【Mathor Cup】第1问论文

第六届Mathor Cup数模挑战赛一等奖,武汉大学0818A参赛队,写手孙一璠,程序刘泽彬,辅助与队长蔡森。A题第一问完整解答与论文

第1问

1 问题分析

氮在水中主要以离子形态存在，主要包括硝态氮、铵态氮和亚硝态氮，也有相当部分的氮以有机质的形式存储在水体有机物中。水中的各种含氮物质通过氨化、硝化、反消化和同化作用等进行相互转换。水体中的磷则以活性磷酸盐为主体，存在部分有机磷和无机磷颗粒。在沉积物中，氮主要以含氮有机物形式存在，并通过微生物作用转变为无机氮向水体扩散。而磷则无机与有机参半，其中能溶解并与水体交换的磷是各种评价的主要研究对象。[1] 在了解水体氮磷基本情况的前提下，探究池塘中常见N、P理化因子的关系，应当包含两个维度。一个维度是横向探究各种理化因子自身间的相互影响，相互转换关系。另一个维度是纵向各种理化因子在沉积物、间隙水、水体间的扩散转移。对于各维度的关系，可以在相对忽略另一维度关系影响的情况下，单独讨论。

附件一中包含的数据为“连续15周，对1到4号养殖池，分别在A、B两处采集底泥、间隙水、池水三种环境中的样本，并检测包括总氮与总磷在内的6种理化指标的含量值”。因为理化因子间的相互关系具有稳定性，因此抽取1号养殖池数据分析，其结果可以代表整体。对于A、B两个采样点的数据取均值，作为被测理化因子的实际含量。

在横向探究理化因子间的自身影响时，采用主成分分析法求三种环境下各理化因子的综合指标，以消除理化因子纵向扩散转移关系对横向关系探究的影响。然后对6项理化因子综合指标做相关性分析，初步判别个理化因子间的相关关系。最后对，具有较强相关性的理化因子做进一步函数拟合，解读其相关关系。纵向探究不同环境中理化因子的扩散转移关系的思路与方法与横向探究一致。

2 数据处理与分析

2.1综合指标提取

求综合指标时使用主成分分析法，其基本步骤为“数据标准化”，”建立变量相关系数矩阵R“，“求R的特征根λ1,λ2,λ3……及其对应的特征向量T1*,T2*,T3*……”，“由特征根及特征向量求主成分表达式与综合评价函数”，“带入标准化的原始数据，求综合评价值”。值得注意地是，从本质上讲，综合评价函数数对原始指标的线性综合。从计算主成分到对之加权，经过两次线性运算后得到综合评价函数。求综合指标的Matlab代码在附录1中给出，这里仅给出计算结果。表1为横向探究中的理化因子综合指标，表2为纵向探究中的池塘环境综合指标。

表1 理化因子综合指标

周数总磷磷酸盐磷总氮硝态氮亚硝态氮铵态氮

1 0.179 0.1601 0.1913 -0.0889 0.0724 -0.1744

2 0.1222 0.0566 0.1802 -0.1671 0.0825 -0.1445

3 0.1533 0.1032 0.132

4 -0.1101 0.1266 -0.1904

4 0.1553 0.0871 0.1868 0.0071 0.1029 -0.2055

5 0.1617 0.1048 0.1828 -0.1187 0.032

6 -0.1841

6 0.163 0.0945 0.142

7 -0.2447 0.0622 -0.2622

7 0.1187 0.0924 0.0755 0.0062 0.0852 -0.0965

8 0.1617 0.1384 0.1457 -0.1542 0.3066 -0.1654

9 0.1839 0.2441 0.2173 -0.3453 0.8489 -0.2543

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10 0.1621 0.1454 0.1619 -0.5243 0.3524 -0.1659

