早期量子论习题

大学物理量子论部分习题

教学要求一. 黑体辐射 普朗克的能量子假说黑体：在任何温度下， 黑体：在任何温度下，对一切外来的电磁辐射的吸 收比都等于1 的物体。 收比都等于1 的物体。 单色辐出度：单位时间内从热力学温度为T的物体单 单色辐出度：单位时间内从热力学温度为T的物体单 内从热力学温度为 位表面积发出的波长在 发出的波长在λ 位表面积发出的波长在λ附近单位波长范围内的 电磁波的能量， 表示。 电磁波的能量，用Mλ(T)表示。 表示 辐出度：单位时间内从热力学温度为 的物体单位 内从热力学温度为T 辐出度：单位时间内从热力学温度为T的物体单位 表面辐射的各波长电磁波的能量总和 辐射的各波长电磁波的能量总和。 表面辐射的各波长电磁波的能量总和。

M(T) = ∫ Mλ (T)dλ0

∞

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斯特藩-玻尔兹曼定律 M(T) = 斯特藩黑体) (黑体) 维恩位移定律 T λ = b m hν 为单位发射与吸收它 普朗克黑体辐射公式

∫

∞

0

Mλ (T)dλ = σT 4

λ m单色辐出度峰值对应波长

能量子假说: 对于一定频率ν的电磁辐射, 物体只能以 能量子假说: 的电磁辐射,

M λ (T ) =

2π Hc

2

1 ehc k λT

λ

5

1

标志着量子论的诞生

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二.光电效应 光的波粒二象性光子

E = hν

P=

h

λ

光电效应的爱因斯坦方程A

1 2 hν = mv + A 2

金属中电子的逸出功 截止频率(红限) 截止频率(红限) 遏止电势差

A ν0 = h

1 2 eU0 = mv 2

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三.康普顿效应物理本质：入射光子与自由电子的完全弹性碰撞 物理本质：入射光子与自由电子的完全弹性碰撞能量守恒： 能量守恒 动量守恒： 动量守恒：

h 0 + m0c2 = h + mc2 ν νh0 ν h ν n0 = n + mv c c Ek = mc2 m0c2 = h 0 h ν ν

h 2θ λ = λ λ0 = (1 cosθ ) = 2λc sin m0c 2式中λ c = h /m0 c = 0.0024 nm. 1.波长改变量与散射物质无关 1.波长改变量与散射物质无关 2.原子量较小的物质康普顿效应明显 2.原子量较小的物质康普顿效应明显

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四.玻尔的量子论 氢原子光谱1.玻尔的量子理论 1.玻尔的量子理论1)定态假设 2)跃迁条件

h = En Em ν

3)轨道角动量量子化假设

2.玻尔的氢原子理论结果 2.玻尔的氢原子理论结果

h L = rmv = n = n 2π 11

rn = n a2

a = 5.29×10

玻尔半径

1 En = 2 E1 n

me4 E = 2 2 2 = 13.6 eV 1 8ε0 h n

成功之处：定态能级， 成功之处：定态能级，能级跃迁决定辐射频率 不足之处：仍然使用“轨道” 不足之处：仍然使用“轨道”这一经典概念

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五.德布罗意物质波假设1. 德布罗意假设

E =h ν戴维逊——革末实验 革末实验 戴维逊 电子多缝干涉实验

实物粒子的波粒二象性 h P=

2. 德布罗意物质波的实验验证

λ

G.P.汤姆逊电子衍射实验 汤姆逊电子衍射实验

指它与物

质相互作用的“颗粒性” a.粒子性 指它与物质相互作用的“颗粒性”或“整体 .

性”。 但不是经典的粒子！在空间以概率出现。没有 但不是经典的粒子！在空间以概率出现。 确定的轨道 确定的轨道

b. 波动性

指它在空间传播有“可叠加性” 指它在空间传播有“可叠加性”,有“干 衍射” 等现象。 涉”、“衍射”、等现象。 但不是经典的波！因为它不代表实在物理量的波动。 但不是经典的波！因为它不代表实在物理量的波动。

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六.不确定性关系粒子位置和动量之间的不确定关系 粒子位置和动量之间的不确定关系

x px ≥ 2

物理意义: 微观粒子位置和动量不可能同时精确测定 位置和动量不可能同时 物理意义: (1) 微观粒子位置和动量不可能同时精确测定 (2) 微观粒子不可能静止 (3) 给出了宏观物理与微观物理的分界线 h 给出了宏观物理与微观物理的分界线─ 本质：反映了微观粒子的运动必须用量子力学方法来处理。 本质：反映了微观粒子的运动必须用量子力学方法来处理。 描述微观粒子的运动状态必须用波函数。 描述微观粒子的运动状态必须用波函数。 波函数 粒子能量和时间之间的不确定关系 粒子能量和时间之间的不确定关系

