2015届高三数学(理)湘教版一轮复习课时跟踪检测48 空间角的求法]

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课时跟踪检测(四十八) 空间角的求法

(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷

1.如图所示，已知正方体ABCD -A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是( )

A．60° C．30°

B．45° D．90°

2．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( )

1A. 2C. 3

2B.3D.22

3．(2013·安徽六校联考)在三棱锥P -ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为( )

1A. 5C. 5

B.25

2D.5

4．(2014·昆明模拟)如图，在四棱锥P -ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB的中点，PA＝AD＝2.若AB＝1，则二面角B-AC-M的余弦值为( )

A.C. 6 6

B.6

1D.6

5.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1

＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为________．

6．如图，在正四棱锥S -ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成角为________．

7．(2013·全国课标卷Ⅰ)如图，三棱柱ABC -A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1

＝60°.

(1)证明：AB⊥A1C；

(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1

C

与平面

BB

1C1C

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所成角的正弦值．

8．(2013·合肥一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB＝4，CD＝2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．

(1)求证：DE∥平面PBC； (2)求二面角E-BD-A的余弦值．

第Ⅱ卷：提能增分卷

ππ1.(2013·湖北八校联考)如图，在△AOB中，已知∠AOB＝，∠BAO＝，

26AB＝4，D为线段AB的中点．△AOC是由△AOB绕直线AO旋转而成，记二面角B-AO-C的大小为θ.

(1)当平面COD⊥平面AOB时，求θ的值； 2π

(2)当θ＝时，求二面角B-OD-C的余弦值．

3

CD2．(2013·郑州模拟)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，

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＝λCC1.(λ∈R)

1

(1)当λ＝时，求证：AB1⊥平面A1BD；

2

π

(2)当二面角A-A1D -Bλ的值．

3

3．(2014·天津十二区县联考)如图，在三棱柱ABC -A1B1C1中，AB⊥AC，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B，且AB＝AC＝A1B＝2.

(1)证明：平面A1AC⊥平面AB1B； (2)求棱AA1与BC所成的角的大小；

(3)若点P为B1C1的中点，并求出二面角P-AB-A1的平面角的余弦值．

答 案

第Ⅰ卷：夯基保分卷

1．选B 以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立空间直角坐系系D－xyz，设正方体的棱长为1，11 ，F 1，0，1， 则D(0,0，0)，C(0,1,0)，E 1

22 2211EF＝ 0，－，－

，DC＝(0,1,0)，

2

2

DCEF·∴cos〈EF，DC〉＝＝－

2|EF||DC|

∴〈EF，DC〉＝135°，

∴异面直线EF和CD所成的角是45°.

2．选B 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，设棱1

长为1，则A1(0,0,1)，E 1，0，，D

(0,1,0)

，

2

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∴A1D＝(0,1，－1)， 1

1，0，－A1E＝ ，

2

y－z＝0， y＝2，

设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，则 ∴ 1

1－z＝0， z＝2. 2

∴n1＝(1,2,2)．∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)， 22

∴cos〈n1，n2.

3×132

即所成的锐二面角的余弦值为3

3.选C 以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由AB＝AC＝1，PA＝2，得A(0，0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，111

D ，0，0 ，E ，0 ， 2 22

11

F 0，，1 ，∴PA＝(0,0，－2)，DE＝ 0，，0 ，DF＝ 2 2

－11，1 . 22

设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，

n· DE＝0， y＝0，则由 得

－x＋y＋2z＝0， DF＝0 n·

|PA·n|取z＝1，则n＝(2,0,1)，设PA与平面DEF所成的角为θ，则sin θ＝

|PA||n|5∴PA与平面DEF故选C.

4．选A ∵BC⊥平面PAB，AD∥BC，∴AD⊥平面PAB，PA⊥AD， 又PA⊥AB，且AD∩AB＝A， ∴PA⊥平面ABCD.

以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A -xyz.

1

则A(0,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，B(0,1,0)，M 0，，1 ，

2 ∴AC＝

(2,1,0)

，

， 5

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10，1 AM＝ ，

2

求得平面AMC的一个法向量为 n＝(1，－2,1)，

又平面ABC的一个法向量AP＝(0,0,2)，

n·AP21∴cos〈n，AP＝.∴二面角B -AC -M的余弦值

|n|·|AP|＋4＋1·26为6

6

. 5．解析：不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2. 可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)， A(2,0,0)，B1(0,2,1)，

∴BC1＝(0,2，－1)，AB1＝(－2,2,1)， ∴cos〈BCBC1·AB1

1，AB1〉＝| BC

1||AB1|＝

4－1

1×＝5

＞0. ∴BC1与AB1的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角， ∴直线BC51与直线AB15

答案：

5

6．解析：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz. 设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a， 则A(a,0,0)，B(0，a,0)， C(－a,0,0)， P 0，－aa22. 则CA＝(2a,0,0)，AP＝ aa －a，－22，

CB＝(a，a,0)．

设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，

则cos〈CB，n〉＝CB·na1

| CB||n|

a

＝2. ∴〈CB，n〉＝60°，

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∴直线BC与平面PAC的夹角为 90°－60°＝30°. 答案：30°

7．解：(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB，所以OC⊥AB.

由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB. 因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C. 又A1C 平面OA1C，故AB⊥A1C.

(2)由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直．

以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正方向，|OA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz.

