高数第一部分4_不定积分与定积分

南京航空航天大学数学系考研辅导班高等数学辅导课件 （微积分第 部分） （微积分第一部分）2010年 2010 年7月

第四课：不定积分与定积分

一、内容概要 、内容概要? 定积分的概念与性质 ? 不定积分与定积分的计算 ? 反常积分的计算

二 数学 考研大纲(2010) 二、数学一考研大纲(2010)考试内容:原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中 值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿一莱布尼茨 公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常（广义）积分

二 数学 考研大纲(2010) 二、数学一考研大纲(2010)考试要求:1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念． 2 掌握不定积分的基本公式 掌握不定积分和定积分的 2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的 性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法． 3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积 求 数 数 简 数 分． 4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱 布尼茨公式． 布尼茨公式 5．了解反常积分的概念，会计算反常积分．

注意: 该部分内容数学二的大纲和数学一完全一样， 数学三的大纲不要求计算有理函数 三角函数的有 数学三的大纲不要求计算有理函数、三角函数的有 理式和简单无理函数的积分，其他和数学一二相同。

三、概念与基本方法总结 历年考题精讲

1 定积分的概念与性质 1、定积分的概念与性质定义 设函数 f ( x ) 在[a , b ]上有界， 在[a , b]中任意插入若干个分点
a = x0 < x1 < x2 <
< xn ?1 < xn = b
把区间[a , b ]分成 n 个小区间，各小区间的长度依次为
Δx i = x i ? x i ?1 ，( i = 1,2, ) ， 在各小区间上任取一点 点ξ i （ξ i ∈ Δx i ）， ） 作乘积 f (ξ i )Δx i ( i = 1,2,
)
并做和S = ∑ f (ξ i )Δxi记 λ = max{Δx1 , Δx 2 ,i =1
n
, Δx n }，如果不论对[a , b]

怎样的分法， 也不论在小区间[ x i ?1 , x i ]上点ξ i 怎样的取法，只要当 λ → 0 时，和 S 总趋于
确定的极限 I ，我们称这个极限 I 为函数 f ( x )
在区间[a , b ]上的定积分， 记为积分上限
d = I = lim li ∑ f (ξ i )Δx i ∫a f ( x )dx λ → 0 i =1积分变量 被积函数被积表达式
b
n
积分和
积分下限
[a , b] 积分区间

注意：（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关， 积分值仅与被积 数 积分 间有关 而与积分变量的字母无关.
∫a f ( x )dx = ∫a f ( t )dt = ∫a f ( u)du（2）定义中区间的分法和ξ i 的取法是任意的.（3）当函数 f ( x ) 在区间[a , b]上的定积分存在时，
b
b
b
称 f ( x ) 在区间[a , b]上可积.

１．定积分的实质：特殊和式的极限． ２ 定积分的思想和方法 ２．定积分的思想和方法：分割 求和 取极限 化整为零求近似以直（不变）代曲（变）
积零为整取极限
精确值——定积分

性质1b
线性性质b b
∫a [ f ( x ) ± g ( x )]dx = ∫a f ( x )dx ± ∫a g ( x )dx .（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
d = k ∫a f ( x )dx d ∫a kf ( x )dx
b
b
( k 为常数). )

性质2
单调性质
如果在区间[a , b]上 f ( x ) ≥ 0 ，
则 ∫ f ( x )dx ≥ 0 .a
b
(a < b)(a < b)
推论： 如果在区间[a , b ]上 f ( x ) ≤ g ( x ) ，则 ∫a f ( x )dx ≤b
∫a g ( x )dx .
b
推论： 设 M 及 m 分别是函数 推论
f ( x ) 在区间[a , b]上的最大值及最小值，则 m ( b ? a ) ≤ ∫a f ( x )dx ≤ M ( b ? a ) .b

性质3b
绝对值不等式b
∫a f ( x )dx ≤ ∫a性质4b
f ( x )dx . (a < b )
区间可加性c b
∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫c
f ( x )dx .
补充：不论 a , b, c 的相对位置如何, 上式总成立.