E t ≥ 2

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的 X π 射线，其散射角 θ = 2 ,求(1) 波长改变 λ ;(2)反冲电子 能量 (3)反冲电子动量及 . 2h 2θ 解： (1) λ = sin = 2.43 ×10 12 m

λ0 = 0.2 ×10 10 m 例：波长为

λ = λ + λ0 = 0.224×10 m (2)反冲电子能量 E 10

m0c

2

h

λh

e

λ0

e0

p = mv

由能量守恒： hc hc hc E = hυ0 hυ = = (λ λ0 ) λ0 λ λ0λ .6×10 J = 6.7×10 eV =103 19

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(3)反冲动量 由动量守恒(图示) h = p cosθh

λ 1 2 2 2 λ0 + λ p h 2 = λ λ 2

h = psin θ

λ0

λh

e

λ0

e0

p = mv 1

4.4×10 kg m s = ° cos = 0.752 = 4112′

2

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例1 太阳辐射到地球大气层外表面单位面积的辐射通量 Io 称为太阳常量， 太阳、 为太阳常量，实验测得其值为 Io =1.35 kW/m2 。太阳、地球之 间的平均距离为R 间的平均距离为 =6.960×108m,太阳半径为 =1.496×1011m. × ,太阳半径为r × 试把太阳近似当作黑体，由太阳常数估计太阳表面的温度。 试把太阳近似当作黑体，由太阳常数估计太阳表面的温度。 解: 太阳辐射能

4π r2M(T ) = 4π R2 I0

R2 I0 ∴M(T) = 2 r由 M(T) = σT 4故太阳表面温度为

R2 得 T 4 = 2 I0 σ r

T=4

R2 I0 = 5.76×103 (K) σ r2

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例2. 以钠作为光电管阴极，把它与电源的正极相连，而把光电管阳极 以钠作为光电管阴极，把它与电源的正极相连，与电源负极相连，这反向电压会降低以至消除电路中的

光电流。 与电源负极相连，这反向电压会降低以至消除电路中的光电流。当入射光 波长为433.9nm 433.9nm时 测得截止电压为0.81V 当入射光波为321nm 0.81V, 321nm时 波长为433.9nm时，测得截止电压为0.81V,当入射光波为321nm时，测得截 止电压为1.93V 并与公认值比较。 止电压为1.93V ,试计算普朗克常数 h 并与公认值比较。

解：

由光电效应方程

最大初动能

1 2 E0 = mum = e U0 2

1 2 h = mum + A ν 2

∴e U0 = h A ν

即截止电压与光波频率呈线性关系d U0 h = , 斜 率 dν e ∴普 克 数 h = 朗 常 d U0 dν e

根据线性关系， 根据线性关系，可写成

h = e c

U0

ν2 ν1

2

U0 1

ν2 =

c

λ2

= 9.62×10 (Hz), ν1 =14

λ1

= 6.91×1014 (Hz)

∴h = 6.61×10 34 (J s)

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波长为λ的单色光照射某金属M表面发生光电效应 表面发生光电效应， 例3. 波长为λ的单色光照射某金属 表面发生光电效应，发射的光电子 (电量绝对值为 ，质量为 经狭缝 后垂直进入磁感应强度为 B的均匀磁 电量绝对值为e, 经狭缝S后垂直进入磁感应强度为 电量绝对值为 质量为m)经狭缝 如图示), 中作圆运动的最大半径为R。 场(如图示 ，今已测出电子在该磁场 中作圆运动的最大半径为 。 如图示 金属材料的逸出功； 求：(1)金属材料的逸出功； 金属材料的逸出功 (2)截止电势差。 截止电势差。 截止电势差 2

vm :(1) 解：( ) ∵evmB = m R

eBR ∴vm = m2 2

λ e,m M

(2) )

1 2 = A+ mvm 2 c e B2 R2 ∴A = h × × × λ 2m 2 2 eB R 1 2 ∵eU0 = mvm ∴U0 = 2 2m

× × × 由光电效应方程： ν × × × 由光电效应方程：h × × × 2

B

1 2 eBR ∴ mvm = 2 2m 2m

2

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例4. 一个波长

λ = 0.5nm 的光子与原子中电子碰撞，碰撞后 的光子与原子中电子碰撞，

角方向反射， 光子以与入射方向成 150o 角方向反射，求碰撞后光子的波长 与电子的速率。 与电子的速率。 2θ 解：由康普顿散射 λ λ0 = 2λc sin 2 o 2θ λ = λ0 + 2λc sin = 5.045A 碰撞后光子的波长为2

