推理与证明（优生培训）

高二数学培训资料—推理与证明

1．p＝ab＋cd，q＝ma＋nc·关系为________． 解析：q＝ 2．设M＝

ab＋

madnbc

＋＋cd≥ ab＋2abcd＋cd＝ab＋cd＝p ∴q≥p nm

bd

＋(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小mn

1111＋＋＋?＋，则M与1的大小关系为_______ _． 210210＋1210＋2211－1

111111010

10＋10＋10＋?＋10(共2项)，∴M<10×2＝1. 22222

解析：∵M<

3．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，?，则72 011的末两位数字为___43_____． 13

4．已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(2 011)＝.

21111113111

5．观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋?＋>，1＋＋＋?＋>2,

223237223151115111n

1＋＋＋?＋>，?，由此猜想第n个不等式为__1＋＋＋?＋n>____．

23312232－126．设A(0,0)，B(4,0)，C(t＋4,3)，D(t,3) (t∈R)．记N(t)为平行四边形ABCD内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N(0)＝___6_____；N(t)的所有可能取值为___6,7,8_____．

T20T30T40

7．在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有，，仍成等比T10T20T30数列，且公比为4100；类比上述结论，在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和，则有____ S20－S10，S30－S20，S40－S30___也成等差数列，该等差数列的公差为____300____． 18．若数列{an}的通项公式an＝，记f(n)＝2(1－a1)(1－a2)?(1－an)，试通过计算

(n＋1)2

f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)＝____9．设函数f(x)＝

n＋2

____. n＋1

xx(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝， x＋2x＋2

xxx

f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝，f4(x)＝f(f3(x))＝，??

3x＋47x＋815x＋16x*

根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝_n. (2－1)x＋2n10．已知

2

2＋＝2

3

2，3

33＋＝3

8

3，8

4＋

4＝415

4，?，若15

a6＋＝6t

a (a，t

t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝____41____.

11．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前100个圈中的●的个数是________．

解析：由1＋2＋3＋?＋12＝78(个)白圈，78＋12＝90.依规律再出现13个白圈，∴前100个圈中“●”的个数为12.

12．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：

他们研究过图中的1,3,6,10，?，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图中的1,4,9,16?这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 . ①289 ②1024 ③1225 ④1378 n(n＋1)2解析：根据图形的规律可知第n个三角形数为an＝，第n个正方形数为bn＝n.

2答案：③

a1＋a2＋?＋an*

13．若数列{an}(n∈N)是等差数列，则数列bn＝也为等差数列，类比上述性n质，若数列{cn}是等比数列，且cn>0(n∈N)，则有dn＝________ 也是等比数列． 解析：c1c2c3?cn＝cn1qnn

n

n

1＋2＋3＋?＋(n－1)

*

＝ cn1q

n(n－1)(n－1)

＝c1q，是等比数列． 22

答案：c1c2c3?cn

14．对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中最小的数为a，而52的“分裂”中最大的数是b，则a＋b＝________.

解析：由题意可得：a＝21，b＝9，则a＋b＝30.

15．对于等差数列{an}，有如下命题：“若{an}是等差数列，a1＝0，s、t是互不相等的正整数，则有(s－1)at＝(t－1)as”．类比此命题，给出等比数列{bn}相应的一个正确命题：

“__________________________________________________________________________”． 答案：若{bn}是等比数列，b1＝1，s，t是互不相等的正整数，则有bs－1t＝bt－1s. 116．若数列{an}的通项公式an＝，记cn＝2(1－a1)(1－a2)?(1－an)，试通过计算c1，

(n＋1)2c2，c3的值，推测cn＝________.

13114

解析：c1＝2(1－a1)＝2×(1－)＝，c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2×(1－)×(1－)＝，

42493

1115

c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝2×(1－)×(1－)×(1－)＝，

49164n＋2

故由归纳推理得cn＝.

n＋117．观察下列等式：

nn

12113121141312n4151413123

?i＝2n＋2n，?i＝3n＋2n＋6n，?i＝4n＋2n＋4n，?i＝5n＋2n＋3n－30n， i＝1i＝1i＝1i＝1n

16155412n6171615131

?i＝6n＋2n＋12n－12n，?i＝7n＋2n＋2n－6n＋42n，? i＝1i＝1

n

5n

?i＝a

k

i＝1

k＋1

nk＋1＋aknk＋ak－1nk－1＋ak－2nk－2＋?＋a1n＋a0，

11可以推测，当k≥2(k∈N*)时，ak＋1＝，ak＝，ak－1＝________，ak－2＝________.

k＋125k

解析：法一：特殊值找规律，再对其验证．当k＝5时，ak－1＝a4＝＝，ak－2＝a3＝0.

