金融工程学A卷参考答案(1)

《金融工程学》期末考试卷（A）参考答案

一、名词解释（共15分，每题3分）

1、盯市指在期货交易中，在每天交易结束时保证金账户进行调整，以反映投资者的盈利或损失。

2、FRA就是远期利率协议，是参与者同意在指定的未来某个时期将某个确定的利率应用于某个确定的本金的远期合约。

3、远期价格就是使得某个远期合约的合约价值为零的交割价格。合约刚签定时相等，之后一般不相等。

4、久期指债券的持有者在收到现金付款之前平均需要等待的时间。用公式表示为:

tceD??ii?yitiB。

5、欧式看涨期权就是持有者可以在约定的期限到来时以约定的价格买入一定数量的某种金融资产的权利。

二、判断说明题（要求先判断对错，然后简要说明理由或给出证明。共25分，每小题5分）

1、答：正确。 （1分） 因为期权和期货的交易双方的损益刚好互为相反数，即一方所挣的数额刚好是另一方所亏的数额，所以是零和博弈。 （4分）

2、答：正确。 （1分） 因为当标的资产的价格上涨时，远期合约的多头可获利，此时相当于一个欧式看涨期权的多头；而当标的资产的价格下跌时，远期合约的多头亏损，此时相当于一个欧式看跌期权的空头（因为看跌期权的多头会行使期权，所以多头是亏损的）。 （4分） 3、答：错误。 （1分） 最佳的套期比率取决于现货价格的变化和期货价格的变化的标准差以及二者的相关关系。而只有没有基差风险才可以进行完全的套期保值。所以最小风险的套期保值比率为1不一定是 完全的套期保值。 （4分） 4、答：错误。 （1分） n年期限的零息票债券的久期等于n。因为在到期之前没有收到任何的现金，所以n年期限的零息票债券的持有者在收到现金付款之前平均需要等待的时间就是n。 (4分) 5、答：错误。 （1分）

考虑两个组合：组合A是一个美式看涨期权加上金额为Xe组合B是一股股票。

假设在到期前的τ时刻执行，则组合A的价值为S?X-r(T-t)

的现金；

?Xe?r(T??)，总是小于组合B

的价值；如果持有到期，则组合A的价值为max(ST, X)，至少不小于组合B的价值；所以说提前执行不支付红利的美式看涨期权是不明智的。 （4分）

三、 证明题（共16分，每小题8分）

1、证明：当持有资产的多头和期货的空头时，保值者头寸的价值变换为：

△S - h△F (1分)

而对于一个多头套期保值者来说，保值者头寸的价值变换为：

h△F-△S （1分）

在以上两种情况下,套期保值头寸价格变化的方差均为：

V=σ2s+h2σ2F -2hρσsσF （2分）

?V所以, =2hσ2F - 2ρσsσF （2分）

?h?2V因为 为正值,令上式等于0可以得到: （1分） 2?hh=ρσs /σF 。证毕。 （1分）

2、证明：构建两个证券组合：

- r(T-t)

组合A：一个远期合约多头加上一笔数额为Ke的现金； （1分）

组合B：一单位标的证券加上以无风险利率借 I数额的现金。 （1分）

由于证券的收益可以用来偿还借款，所以在T时刻组合B与一单位证券具有相同的价值。

组合A在T时刻也有相同的价值。因此在t时刻这两个组合应具有相同的价值，即

f+Ke- r(T-t)=S- I （3分）

远期价格F就是使f=0的K的价值，令f=0从上式可得： （2分）

F=(S-I)er(T-t)。证毕。 （1分）

四、计算题（共44分）

0.072?3r40.07?4ee?e1、解：因为 ，

所以4r?6.4%. (3分，没有求出结果扣1分)

0.07?4r50.069?5ee?e 又因为 ，

所以5

r?6.5%. (3分，没有求出结果扣1分)

?0.122、解：8e?7.093;8e?0.12?2?6.293;108e?0.12?3?75.349

（4分，没有求出结果扣1分)

P?7.059?6.293?75.349?88.74

7.0956.29375.349??2??3?2.77 D?88.7488.7488.74（4分，没有求出结果扣1分)

3、解：签定的互换合约为：A公司每半年支付6个月LIBOR给B公司，B公司支付9.95%

的年固定利率给A公司（每半年支付一次）。 (1分) LIBOR的浮动利率 A公司 B公司 10%的固定利率 LILBOR+1%浮动利率 9.95%的固定利率

（3分）

对B公司来说，在浮动利率上亏损=（LIBOR-(LIBOR+1%)）=-1%,在固定利率上获利= 11.2% - 9.95%=1.25%，所以从该互换中获利=1.25% - 1%=0.25% 。 （3分）

对A公司来说，在浮动利率上获利=（LIBOR+0.3%-LIBOR）=0.3%, 在固定利率上亏损=9.95%-10%= - 0.05%，所以从该互换中获利=0.3%- 0.05%=0.25% 。 （3分）

显然,两个公司从该互换中得到的好处是一样的。

4、解：第一步是计算转换因子。为此，先将所有未来支付的现金流贴现到距今3个

月后的时点上，此时债券价值为： 7?7100??163.72 (4分，部分错误或没有求出结果扣1分) ?i361.041.04i?1363个月期的利率为：1.04?1?1.9804% (1分) 所以债券的现值为：163.72?1.0198?160.55 (1分)

减去累计利息3.5，债券价值为157.05 (1分) 所以转换因子为1.5705。 (1分) 第二步，计算空方交割10万美元面值该债券应收到的现金为：

1000?[（1.5705?90.00）+3.5]=144，845美元 （2分）

5、解：连续复利的3个月期利率是：R1?4ln(连续复利的6个月期利率是：R2?2ln(100)?0.1013 （2分） 97.5100)?0.1047 （2分） 94.9100)?0.1054 （2分）连续复利的1年期利率是：R3?ln( 90.0R2?R3?0.10505 （2分）利用线性插值法算出9个月期利率是： 2解R4的方程是：5e

?0.1013?0.25?5e?0.10505?0.75?105e?R4?1.25?98 （2分）

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