11 0.1749 0.1612 0.2281 -0.0898 0.0955 -0.1869

12 0.1775 0.1793 0.1827 -0.083 0.0446 -0.114

13 0.2079 0.2723 0.2446 -0.1135 0.0963 -0.2221

14 0.2153 0.3584 0.2596 -0.0164 0.0711 -0.1896

15 0.227 0.4416 0.2129 -0.0077 0.0752 -0.1764

表2池塘环境综合指标

周数池水间隙水底泥周数池水间隙水底泥

1 0.2528 -0.2109 -0.330

2 9 0.3534 -0.0819 -0.3638

2 0.0714 -0.238

3 -0.311

4 10 -0.002 -0.2551 -0.3609

3 0.097

4 -0.2937 -0.3611 11 0.112

5 -0.4581 -0.341

4 0.0968 -0.3002 -0.328 12 0.2319 -0.1433 -0.2748

5 -0.0471 -0.2742 -0.3503 13 0.2933 -0.235 -0.3996

6 -0.0483 -0.3176 -0.3335 14 0.4332 -0.438

7 -0.4643

7 0.062 -0.1647 -0.3239 15 0.5473 -0.4504 -0.3924

8 0.139 -0.1213 -0.3601

2.2 相关性分析

利用malab中的相关性分析函数corr()分别对理化因子综合指标和池塘环境综合指标进行相关性分析，结果分别如表3和表4所示。

表3 理化因子综合指标相关性

总磷磷酸盐磷总氮硝态氮亚硝态氮铵态氮

总磷 1.0000 0.9122* 0.7734* 0.1193 0.0476 -0.3908

磷酸盐磷0.9122* 1.0000 0.6547* 0.1824 0.1017 -0.1738

总氮0.7734* 0.6547* 1.0000 0.0730 0.0784 -0.4127*

硝态氮0.1193 0.1824 0.0730 1.0000 -0.6315* 0.3046

亚硝态氮0.0476 0.1017 0.0784 -0.6315* 1.0000 -0.3747

铵态氮-0.3908 -0.1738 -0.4127 0.3046 -0.3747 1.0000 可以发现总磷与磷酸盐磷存在很强的正相关关系，总磷与总氮、总氮与硝酸盐磷间存在较强的正相关关系；总氮与硝态氮、亚硝态氮无显著相关关系，但与铵态氮存在较弱的负相关关系；硝态氮与亚硝态氮存在较强的负相关关系。

表4 池塘环境综合指标相关性

池水间隙水底泥池水 1.0000 -0.1979 -0.5357

间隙水-0.1979 1.0000 0.4611

底泥-0.5357 0.4611 1.0000 显然，池水与底泥间存在一定的负相关关系，底泥与间隙水间存在正相关关系，池水与间隙水间的相关关系不明显，可能是波动性地此消彼长关系，需要进一步探究。

2.3 数据拟合

为进一步探究各因素之间的深层关系，在分析线性相关性强弱的基础上，利用matlab 对数据进行进一步拟合。

2.3.1横向数据拟合

由表3知总磷与磷酸盐磷，硝态氮与亚硝态氮，总磷与总氮，总氮与铵态氮间显著相关

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且有必要进一步进行相关度更高的拟合，探究其深层关系。拟合的中间步骤在附录2中给出，正文中只给出具体分析用到的拟合图像和相关信息。

图1磷酸盐磷-总磷的二次多项式拟合

图2总磷-磷酸盐磷的二次多项式拟合

分别对磷酸盐磷、总磷做多项式拟合与指数拟合，发现二者总是呈正相关关系，但一次

项拟合效果较差，二次及以上的多项式拟合及指数拟合效果较好，且无太大差别。因此

可以得出的结论是，随着总磷浓度的增加，磷酸盐磷浓度的增加的速率逐渐增大，且无

明显波动。调转x,y坐标数据，得到图2，这种情况下拟合精度较图1中情况的更低。

说明磷酸盐磷-总磷占主导影响的是总磷。

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图3亚硝态氮-硝态氮的四次多项式拟合图

在使用四次项多项式进行拟合时，R=0.8167具有较高的拟合度，从整体趋势上来看二者呈负相关关系。

图4亚硝态氮-总氮的二次高斯拟合

图4硝态氮-总氮的三次高斯拟合

亚硝态氮与硝态氮和总氮进行多项式拟合时无法达到较高拟合精度，因此总氮与这二者关系较小。利用高次高斯拟合，则能较好的拟合，说明二者与总氮的关系相对复杂，存在波动性。值得注意的是，在亚硝态氮-总氮的二次高斯拟合（图4）中出现的两个波谷，和在硝态氮-总氮的三次高斯拟合（图5）中出现的两个波峰具有位置一致性。

