起． 解： （1）设P(A)表示所求的概率，则：P(A)=

7!?4!1?． 10!307!1（2）设P(B)表示所求的概率，则：P(B)=?．

10!720５．一辆公共汽车出发前载有５名乘客，每一位乘客独立的在七个站中的任一个站离开，试求下列事件的概率：

（1）第七站恰好有两位乘客离去；（2）没有两位及两位以上乘客在同一站离去． 解：5名乘客在七个站中的任意一个站离开的结果总数n?7．

52（1）第七站恰好有两位乘客离去，其方法数m?C5?63，故设P(A)为所求概率，则：

C52?63P(A)??0.1285． 575C7?5!?0.1499． （2）设B?{没有两位及两位以上乘客在同一站离去}，则：P(B)?756．有一个随机数发生器，每一次等可能的产生0,1,2,?,9十个数字，由这些数字随机编成的n位数码（各数字允许重复），从全部n位数码中任意选取一个，其最大数字不超过k（k?9）的概率．

(k?1)n解：设P(A)表式所求的概率，则由全部n位数码的总数为10，得：P(A)?． n10n７．一元件盒中有50个元件，期中25件一等品，15件二等品，10件次品，从中任取10件，求：

（1）恰有两件一等品，两件二等品的概率；（2）恰有两件一等品的概率； （3）没有次品的概率．

226C25?C15?C10解：（1）设P(A)为所求概率，则：P(A)??6.4397?10?4． 10C5028C25?C25（2）设P(B)为所求概率，则：P(B)??0.03158． 10C5010C40（3）设P(C)为所求概率，则：P(C)?10?0.0825．

C50８．有10个人分别佩戴者标号从1号到10号的纪念章，任意选出3人，记下其纪念章的号码，试求：

（1）最小的号码为5的概率；（2）最大的号码为5的概率．

3解：从10人中任意选3人纪念章号码的总数为n?C10，

2（1）最小号码为5，则余下2个在6—10中选，即m?C5，设P(A)为所求概率，则：

C52P(A)?3?0.083．

C102C4（2）同理设P(B)为所求概率，则：P(A)?3?0.05．

C109．设事件A,B及A?B的概率分别为p,q和r，试求：P(AB),P(AB),P(AB),P(AB)． 解：P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?p?q?r；

P(AB)?P(B?A)?P(B?A)?P(A)?r?p（单调性）； P(AB)?P(A?B)?P(A?B)?P(B)?r?q（单调性）；P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?r．

10．一批产品共100件，其中5件不合格．若抽检的5件产品中有产品不合格，则认为整批产品不合格，试问该批产品被拒绝接收的概率是多少？

解：（法一）设Ai={抽检的5件产品中第i件不合格}，i=1,2,3,4,5 则所求概率为：P(?A)??P(A)?P(A)?P(Aii1552)?P(A3)?P(A4)?P(A5)

i?1i?11433215C5C95C52C95C5C95C54C95C5?5?5?5?5?5?0.2304． C100C100C100C100C1005C95（法二） P(?Ai)?1?P(A0)?1?5?0.2304．

C100i?1511,P(B)?，在下述各种情况下计算概率321P(BA)：（1）A?B；（2）A和B互不相容；（3）P(AB)?．

81111解：（1）P(BA)?P(B?A)?P(B)?P(A)???．（2）P(BA)?P(B)?．

2236113（3）P(BA)?P(B?A)?P(B)?P(AB)???．

28812．现有两种报警系统A与B，每种系统单独使用时，系统A有效的概率为0.92，系统有

11．设A和B是试验E的两个事件，且P(A)?效的概率为0.93 ．装置在一起后，至少有一个系统有效的概率则为0.988，试求装置后： （1）两个系统均有效的概率；（2）两个系统中仅有一个有效的概率． 解：（1）所求概率为P(AB)，得：P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)

?0.92?0.93?0.988?0.862；

（2）所求概率为P(AB?AB)，得：P(AB?AB)?P(AB)?P(AB)

?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)?0.92?0.93?2?0.862?0.126．

13．10把钥匙上有3把能打开门，今任取2把，求能打开门的概率．

2解：（法一）从10把钥匙中任取2把的试验结果总数n?C10?45，能打开门意味着取到的211二两把钥匙至少有一把能打开门，其取法数m?C3?C3C7?24，故设P(A)为所求概率，11C3C7?C328则：P(A)?． ?215C10（法二）记A为“能打开门”，则A?“两把钥匙皆开不了门”，于是

2C7218P(A)?1?P(A)?1?2?1??．

4515C1014．一个盒子中有24个灯泡，其中有4个次品，若甲从盒中随机取走10个，乙取走余下的

14个，求4个次品灯泡被一人全部取走的概率．

解：设A?{次品灯泡全部被甲取走}，B?{次品灯泡全部被乙取走}，则A,B互不相容，

44C10C14所求概率为：P(A?B)?P(A)?P(B)?4?4?0.1140．

C24C2415．设将5个球随意地放入3个盒子中，求每个盒子内至少有一个球的概率．

解：5个球随意地放入3个盒子中事件总数n?3，3个盒子中一个或两个盒子中有球数为

5m?3?Cp?Cp15332533，设所求概率为

1333?C5p3?C52p350?P(A)，则：P(A)?1?． 813516．已知A1和A2同时发生，则A必发生，证明：P(A)?P(A1)?P(A2)?1． 证明：由已知，A1A2?A，再由单调性，P(A1A2)?P(A)，则

P(A)?P(A1A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1?A2)?0?P(A1?A2)?1,．

?P(A)?P(A1A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?1．

17．掷一枚均匀硬币直到出现三次正面才停止，问正好在第六次停止的情况下，第五次也是

正面的概率是多少？

11()6C4P(AB)2解：设A?{第五次出现正面}，B?{第六次停止}，则：P(A|B)? ?2?．

1P(B)()6C255218．证明：P(A|B)?P(A)?0，则P(B|A)?P(B)． 证明：P(B|A)?P(AB)P(AB)??P(B)，即证．

P(A)P(A|B)P(A)．

1?P(B)19．设事件A,B互不相容，且P(B)?0，试证：P(A|B)?证明：P(A|B)?P(AB)P(A)互不相容． P(B)1?P(B)20．将两颗均匀骰子同时掷一次，已知两个骰子的点数之和是奇数，求两个骰子的点数之和

小于8的概率．

解：此事件的样本空间由36个样本点组成，设A?{两个骰子的点数之和小于8}，B?{两个骰子的点数之和是奇数}，则P(B)?1812，P(AB)?，于是： 36361P(AB)32P(A|B)???．

13P(B)221．设10件产品中有4件是次品，从中任取两件，试求在所取得的产品中发现有一件是次品后，另一件也是次品的概率．

解：设A?{所取得两件中至少有一件是次品}，B?{所取得两件产品都是次品}，

22C6C422?B?A,?AB?B．而P(A)?1?P(A)?1?2?，P(B)?2?，所求概率

C1015C1032P(AB)P(B)151???． 为：P(B|A)?2P(A)P(A)5322． 10件产品有6件是正品，4件次品，对它们逐一进行检查，问下列事件的概率是多少？ （1）最先两次抽到的都是正品；（2）第一、三次抽到正品，第二、四次抽到次品； （3）在第五次检查时发现最后一个次品．

解：设Ai={第i次抽到的是正品}，i=1,2,3,4,5,6．则

(1)P(A1A2)?P(A1)?P(A2|A1)?651??; 1093(2) P(A1A2A3A4)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)

?64531????； 1098714411C4C6C44 (3) 设B?{第五次检查时发现最后一个次品}，则P(B)?． ??51C10C521023．某人忘记电话号码的最后一个数字，他仅记得最末一位数字是偶数．现在他试着拨最后一个号码，求他拨号不超过三次而接通电话的概率．

解：设A?{接通电话}，Bi?{拨号i次}，i=1，2，3．Bi构成样本空间的一个划分，由全概率公式：P(A)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)?P(B3)P(A|B3)

?1121313??????． 2252102524．某型号的显像管主要由三个厂家供货，甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总产品和的25%、50%、25%，甲、乙、丙三个厂的产品在规定时间内能正常工作的概率分别是0.1、0.2、0.4，求一个随机选取的显像管能在规定时间内正常工作的概率．

解：设A={能在规定时间内正常工作}，Bi={选取第i个厂家的产品}，i =1，2，3．

则由全概率公式：

P(A)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)?P(B3)P(A|B3)

?0.25?0.1?0.5?0.2?0.25?0.4?0.225．

25．两批同类产品各自有12件和10件，在每一批产品中有一件次品，无意中将第一批的一件产品混入第二批，现从第二批中取出一件，求第二批中取出次品的概率． 解：设B?{第二批中取出次品}，A?{第一批的次品混入第二批}，

A,A构成样本空间的一个有限划分，由全概率公式：

P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?12111????0.0985． 1211121126．在一个盒子中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛时任意取出三个球，比赛后仍放回原盒中，第二次比赛时，同样任意的取出三个球，求第二次取出三个新球的概率．

解：设B={第二次取出3个新球}．可以看出，直接确定B的概率P(B)是困难的，原因是，第一次比赛之后，12个乒乓球中的新、旧球的分布情况不清楚，而一旦新旧球的分布情况明确了，那么相应的概率也容易求得．为此，设Ai={第一次取到的3个球中有i个新球}，

i=0，1，2，3．容易判断A0,A1,A2,A3构成一个划分．由于

i3?i3C9C6C9?i，又P(Ai)?,i?0,1,2,3P(B|A)?,i?0,1,2,3． i33C15C15i3?i3C9C6C9?i由全概率公式，得：P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?? 32(C)i?0i?01533?1680?7560?7560?1680?0.0893．

20702527．仓库中存有从甲厂购进的产品30箱，从乙厂购进的同类产品25箱，甲厂的每箱装12

个，废品率为0.04，乙厂的每箱装10个，废品率0.05，求： (1)任取一箱，从此箱中任取一个为废品的概率；

(2)将所有产品开箱后混放，任取一个为废品的概率．

解：(1)设B?{取出的是废品}，A?{从甲厂取出}，A,A构成一个划分，则

P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)

30?1225?10?0.04??0.05?0.0441

30?12?25?1030?12?25?1030?12?0.04?25?10?0.05?0.0441 (2)

30?12?25?10?28．已知一批产品中96%是合格品，用某种检验方法辨认出合格品为合格品的概率是0.98，而误认废品是合格品的概率是0.05，求检查合格的一件产品确系合格的概率． 解： 设A={检查合格产品}，B={确系合格}．

由已知，P(B)?0.96,P(A|B)?0.98,P(A|B)?0.05， 由贝叶斯公式：P(B|A)?P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)?

