2015届高考数学一轮总复习 12-1几何证明选讲

2015届高考数学一轮总复习 12-1几何证明选讲

基础巩固强化

一、选择题

1．如图，CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC＝1，∠BCD＝30°，则圆O的面积为( )

π

A. B．π 2

3π

C. D．2π 2[答案] B

BC

[解析] ∠A＝∠BCD＝30°，由＝2R，得R＝1，所以圆O的面积为πR2＝π.

sinA

2．(文)如图，在△ABC中，∠A＝90°，正方形DEFG的边长是6cm，且四个顶点都在△ABC的各边上，CE＝3 cm，则BC的长为( )

A．12cm B．21cm C．18cm D．15cm [答案] B

[解析] ∵四边形DEFG是正方形，∴∠GDB＝∠FEC＝90°，GD＝DE＝EF＝6 cm，又∵∠B＋∠C＝90°，∠B＋∠BGD＝90°，∴∠C＝∠BGD，∴△BGD△FCE，

BDGDEF·GD∴＝，即BD＝＝12cm， EFECEC∴BC＝BD＋DE＋EC＝21cm.

(理)如图所示，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使点B落在AD边的中点E处，则折痕FG的长为( )

1

63

A．13 B.

56563C. D. 66[答案] C

[解析] 过点A作AH∥FG交DG于H，则四边形AFGH为平行四边形．∴AH＝FG. ∵折叠后B点与E点重合，折痕为FG， ∴B与E关于FG对称． ∴BE⊥FG，∴BE⊥AH. ∴∠ABE＝∠DAH， ∴Rt△ABERt△DAH. BEAH∴＝. ABAD

1

∵AB＝12，AD＝10，AE＝AD＝5，

2∴BE＝122＋52＝13， BE·AD65

∴FG＝AH＝＝. AB6

3．(文)如图，四边形ABCD中，DF⊥AB，垂足为F，DF＝3，AF＝2FB＝2，延长FB到E，使BE＝FB，连接BD，EC.若BD∥EC，则四边形ABCD的面积为( )

A．4 B．5 C．6 D．7 [答案] C

[解析] 由条件知AF＝2，BF＝BE＝1，

2

11

∴S△ADE＝AE×DF＝×4×3＝6，

22

∵CE∥DB，∴S△DBC＝S△DBE，∴S四边形ABCD＝S△ADE＝6.

(理)已知矩形ABCD，R、P分别在边CD、BC上，E、F分别为AP、PR的中点，当P在BC上由B向C运动时，点R在CD上固定不变，设BP＝x，EF＝y，那么下列结论中正确的是( )

A．y是x的增函数 B．y是x的减函数

C．y随x的增大先增大再减小 D．无论x怎样变化，y为常数 [答案] D

1

[解析] ∵E、F分别为AP、PR中点，∴EF是△PAR的中位线，∴EF＝AR，∵R固定，∴AR

2是常数，即y为常数．

二、填空题

4．(文)(2013·广东)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝________.

[答案] 23

[解析] 连接OC，则OC⊥CE，∠OCA＋∠ACE＝90°，

∵∠OAC＝∠OCA，∴∠OAC＋∠ACE＝90°.易知Rt△ACB≌Rt△ACD，则∠OAC＝∠EAC.∴∠EAC＋∠ACE＝90°，∴∠AEC＝90°，在Rt△ACD中，由射影定理得：CD2＝ED·AD ①，又CD＝BC，AD＝AB，将AB＝6，ED＝2代入①式，得CD＝12＝23，∴BC＝23.

(理)如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形＝40cm2，S△ABES△DBA＝为________．

3

，则AE的长

[答案] 4cm

[解析] ∵∠BAD＝90°，AE⊥BD，∴△ABE△DBA， ∴S△ABES△DBA＝AB2DB2. ∵S△ABES△DBA＝∴ABDB＝

5.

，∴AB2DB2＝

，

设AB＝k，则DB＝5k，AD＝2k， ∵S矩形＝40cm2，∴k·2k＝40，∴k＝25，

1

∴BD＝5k＝10，AD＝45，S△ABD＝BD·AE＝20，

21

∴×10×AE＝20，∴AE＝4cm. 25．(文)

如图，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OB绕点O逆时针旋转120°到OD，连PD交圆O于点E，则PE＝________.