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这佐证了硝态氮与亚硝态氮间相互转化“此消彼长”的关系。

图5 铵态氮-总氮的二次高斯拟合

可以发现，在总氮指标为0.18左右的地方，曲线出现了极大值。同时也存在两个极小值。而这两个极小值分别在亚硝态氮-总氮曲线和硝态氮指数-总氮指数曲线极值的两侧。

图6总氮-总磷的四次多项式拟合

显然，总磷与总氮间的呈明显正相关关系，存在一定的波动性，但波动性并不明显，以线性相关关系为主。

2.3.2纵向数据拟合

以间隙水环境综合指标为横坐标，底泥环境综合指标为纵坐标进行多项式拟合和高斯拟合，发现三峰高斯函数拟合效果最佳。从总体上来看，间隙水环境综合指数与底泥环境综合指数呈现明显负相关，由此可以推测间隙水中的理化因子主要来自于底泥。曲线有两个明显的波峰波谷，可能是池水清淤和投放饲料等造成的。也可能是当间隙水和底泥理化因子含量较少时，底泥中的理化因子快速向间隙水中转移，当间隙水中的理化因子达到一定浓度后，容易发生沉降。

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图1 底泥-间隙水三峰高斯函数拟合

图2 池水-间隙水三峰高斯函数拟合

以间隙水环境综合指标为横坐标，池水环境综合指标为纵坐标进行多项式拟合和高斯拟合，同样发现三峰高斯函数拟合效果最佳。从总体上看，二者呈明显的正相关关系，且随着池水综合指数增大速率逐渐变大。值得注意的是，图2中第一个波峰的位置和图1中波谷位置相同，推测该峰值是由于环境改变造成底泥理化物质迅速向水体转移。图1中的峰值稍延后于图2中的峰值，推测该峰值是由于污染水体流入造成，污染水体的流入造成池水氮磷含量骤增，而后发生沉降。

图3 底泥-池水六次多项式函数拟合

底泥和池水的关系相对不明显，使用六次多项式拟合时，才能获得较高精度。从总体上看二者呈现负相关关系。因此，可以推断，水体中的各种理化因子主要来源于底泥，且理化

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因子从底泥向间隙水扩散的速率高于理化因子从间隙水向池水扩散的速率。

3 结果分析

从理化因子的相互转化关系来看：

①总氮与总磷同步变化，其主要原因是氮与磷是构成的生命的重要元素，在生物体及外界输入物质中同时存在。

②总磷与磷酸盐同步变化，且总磷占据主导地位，随着总磷的增多，磷酸盐增多的速率逐渐增大，其主要原因是水体中磷酸盐是磷的主要存在形式，水体中磷的增多主要得益于磷酸盐的溶解。

③总氮与铵态氮间有一定联系，呈有规律的波动，主要原因是将底泥中的有机氮转化成铵态氮的氨化作用。

④硝态氮与亚硝态氮具有“此消彼长“的关系，其主要原因是因为在底泥和上层水体间不断发生硝化与反硝化作用，这二者的相互转化对维持水体氮平衡有重要意义。

从理化因子在池塘不同环境中的转移关系来看：

①底泥是各种理化因子的源，理化因子从底泥向间隙水和池水扩散，且理化因子从底泥向间隙水扩散的速率高于理化因子从间隙水向池水扩散的速率。

②底泥中各种含氮有机物不断分解，含磷物质不断溶解是影响水体理化因子含量的主要原因，其分解或溶解速率与水体理化环境有密切关系。

③污染物进入会造成水体理化因子异常偏高，而后会发生沉降作用，使得水体中的含氮与含磷物质沉积于底泥中。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zjim.html