P(A)P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)?0.96?0.98?0.9979．

0.96?0.98?0.04?0.0529．已知5%的男人和0.25%的女人是色盲者，现随机挑选一人，此人恰为色盲者，问此人 是男人的概率为多少（假设男人女人各占总人数的一半）． 解：设A?{色盲者}，B?{男人}， B,B构成样本空间的一个划分，且P(A|B)?0.05，

P(A|B)?0.0025，由贝叶斯公式：P(B|A)?P(B)P(A|B)

P(A)1?0.05P(B)P(A|B)2???0.9524．

11P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)?0.05??0.00252230．设某种病菌在人口中的带菌率为0.03，由于检验手段不完善，带菌者呈阳性反应的概

率为0.99，而不带菌者呈阳性反应的概率为0.05，若某人检查结果是呈阳性反应，他是带菌者的概率是多少？

解：设A?{结果呈阳性}，B?{是带菌者}，则B,B构成样本空间的一个划分，且

P(A|B)?0.99，P(A|B)?0.05，由贝叶斯公式：

P(B|A)?P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)?

P(A)P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)?0.03?0.99?0.3798．

0.03?0.99?0.97?0.0531．证明：如果P(A|B)?P(A|B)，则事件A和B相互独立． 证明：由已知和条件概率公式，有

P(AB)P(AB)，即P(B)P(AB)?P(B)P(AB)， ?P(B)P(B)即P(B)P(A?AB)?(1?P(B))P(AB)，又AB?A，上式得：

P(B)[P(A)?P(AB)]?[1?P(B)]P(AB)，有P(AB)?P(A)P(B)，即A和B相互独立．

32．设一个n位二进制数是由n各“0”或“1”数字组成，每一位出现错误数字的概率是

各位数字出现错误与否是独立的，问组成一个不正确的这类二进制数的概率是多少？ p，

解：每一位出现正确数字的概率是1?p，由已知，各位数字出现正确与否也是独立的，于是所求概率P(A)?1?(1?P)．

n33.设事件A,B,C相互独立，且P(A)?111,P(B)?,P(C)?，试求： 432（1）三个事件都不发生的概率；

（2）三个事件中至少有一个事件发生的概率； （3）三个事件中恰有一个事件发生的概率； （4）至多有两个事件发生的概率.

解：（1）P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?(1?)(1?)(1?)?114313（2）P(A?B?C)?1?P(ABC)?1??；

44121； 4（3）P(ABC?ABC?ABC)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)

?12131132111； ?????????4324324322411123???． 43224（4）1?P(ABC)?1?P(A)P(B)P(C)?1?34．甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球；乙袋中有10只白球， 6只红球，9只黑球．从两袋中各取一球，试求两球颜色相同的概率． 解：设A,B,C表示两球同为白色、红色和黑色，A,B,C互不相容， 则所求概率为：

P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?31076159??????0.3312． 25252525252535．两部机床独立的工作，每部机床不需要工人照管的概率分别 为0.9和0.85，试求：

(1)两部均不需照管的概率； (2)恰有一部需要照管的概率； (3)两部同时需要照管的概率．

解：设A?{甲机床不需要工人照管}，B?{乙机床不需要工人照管}， 则P(A)?0.9，P(B)?0.85，

(1)P(AB)?P(A)P(B)?0.9?0.85?0.765

(2)P(AB?AB)?P(AB)?P(AB)?P(A)P(B)?P(A)P(B)

?0.9?0.15?0.1?0.85?0.22

(3) P(AB)?P(A)P(B)?0.1?0.15?0.015．

36．求下列系统（图1.6）能正常工作的概率，其框图的字母代表组件，字母相同，下标不同的均为同一类组件，知识装配在不同的位置，A类组件正常工作的概率为?a，B类组件正常工作的概率为?b，C类为?c．

解：(1)所求概率为P[A(B?C)]?P(A)P(B?C)?P(A)[P(B)?P(C)?P(BC)]

??a?b??a?c??a?b?c．

(2)所求概率为

P(A1A4?A2A5?A3A6)?P(A1A4)?P(A2A5)?P(A3A6)?P(A1A2A4A5)?P(A1A3A4A6)?P(A2A3A5A6)?P(A1A2A3A4A5A6)，

又A1,A2,A3,A4,A5,A6 相互独立，则

P(A1A4?A2A5?A3A6)?3?a?3?a??a??a(3?3?a??a)．

(3)所求概率为

246224P[(A1?B1)(A2?B2)?(An?Bn)]?P(A1?B1)P(A2?B2)?P(An?Bn)?[P(A1)?P(B1)?P(A1B1)][P(A2)?P(B2)?P(A2B2)]?[P(An)?P(Bn)?P(AnBn)]?(?a??b??a?b)n．

习题二

1、一批晶体管中有9个合格品和3个不合格品，从中任取一个安装在电子设备上，如果取出不合格品不再放回，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的概率．

解：设在取得合格品以前已取出的不合格品数为随机变量X，则X的所有可能取值为：0，1，2，3。分布律为：P{X?0}?939?0.75,P{X?1}???0.2045, 1212113293219P{X?2}????0.0409,P{X?3}?????0.0046

1211101211109X 0 0.75 1 0.2045 2 3 也可以表示为：

P?X?k? 0.0409 0.0046 2、做一系列独立试验，每次试验成功的概率为p(0

（1）首次成功时试验次数Y的分布律；（2）在n次成功之前已经失败次数X的分布律. 解：设Ai={第i次试验成功}，i=1,2,…，则

（1）P?Y?k??P(A1A2?Ak?1Ak)?P(A1)P(A2)?P(Ak?1)P(Ak)

?p(1?p)k?1,k?1,2,?

（2）做n+m次独立试验，指定n次成功，m次失败的概率为：(1?p)p.

随机事件{X?m}发生相当于第n+m次试验必定成功，而前n+m-1次试验中有m次失败，

mmnm共有Cn?m?1.次不同的方式，故：P{X?m}?Cn?m?1(1?p)p,m?0,1,2,?

mn?2?3、 设随机变量X的分布律为：P?X?k??C???,k?1,2,3.求C的值．

?3??2??2??2?，解：由P?X?1??P?X?2??P?X?3??1即C????C????C????1，也即可

?3??3??3?得C?23k27． 38k4、 随机变量X的分布律为：P?X?k??(1?a)a,k?0.1,2,?

（1）a可取何值？（2）证明对于任意两个正整数s和t，有PX?s?tX?s?P?X?t?.

??1?ak?1，得0

P?X?s?P?X?s?5、一批产品共有25件，其中5件次品，从中随机地一个一个取出检查，共取4次，设X

是其中的次品数，若

（1）每次取出的产品仍放回；（2）每次取出的产品不再放回。写出X的分布律. 解：（1）随机的取出产品并放回，每次取出的产品是次品的概率是p=0.2，共取4次相当于做4次伯努利试验，则X~B(4,0.2).

413231C20C5C20C52C20C5C20(2) P?X?0??4，P?X?1??，，， ????PX?2?PX?3?444C25C25C25C254?kC54C5kC20P?X?4??4，把上述概率统一改写为：P?X?k??,k?0,1,2,3,4 4C25C256、某射手每次射击击中目标的概率为0.8，现连续射击30次，写出击中目标的次数X的分

布律，并求出30次射击未击中目标的概率.

解：该射手每次射击要么击中目标，要么没击中目标，击中目标的概率p=0.8，连续射击30次相当于做30重伯努利试验. 击中目标的次数是X，故X~B(30,0.8). 30次射击未击中目标的概率为：P?X?0??(1?0.8)30?1.0737?10?21.

7、一放射源放射出的任一粒子穿透某一屏蔽的概率是0.01，现放射出100个粒子，求至少有两个粒子穿透屏蔽的概率.

解：放射源放射出的任一粒子要么穿透屏蔽，要么不能穿透，穿透屏蔽的概率p=0.01，放射100个粒子相当于做100重伯努利试验. 穿透屏蔽的次数是X，故X~B(100,0.01). 至少有两个粒子穿透屏蔽的概率为：

P?X?2??1?P?X?2??1??P?X?0??P?X?1??

01?1?C100(0.01)0(0.99)100?C100(0.01)1(0.99)99???1??0.3661?0.3697??1?0.7358?0.2642.

8、设随机变量X服从泊松分布，且P?X?1??P?X?2?，计算P?X?4?. 解：由题意，X~P(?),且P?X?1???11!e???P?X?2???22!e??，得??2,

24?22e?2.?0.0902. 故P?X?4??4!3e9、在一个周期内，从一个放射源放射出的粒子数X是服从泊松分布的随机变量，如果无粒

子放射出的概率为1/3，试求： （1）X的分布律；（2）放射出一个以上粒子的概率. 解：（1）P?X?0???01e???e???，得??ln3．故X的分布律为： 0！3(ln3)k?ln31(ln3)k?X?k??e?,k?0,1,2,?．

k!3k!（2）放射出一个以上粒子的概率为：

1?P?X?1?=1??00!e????111e??=1??ln3?0.3005． 1!3310、一个口袋中有六个球，在这六个球上标明的数字分别为-3，-3，1，1，1，2，从袋中任

取一个球，试求取得的球上标明的数字X的分布律及分布函数. 解：由题意有：P?X??3??也即

X -3 1 2 111,P?X?1??,P?X?2?? 326P?X?xi? 1 31 21 6???0. 当x<-3时，F(x)?P?X?x??P?当?3?x?1时，F(x)?P?X?x??P?X??3??1. 3115??. 326111当2?x时，F(x)?P?X?x??P?X??3??P?X?1??P?X?2?????1.可得

326当1?x?2时，F(x)?P?X?x??P?X??3??P?X?1???0,x??3;?1?,?3?x?1;?3F(x)??.

?5,1?x?2;?6?1,2?x.?11、设随机变量X的分布函数为F(x)，用F(x)表示下述概率：

(1)P?X?a?;(2)P?X?a?;(3)P?X?a?;(4)P?X?a?.

解：(1)P?X?a??F(a);(2)P?X?a??F(a?0);

(3)P?X?a??1?P?X?a??1?F(a?0)；(4)P?X?a??1?P?X?a??1?F(a).