电子的动能等于碰撞前光子的能量减去碰撞后光子的能量 λ λ0 hc hc 2 2 Ek = mc m0c = h 0 h = = hc ν ν 由相对论质量关系， 由相对论质量关系，可得m0c2 1 v2 c2

λ0

λ

λλ0

m0c2 = hc

λ λ0 λλ0

λ λ0 h λ λ0 ∴ =1+ ( ) =1+ λc =1+ 4.335×10 5 λλ0 m0c λλ0 1 v2 c21

解得

v2 1 2 = 0.9999, v = 2.8×106 (m s 1) c

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原则上讲，波尔理论也适用于太阳系，地球相当于电子， 例5. 原则上讲，波尔理论也适用于太阳系，地球相当于电子，太阳相 当于核，而万有引力相当于库仑力。 当于核，而万有引力相当于库仑力。 (1) 求地球绕太阳运动的允许半径公式； ) 求地球绕太阳运动的允许半径公式； 多大？ (2)

地球运行实际半径为 1.50×1011m, 与此半径对应的量子数 n 多大？ ) × (3) 地球实际轨道和它的下一个较大可能半径差值多大？ ) 地球实际轨道和它的下一个较大可能半径差值多大？ ( ME=5.98×1024 kg, Ms=1.99×1030 kg, G=6.67×10-11Nm2kg-2) × × ×

解:(1)波尔理论即为经典理论加量子化条件，据此有 波尔理论即为经典理论加量子化条件，ME Ms v2 ME = G R R2 h L = MEvR = n = n 2π

两式联立， 两式联立，有：

n 2 GMs 2 ( ) = , 得 R = n2 , n =1,2,3 2 ME R R GMEMs

R 为地球绕太阳运动的允许半径公式。 为地球绕太阳运动的允许半径公式。

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(2)地球实际运动半径为 Rn,则相应的量子数为

ME n= (3) 值为

RnGMs = 2.53×1074

地球实际轨道和它的下一个较大可能轨道半径差

2 2 R = (n +1)2 n2 ≈ 2n =1.19×10 63 (m) GM M GME Ms E s

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例7. (1)试证明：一个粒子的康普顿波长与其德布罗意波长之比为 )试证明：

λC E 2 = ( ) 1 λD E0分别为粒子的静能和运动粒子的总量。 式中 Eo 和 E 分别为粒子的静能和运动粒子的总量。 试问：当电子的动能为何值时， (2)试问：当电子的动能为何值时，它的德布罗意波长等于它的康普 顿波长？ 顿波长？

h λc = 解：(1) 粒子的康普顿波长 mc 0 h 粒子的德布罗意波长 λD = p由相对论粒子能量和动量的关系2 E2 = c2 p2 + E0

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∴p =

1 c

2 E2 E0

代 λD中 λD = 入 ：

hc2 E2 E0

λc = λD

2 E2 E0

mc 0

2

=

2 E2 E0

E

2 0

=

E 2 ( ) 1 E0

两波长相等时， (2) 两波长相等时，即 有 此时动能为

λc = λD

E 2 ( ) 1 =1 得 = 2E0 , E E0

Ek = E E0 = ( 2 1 E0 )

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试结合以下具体例子， 用不确定关系说明： 例 8. 试结合以下具体例子 ， 用不确定关系说明 ： 在原子中电 子轨道运动的概念完全没有意义，而在α 子轨道运动的概念完全没有意义，而在α粒子散射实验中粒子 的轨道还是有意义的，可以近似把它们当作经典粒子来处理。 的轨道还是有意义的，可以近似把它们当作经典粒子来处理。 原子的尺度10 原子中电子的动能10eV; 10eV (1)原子的尺度10-10 m,原子中电子的动能10eV; 带电粒子在威尔逊云室中的轨迹是一串小雾滴， (2)带电粒子在威尔逊云室中的轨迹是一串小雾滴，雾滴的 线度约有1 1000eV eV. 线度约有1μm, 所观测的粒子的动能为 1000eV.

解:(1)原子中电子位置不确定量 动量不确定量

x =10 m,

10

px ≥ = 5.3×10 25 (kg m s 1) 2 x

由电子动 能 E=10eV 估算电子动量数量级：

p2 由E = , ∴ p = 2mE =1.7×10 24 (kg m s 1) 2m

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px 5.3×10 25 = = 0.31 24 1.7×10 p即二者在同一数量级， 无确定值，即无确定轨道， 即二者在同

一数量级，动量 p 无确定值，即无确定轨道， 因此在原子中电子轨道无意义。 因此在原子中电子轨道无意义。

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