1212

k61

又当k＝6时，ak－1＝＝＝，ak－2＝0均符合．

12122

121314

法二：∵k＝2时，a1＝＝，a0＝0，k＝3时，a2＝＝，a1＝0，k＝4时，a3＝＝，

612412312516k

a2＝0，k＝5时，a4＝，a3＝0，k＝6时，a5＝＝，a4＝0.∴可猜想ak－1＝，ak－2＝0.

1221212an＋1＋an－1

18．已知数列{an}中，a4＝28，且满足＝n.

an＋1－an＋1

(1)求a1，a2，a3；

(2)猜想{an}的通项公式并证明． 解 (1)

an＋1＋an－1a4＋a3－1

＝n. 当n＝3时，＝3.∵a4＝28，∴a3＝15；

an＋1－an＋1a4－a3＋1

a3＋a2－1

当n＝2时，＝2.∵a3＝15，∴a2＝6；

a3－a2＋1

a2＋a1－1

当n＝1时，＝1.∵a2＝6，∴a1＝1.

a2－a1＋1(2)猜想an＝n(2n－1)． ①当n＝1时，a1＝1，

而a1＝1×(2×1－1)＝1，等式成立．

②假设当n＝k时，等式成立，即ak＝k(2k－1)．

ak＋1＋ak－1ak＋1＋k(2k－1)－1

则当n＝k＋1时，＝k，＝k，

ak＋1－ak＋1ak＋1－k(2k－1)＋1整理，得(1－k)ak＋1＝－2k3－k2＋2k＋1＝(2k＋1)(1－k2)，

ak＋1＝(1＋k)(2k＋1)＝(k＋1)[2(k＋1)－1]，等式也成立．

综合①②可知，n∈N*时，等式成立．

111

19．在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：2＝2＋2.那么在四面体ABCD中，类比

ADABAC上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由． 证明：如图(1)所示，由射影定理AD＝BD·DC，

1122

AB＝BD·BC，AC＝BC·DC，∴2＝ ADBD·DCBCBC

＝＝2. BD·BC·DC·BCAB·AC2

1AB2＋AC211

又BC＝AB＋AC，∴2＝2＝＋.

ADAB·AC2AB2AC2

2

2

2

2

2

2

所以

111＝＋.猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，猜想四面体ABCD中，AB、AC、AD两AD2AB2AC2

1111＝＋＋. AE2AB2AC2AD2

两垂直，AE⊥平面BCD，则

如图(2)，连结BE交CD于F，连结AF.

∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD，而AF?面ACD， 111∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴2＝2＋2.

AEABAF111

在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴2＝2＋2.

AFACAD∴

1111＝＋＋，故猜想正确． AE2AB2AC2AD2

20．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，求f(99)的值。

解：由f(x)·f(x＋2)＝13知f(x＋2)f(x＋4)＝13，所以f(x＋4)＝f(x)， 即函数f(x)是以T＝4为周期的函数，

故f(99)＝f(3＋4×24)＝f(3)＝

1313

＝. f(1)2

21．已知函数f(x)＝x3，g(x)＝x＋x. (1)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数，并说明理由； (2)设数列{an}(n∈N)满足a1＝a(a>0)，f(an＋1)＝g(an)

证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N，都有an≤M.

解：(1)由h(x)＝x3－x－x知，x∈[0，＋∞)，而h(0)＝0，且h(1)＝－1<0，h(2)＝6－2>0，则x＝0为h(x)的一个零点，且h(x)在(1,2)内有零点．因此，h(x)至少有两个零点． 111113解法一：h′(x)＝3x2－1－x－，记φ(x)＝3x2－1－x－，则φ′(x)＝6x＋x－. 222242当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x)在(0，＋∞)内至多只有一个零点．又因为φ(1)>0，φ?

*

*

?3??3?

?<0，则φ(x)在?，1?内有零点，所以φ(x)?3??3?

在(0，＋∞)内有且只有一个零点．记此零点为x1，则当x∈(0，x1)时，φ(x)<φ(x1)＝0；当x∈(x1，＋∞)时，φ(x)>φ(x1)＝0.