12、（柯西分布）随机变量X的分布函数是：F(x)?A?Barctanx,???x???, 试求：（1）系数A和B；（2）X落在区间（-1，1）内的概率；（3）X的概率密度．

??A?B?0?11?2解：（1）由limF(x)?0,limF(x)?1可得：?,解得A?,B?;

x???x???2??A??B?1?2?1; 211（3）X的概率密度f(x)?F?(x)??,x?R． 2?1?x（2）P??1?X?1??F(1)?F(?1)??1?（1?x）e?x,x?0,13、设随机变量X的分布函数为：F(x)??

0,x?0.?试求X的概率密度，并计算P?X?1?和P?X?3?．

?xe?x,x?0,P?X?1??F(1)?1?2e?1?0.2642； 解：X的概率密度f(x)?F?(x)??x?0.?0,P?X?3??1?P(X?3)?1?F(3)?1?(1?4e?3)?4e?3?0.1991．

14、设随机变量X的概率密度为：f(x)?Ae试求：（1）系数A；（2）X的分布函数． 解：（1）由

???2x,???x???,

0?????f(x)dx?1，即A?e?????2xdx?A(?e2xdx??e?2xdx)?1，求得A?1;

??0 （2）X的分布函数F(x)??x???12xe,x?0?x?2?2u． f(u)du?A?edu?????1?1e?2x,x?0??2?6x(1?x),0?x?1,15、设随机变量X的概率密度为：f(x)??

0,其他.?试求：（1）求X的分布函数；（2）确定满足P?X?b??P?X?b?的b．

解：（1）X的分布函数F(x)??x??x?0?0,?f(u)du??3x2?2x3,0?x?1；

?1,x?1?1123,故有3b?2b?，22 （2）由P?X?b??P?X?b?，得F(b)?1?F(b)，F(b)?解得b?11?3（b?舍去）．. 22216、从一批子弹中任意抽出5发子弹，如果没有一发子弹落在靶心2 cm以外，则整批子弹

??Axe?x,0?x?3,将被接受．设弹着点与靶心的距离X（cm）的概率密度为：f(x)??

??0,其他.试求：（1）系数A；（2）该批子弹被接受的概率 解：（1）由

?????f(x)dx?1，即A?xe?????x2dx?A?xe03?x2dx?1，求得A?2;

1?e?9 （2）其中一发子弹被接受的概率为：

P?X?2??F(2)??Axe??2?x22dx?1?e?9?205xe?x21?e?4. dx??91?e?1?e?4?所以，该批子弹被接受的概率为：?． ?9?1?e??17、在长为l的线段上随机地选取一点，将其分为两段，短的一段与长的一段之比小于1/4的概率是多少？

?0,x?0;?x?解：设在线段上随机选取的点为X，X的分布函数为：F(x)??,0?x?l;

?l??1,x?l.由短的一段与长的一段之比小于1/4可得

lX1l?X14l?或?，即有X?或X?

5l?X4X45而P?X???F()???l?5?l5114l4l?4l???，P?X???1?P?X???1?F()?. 5555?5???2所以，短的一段与长的一段之比小于1/4的概率为0.4．

18、设随机变量Y服从（0,5）上的均匀分布，求x的方程：4x?4xY?Y?2?0 有实根的概率．

解：方程4x?4xY?Y?2?0有实根的充要条件为

2(4Y)2?4?4?(Y?2)?16Y2?16(Y?2)=16(Y?1)(Y?2)?0，

得Y??1或Y?2．

?1?,0?y?5由题设知Y具有概率密度：f(y)??5

??0,其他Y??1??从而P???1??f(y)dy?0，P?Y?2?????2f(y)dy??5213dy?． 55故有实根的概率P?P?Y?2??P?Y??1??33?0?． 5519、一电子信号在（0,T）时间内随机地出现，设0

（1）信号出现在区间(t0,t1)内的概率；（2）信号在t0时刻前不出现，在(t0,t1)内出现的概率. 解：电子信号出现的时间X在（0,T）上服从均匀分布，其分布函数为

?0,x?0;?x?F(x)??,0?x?T;

?T??0,T?x.（1）信号出现在区间(t0,t1)内的概率为P?t0?X?t1??F(t1)?F(t0)?(2) 信号在t0时刻前不出现，在(t0,t1)内出现的概率.为

t1?t0; TP?t0?X?t1X?t0??P?X?t0,t0?X?t1?P?t0?X?t1??

P?X?t0?1?P?X?t0??F(t1)?F(t0)t1?t0?.

1?F(t0)T?t020、若随机变量X~N(0,1),试求：（1）P?X??2.5?; （2） PX?1.58. 解：（1）P?X??2.5?=?(?2.5)?1??(2.5)=1?0.9938?0.0062； （2）PX?1.58=1?PX?1.58=1???(????????1.58?0?1.58?0?)??()? 11? =1??(1.58)??(?1.58)=2?2?(1.58)=2?2?0.9430?0.1140．

1.8?X?2.1?. 21、若随机变量X~N(2,0.16),试求：（1）P?X?2.3?; （2）P?解：（1）P?X?2.3?=1?P?X?2.3?=1??(=1?0.7724?0.2266；

2.3?2)=1??(0.75) 0.42.1?21.8?2)??()=?(0.25)??(?0.5)=0.2902． 0.40.422、设某城市男子的身高X~N(170,36)（单位：cm），问应如何选择公共汽车门的高度，

1.8?X?2.1?=?( （2）P?使男子乘车时与车门碰头的机会小于0.01？

解：假设选择公共汽车的高度为lcm时使男子乘车与车门碰头的机会小于0.01． 即有P?X?l??0.01，也即1?P?X?l??0.01，P?X?l??0.99， 查表得：

?(l?170l?170)??(2.33)，从而，?2.33，l?184(cm) 66所以，公共汽车的车门高度为184cm时男子乘车与车门碰头的机会小于0.01．

23、两台电子仪器的寿命分别为X1,X2，且X1~N(40,36)，X2~N(45,9)，若要在45小时的期间内使用这种仪器，问选用哪一台仪器较好？若在52小时内使用呢？ 解：要在45小时的期间内使用这种仪器，两台电子仪器使用寿命的概率分别为

45?400?405205)??()??()??(?)??(); 6663645?450?45P?0?X2?45???()??()??(0)??(?15)??(0)

335?()??(0)故选用第一台较好； 6P?0?X1?45???(要在52小时的期间内使用这种仪器，两台电子仪器使用寿命的概率分别为

52?400?4020)??()??(2)??(?)??(2); 66352?450?4577P?0?X2?52???()??()??()??(?15)??()

33337?()??(2)故选用第二台较好。 3P?0?X1?52???(24、某工厂生产的电子管寿命X（单位：小时）服从正态分布N(1600,?)，如果要求电子管的寿命在1200小时以上的概率达到0.96，求?值. 解：由题意有，P?X?1200??0.96,即

21200?1600400P?X?1200??0.04,?()?0.04，1??()?0.04查表可得

???(400?)??(1.75)，从而

400??1.75，得??228.

25、设随机变量X~N(60,9)，求分点x1,x2,使X分别落在(??,x1),(x1,x2),(x2,??)的概率之比为3:4:5．

解：由题设有，P{X?x1}:P?x1?X?x2?:P?X?x2??3:4:5, 也即有，?(x1?60x?60x?60x?60)：[?(2)??(1)]:[1??(2)]?3:4:5 3333令?(x1?60x?60a3a3?,? )?a,?(2)?b,则可得：

b?a41?b533x?60x?601717,b?，即?(1)?,?(2)?,经查表求得： 41234312解得a?x1?57.975,x2?60.63．

补充题：

1、一袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5．在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律．

1．随机变量X的可能1011，2，3?，故P?X?3??;类似地，值为3、4、5．当X=3时，相当于3只球的号码为：?1063P?X?4??；P?X?5??，所以X的分布律为：

10103解：从5只球中任取3只，有C5?10种取法，每种取法的概率为

X P 3 4 5 1 103 106 10

2、 将一颗骰子投掷两次，以X表示两次中得到的最小的点数，试求X的分布律．

(1,6),(2,1),(2,2),?,(2,6),?,(6,1),(6,2),?,(6,6)?，随机解：样本空间S??(1,1),(1,2),?，变量X的所有可能值为1、2、3、4、5、6,分布律为：

X 1 2 3 4 P 5 6 11 369 367 365 363 361 363、设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯，每组信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过．以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作室相互独立的），求X的分布律．

解：以P表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，易知X的分布律为： X 0 1 2 3 4

p (1?p)p (1?p)2p (1?p)3p (1?p)4 P

k或者写成：P?X?k??(1?p)p,k?0,1,2,3；P?X?4??(1?p)．以P?41代入得： 2

X P 0 0.5 1 0.25 2 0.125 3 0.0625 4 0.0625 ?0,x?1,?4、设随机变量X的分布函数为：F(x)??lnx,1?x?e,

?1,x?e.?（1）求P?X?2?,P?0?X?3?,P?2?X?5/2?;（2）求X的概率密度． 解：（1）P?X?2??F(2)?ln2；P?0?X?3??F(3)?F(0)?1?0?1；

5?555?P?2?X???F()?F(2)?ln?ln2?ln．

2?224??1?,1?x?e,（2）X的概率密度f(x)?F?(x)??x

??0,其他.5、一工厂生产的某种元件的寿命X（以小时计）服从参数为??160，?的正态分布，若

120?X?200??0.80，允许?最大为多少？ 要求P?120?X?200??0.80，即 解：若要求P??(200?160?4040404040120?160 )??()=?()??(?)=2?()?1?0.80，?()?0.90，

?????从而：

??1.28，??31.25，即允许?最大为31.25．

26、某地区18岁的女青年的血压（收缩压，以mm-Hg计）服从N(110,12)．在该地区任选一18岁的女青年，测量她的血压X．（1）求P{X?105},P{100?X?120}；（2）确定最小的x，使P{X?x}?0.05． 解：（1）由X~N(110,12)，则

25105?1105P{X?105}=?()??(?)=1??()=1?0.6628?0.3372；

121212555120?110100?110P{100?X?120}=?()??()=?()??(?)=2?()?1

6661212 =2?0.7967?1?0.5934；

x?110)?0.05，则 （2）P{X?x}?1?P(X?x)?1??(12x?110x?110?1.65，所以x?129.8．?()?0.95，为确定x的最小值，查表得： 1212

习题三

1．二维随机变量(X,Y)的联合分布函数是F(x,y)?A(B?arctan)(C?arctan)，

x2y3(x,y)?R2，试求：（1）系数A、B、C；（2）边缘分布函数．

解：（1）limF(x,y)?A(B??y)(C?arctan)?0?B?，

x???223?x?limF(x,y)?A(B?arctan)(C?)?0?C?， y???222?1??limF(x,y)?A(B?)(C?)?1?A?2； x????22y???1?x(?arctan)，

y????221?yY的边缘分布函数FY(y)?limF(x,y)?(?arctan)．

x????232．将两个元件并联组成一个电子部件，两个元件的寿命分别为X与Y（单位：小时），已

（2）X的边缘分布函数FX(x)?limF(x,y)??1?e?0.01x?e?0.01y?e?0.01(x?y),x?0,y?0;知(X,Y)的联合分布函数为：F(x,y)??

