10-11-1概率期中（1-4章）答案

天津工业大学（2010—2011学年第一学期） ---------------------------------------------《》期中试卷 (第1-4章 2010,10 理学院) 特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息，若写在其它处视为作弊。本试卷共有 6页，共 八 道大题，请核对后做答，若有疑问请与监考教师联系。 学院 装订 线 ---------------------------------------- 专业班级装 订 线 ---------------------------------------- 学号 装 订 线 ------------------------------------------ 姓名 满分 30分 10分 10分 12分 12分 10分 题号 一 二 三 四 五 六 得分 评阅人 满分 10分 6分 总分 核分人 复查人 题号 七 八 得分 评阅人 一. 填空题（每空2分，共30分） 1. 设随机事件A,B互不相容，且P(A)?0.3，P(B)?0.6，则P(BA)?4/7. 2. 设A,B是随机事件，且知概率P(A)?0.7，P(B)?0.2，P(A?B)?0.8，则P(A?B)?0.9，P(AA?B)?7/9. 3. 10件产品中有8件正品、2件次品，从中任意抽取2件，抽到的次品数为X，则X的分布律和分布函数分别为 ?? 0, x?0X 0 1 2 ?pF(x)??28/45,0?x?1k 28/45 16/45 1/45 ?44/45,1?x?2 ?? 1, x?2?4. 设随机变量X的概率密度fX(x)???acosx,|x|??2?，则P(???0,其它6?X?5?6)=3/4， 第 1 页 共 8 页

密封线----------------------------------------密封线---------------------------------------密封线------------------------------------ ??y???1cos2, ???y?2??f(y)??6Y?3X?的概率密度为Y. 32??? 0, elseX3~Exp(2)X2~N(0,22)，5．设随机变量X1,X2,X3相互独立，X1在(?1,5)服从均匀分布，（指数分布），记Y?X1?2X2?3X3，则E(Y)＝8，D(Y)=55.

226. 设二维正态分布的随机变量(X,Y)~ N(?1,2,4,3,0)，且知Φ(1)?0.8413，则

P(X?Y??4)?0.1587. 1?a?bx2 0?x?1E(X)?7. 已知随机变量X的概率密度f(x)??, 且，则a?2，b?－3，4?0 其他D(X)?1/240. 8. 设D(X)?25,D(Y)?36,?XY?0.4，则D(X?Y)?85，D(X?Y)?37. 二. （10分） 某车间有甲乙两台机床加工同一种零件，甲机床加工的零件数量比乙机床多一倍，甲乙机床加工零件的废品率分别为0.03，0.02. 两机床加工出的零件放在一起. 试求 （1）任取一个零件是合格品的概率；

（2）任取一个零件经检验是废品，试求它是由乙机床生产的概率.

解：设“从放在一起的零件中任取一件发现是甲/乙机床加工的”分别记为事件A, 再记“从放在一起的零件中任取一件发现是废品”为事件B. 由已知得

A.

21P(A)?,P(A)?;P(BA)?0.03,P(BA)?0.02. ?? 3’

33（1）由全概率公式知

P(B)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?212?0.03??0.02??0.027. ?? 3’ 337573?0.973. ?? 1’ 75故任取一个零件是合格品的概率P(B)?1?P(B)?1?0.02P(A)P(BA)13P(AB)???. ?? 3’

（2）由贝叶斯公式知

P(A)P(BA)?P(A)P(BA)2?0.03?1?0.02433第 2 页 共 8 页

三. （10分）设某型号的电子元件的寿命X（单位: 小时）的分布密度为

---------------------------------------------?1000,x?1000?f(x)??x2

?0,其它?各元件在使用中损坏与否相互独立，现在从一大批这种元件中任取5只，求其中至少有一只元件的寿命大于1500小时的概率。 解：一只元件的寿命大于1500小时的概率

学院装P(X?1500)?????? f(x)dx??10002dx? ?? 4’ 1000x23?? 订 线 ---------------------------------------- 专业班级装 订 线 ---------------------------------------- 学号 装 订 线 ------------------------------------------ 姓名 设任取的5只元件中寿命大于1500小时的元件个数为Y，则

Y~b(5,23). ??则 P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?252423)?243. ??

四. （12分）设二维离散型随机向量(X,Y)的分布律为

X yY 1 2 3 P(Y?j) 1 1/24 1/8 1/12 1/4 2 1/8 3/8 1/4 3/4 P(X?xi) 1/6 1/2 1/3 1 若X和Y相互独立，（1）填写上表空白部分；（2）求U?max{X,Y}的分布律；求P(X?Y)，（4）求E(X). 解： （2） U 1 2 3

pk 1/24 5/8 1/3 (3) P(X?Y)?P(X?2,Y?1)?P(X?3,Y?1)?P(X?3,Y?2) ?1?1?111

8124?24（4）

E(X)?1?16?2?12?3?13?136. ?? 每一小题占第 3 页 共 8 页

’ ’ 3）3分 密封线---------------------------------------- 2 4密封线---------------------------------------密封线（------------------------------------ x?4,当0?x?1,?y?x?2五. （12分）设(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)??，求（1）fX(x)；

?0，? 其它1131f(yX?)P(?Y?X?). （2）fYX(yx)；（3）YX；（4）

2882 解：

x?????x4dx?2x, 0?x?1（1）fX(x)???? f(x,y)dy??2. ?? 3’

?? 0, elsey y=x y=x/2 0 x

x?42?, ?y?xf(x,y)?2（2）当0?x?1时，fYX(yx)?f(x)??2xx. ?? 3’

X? 0, else?