所以，当x∈(0，x1)时，h(x)单调递减．而h(0)＝0，则h(x)在(0，x1]内无零点； 当x∈(x1，＋∞)时，h(x)单调递增，则h(x)在(x1，＋∞)内至多只有一个零点，从而h(x)在(0，＋∞)内至多只有一个零点．综上所述，h(x)有且只有两个零点．

1113

解法二：由h(x)＝x?x2－1－x－?，记φ(x)＝x2－1－x－，则φ′(x)＝2x＋x－. ?2?222当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，从而φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x)在(0，＋∞)内至多只有一个零点．φ(1)<0，φ(2)>0，所以φ(x)在(0，＋∞)上有一个零点．因此h(x)在(0，＋∞)内也有一个零点．综上所述，h(x)有且只有两个零点． (2)记h(x)的正零点为x0，即x3x0. 0＝x0＋

(i)当a

则当n＝k＋1时，由ak＋1＝ak＋ak

(ii)当a≥x0时，由(1)知，h(x)在(x0，＋∞)上单调递增，则h(a)≥h(x0)＝0，

3

3

即a≥a＋a.从而a2＝a1＋a1＝a＋a≤a，即a2≤a.由此猜测：an≤a. 下面用数学归纳法证明． ①当n＝1时，a1≤a显然成立．

②假设当n＝k(k≥1)时，ak≤a成立，则当n＝k＋1时，由ak＋1＝ak＋ak≤a＋a≤a知，ak＋1≤a.因此，当n＝k＋1时，ak＋1≤a成立．故对任意的n∈N*，an≤a成立． 综上所述，存在常数M＝max{x0，a}，使得对于任意的n∈N，都有an≤M.

*3

3

333

高二数学培训资料—推理与证明

1．p＝ab＋cd，q＝ma＋nc·关系为________． 2．设M＝

3．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，?，则72 011的末两位数字为_______．

4．已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(2 011)＝ .

1111113111

5．观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋?＋>，1＋＋＋?＋>2,

22323722315

1115

1＋＋＋?＋>，?，由此猜想第n个不等式为 ．

23312

6．设A(0,0)，B(4,0)，C(t＋4,3)，D(t,3) (t∈R)．记N(t)为平行四边形ABCD内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N(0)＝________；N(t)的所有可能取值为________ ．

T20T30T40

7．在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有，，仍成等比T10T20T30数列，且公比为4100；类比上述结论，在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和，则有____ S20－S10，S30－S20，S40－S30___ 也成等差数列，该等差数列的公差为________．

1111

＋10＋?＋11，则M与1的大小关系为_______． 10＋10

22＋12＋22－1

bd

＋(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小mn

1

8．若数列{an}的通项公式an＝2，记f(n)＝2(1－a1)(1－a2)?(1－an)，试通过计算

(n＋1)f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)＝________.

9．设函数f(x)＝

xxx(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝， x＋2x＋23x＋4

xx

f3(x)＝f(f2(x))＝，f4(x)＝f(f3(x))＝，??根据以上事实，由归纳推理

7x＋815x＋16可得：当n∈N且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝ . 10．已知

2

2＋＝23

2，3

33＋＝3

8

3，8

4＋

4＝415

4

，?，若15

a6＋＝6t

a t

*

(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝________.

11 ．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前100个圈中的●的个数是________．

12．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：

他们研究过图中的1,3,6,10，?，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图中的1,4,9,16?这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 . ①289 ②1024 ③1225 ④1378

a1＋a2＋?＋an

13．若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则数列bn＝也为等差数列，类比上述性n质，若数列{cn}是等比数列，且cn>0(n∈N*)，则有dn＝________ 也是等比数列．

14．对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中最小的数为a，而52的“分裂”中最大的数是b，则a＋b＝________.

15．对于等差数列{an}，有如下命题：“若{an}是等差数列，a1＝0，s、t是互不相等的正整数，则有(s－1)at＝(t－1)as”．类比此命题，给出等比数列{bn}相应的一个正确命题：“__________________________________________________________________________”．

16．观察下列等式：

nn

12113121141312n4151413123

?i＝2n＋2n，?i＝3n＋2n＋6n，?i＝4n＋2n＋4n，?i＝5n＋2n＋3n－30n， i＝1i＝1i＝1i＝1n

16155412n6171615131

?i＝6n＋2n＋12n－12n，?i＝7n＋2n＋2n－6n＋42n，? i＝1i＝1

n

5n

?i＝a

k

i＝1

k＋1

nk＋1＋aknk＋ak－1nk－1＋ak－2nk－2＋?＋a1n＋a0，

11可以推测，当k≥2(k∈N*)时，ak＋1＝，ak＝，ak－1＝________，ak－2＝________.