其他.?0,试求：（1）关于X、Y的边缘分布函数；（2）此电子部件正常工作120小时以上的概率．

?1?e?0.01x,x?0解：（1）X的边缘分布函数FX(x)?limF(x,y)??，

y???x?0?0,?1?e?0.01y,y?0； Y的边缘分布函数FY(y)?limF(x,y)??x???0,y?0?（2）P{X?120}?P{Y?120}?1?P{X?120}?P{Y?120}，

?1?FX(120)?FY(120)?1?(1?e?0.01?120)2?2e?1.2?e?2.4?0.5117．

3．对一个目标独立地射击两次，每次命中的概率为

1，若X表示第一次射击时的命中次数，2Y表示第二次射击时的命中次数，试求X和Y的联合分布律以及联合分布函数．

解：联合分布律

X 0 1 Y 0 1 14 14 14 14 ?1,x?1,y?1?14,0?x?1,0?y?1??联合分布函数F(x,y)??12,0?x?1,y?1

?12,x?1,0?y?1???0,其他.4．一个袋子中装有４个球，依次标有数字1，2，2，3，从中任意取出１个后（不放回），记下球上的数字X，再取出１个球，记下其上的数字Y．试写出(X,Y)的联合分布律和关于X、Y的边缘分布律．

解：

X 1 2 3 Y １ 0 2 3 pi?

312

212 112 212 112 312

212 212 612

212 0 612 312

p?j

312

5．设二维随机变量(X,Y)的联合分布律如下：

X 0 1 2 3 计算以下概率：

（1）P{X?2}；（2）P{X?2,Y?2}；（3）P{Y?2}；（4）P{X?Y}；（5）P{X?Y}． 解：（1）P{X?2}?0.27；（2）P{X?2,Y?2}?0.69；（3）P{Y?2}?0.53； （4）P{X?Y}?0.3；（5）P{X?Y}?0.25．

Y 0 0.08 0.06 0.05 0.02 １ 0.07 0.10 0.06 0.03 2 0.06 0.12 0.09 0.03 3 0.01 0.05 0.04 0.03 4 0.01 0.02 0.03 0.04 ?Cx2y,x2?y?1;6．二维连续性随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??

?0,其他.确定常数C并计算概率P{X?Y}． 解：1???????????f(x,y)dxdy??Cx2dx?2ydy??1x114C 21-1 1 ?C?21； 4x212xdx?2ydy?0.15． 04x1P{X?Y}?????sinxcosy,0?x??,C?y?;7．设二元函数为f(x,y)??问C取何值时，f(x,y)是2，

?其他.?0,二维随机变量的概率密度？ 解：1??2C??????????f(x,y)dxdy??sinxdx?cosydy?2(1?sinC)?C?0?Y

?6．

60

?C(x2?y),0?y?1?x2;8．随机变量(X,Y)的联合概率密度是f(x,y)??，

0,其他.?试求：（1）常数C；（2）P{0?X?}；（3）P{X?Y}． 解：（1）1?122??????????f(x,y)dxdy??dx??111?x20C(x2?y)dy?4C 55 ?C?；

41（2） P{0?X?}??dx?02（3）P{X?Y}?21O

-1 X

1 1201?x2527915 (x?y)dy?； 4256{(x,y)y?x2}??f(x,y)d??0．

?12e?(3x?4y),0?x,0?y;9．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??

其他.?0,试求：（1）P{0?X?1,0?Y?2}；（2）(X,Y)的联合分布函数F(x,y)． 解：（1）P{0?X?1,0?Y?2}?（2）当x?0,y?0时，

?103e?3xdx?4e?4ydy?(1?e?3)(1?e?8)?0.9499；

02F(x,y)??x?????yf(u,v)dudv??3e?3udu?4e?4vdv?(1?e?3x)(1?e?4y),

????xy?(1?e?3x)(1?e?4y),0?x,0?y;联合分布函数F(x,y)??

其他.?0,10．设甲船在24小时内随机到达码头，并停留２小时；乙船也在24小时内独立地随机到达码头，并停留１小时，试求：（1）甲船先到达的概率p1；（2）两船相遇的概率p2．

解：（1）p1?P{X?Y}?（2）

1； 2

Y 24 p2?P{X?Y?X?2}?P{Y?X?Y?1}?P{X?1?Y?X?2}21124??222??23222 ??0.120 72241 2 24 X 11．两个人约定在下午１时到２时之间的任何时刻到达某车站乘公共汽车，并且分别独立到达车站．这段时间内有４班公共汽车，它们的开车时间分别为1:15，1:30，1:45，2:00，如果他们约定：（1）见车就上；（2）最多等一辆车．求在两种情形下他们同乘一辆车的概率分别是多少？ 解：

（1）p1?

41105?； （2）p2??． 1641682212．设二维随机变量(X,Y) ~N(0,1;0,1;0)，计算概率P{X?Y?r}，其中r?0．

21?x解：?(x,y)?e2??y2222，P{X?Y?r}??2?0d??r0r?1??22e?d??1?e． 2?2?Cxy2,0?x?1,0?y?1;13．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??，

?0,其他.确定常数C，并讨论X与Y是否相互独立？ 解：1???????????f(x,y)dxdy??Cxdx?y2dy?00??111C?C?6； 612?0?x?1??06xydy,0?x?1?2x，， fX(x)??f(x,y)dy??????0,其他??其他?0,122???0?y?1??06xydx,0?y?1?3y，， fY(y)??f(x,y)dx???????0,其他?其他?0,由fX(x)?fY(y)?f(x,y)，则X与Y相互独立．

14．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度如下，问X与Y是否相互独立？

1??xxe,0?x,0?y;?8xy,0?x?y?1;?(1?y)2（1）f(x,y)??（2）f(x,y)??

?0,其他.?0,其他.?解：（1）fX(x)??????1????xxedy,x?0?xe?x,x?0??02(1?y)， f(x,y)dy????0,x?0?0,x?0??1????x?1xedx,y?0,y?0????(1?y)2， fY(y)??f(x,y)dx???0??(1?y)2???0,y?0?y?0??0,由fX(x)?fY(y)?f(x,y)，则X与Y相互独立．

12???x8xydy,0?x?1?4x(1?x),0?x?1（2）fX(x)??f(x,y)dy??， ????其他?0,?其他?0,y3?????08xydx,0?y?1?4y,0?y?1， fY(y)??f(x,y)dx???????0,其他?其他?0,??由fX(x)?fY(y)?f(x,y)，则X与Y不相互独立．

15．设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为

X 1 2 Y １ 2 3 16 13 19 118 ? ? 问?和?取什么值时，X与Y相互独立？ 解：P{X?1,Y?2}?P{X?1}?P{Y?2}?1112??(??)???，

9939?pij?1???1． 916．某射手进行射击，击中目标两次就停止射击，而且每一次的命中率为p(0?p?1)．令

X表示第一次命中目标时的射击次数，令Y表示第二次命中目标时的射击次数，试求：

（1）Y的分布律；（2）条件分布律P{X?iY?j}和P{Y?jX?i}． 解：P{X?i,Y?j}?(1?p)j?2?p2,1?i?j?2,3,?，

12j?2（1）Y的分布律：P{Y?j}?Cj?1p(1?p)，

P{X?i,Y?j}(1?p)j?2?p21（2）， i?1,2,?,j?1；?12?P{X?iY?j}?j?2P{Y?j}Cj?1p(1?p)j?1P{X?i}?j?i?1?P{X?i,Y?j}??(1?p)j?i?1??j?2?p2?p(1?p)i?1，i?1,2,?

P{X?i,Y?j}(1?p)j?2?p2??p(1?p)j?i?1，i?j,i?1,2,?． P{Y?jX?i}?i?1P{X?i}p(1?p)??1?sinx,0?x?,0?y?3;17．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??3， 2??0,其他.试求条件概率密度fXY(xy)和fYX(yx)．

????31??sinxdy,0?x?sinx，0?x???解：fX(x)??f(x,y)dy???032??2，

????其他?0,其他?0,???112??0?y?3sinxdx,0?y?3?，?， fY(y)??f(x,y)dx???03??3???0,?其他?0,其他???1?f(x,y)?sinx,0?x?f(x,y)?,0?y?3． fXY(xy)?????32，fYX(yx)?fY(y)?fX(x)??0,其他?0,其他??e??y,y?018．设随机变量Y服从指数分布，其概率密度为fY(y)??，(??0)，而且随

y?0?0,?ye?xy,x?0机变量X关于Y的条件概率密度为fXY(xy)??，(y?0)，求X的概率密度．

x?0?0,??ye??y?xy,x?0,y?0解：f(x,y)?fXY(xy)?fY(y)??，

其他?0,??????y?xy?,x?0??dy,x?0???0?ye2fX(x)??f(x,y)dy????(??x)．

???x?0?0,?0,x?0?19．设随机变量X与Y相互独立，其概率密度分别为

??2e??2y,y?0??1e??1x,x?0(?2?0)， fX(x)??，(?1?0)，fY(y)??x?0y?0?0,?0,令随机变量Z??律和分布函数．

?1,X?Y，试求：（1）条件概率密度fXY(xy)；（2）随机变量Z的分布

?0,X?Y??1e??1x,x?0解：（1）当y?0时，fXY(xy)?fX(x)??；

x?0?0,??1?2e??1x??2y,x?0,y?0（2）f(x,y)?fX(x)?fY(y)??，

其他?0,P{Z?1}?{(x,y)x?y}??f(x,y)d????1e??1xdx??2e??2ydy?00?????1?1??2，

P{Z?0}?1?P{Z?1}?1??1?1??21 ??2?1??2，

Z P 0 ?2?1??2 ?1?1??2 20．已知离散型随机变量X的分布律为 X P{X?xi} 试求Y?解：

0 1 4? 21 2? 1 42X?2和Z?cosX的分布律． 3Y?2X?2 32 ?3?2 1 2P

1 41 0 2??2 31 4Z P

1 41 2?1 1 421．设随机变量X与Y相互独立，且X~B(n1,p)，Y~B(n2,p)，证明：Z?X?Y服从参数为n1?n2，p的二项分布． 解：P{X?k}?Cn1p(1?p)1kkn?k，P{Y?k}?Cn2p(1?p)kkn2?k，

