北工大07-08学年概率论与数理统计试卷
更新时间:2023-10-30 05:20:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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北京工业大学2007—2008年度第一学期
“概率论与数理统计”课程考试试题(工类)
学号 姓名 得分
题号 得分 一 二(1) 二(2) 二(3) 二(4) 二(5) 一. 填空题(每空两分,共30分)
1. 若A,B为随机事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.3。 当A,B相互独立时, P(A∪B) = ,
P(A-B)= 。
2.袋中有同型号小球9只,其中5只是黑色的,4只是白色的,现不放回地从中抽取3
只,每次抽一只。则依次抽到黑球、白球和黑球的概率为 ;若已知第二次抽到黑球,则第一次抽到黑球的概率为 。
3. 若X 服从[0,1]区间上均匀分布,记A?{0.1?X?0.3},Y表示对X进行20次独立
观测时事件A发生的次数。则E(Y)= ,Var(Y)? 。
4. 若随机变量X只能取?2, 0, 1三个值,且P(X??2)?0.25,P(X?1)?0.35。则
E(X)? ,Var(X)? 。
6. 若随机变量X~U(?1,2), Y~N(?, ?),且二者相互独立。其中?,?22为常数。当
E(X?Y)?2,Var(2X?Y)?4时,?? , ?2? 。
6.设(X,Y)服从区域G上的均匀分布,其中G={(x,y): 0 概率密度函数f(x)? ( <x< ),Y的边缘概率密度函数 Xf(y)? ( Y 7. 若X1,X2,?,Xn为抽自正态总体N(0, 4)的随机样本,记 nX??i?1X,S?2i1n?1n?(X?X),S?22i1i?11n?(Xi?X). 2 则X~ ,E(S)= , E(S1)= 。 1 22 注:做以下各题须写出计算步骤,否则不能得分。 二. (本题14分) 有型号相同的产品两箱,第一箱装12件产品,其中两件为次品; 第二箱装8件产品,其中一件为次品。先从第一箱中随机抽取两件产品放入第二箱,再从第二箱中随机抽取一件产品。 (1). 求从第二箱中取出次品的概率; (2). 若从第二箱中取出了次品,求从第一箱中未取到次品的概率。 解 以Ai表示从第一箱中取到i件次品,i?0,1,2;B表示从第二箱中取到次品。 则 (1). P(B)?P(A0B)?P(A1B)?P(A2B) ?P(A0)P(B|A0)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2) ?C10C21C2122010?C10C22C2121110?C10C23C1220210 ?10?912?11?10215?10?812?11?10?2?312?11?10 ?; (2). P(A0|B)?P(A0B)P(B)?10?912?11?10?152?4588. 2 ?1?x,三. (本题16分)设随机变量X有概率密度函数f(x)???1?x,?0,?x?(?1,0],x?(0,1],其他,令Y ?X2。 (1). 求Y的概率密度函数fY(y); (2). 求P(0.25?Y?1.96); (3). 求Y的期望E(Y)与方差Var(Y)。 解 (1). 记FY(y)为随机变量Y的分布函数,则y?0时,FY(y)?0;y?(0,1]时, FY(y)?P(Y?y)?P(X2?y)?P(?y?X?y)??yy?f(x)dx?2y?y; y?1时,FY(y)?1。于是, ?1??y?1,fY(y)????0,y?(0,1],其他; (2). P(0.25?Y?1.96)? ??1.960.25fY(y)dy ?10.25fY(y)dy ?FY(1)?FY(0.25) ?0.25; 16 (3). E(Y)?E(X2)? 由 E(X)?4?11?1xf(x)dx??x(1?x)dx??x(1?x)dx??1020212; 115?1?1xf(x)dx??x(1?x)dx??x(1?x)dx??1040414及 Var(Y)?E(Y2)?[E(Y)]2?E(X)?[E(X)], 得 Var(Y)? 15?136?7180422. 3 四. (本题16分)设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为 ?c?e?y,f(x,y)???0,0?x?y??,其他. (1). 求常数c; (2). 求X和Y的边缘概率密度fX(x)和fY(y); (3). 求P(X?Y?1)。 解 (1). 由 1?????????f(x,y)dxdy???0dy?c?e0y?ydx?c?ye0??ydx?c, 得c?1; ???e?ydy,f(x,y)dy???x??0, (2). fX(x)??????e?x??x?0?0,x?0,x?0,x?0, fY(y)?????y??e?ydx,f(x,y)dx???0??0,?y?e?y??y?0?0,y?0,0.5y?0,y?0;?1/2 (3). P(X?Y?1)??0.50dx?1?xxe?ydy??0(e?x?ex?1)dx?(1?e) 2 4 五. (本题14分) 若X1,X2,?,Xn(n?2)为抽自总体X的随机样本,总体X有概率密 度函数 ?(??1)x?,fX(x)???00?x?1;其他. 其中???1为待估参数,求?的矩估计??与极大似然估计??。 解 记 X?1?nXi。由E(X)?i?1n????x?fX(x)dx??10(??1)x??1dx???1??2。利用 X?E(X),得X?1?2X。解该式,得 ???; ?X?1??2nni?1???1记 L(?)??ni?1fX(xi)?(??1)(?xi)??1为参数?的似然函数。则 ni?1lnL(?)?nln(??1)?(??1)?lnxi 与 dlnL(?)d??n??1???nni?1lnxi. 解似然方程 dlnL(?)d??0,得 ???1?nni?1。故 lnxi????1??ni?1. lnXi 5 六. (本题14分)对一批锰的熔点做5次测定,测定结果为1269,1267,1271,1263和 1265oC,已知锰的熔点服从正态分布N(?,?2),给定检验的显著性水平??0.05,问 (1). 在?2未知的情况下,可否通过样本推断出“总体均值等于1270.6”? (2). 可否通过样本推断出“总体方差不超过4.25”? 附 t分布与?2分布表 t4(0.025)?2.7764 t4(0.05)?2.1318 t5(0.025)?2.5706 t5(0.05)?2.0150 2222?4(0.025)?11.143 ?4(0.05)?9.488 ?4(0.95)?0.711 ?4(0.975)?0.484 2222?5(0.025)?12.833 ?5(0.05)?11.071 ?5(0.95)?1.145 ?5(0.975)?0.831 解 易见:n?5,??0.05。由x1?1269,x2?1267,?,x5?1265,得 x?15ix?5i?1?1267,s2?15i2?x)?10,s?(x?4i?110. (1). 记 H0: ??1270.6(?0) ? H1: ??1270.6(?0). 由 |x?1270.6|?3.6?3.9263?(s/n)?tn?1(?/2), 知:可通过样本推断H0为真,即接受“总体均值等于1270.6”; ?: ?(2). 记 H022?4.25(?0) ? H1?:?2?4.25(?0). 2222 由 (n?1)s/?0?2.2145?9.488??n?1(?), ?为真,即接受“总体方差不超过4.25”知:可通过样本推断H0。 6
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