k＋12

an＋1＋an－1

17．已知数列{an}中，a4＝28，且满足＝n.

an＋1－an＋1

(1)求a1，a2，a3；

(2)猜想{an}的通项公式并证明．

111

18．在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：2＝2＋2.那么在四面体ABCD中，类比

ADABAC上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．

19．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，求f(99)的值。

高二数学基础题综合训练（3）

一、选择题

1．用反证法证明命题：“m、n∈N，mn可被3整除，那么m、n中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为( ) A．m、n都能被3整除 B．m、n都不能被3整除 C．m、n不都能被3整除 D．m不能被3整除

【解析】 用反证法证明命题应先否定结论，故选B.

1213214321

2．已知数列：，，，，，，，，，，?，依它的前10项的规律，这个数列的第

11212312342011项a2011满足( )

11

A．010

1010

121321

【解析】 这个数列是按如下规则分组：第一组：；第二组：，；第三组：，，；?；112123nn－1n－2n－r＋11n第n组：，，，?，，?，.由不等式

123rnn得n≤62，且当n＝62时，n＋12

n＋12

<2011，即n(n＋1)<4022，

＝1953,2011－1953＝58，即a2011是上述分组中的第63

63－58＋161

组的第58个数，即a2011＝＝，故0

3．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图11－1的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是( )

A．4n＋2 B．4n－2 C．2n＋4 D．3n＋3

【解析】 观察可知除第一个以外，每增加一个黑色地面砖，相应的白地面砖就增加四个，

因此第n个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项，公差是4的等差数列的第n项”．或由图可知，当n＝1时，a1＝6，当n＝2时，a2＝10，当n＝3，a3＝14，由此推测，第n个图案中有白色地面砖的块数是：an＝4n＋2.

4．把正整数按一定的规则排成了如图11－2所示的三角形数表．设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2011，则i

与j的和为( )

1 2 4 3 5 7 6 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 24 26

?

A．105 B．106 C．107 D．108

【解析】 由三角形数表可以看出其奇数行有奇数列，偶数行有偶数列，2011＝2×1006－1，

所以2011为第1006个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2011在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2011＝1923＋2(j－1)，所以j＝45，所以i＋j＝108.

5．设S是至少含有两个元素的集合．在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)．若对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（ ）

A.b*(b*b)＝b B.(a*b)*a＝a C.[a*(b*a)]*(a*b)＝a D.(a*b)*[b*(a*b)]＝b 答案：B

6．设函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2011

＝( )

A.1 B．2 C．4 D．5 [解析] x1＝f(x0)＝f(5)＝2，

x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，?，数列{xn}是周期为4的数列，所以x2011＝x3＝4，故应选C.

7．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( )

A．大于0 B．小于0 C．不小于0 D．不大于0 [解析] 解法1：∵a＋b＋c＝0，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，

a2＋b2＋c2

∴ab＋ac＋bc＝－≤0.

2

解法2：令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ac＝0，否则a、b异号，∴ab＋bc＋ac＝ab＜0，排

除A、B、C，选D.

8．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)在区间[1，a](a>2)上单调递增且f(x)>0，则以下不等式不一定成立的是( )

x f(x) 1 4 2 1 3 3 4 5 5 2 a＋1?1－3a?1－3a?

A.f(a)>f(0) B.f?>f(a) C.f?>f(－a) D.f?>f(－2)