P{X?Y?m}??p(k)p(m?k)

k?0n1?kn2?m?kn1?n2?mkkm?kkmm??Cnp(1?p)Cp(1?p)?Cp(1?p)， nn?n1212k?0mm故 Z~B(n1?n2,p)．

22．设X与Y是相互独立同分布的随机变量，其分布律为

P{X?n}?P{Y?n}?m1(n?1,2,?)，求Z?X?Y的分布律． n2m?1解：P{X?Y?m}??p(k)p(m?k)??k?011m?1，(m?2,3,?) ?km?km222k?123．科学家观察某个放射物的情况，发现在(0,7.5)（单位：秒）内放射出的??质点个数共做了2608次测试，试求：整个过程中放射出的??质点个数Y的分布律． X~P(3.87)．

2608解：Y~P(?3.87)．

i?124．设二维连续型随机变量(X,Y)~N(0,10;0,10;0)，计算概率P{X?Y}． 解：P{X?Y}?{(x,y)x?y}??f(x,y)d??1 211exp[?(x2?y2)]，2?225．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度是f(x,y)?(x,y)?R2，计算概率P{?2?X?Y?22}．

解：fX(x)?1e2??x22，X~N(0,1)；fY(y)?1e2??y22，Y~N(0,1)；

则Z?X?Y~N(0,2)，P{?2?X?Y?22}

??(22?0?2?0)??()??(2)??(?1)??(2)?1??(1)?0.8185． 2226．设随机变量X是电路的电压振幅，已知其分布函数为FX(x)．试求：经过半波整流后的电压振幅Y?(X?X)/2的分布函数．若假设X~N(0,1)，讨论Y是否是连续型随机变量．

解：Y?(X?X)/2???FX(x),y?0?X,X?0，FY(y)??，Y不是连续型随机变量．

y?0?0,?0,X?02X27．设随机变量X~N(?,?)，写出：（1）Y?e；（2）Y?X的概率密度．

解：（1）函数y?g(x)?e在整个定义域上处处可导、单调增加，

其反函数为x?h(y)?lny，有x??h?(y)?x1，y?0， y当y?0时，fY(y)?fX[h(y)]?h?(y)?fX(lny)?11?ey?2?2?(lny??)22?2?1， y(lny??)?1?12e2??,y?0?当y?0时，fY(y)?0，fY(y)???2?； y?0,,y?0?（2）当y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X?y}?P{?y?X?y}???y?yfX(x)dx，

；

fY(y)?FY?(y)?fX(y)?fX(?y)(?1)?1e?2??(y??)22?2?1e?2?(y??)22?2(y??)(y??)?1??122e2??e2?,y?0?当y?0时，fY(y)?0；fY(y)???2?． ?2??0,,y?0?22?3x2,0?x?1;228．设随机变量X的概率密度为f(x)??，写出Y?1?X的概率密度．

?0,其他.解：当0?x?1时，函数y?g(x)?1?x处处可导、单调增加，

其反函数为x?h(y)?1?y，有|x?|?|h?(y)|?21，0?y?1，

21?y13?1?y，

21?y2当0?y?1时，fY(y)?fX[h(y)]?h?(y)?fX(1?y)??3?1?y,0?y?1当y?0时，fY(y)?0；fY(y)??2．

?其他?0,?1?x,0?x?2;29．设随机变量X的概率密度为f(x)??2，令Y?X(2?X)，写出Y的分

??0,其他.布函数及概率密度．

解：当0?y?1时，FY(y)?P{Y?y}?P{X(2?X)?y}

211xdx??xdx ?1?1?y；

01?1?y22y?0?0,?当y?1时，FY(y)?1；当y?0时，FY(y)?0；FY(y)??1?1?y,0?y?1，

?1,y?1??P{X?1?1?y}?P{X?1?1?y}??1?1?y?1,0?y?1?fY(y)?FY?(y)??21?y．

?0,其他?（x?2y)?2e?,0?x,0?y;30．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度是f(x,y)??，求随机

?0,其他.变量Z?X?2Y的分布函数和概率密度． 解：FZ(z)?P{Z?z}?P{X?2Y?z}

z?x?z?z?z??dx?22e?(x?2y)dy,z?0?1?e?ze,z?0??0??， 0z?0?0,?z?0?0,?ze?z,z?0fZ(z)?FZ?(z)??．

?0,z?031．已知随机变量X、Y相互独立，X服从参数为?的指数分布，Y服从区间(0,h)(h?0)上的均匀分布，写出X?Y的概率密度．

解：G?{(x,z)x?0,0?z?x?h}?{(x,z)x?0,x?z?x?h}，

(1)0?z?h,fZ(z)??fX(x)fY(z?x)dx???e??x??0??z(2)z?h,fZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx???e??xz?hz11dx?(1?e??z)； hh11dx?e??z(e?h?1)； hh??0,z?0??1(3)z?0,fZ(z)?0．fZ(z)??(1?e??z),0?z?h．

?h?1??z?he(e?1),z?h??h32．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度是f(x,y)???2(x?y),0?x?y?1;，求随机

其他.?0,变量Z?X?Y的概率密度．

解：G?{(x,z)0?x?z?x?1}?{(x,z)0?x?1,2x?z?x?1}，

(1)0?z?1,fZ(z)??fX(x)fY(z?x)dx??2zdx?z2；

????z20(2)1?z?2,fZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx??2zdx?2z?z2；

z2z?1?0,z?0或z?2?(3)z?0或z?2,fZ(z)?0．fZ(z)??z2,0?z?1．

?2z?z2,1?z?2?33．设随机变量X与Y相互独立，X~N(0,1)，Y~N(0,1)，求Z?X/Y的概率密度． 解：G?{(y,z)yz?R,y?R}，

????fZ(z)????yf(yz,y)dy??0y?1e2??y2z2?y22dy??y???01e2??y2z2?y22dy?1?(z2?1)，

z?R．

习题四

1．一箱产品中有件3件正品和2件次品，不放回地任意取2件，X表示取到的次品数，求平均次品数E(X)． 解：X的分布律：

X P

0 1 2 3 106 101 10E(X)?0?361?1??2??0.8． 1010101?xe，???x???， 22．设随机变量X服从拉普拉斯分布，其概率密度为f(x)?计算E(X)和D(X)． 解：E(X)?1?xx?f(x)dx?x??????2edx?0， ??????2221?xE(X)??x?f(x)dx??xedx??x2e?xdx?2，

????02????D(X)?E(X2)?[E(X)]2?2．

?x,0?x?1;?3．设随机变量X的概率密度为f(x)??2?x,1?x?2;，试求E(X)和D(X)．

?0,其他.?解：E(X)?2?????x?f(x)dx??x2dx??x(2?x)dx?1，

0112E(X)??x?f(x)dx??xdx??x2(2?x)dx???01??21327， 6D(X)?E(X2)?[E(X)]2?1． 62?x?x2?2e2?,x?0;4．设随机变量X服从瑞利分布，其概率密度为f(x)???，(??0),

?0,x?0.?试求E(X)和D(X)．

????解：E(X)????x?f(x)dx??0xx?x2?2e2?dx?2?2?，

E(X2)??x2?f(x)dx????????0x2x?x2?2?2e2?dx?2?2，

2D(X)?E(X2)?[E(X)]2?2?2??2．

??t5．地面雷达搜索飞机，在时间段(0,t)内发现飞机的概率为P(t)?1?e试求发现飞机的平均搜索时间．

，(??0)，

?1?e??t,t?0;??e??t,t?0;解：设随机变量T表示发现飞机的时间，F(t)??，f(t)??，

t?0.?0,?0,t?0.E(T)??t?f(t)dt??t?e??tdt???0????1?．

226．已知随机变量X~U(??,?)，试求Y?cosX和Y?cosX的数学期望．

?1???1?,(??,?);dx?0， 解：f(x)??2?，E(Y)??cosx?f(x)dx??cosx????2??0,其他.?E(X2)??cos2x?f(x)dx??cos2x???????11dx?． 2?27．已知随机变量X~P(?)，试求E(1)． 1?X解：P{X?k}??kk!e??(k?0,1,2,?)，

??11?k???ke????E()???e?e??1?X1?kk!(1?k)!?k?0k?0?n!?n?1??ne???(?n?0??nn!?1)

?e???(e??1)?1?(1?e??)．

?e?x,x?0;?2X8．随机变量X的概率密度为f(x)??，求Y?2X和Z?e的数学期望．

0,x?0.?解：E(Y)??????2x?f(x)dx??2xe?xdx?2，

0??E(Z)??e?2x?f(x)dx??e?2xe?xdx???0????1． 3?12y2,0?y?x?1;9．设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??