11?4, ?y?1?1f(yX?)??42. ?? 3’ （3）上式中令x?，则YX2?2?0, else

331311188P(?Y?X?)?f(yX?)dy? 4dy?（4）. ?? 3’ 1?14882?8YX22

1/8 1/4 3/8 1/2 x

第 4 页 共 8 页

?x?y,当0?x?1,0?y?1六. （10分）已知(X,Y)的联合概率密度f(x,y)??，

0， 其它?2求（1）P(Y?X)；（2）Z?X?Y的概率密度函数.

解： ---------------------------------------------y 1 y=x^2 学院 装订 线 ---------------------------------------- 专业班级装 订 线 ---------------------------------------- 学号 装 订 线 ------------------------------------------ 姓名 0

1 x （1）P(Y?X2)?f(x,y)dxdy?111y??1?x2?0dx?xx?y)dy??0(x?2?x32( （2）Z?X?Y的概率密度函数fZ(z)??????f(x,z?x)dx. f(x,z?x)?0???0?x?1???0?z?x?1?0?x?1?z?1?x?z，如图 x x=z x=z－1 1

0 1 2 z ?? ?z[x?(z?x)]dx?z2, 0?z?1?0?f?1Z(z)??[x?(z?x)]dx?z(??z?12?z), 1?z?2 ?? 0, else?第 5 页 共 8 页

x42)dx?1320 ?? 4’

?? 1’

?? 1’

?? 1’

?? 3’ 密封线----------------------------------------? 密封线 ---------------------------------------密封线------------------------------------

七. （10分）某单位发行彩票100000张，每张售价2元. 设有一等奖1个，奖金20000元；二等奖2个，奖金10000元；三等奖10个，奖金1000元. 若卖出了N万张，（1）试分析发行单位的平均收益是多少? （2）该发行项目的风险可用哪个数字特征度量（只答不算）? 解：设售出的N万张彩票中，中i等奖的有Xi张, i=1,2,3. 故

Xi~b(10000N,pi)

其中，p1?1/100000,p2?2/100000,p3?10/100000. ?? 3’ 再设发行单位的收益为Y万元，则

Y?2N?2X1?X2?0.1X3 （1）平均收益为

E(Y)?E(2N?2X1?X2?0.1X3)

?2N?2E(X1)?E(X2)?0.1E(X3) ?N(2?2?110?210?0.1?1)?1.5N(万元) （2）该项目的风险可以用收益Y的方差或标准差来度量。

八. （6分）已知事件A的概率P(A)?0，B是任意一个事件，证明：证明：?P(A)?0，AB?A，?0?P(AB)?P(A)?0，从而 ?P(AB)?0 ?P(AB)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?0?于是事件A,B相互独立.

第 6 页 共 8 页

?? ?? ?? ??A,B相互独立

??P(A)P(B)

?? 1’

2’

2’ 2’ . 3’

3’ 证毕。 一、填空题解答： 1．解：P(BA)?P(AB)P(A)，

由事件A,B互不相容知，当B发生时A一定不发生，即有B?A，于是AB?B. 从而

P(BA)?P(B)P(A)?1?0.64?.

1?0.372．解：因为P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)，

所以P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?0.7?0.2?0.8?0.1

则（1）P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(AB)?1?0.1?0.9； （2）P(AA?B)?P[A(A?B)]P(A)? P(A?B)P(A)?P(B)?P(AB)?

P(A)0.77??.

P(A)?[1?P(B)]?[P(A)?P(AB)]0.7?0.8?0.69k2?kC2C82C103．解：X的分布律为P(X?k)?, k?0,1,2. 即

X pk 0 1 2 28/45 16/45 1/45 ? 0, x?0??28/45,0?x?1F(x)??从而X的分布函数为.

?44/45,1?x?2? 1, x?2???acosx,|x|??f(x)?2，则 ?4．解：因为X的概率密度X?0,其它?1????????fX(x)dx??62??2acosxdx?2a??20cosxdx?2a，从而a?1.

25?于是（1）P(??X?)?66????5?6fX(x)dx???2?613cosxdx?. 24

－π/2 －π/6 π/2 5π/6 x

第 7 页 共 8 页

（2）因为FY(y)?P(Y?y)?P(3X??2y??y)?P(X?3?2)?F(Xy?3?2)，且

?于是Y?3X??2y???2??????y?2?，

32?2的概率密度为

??y?y?1??1cos2, ???y?2?2fY(y)?fX()???. 333?6?? 0, else?5．解：（1）E(Y)?E(X1?2X2?3X3)?E(X1)?2E(X2)?3E(X3)?（2）因为X1,X2,X3相互独立，故

?1?5?0?3?2?8； 2[5?(?1)]2D(Y)?D(X1?2X2?3X3)?D(X1)?(?2)D(X2)?3D(X3)??4?22?9?22?55.

1222X?Y?1~N(0,1)，从而 6. 解：因为(X,Y)~ N(?1,2,4,3,0)，所以X?Y~N(1,5)，故

5222P(X?Y??4)?P(X?Y?1?4?1?)??(?1)?1??(1)?1?0.8413?0.1587. 551?a?bx2 0?x?1E(X)?7. 解：因为X的概率密度f(x)??, 且，故

4?0 其他1b???2f(x)dx?(a?bx)xdx?a??1???03????1ab1，解得a?2，b?－3； 2?E(X)?xf(x)dx?x(a?bx)xdx??????0244?????又因为E(X)?2?????xf(x)dx?2?10x2(a?bx2)xdx?ab231????，所以 353515111?()2?. 154240D(X)?E(X2)?E2(X)?8. 解：D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2cov(X,Y)?D(X)?D(Y)?2?XYD(X)?D(Y)， 于是D(X?Y)?85，D(X?Y)?37.

第 8 页 共 8 页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zjvd.html