?2??1＋a??1＋a?解析：∵f(x)是定义的R上的奇函数，∴f(0)＝0，又由已知a>2，∴f(a)>f(1)>0＝f(0)，

①成立；

∵

1＋a

>a，∴②成立； 2

∵a>2，∴1－3a<0，又f(x)为奇函数，

1－3a?3a－1?3a－1∴f?＝－f?，f(－a)＝－f(a)，且>1，

?1＋a??1＋a?1＋a

?3a－1??1＋a?1＋a1＋a1＋a

3a－1?3a－1a－3

对于④，有f?2时a－3的符号不确定，

?1＋a?1＋a1＋a∴

a－3

<0未必成立． 答案：D 1＋a

2

二、填空题

9．(2009年高考浙江卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12

成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，

T16

成等比数列． T12

T8T12

解析：根据类比原理知该两空顺次应填，. T4T8

10．(2009年高考江苏卷)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为

1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．

1S1h1

V13S1h1111

解析：＝＝·＝×＝. V21S2h2428

S2h23

ex－e－xex＋e－x

11．在技术工程上，常用到双曲线正弦函数shx＝和双曲线余弦函数chx＝，22

而双曲线正弦函数和双曲线余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有类似的性质，比如关于正、余弦函数有sin(x＋y)＝sinx·cosy＋cosx·siny成立，而关于双曲线正、余弦函数满足sh(x＋y)＝shxchy＋chxshy.请你运用类比的思想，写出关于双曲线正弦、双曲线余弦很熟的一个新关系式 ．

解析：shx类比sinx，chx类比cosx. sh(x－y)＝shxchy－chxshy或ch(x－y)＝chxchy＋shxshy或sh2x＝2shxchx(写对一个即可)

→→→→

12．对于命题：若O是线段AB上一点，则有|OB|·OA＋|OA|·OB＝0.将它类比到平面的情

→→→

形是：若O是△ABC内一点，则有S△OBC·OA＋S△OCA·OB＋S△OBA·OC＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有________________________________． 【解析】 平面上的线段长度类比到平面上就是图形的面积，类比到空间就是几何体的体积，→→→→

故得出结果 VO－BCD·OA＋VO－ACD·OB＋VO－ABD·OC＋VO－ABC·OD＝0

13．集合{1,2,3，?，n}(n≥3)中，每两个相异数作乘积，所有这些乘积的和记为Tn，如：

12222

T3＝1×2＋1×3＋2×3＝[6－(1＋2＋3)]＝11，

2

1

T4＝1×2＋1×3＋1×4＋2×3＋2×4＋3×4＝[102－(12＋22＋32＋42)]＝35，

21

T5＝1×2＋1×3＋1×4＋1×5＋?＋4×5＝[152－(12＋22＋32＋42＋52)]＝85.

2则T7＝________.(写出计算结果)

1

【解析】 T7＝[(1＋2＋?＋7)2－(12＋22＋?＋72)]＝322.

2

14．已知数列{an}，ai∈{－1,0,1}(i＝1,2,3，?，2011)，若a1＋a2＋?＋a2011＝11，且

(a1＋1)＋(a2＋1)＋?＋(a2011＋1)＝2088，则a1，a2，?，a2011中是1的个数为________． 【解析】 设1的个数有x个，根据a1＋a2＋?＋a2011＝11，则－1的个数为x－11个，0的

个数为2011－2x＋11＝2022－2x.由(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋?＋(a2011＋1)2＝2088，得4x＋2022－2x＝2088，解得x＝33.

a15．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a＋b、a－b、ab、∈P(除b数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋b2|a，b∈Q}也是数域．有下列命题：

①整数集是数域； ②若有理数集Q?M，则数集M必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域．

其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) a

[答案] ③④ [解析] ①整数a＝2，b＝4，不是整数；

b

②如将有理数集Q，添上元素2，得到数集M，则取a＝3，b＝2，a＋b?M；

③由数域P的定义知，若a∈P，b∈P(P中至少含有两个元素)，则有a＋b∈P，从而a＋2b，a＋3b，?，a＋nb∈P，∴P中必含有无穷多个元素，∴③对．

④设x是一个非完全平方正整数(x>1)，a，b∈Q，则由数域定义知，F＝{a＋bx|a、b∈Q}必是数域，这样的数域F有无穷多个．

2

2

2

高二数学基础题综合训练（3）

一、选择题

1．用反证法证明命题：“m、n∈N，mn可被3整除，那么m、n中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为( )

A．m、n都能被3整除 B．m、n都不能被3整除 C．m、n不都能被3整除 D．m不能被3整除

1213214321

2．已知数列：，，，，，，，，，，?，依它的前10项的规律，这个数列的第

1121231234

2011项a2011满足( )

11

A．010

1010

3．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图11－1的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是( )

A．4n＋2 B．4n－2 C．2n＋4 D．3n＋3

4．把正整数按一定的规则排成了如图11－2所示的三角形数表．设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2011，则i与j的和为( )

A．105 B．106 C．107 D．108

1 2 4 3 5 7 6 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 24 26

?