?0,其他.试求：E(X)、E(Y)、E(XY)、E(X?Y)． 解：E(X)?2x?f(x,y)d??dx12xydy?????D001x224； 5E(Y)???y?f(x,y)d???dx?12y3dy?D001x1x3； 51； 2xE(XY)???xy?f(x,y)d???dx?12xy3dy?D0022221E(X?Y)???(x?y)?f(x,y)d???dx?(x2?y2)12y2dy?D0016． 1510．随机变量Y服从参数为1的指数分布，令随机变量Xk??试求：E(X1?X2)数学期望．

?0,Y?k;，

k,Y?k.??e?y,y?0;?0,Y?2;?0,Y?1;解：f(y)??，X1??，X2??，

?2,Y?2.?1,Y?1.?0,y?0.E(X1)?0?P{Y?1}?1?P{Y?1}?e?1E(X2)?0?P{Y?2}?2?P{Y?2}?2e?2E(X1?X2)?E(X1)?E(X2)?e?1?2e?2．

x?1?3?e,x?0;11．设随机变量X与Y相互独立，其概率密度分别为f(x)??3，

?0,x?0.??2y,0?y?1;,求E(XY)和E(X?Y)． f(y)??0,其他.?解：E(X)??????x?f(x)dx????0????1?2xe3dx?3;E(Y)??y?f(y)dy??2y2dx?;

??033xE(XY)?E(X)E(Y)?2;E(X?Y)?E(X)?E(Y)?11． 32212．若随机变量X与Y相互独立，都服从标准正态分布，试求：E(X?Y)和

D(X2?Y2)．

解：X~N(0,1)，E(X)?0，D(X)?1，E(X)?D(X)?[E(X)]?1；

22Y~N(0,1)，E(Y)?0，D(Y)?1，E(Y2)?D(Y)?[E(Y)]2?1； E(X2?Y2)?E(X2)?E(Y2)?2，

D(X2?Y2)?D(X2)?D(Y2)?2D(X2)?2{E(X4)?[E(X2)]2}

?2{?x4????1e2??x22dx?1}?2{3?1}?4．

13．民航机场的送客汽车载有20名乘客，从机场开出，乘客可以在10个车站下车．如果到达某一车站无人下车，则在该站不停车，设随机变量X表示停车次数，并假定每个乘客在各个车站下车是等可能的．求平均停车次数． 解：X~B(10,p)，p?1?(9209)，E(X)?np?10[1?()20]． 101014．将n个球(1~n号)随机地放入n只盒子(1~n号)中，1只盒子装1个球．若1个球装入与球同号的盒子中，称为1个配对，记X为总配对数，求E(X)． 解：X~B(n,p)，p?(n?1)!1?，E(X)?np?1． n!n?6xy2,0?x?1,0?y?1;15．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??，

?0,其他.试写出(X,Y)的协方差矩阵．

解：E(X)?2??x?f(x,y)d??6?xdx?ydy?D001212， 311，D(X)?E(X2)?[E(X)]2?; 218E(X2)???x2?f(x,y)d??6?x3dx?y2dy?D0011E(Y)???y?f(x,y)d??6?xdx?y3dy?D0011113， 43322，D(X)?E(X)?[E(X)]?； 5801， 2E(Y2)???y2?f(x,y)d??6?xdx?y4dy?D0011E(XY)???xy?f(x,y)d??6?x2dx?y3dy?D00cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0；

?1cov(X,Y)??18?D(X)协方差矩阵：????cov(X,Y)D(Y)???0??0?． 3??80??1,0?x?1,y?x;?0,其他.，证明X与

16．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??Y不相关．

证：E(X)???x?f(x,y)d???xdx?dy?D0?x1x2， 3E(Y)???y?f(x,y)d???dx?ydy?0，

D0?x1xE(XY)???xy?f(x,y)d???xdx?ydy?0，

D0?x1xcov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0，

显然D(X)?0，D(X)?0，故?XY?0，所以X与Y不相关． 17．设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为，

Y 1 2 X ?1 0.2 0.1 0 0.1 0.0 1 0.1 0.1 3 求X与Y的相关系数． 解：

0.2 0.1 0.1 X P ?1 0.5 0 0.2 1 0.3 E(X)??1?0.5?0?0.2?1?0.3??0.2，

E(X2)?(?1)2?0.5?02?0.2?12?0.3?0.8，D(X)?E(X2)?[E(X)]2?0.76；

Y P 1 0.4 2 0.2 3 0.4 E(Y)?1?0.4?2?0.2?3?0.4?2，

E(Y2)?12?0.4?22?0.2?32?0.4?4.8，D(Y)?E(Y2)?[E(Y)]2?0.8；

XY P ?3 0.2 ?2 0.1 ?1 0.2 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.1 E(XY)?(?3)?0.2?(?2)?0.1?(?1)?0.2?0?0.2?1?0.1?2?0.1?3?0.1??0.4，cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0，?XY?cov(X,Y)?0．

D(X)D(Y)18．设随机变量X的概率密度为f(x)?是否相互独立？ 解：E(X)?1?xe，???x???，问X与X是否不相关？21?xx?f(x)dx?x??????2edx?0， ??????2221?xE(X)??x?f(x)dx??xedx??x2e?xdx?2，

????02????D(X)?E(X2)?[E(X)]2?2；

令Y?X，E(Y)?2??2?????x?f(x)dx????2??0xe?xdx?1，

??1?xE(Y)??x?f(x)dx??xedx??x2e?xdx?2，

????02D(Y)?E(Y2)?[E(Y)]2?1；

E(XY)??xx?f(x)dx??xx????????1?xedx?0， 2cov(X,Y)?0，

D(X)D(Y)cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0，?XY?所以X与Y不相关，不相互独立． ．

19．设D(X)?25，D(X)?36，相关系数?XY?0.4，试求：D(X?Y)和D(X?Y)．

D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2cov(X,Y)?D(X)?D(Y)?2?XYD(X)D(X)?85D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2cov(X,Y)?D(X)?D(Y)?2?XYD(X)D(X)?37

20．设随机变量X~U(0,1)，试求X的k阶原点矩． 解：f(x)????1?1,(0,1);1kkk；E(X)??x?f(x)dx??x?1dx?．

??0k?1?0,其他.XY?，试求： 32（1）Z的数学期望和方差；（2）X与Z的相关系数；（3）问X与Z是否相互独立？

122解：（1）(X,Y)~N(1,3;0,4;?)，E(X)?1，D(X)?9，E(Y)?0，D(Y)?16，

221．设二维随机变量(X,Y)~N(1,3;0,4;?)，设Z?2212?XY??0.5，cov(X,Y)??XYD(X)D(Y)??6,

E(X2)?D(X)?[E(X)]2?10，E(XY)?cov(X,Y)?E(X)E(Y)??6,

XY111?)?E(X)?E(Y)?; 32323XY11XY1D(Z)?D(?)?D(X)?D(Y)?2cov(,)?1?4?cov(X,Y)?33294323E(Z)?E(（2）?XZ?11?cov(X,Z)E(XZ)?E(X)E(Z)33???0,

D(X)D(Z)3?333X2XY111?)?E(X2)?E(XY)?； 其中E(XZ)?E(32323（3）X~N(1,3)，Z~N(,3)，且?XZ?0，所以X与Z相互独立．

213习题五

1．进行600次伯努利试验，事件A在每次试验中发生的概率为p?2，设Y表示600次试5验中事件A发生的总次数，利用切比雪夫不等式估计概率P{216?Y?264}． 解：E(Y)?np?600?223?240，D(Y)?np(1?p)?600???144， 555D(X)切比雪夫不等式：P{X?E(X)??}?1? 2?P{216?Y?264}?P{Y?240?24}?1?1443?． 24242．若随机变量X1,X2,?,X100相互独立且都服从区间(0,6)上的均匀分布．设Y?利用切比雪夫不等式估计概率P{260?Y?340}．

解：E(Xi)?3，D(Xi)?3，E(Y)?300，D(Y)?300，

?Xi?1100i，

P{260?Y?340}?P{Y?300?40}?1?30013． ?240163．利用切比雪夫大数定律证明泊松大数定律：设X1,X2,?,Xn,?为相互独立的随机变量序列，有P{Xn?1}?pn，P{Xn?0}?1?pn，(0?pn?1)，n?1,2,?，则

X1,X2,?,Xn,?服从大数定律．

1?1?1证：E(Xi)?pi，D(Xi)?pi(1?pi)?，E(?Xi)??E(Xi)，

ni?1ni?141?1D(?Xi)?2ni?1n?D(X)?nii?1?1n1??， 244n由切比雪夫不等式，对任给的??0，有

1?1?P{?Xi??E(Xi)??}?1?ni?1ni?11n2?D(X)ii?1??2?1?1， 4n?21?1?limP{?Xi??E(Xi)??}?1，故X1,X2,?,Xn,?服从大数定律． n??ni?1ni?14．调整200台仪器的电压，假设调整电压过高的可能性为0.5，试求调整电压过高的仪器台数在95至105台之间的概率．

解：设Y表示调整电压过高的仪器台数，

E(Y)?np?200?0.5?100，D(Y)?np(1?p)?200?0.5?0.5?50，

P{95?Y?105}??(105?10095?10022)??()??()??(?)，

2250502)?1?0.5222． 2?2?(5．某射手每次射击的命中率为p?0.8，现射击100发子弹，各次射击互不影响，求命中

次数在72与88之间的概率． 解：设Y表示命中次数，

E(Y)?np?100?0.8?80，D(Y)?np(1?p)?100?0.8?0.2?16，

P{72?Y?88}??(88?8072?80)??()??(2)??(?2)?2?(2)?1?0.9544 446．设某个系统由100个相互独立的部件组成，每个部件损坏的概率均为0.1，必须有85个

以上的部件工作才能使整个系统正常工作，求整个系统正常工作的概率． 解：设Y表示正常工作的部件数，

E(Y)?np?100?0.9?90，D(Y)?np(1?p)?100?0.9?0.1?9，

P{85?Y?100}??(100?9085?9010?5)??()??()??() 3333??(3.33)?1??(1.67)?0.9525．

7．对敌人阵地进行100次炮击，每次炮击时炮弹命中次数的数学期望为4，方差为2.25，

求在100次炮击中有380颗到420颗炮弹命中目标的概率．

解：设Xi表示第i次炮击时炮弹命中次数，Y表示命中目标的炮弹总数，Y??Xi?1100i

E(Xi)?4，D(Xi)?2.25，E(Y)?400，D(Y)?225，

P{380?Y?420}??(420?400380?4004?4)??()??()??() 1515334?2?()?1?0.8164．

38．一个加法器同时收到20个噪声电压V1,V2,?,V20，设它们是相互独立的，且都在区间

(0,10)上服从均匀分布，记V??Vi，求概率P{V?105}．

i?120解：E(Vi)?5，D(Vi)?100500，E(V)?100，D(V)?， 123105?10013)?1??()?0.3483．

2550031的指数分布，现随机抽取16件，10016P{V?105}?1?P{V?105}?1??(9．某种电器元件的寿命（单位：小时）T服从参数为

设它们的寿命相互独立，求这16个元件的寿命总和大于1920小时的概率． 解：设Xi表示第i个电器元件的寿命，Y表示16个元件的寿命总和，Y??Xi?1i

E(Xi)?100，D(Xi)?10000，E(Y)?1600，D(Y)?160000，

P{Y?1920}?1?P{Y?1920}?1??(1920?1600)?1??(0.8)?0.2119．

40010．某个系统由相互独立的n个部件组成，每个部件的可靠性（即正常工作的概率）为0.9，且至少有80%的部件正常工作，才能使整个系统工作．问n至少为多大，才能使系统的可靠性为95%．