性质5
积分中值定理与均值公式
如果函数 f ( x ) 在闭区间[a , b]上连续， g ( x ) 在
[a , b]上可积且不变号，则在积分区间[a , b]上至少存在一个点 ξ ，使 使
∫
b
a
f ( x ) g ( x )dx = f (ξ ) ∫ g ( x )dxa
b
2002年经济类考了该定理证明！
如果函数 f ( x ) 在闭区间[a , b]上连续，则在积分区间[a , b ]上至少存在一个点 上至少存在 个点 ξ ，
使 ∫a f ( x )dx = f (ξ )(b ? a ) .
b
(a ≤ ξ ≤ b)
积分均值公式

(97年数一，分) 3 设在区间 [ a , b ] 上 f ( x ) > 0，f '( x ) < 0， f ''( x ) > 0， 令 S1 =
∫
b a
f ( x )dx , S 2 = f ( b )( b ? a )，
1 S 3 = [ f ( a ) + f ( b )] ( b ? a )，则 则 2 （ A） S1 < S 2 < S 3；（ （ B ） S 2 < S1 < S 3 （ C） S 3 < S1 < S 2；（ D） S 2 < S 3 < S1

f '( ( x ) < 0 ? 函数单调减少 f ′′( x ) > 0(凹) ? 弦(割线)在函数上方yD
f ( x)C B b
S1 =
∫
b a
f ( x )dx ,
EO
A a
曲边梯形 ABCD面积 S 2 = f ( b )( b ? a )， 矩形 ABCE 面积 x 1 S 3 = [ f ( a ) + f ( b )] ( b ? a )， 2 ? 梯形 ABCD面积
(B) S 2 < S1 < S 3

(07年数一，分) 4
如图，连续函数 y = f ( x )在区间
3 ? 2 ]， 2 3 ] 上的图形分别是直径为1的上,下半圆 上的图形分别是直径为1的上 下半圆 [ ?3, [ 2, 周，在区间 [ ? 2, 0 ]， 上的图形分别是直径为2的上, 的上, [ 0, 2] 上的图形分别是直径为 下半圆周,设 F ( x ) =
∫
x 0
f ( t )dt，则下列结论正确的是
3 5 （ A） F ( (3) ) = ? F( (-2) )；（ B） F ( (3) ) = F( (2) ) 4 4 3 5 （ C） F ( ? 3) = F (2)；（ D） F ( ? 3) = ? F (-2) 4 4y3 ?3 ?2?1
o 1
2
x

根据定积分的几何意义， 以及大小圆面积分别为
π2
和
π8
?
π ? F (2) = ? 2 ? ? F (3) = π ? π = 3π ? 2 8 8 ? π ? F ( ? 2) = ? 2 ? π π 3π ? F ( ? 3) = ? = 2 8 8 ?
3 ? （ C） F ( ? 3) = F (2) 4
事实上， 从图形可以发现 f ( x )为奇函数 ? F ( x )为偶函数

设 I1 = (03年数二，分) 4π4 0
∫
π4 0
tan x dx， x
x I2 = ∫ dx，则 则 tan x （ A） I 1 > I 2 > 1 （ B ） 1 > I 1 > I 2 （ C） I 2 > I 1 > 1 （ D） 1 > I 2 > I 1

tan x ? π ? 方法 方法一： 考虑函数 在 ? 0, ? 的单调性 x ? 4?2 tan x x sec x ? tan x x ? sin x cos x ? ? = ? x ?' = 2 2 2 x x cos x ? ?
2 x ? sin 2 x ? π? = > 0, x ∈ ? 0, ? 2 2 2 x cos x ? 4?tan x 4 x tan x 4 ? 1< < ? <1< < x π tan x x π π π tan x π x 4 4 ? 1 > I1 = ∫ dx > > I 2 = ∫ dx ? (B) 0 0 tan x x 4

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