5．设S是至少含有两个元素的集合．在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)．若对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（ ）

A.b*(b*b)＝b B.(a*b)*a＝a C.[a*(b*a)]*(a*b)＝a D.(a*b)*[b*(a*b)]＝b

6．设函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2011＝( ) x 1 2 3 4 5 f(x) 4 1 3 5 2 A.1 B．2 C．4 D．5

7．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( )

A．大于0 B．小于0 C．不小于0 D．不大于0 8．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)在区间[1，a](a>2)上单调递增且f(x)>0，则以下不等式不一定成立的是( )

?a＋1?>f(a) C.f?1－3a?>f(－a) D.f?1－3a?>f(－2)

A.f(a)>f(0) B.f

?2??1＋a??1＋a?

二、填空题

9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上

T16

结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．

T12

10．(2009年高考江苏卷)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为

1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．

ex－e－xex＋e－x

11．在技术工程上，常用到双曲线正弦函数shx＝和双曲线余弦函数chx＝，22

而双曲线正弦函数和双曲线余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有类似的性质，比如关于正、余弦函数有sin(x＋y)＝sinx·cosy＋cosx·siny成立，而关于双曲线正、余弦函数满足sh(x＋y)＝shxchy＋chxshy.请你运用类比的思想，写出关于双曲线正弦、双曲线余弦很熟的一个新关系式 ．

→→→→

12．对于命题：若O是线段AB上一点，则有|OB|·OA＋|OA|·OB＝0.将它类比到平面的情

→→→

形是：若O是△ABC内一点，则有S△OBC·OA＋S△OCA·OB＋S△OBA·OC＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有________________________________．

13．集合{1,2,3，?，n}(n≥3)中，每两个相异数作乘积，所有这些乘积的和记为Tn，如：

1

T3＝1×2＋1×3＋2×3＝[62－(12＋22＋32)]＝11，

2

1

T4＝1×2＋1×3＋1×4＋2×3＋2×4＋3×4＝[102－(12＋22＋32＋42)]＝35，

21

T5＝1×2＋1×3＋1×4＋1×5＋?＋4×5＝[152－(12＋22＋32＋42＋52)]＝85.

2

则T7＝________.(写出计算结果)

14．已知数列{an}，ai∈{－1,0,1}(i＝1,2,3，?，2011)，若a1＋a2＋?＋a2011＝11，且

(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋?＋(a2011＋1)2＝2088，则a1，a2，?，a2011中是1的个数为________．

a

15．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a＋b、a－b、ab、∈P(除b

数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋b2|a，b∈Q}也是数域．有下列命题：

①整数集是数域； ②若有理数集Q?M，则数集M必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域．

其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) 班级 242 姓名 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

10．(2009年高考江苏卷)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为

1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．

ex－e－xex＋e－x

11．在技术工程上，常用到双曲线正弦函数shx＝和双曲线余弦函数chx＝，22

而双曲线正弦函数和双曲线余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有类似的性质，比如关于正、余弦函数有sin(x＋y)＝sinx·cosy＋cosx·siny成立，而关于双曲线正、余弦函数满足sh(x＋y)＝shxchy＋chxshy.请你运用类比的思想，写出关于双曲线正弦、双曲线余弦很熟的一个新关系式 ．

→→→→

12．对于命题：若O是线段AB上一点，则有|OB|·OA＋|OA|·OB＝0.将它类比到平面的情

→→→

形是：若O是△ABC内一点，则有S△OBC·OA＋S△OCA·OB＋S△OBA·OC＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有________________________________．

13．集合{1,2,3，?，n}(n≥3)中，每两个相异数作乘积，所有这些乘积的和记为Tn，如：

1

T3＝1×2＋1×3＋2×3＝[62－(12＋22＋32)]＝11，

2

1

T4＝1×2＋1×3＋1×4＋2×3＋2×4＋3×4＝[102－(12＋22＋32＋42)]＝35，

21

T5＝1×2＋1×3＋1×4＋1×5＋?＋4×5＝[152－(12＋22＋32＋42＋52)]＝85.

2

则T7＝________.(写出计算结果)

14．已知数列{an}，ai∈{－1,0,1}(i＝1,2,3，?，2011)，若a1＋a2＋?＋a2011＝11，且

(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋?＋(a2011＋1)2＝2088，则a1，a2，?，a2011中是1的个数为________．

a

15．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a＋b、a－b、ab、∈P(除b

数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋b2|a，b∈Q}也是数域．有下列命题：

①整数集是数域； ②若有理数集Q?M，则数集M必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域．

其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) 班级 242 姓名 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

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