解：设Y表示正常工作的部件个数，E(Y)?np?0.9n，D(Y)?np(1?p)?0.09n，

P{0.8n?Y?n}??(n?0.9n0.8n?0.9nn?n)??()??()??()

330.09n0.09n?2?(n)?1?0.95， 3?(nn?1.96，n?35． )?0.975，查表得：?(1.96)?0.975，则33习题六

1n1n21n1n221、设x??xi,y??yi，证明：（1）?(xi?x)??xi?x；

ni?1ni?1ni?1ni?1 （2）

?(x?x)(yii?1ni?y)??xiyi?nxy。

i?1n1n1n21n22xn1n222x 证明：（1）?(xi?x)??(xi?2xix?x)??xi??xi?n?ni?1ni?1ni?1ni?1i?11n22x121n2nx?nx??xi?x2 ??xi?ni?1nnni?1(2)n?(x?x)(yii?1niii?1ni?y)??(xiyi?xiy?xyi?xy)i?1nn ??xyi?1ni?1?y?xi?x?yi?nxyi?1n

??xiyi?nxy?nxy?nxy??xiyi?nxyi?1

2、由下列样本值计算样本平均值和样本方差： （1）54.67，68.78，70.66，67.70，65.69；

（2）100.3，99.7，102.2，99.3，100.7，100.5，103.1，101.5。 解：（1）x?54.67?68.78?70.66?67.70?65.69?65.5

52221?(54.67?65.5)?(68.78?65.5)?(70.66?65.5)?s????39.8872 225?1???(67.70?65.5)?(65.69?65.5)??2（2）x?2100.3?99.7?102.2?99.3?100.7?100.5?103.1?101.5?100.91

82222?1?(100.3?100.91)?(99.7?100.91)?(102.2?100.91)?(99.3?100.91)s??1.6355?2222?8?1??(100.7?100.91)?(100.5?100.91)?(103.1?100.91)?(101.5?100.91)???3、某射手进行独立、重复的射击，击中靶子的环数及相应的次数如下： 环数 击中次数 10 2 9 3 8 0 7 9 6 2 5 0 4 4 求一次中靶的平均环数及环数的标准差。 解：设x为平均环数，s为环数的标准差

x?10?2?9?3?8?0?7?9?6?2?5?0?4?4?6.9

2?3?0?9?2?0?42222?(10?6.9)?2?(9?6.9)?3?(8?6.9)?0?(7?6.9)?9?12s????3.5684 22220?1????(6?6.9)?2?(5?6.9)?0?(4?6.9)?4?s?1.8894、设总体X～N(12,4)，X1，X2，…，X5为其样本， （1）求样本平均值X大于的13概率；

（2）求样本平均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。 解：由样本均值X～N(?,?24)推出X～N(12,) n513?12)?1??(52)?0.1314 25（1）P{X?13}?1?P{X?13}?1??(P{X?12?1}?P{X?13}?P{X?11}?1?P{X?13}?P{X?11}（2）

13?1211?12?1??()??()?2?2?(52)?0.26282525

5、设总体X在区间[?2,3]上服从均匀分布，X1，X2，…，X5为其样本，X为样本平均值，求E[X]及D[X]。

(b?a)2(3?2)225a?b?2?31????，D[X]?解：由均匀分布得：E[X]?， 121212222111E[X]?E[(X1?X2?X3?X4?X5)]?(E[X1]?E[X2]?E[X3]?E[X4]?E[X5])?552115D[X]?D[(X1?X2?X3?X4?X5)]?(D[X1]?D[X2]?D[X3]?D[X4]?D[X5])?525126、设总体X～N(20,3)，分别取样本容量n1?10及n2?15的两个样本，X1及X2分别为两个样本的平均值，求P{X1?X2?0.3}。

33)，X2～N(20,)， 1015331由正态分布的可加性：X1—X2～N(20?20,?)?N(0,)

10152P{X1?X2?0.3}?P{X1?X2?0.3}?P{X1?X2??0.3}解：由题意，得X1～N(20,?1?P{X1?X2?0.3}?P{X1?X2??0.3}?1??(0.30.5)??(?0.30.52

)?2?2?(0.30.5)?0.67447、设总体X～N(0,0.3)，X1，X2，…，X10为其样本，求P{?Xi?1102i?1.44}。

解：由于Xi～N(0,0.09)，推出

10Xi?0X?0～N(0,1)，标准化以后设Yi?i 0.30.3则有

?Yi?12i~?2(10)。

10P{?X?1.44}?P{?(2ii?1i?110Xi21.44)?}?P{?2(10)?16}??，查表得??0.1 0.30.09228、设总体X～N(?,?)，X1，X2，…，X20为其样本，S为样本方差，求

P{0.4?2?S2?2?2}。

2解：由于Xi～N(?,?)，设Yi?Xi?X?，则Yi～N(0,1)

nnXi?X2n?121n2)??Yi， (Xi?X)，推出2S??(由S???n?1i?1?i?1i?12即

(n?1)?22S2~?2(n?1)

22nP{0.4??S?2?}?P{0.4?19??Yi2?2?19}?P{7.6??2(20)?38}i?1

?0.995?0.01?0.98529、设总体X～?(n)，X1，X2，…, Xn,…为其样本，求样本平均值X的数学期望和

方差。

2解：由X～?(n)，则对每个样本Xi有：E[Xi]?n,D[Xi]?2n

n1n11nn2E[X]?E[?Xi]?E[?Xi]??E[Xi]??n

ni?1ni?1ni?1nn1n11D[X]?D[?Xi]?2D[?Xi]?2ni?1nni?12n2D[Xi]?2?2 ?ni?1n10、设随机变量X，Y相互独立，且都服从N(0,1)分布，则

XY2服从什么分布？

nX22解：观察可得类似T?～t(n)，其中X～N(0,1)，Z～?(n)，而?(n)??Xi2Zni?12其中Xi～N(0,1)；现在Y～N(0,1)，则Y2～?(1)，于是T?XY12～t(1)。

1n11、设总体X～N(?,?)，X1，X2，…, Xn，Xn?1为其样本，记X??Xi，

ni?12Xn?1?X1n2，求证：S?(X?X)?iSn?1i?12n～t(n?1)。 n?1证明：据抽样分布定理有：，X～N(?,?2n)，Xn?1～N(?,?2)，于是Xn?1?X～

N(0,??2?2n)，则

Xn?1?X?S～N(0,1?)，得

1nXn?1?X?n～N(0,1)（标准正态） n?1又

n?1?2S~?(n?1)，则

22?~?2(n?1)n?1（卡方）

于是

Xn?1?XSn?n?1(Xn?1?X?)S?nn?1~t(n?1)。

2212、设总体X，Y相互独立，X～N(?1,?)，Y～N(?2,?)，X1，X2，…，Xn1和

Y1，Y2，…，Yn2分别为其样本，证明：

n2?(Xi??1)2n1?(Yj??2)2j?1i?1n2n1～F(n1,n2)。

n2?(Xi??1)证明：

i?1n2n12??(Xi??1)?(Yj?1i?1n2jn12n1??(?(j?1i?1n2n1Xi??1?Yj??2)2n1

n1?(Yj??2)2j?1??2)2n2?)2n2设Mi?n1Xi??1?)2，Nj?n1Yj??2?2i2j，则Mi～N(0,1)，Nj～N(0,1)，于是

?(?(j?1i?1n2Xi??1?Yj??2n1??M?Nj?1i?1n2n1n2?)2n2?2(n1)n1～F(n1,n2) ?2?(n2)n2习题七

1、设X1，X2，…，Xn是来自总体X的一组样本，求下列各总体的分布中未知参数的矩法估计量。

??e??x,x?0;（1）总体X的概率密度为f(x)????0为未知参数。

0,x?0.?解：由于服从指数分布，则E[X]?1???，用样本均值X代替E[X]后，得?k?11。 X（2）总体X的分布律为P{X?k}?p(1?p)解：E[X]?，k?1,2,...，0?p?1.p为未知参数。

?k?p(1?p)k?1?k?1，利用数项级数求和方法：设S(x)???k?xk?1?k?1，其中

x?1?p,E[X]?p?S(1?p)，S(x)??k?xk?1两边同时对x积分得：

k?1k?S(x)dx??x?k?1?11xE[X]?，再求导回来可得：S(x)?，从而，

(1?x)2p1?x??用样本均值X代替E[X]后，得p

1。 X??x??1,0?x?1;（3）总体X的概率密度为f(x)????0为未知参数。

0,其他.?解：E[X]??????xf(x)dx???x?dx?01???1，用样本均值X代替E[X]后，得

X????1??，即?X。 1?X??c?x?(??1),x?c,（4）总体X的概率密度为f(x)?? 式中c?0为已知， ??1为未知参数。

其他.?0,解：E[X]??????xf(x)dx??x?c?x?(??1)dx?c??c?，用样本均值X代替E[X]后，得 ??1X?c???X。 ，即?X?c??12、设X1，X2，…，Xn是来自总体X的一组样本，求下列各总体的分布中未知参数的极大似然估计量。

??x??1,0?x?1;（1）总体X的概率密度为f(x)????0为未知参数。

其他.?0,解：极大似然函数为：L??i?1n?n??10?xi?1???xi f(xi)??i?1?0其它?ndlnLnn?0，得??lnxi?0， 当0?xi?1时，lnL?nln??(??1)?lnxi，令

d??i?1i?1??即??n?lnxi?1n。

i??kxk?1e??x,?（2）总体X的概率密度为f(x)??(k?1)!?0,?为未知参数。

nx?0;x?0.??0，式中k为已知正整数，

解：极大似然函数为：L??i?1?n?kxik?1e??xi??f(xi)??i?1(k?1)!?0?k?1??xiixi?0xi?0n

得，lnL?nln?k(k?1)!??lnxei?1n?n[kln??ln(k?1)!]??[(k?1)lnxi??xi]

i?1dlnLnkn??nk?k。 ?0，得令??xi?0，即?nd?X?i?1?xii?11??e,???x???，式中??0为未知参数。 （3）总体X的概率密度为f(x)?2?解：极大似然函数为：L?x?f(x)?(2?)ii?1n?n?ex??ii?11n???xi???，