由题设知A(1,0,0)，A1(0, ，0)，C(0,0, 3)， B(－1,0,0)．

则BC＝(1,0，，BB1＝AA1＝(－1，，0)，A1C＝(0，－，． 设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，

BC＝0， n· x＋3z＝0，则 即

BB1＝0.－x＋y＝0. n·

可取n＝(，1，－1)． 故

n，A1C

＝n·A1C|n||A1C|

＝－

5

. 5

所以A1C与平面BB1C1C8．解：(1)证明：如图1，取AB的中点F，连接DF，EF.

在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB＝4，CD＝2，所以BF綊CD， 所以四边形BCDF为平行四边形， 所以DF∥BC.

在△PAB中，PE＝EA， AF＝FB， 所以EF∥PB.

因为DF∩EF＝F，PB∩BC＝B， 所以平面DEF∥平面PBC.

因为DE 平面DEF，所以DE

∥平面

PBC.

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(2)取AD的中点O，BC的中点N，连接ON，OP，则ON∥AB. 在△PAD中，PA＝PD＝AD＝2，所以PO⊥AD，PO＝因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以PO⊥平面ABCD.

如图2，以O为坐标原点，分别以OA，ON，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(1,0,0)，D(－1,0,0)，P(0，0，，B(1,4,0)，

所以DB＝(2,4,0)．

因为E为PA的中点，所以E 10， ，故DE＝ 30， .

2 22 2 易知PO＝(0,0为平面ABD的一个法向量． 设平面EBD的法向量为n＝(x，y，z)， 2x＋4y＝0， n⊥DB，

由 得 3x＋＝0， n⊥DE， 22

令y＝－1，则x＝2，z＝－2，

所以n＝(2，－1，－23)为平面EBD的一个法向量． nPO·2所以cos〈PO，n〉＝17| PO|·|n|设二面角E-BD -A的大小为θ， π

由图可知θ∈ 0，

2 ，

2251

所以cos θ，即二面角E -BD -A1717第Ⅱ卷：提能增分卷

1．解：(1)如图，在平面AOB内过B作BE⊥OD于E， ∵平面AOB⊥平面COD， 平面AOB∩平面COD＝OD， ∴BE⊥平面COD， ∴BE⊥CO. 又∵CO⊥AO， ∴CO⊥平面AOB， ∴CO⊥BO.

∵BO⊥AO，CO

⊥

AO，

∴二面角B-AO-C的平面角为∠BOC，

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π即θ＝.

2

(2)如图，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，OB，OA所在的直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系O -xyz，则A(0,0,2，B(0,2,0)，D(0,1，，C(3，－1,0)．

设n1＝(x，y，z)为平面COD的法向量，

n1·OC＝0， 3x－y＝0，由 得

y＋z＝0. n1·OD＝0，

取z＝1，则n1＝(－1，－，1)．

又平面AOB的一个法向量为n2＝(1,0,0)，设二面角B -OD -C的大小为α， n1·n2－1则cos α＝|n1|·|n2|5＋3＋1故二面角B -OD -C5

. 5

2．解：(1)证明：取BC的中点为O，连接AO，

因为在正三棱柱ABC -A1B1C1中，平面ABC⊥平面CBB1C1，且△ABC为正三角形，所以AO⊥BC，AO⊥平面CBB1C1.

以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz， 则A(0,0，，B1(1,2,0)，D(－1,1,0)， A1(0,23)，B(1,0,0)． 所以AB1＝(1,2，－，

DA1＝(1,1，DB＝(2，－1,0)．

因为AB1·DB＝2－2＝0， DA1＝1＋2－3＝0，AB1·

所以AB1⊥DA1，AB1⊥DB，又DA1∩DB＝D，所以AB1⊥平面A1BD.

(2)由(1)得D(－1,2λ，0)，所以DA1＝(1,2－2λ，3)，DB＝(2，－2λ，0)，DA＝(1，－2λ，．

设平面A1BD的法向量n1＝(x，y，z)，平面AA1D的法向量n2＝(s，t，u)，

DA1＝0， n1·λ－2由 得平面A1BD的一个法向量n1＝(λ，1；

3 DB＝0， n1·

同理可得平面AA1D的一个法向量n2＝(，0，－1)， n1·n2 11

由|cos〈n1，n2〉|＝ ＝，解得λ＝

|n1|·|n2| 243．解：(1)证明：∵A

1

B⊥平面ABC，∴A1B⊥AC，

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又AB⊥AC，AB∩A1B＝B，∴AC⊥平面AB1B，∵AC 平面A1AC，∴平面A1AC⊥平面AB1B.

(2)以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 则C(2,0,0)，B(0,2,0)，A1(0,2,2)，B1(0,4,2)，C1(2,2,2)，

AA1＝(0,2,2)，BC＝B1C1＝(2，－2,0)，

cos〈AAAA1·

BC1，BC〉＝＝－4＝－1，故AA| AA1与棱1|·|BC|

2BC

所成的角是π

3

(3)因为P为棱B1C1的中点，故易求得P(1,3,2)． 设平面PAB的法向量为n1＝(x，y，z)，

则 n1·AP＝0，

由 AP＝ 1，3，2 ，·

得

n1AB＝0， AB＝ 0，2，0 ，

x＋3y＋2z＝0，

2y＝0，

令z＝1，则n1＝(－2,0,1 )， 而平面ABA1的法向量n2＝(1,0,0)， 则cos〈nn1·n2221，n2〉＝|n.

1||n2|5由图可知二面角P-AB-A1为锐角，

故二面角P-AB-

A21的平面角的余弦值是5

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