得，lnL??n(ln2?ln?)??1??i?1ndlnL?n1nxi，令?0，得，?2?xi?0，

d???i?11n???xi。 即?ni?1?x?x2/2?2,x?0;?e（4）总体X的概率密度为f(x)???2??0为未知参数。

?x?0.?0,n解：极大似然函数为：L?n?f(x)?ii?1n?xi?12nni?1?e2?2?xi2i?1n

1得，lnL??lnxi?2nln??2?2i?1得，

?xi?12i，令

dlnL?0， d??2n????3?x?0，即?1n?2ii?11n2xi。 ?2ni?1xxm?x（5）总体X的分布律为P{X?x}?Cmp(1?p)，x?0,1,2,...,m，式中p(0?p?1)为未知参数。

解：离散型的极大似然函数为：

L??P{Xi?xi}??CP(1?P)ximxii?1i?1nnnnm?xi?P?i?1nxi(1?p)?(m?xi)i?1n?Ci?1nxim

得，lnL?xi，令?xilnP??(m?xi)ln(1?P)??lnCmi?1i?1i?1ndlnL?0， dPn1n?1n1X?(m?x)?0得，?xi?，即P?x??i?im。 Pi?11?Pi?1nmi?13、从灯泡厂某日生产的一批灯泡中任取10个进行寿命试验，测得灯泡寿命（单位：小时）如下： 1050，1100，1080，1120，1200，1250，1040，1130，1300，1200 求该日生产的整批灯泡的平均寿命及寿命方差的无偏估计值。

解：由无偏估计定义可知，样本均值和样本方差是平均寿命和寿命方差的无偏估计值，于是

11011022??X??xi?1147，???s??(xi?1147)2?7578.9。 ?10i?19i?14、设X1，X2，…，Xn是来自总体X的一组样本，且已知E[X]?a，证明

1n???(Xi?a)2是D[X]??2的无偏估计量。 ?ni?121n1n2?]?E[?(Xi?a)]?E[?(Xi2?2aXi?a2)] 证明：E[?ni?1ni?121n1n22??(E[Xi]?2aE[Xi]?E[a])??(E[Xi2]?a2) ni?1ni?11n1n22??(E[X]?E[X])??D[X]?D[X]（样本与总体的分布相同） ni?1ni?1得证，为无偏估计量。

5、设总体X～N(?,?)，X1，X2，…，Xn为其样本，试求C，使C22(X?X)?i?1i为i?1n?1?2的无偏估计量。

解：E[Cn?1i?1?(Xi?1n?1i?1?Xi)]?E[C?((Xi?1??)?(Xi??))2]

2i?12n?1i?1n?1i?1n?1?CE[?(Xi?1??)]?2CE[?(Xi?1??)(Xi??)]?CE[?(Xi??)2] ?C?E[(Xi?1??)]?C?E[(Xi??)2]?0（样本是独立的，协方差为零）

2i?1i?1n?1n?1?2C(n?1)?2??2（样本与总体的分布相同），要成为无偏估计量，就要C??1。

2(n?1)6、设?是?的无偏估计量且D(?)?0，试证(?)不是?的无偏估计量。

??22?)2]?E[(??????)2]?E[(????)2?2?(????)??2] 证明：E[(????)2]?E[2?(????)]?E[?2]?D[??]?2?(E[??]?E[?])??2（E[??]??） ?E[(??]??2??2，不是无偏估计量。 ?D[??1?7、设总体X～N(?,1)，X1，X2是X的样本，试证：估计量??2??21X1?X2，331113?3?X1?X2都是?的无偏估计量，并求哪个估计量的方差最小。 X1?X2，?22442121?1]?E[X1?X2]?E[X1]?E[X2]?E[X]??，无偏估计量 证：E[?33331313?2]?E[X1?X2]?E[X1]?E[X2]?E[X]??，无偏估计量 E[?44441111?3]?E[X1?X2]?E[X1]?E[X2]?E[X]??，无偏估计量 E[?2222215135?1]?D[X1?X2]?D[X]，D[??2]?D[X1?X2]?D[X]， D[?339448111?3]最小。 ?3]?D[X1?X2]?D[X]，所以D[?D[?4428、设X1,X2,...,Xn是来自总体X的样本且E[X]??，问a1,a2,...,an应取何值时方能使

???aiXi是?的无偏估计量，并且D(?)为最小。

i?1?n?解：要成为无偏估计量，就要E[?]??，于是E[?]?E[nn???aX]??aE[X]?E[X]?a

iiiiii?1i?1i?1nnn?E[X]?ai???ai??，即?ai?1。

i?1i?1ni?1要方差最小，就是D[?]?D[n??aX]??aD[X]?D[X]?aii2iii?1i?1i?1nnn2i，即

?ai?1n2i最小，同时

1a?,i?1,2,...,n满足条件。 ，于是用归纳法可证a?1i?ini?129、设晶体管的寿命X～N(?,?)，从中抽取100只作寿命试验，测得其平均寿命x?1000小时，标准差s?40小时，求这批晶体管的平均寿命的置信度为0.95的置信区间。 解：可知n?100, x?1000，s?40，??0.05，由于?,?都未知，于是枢轴变量为

2T?X??~t(n?1)，又由于n?45，可用正态分布代替t分布，即t?(100)?u?；

Sn222于是有P{T?u?}?0.95，得?(u?)?0.975，即u??1.96，于是：

22P{?1.96?1000???1.96}?0.95，得?置信度为0.95的置信区间为[992.16,1007.84]。

40100

10、设某种清漆的干燥时间（单位：小时）X～N(?,?)，现有9个样本观测值：

6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0，

求?的置信度为0.95的置信区间。（1）若已知??0.6（小时）（2）若?未知。

解：计算得n?9，样本均值x?6，??0.05，样本方差S?0.33，标准差S?0.5745 （1）已知??0.6，由此枢轴变量为U?2X??~N(0,1)，于是有P{U?u?}?0.95，

?n26???1.96}?0.95，得?置信度

0.69得?(u?)?0.975，即u??1.96，于是P{?1.96?22为0.95的置信区间为[5.608,6.392]。 （2）若?未知，则枢轴变量为T?X??~t(n?1)，而由P{T?t?}?0.95，

Sn26???2.306}?0.95，得?置信度为

0.57459查表得t0.025(8)?2.306，于是P{?2.306?0.95的置信区间为[5.558,6.442]。

11、对于方差?为已知的正态总体，问需要容量n为多大的样本才能使总体均值的置信度为1?a的置信区间长度不大于L？ 解：方差?为已知，则枢轴变量为U?2

2X??~N(0,1)，对P{U?u?}?1??，

?n2置信度为1?a的置信区间长度不大于L，即[X??nu?,X?2?nu?]?L，得，

22

?nu??L?n?(22?u?)2。 L2212、某种零件的加工时间X～N(?,?)，现进行30次独立试验，测得样本均值x?5.5（秒），样本标准差s?1.729（秒），若置信度为0.95，求加工时间的数学期望和标准差的置信区间。

解：已知n?30，x?5.5，s?1.729，??0.05

先求?的置信区间，若?未知，则枢轴变量为T?X??~t(n?1)，而由

SnP{T?t?}?0.95，查表得t0.025(29)?2.0452，于是

2P{?2.0452?5.5???2.0452}?0.95，得?的置信区间为[4.8544,6.1456].

1.72930再求?的置信区间，由?未知，则枢轴变量为

(n?1)?2S2~?2(n?1),据不对称性查表得

22得：P{16.047??0?0.975(29)?16.047，.025(29)?45.722，

29?2(1.729)?45.722}?0.95 2得?的置信区间为[1.377,2.324]。

213、设某种炮弹的出炮口速度（单位;米/每秒）X～N(?,?)，随即抽取9发炮弹做实验，

测得s?11米/每秒，求这种炮弹出炮口速度方差?的置信度为0.95的置信区间。 解：已知n?9，样本标准差s?11，??0.05，由于?未知，则枢轴变量为

2

(n?1)?222S2~?2(n?1)，据不对称性查表得?0.975(8)?2.18，?0.025(8)?17.353，

得：P{2.18?8?22?，得的置信区间为[55.783,444.0377]。 (11)?17.353}?0.952?1114、用金球测定引力常数（单位：10m3?kg?1?s?2）得测定值：

6.683，6.681，6.676，6.678，6.679，6.672，

222设引力常数X～N(?1,?)，?和?均未知，求?的置信度为0.9的置信区间。

解：计算可知n?6，样本标准差s?0.0039，??0.1，由于?未知，则枢轴变量为

(n?1)?222S2~?2(n?1)，据不对称性查表得?0.95(5)?1.145，?0.05(5)?11.071，

得：P{1.145?5?2(0.0039)2?11.071}?0.9，得?2的置信区间为

[0.00000687,0.0000664]。

15、从A、B两批导线中分别抽取4根和5根测得电阻值（单位：欧）为

A批导线：0.143， 0.142， 0.143， 0.137 B批导线：0.140， 0.142， 0.136， 0.140， 0.138

222设A批导线的电阻X～N(?1,?)，B批导线电阻Y～N(?2,?)，?1、?2和?均未知，

试求?1-?2的置信度为0.95的置信区间。

解：计算可知X?0.14125，Y?0.1392， ??0.05，X的样本方差为S12?0.00000825，

2?0.0000052，由于?1、?2和?2均未知，据第六章定理6.2.5，设Y的样本方差为S22(n1?1)S12?(n2?1)S2，则Sm?0.00255，且有枢轴变量为 Sm?n1?n2?2T?(X?Y)?(?1??2)~t(n1?n2?2)，则?1-?2的置信度为0.95的置信区间为：

Sm1?1n1n21n1?1n2,(X?Y)?t?(n1?n2?2)Sm2[(X?Y)?t?(n1?n2?2)Sm21n1?1n2]

其中t0.025(7)?2.3646，n1?4，n2?5，计算得[-0.00195,0.00605]。

16、从某地区随机抽取成人男、女各100名，测量并计算得男子身高的平均数x?1.71m，标准差s1?0.035m；女子身高的平均数y?1.67m，标准差s2?0.038m。设男、女身高均服从正态分布且方差相等，试求男、女身高之差的置信度为0.95的置信区间。

2(n1?1)S12?(n2?1)S2解：由于期望和方差均未知，于是据第六章定理6.2.5，设Sm?，

n1?n2?2则Sm?0.03653，且有枢轴变量为T?(X?Y)?(?1??2)~t(n1?n2?2)，则?1-?2的置

Sm1?1n1n2信度为0.95的置信区间为：

[(X?Y)?t?(n1?n2?2)Sm21n1?1n2,(X?Y)?t?(n1?n2?2)Sm21n1?1n2]

其中n1?100，n2?100，t0.025(198)?u0.025?1.96，计算得[0.0299，0.0501]。

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