[答案]

37

7

[解析] ∵∠POD＝120°，OD＝OB＝1，PO＝2， ∴PD＝PO2＋OD2－2OD·PO·cos120°＝7， 由相交弦定理得，PE·PD＝PB·PC， PB·PC1×337∴PE＝＝＝.

PD77

(理)(2013·广州调研)如图，已知AB是⊙O的一条弦，点P为AB上一点，PC⊥OP，PC交⊙O于点C，若AP＝4，PB＝2，则PC的长是________．

4

[答案] 22

[解析] 如图，延长CP交⊙O于点D，因为PC⊥OP，所以P是弦CD的中点，由相交弦定理知PA·PB＝PC2，即PC2＝8，故PC＝22.

6．(文)(2013·广东梅州联考)如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA＝5，AB＝7，CD＝11，AC＝2，则BD等于________．

[答案] 6

[解析] 设PC＝x，则PD＝PC＋CD＝x＋11， 由割线定理知PC·PD＝PA·PB， ∴x(x＋11)＝5×(5＋7)＝60， ∵x>0，∴x＝4.∴PC＝4，PD＝15. ∵∠PAC＝∠PDB，∠P为公共角， PAAC

∴△PAC∽△PDB，∴＝，

PDBDAC·PD2×15

∴BD＝＝＝6.

PA5(理)

5

(2012·天津十二校联考)如图所示，EA是圆O的切线，割线EB交圆O于点C，C在直径AB上的射影为D，CD＝2，BD＝4，则EA＝________.

5[答案]

2

[解析] 解法1：根据题意可得BC2＝CD2＋BD2＝22＋42＝20，即BC＝25.由射影定理得BC2

＝AB·BD，即20＝4AB，解得AB＝5，所以AC＝52－20＝5，设EA＝x，EC＝y，根据切割线定理可得x2＝y(y＋25)，即x2＝y2＋25y，在Rt△ACE中，x2＝y2＋(5)2，故25y＝5，解得y＝52555故x2＝＋5＝，得x＝，即EA＝. 4422

CD2解法2：连AC，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，CD⊥AB，CD＝2，BD＝4，∴AD＝＝1，

BD又EA切⊙O于A，∴∠EAB＝90°，

EAABAB·CD5∴△EAB△CDB，∴＝，∴AE＝＝.

CDBDBD2

7．(文)(2013·惠州三调)如图，PA切圆O于点A，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为________．

5，2

[答案]

7

[解析] 由图可知，PA2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)＝3，∴PA＝3，∴∠AOP＝60°， 又∠AOD＝60°，∴∠POD＝120°，∵PO＝2，OD＝1， 22＋12－PD21∴cos∠POD＝＝－，∴PD＝7.

22×2×1

(理)(2013·天津)如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E，若AB＝AD＝5，BE＝4，则弦BD的长为________．

6

[答案]

15 2

[解析] 因为AE是圆的切线，又AD＝AB，AB∥DC，所以∠BAE＝∠ADB＝∠ABD＝∠BDC，所以AD＝AB＝BC＝5.由切割线定理可得EA2＝EB×EC＝4×(5＋4)＝36，所以EA＝6.又△BCD∽△BDBCBC·EA5×615EBA，所以＝，则BD＝＝＝.

EAEBEB42

8.

如图，在圆的内接四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ABD＝30°，∠BDC＝45°，AD＝1，则BC＝________.

[答案]

2 [解析] 连接AC.因为∠ABC＝90°，所以AC为圆的直径．又∠ACD＝∠ABD＝30°，所以AC＝2AD＝2.又∠BAC＝∠BDC＝45°，故BC＝2. 9．(文)(2013·佛山二模)如图，PA与圆O相切于点A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心，已知∠BPA＝30°，PA＝23，PC＝1，则圆O的半径等于________．

[答案] 7 [解析]

7

由已知可得，PA2＝PC·PB，∴PB＝12，

如图，连接OA并反向延长，交圆于点E，交BC于D，因为∠BPA＝30°，在Rt△APD中可以求得PD＝4，DA＝2，故CD＝3，DB＝8，记圆的半径为R，由于ED·DA＝CD·DB，因此，(2R－2)×2＝3×8，解得R＝7.

(理)(2013·湖北)如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E，CE

若AB＝3AD，则的值为________．

EO

[答案] 8

[解析] 连接AC、BC，则AC⊥BC.

121

∵AB＝3AD，∴AD＝AB，BD＝AB，OD＝AB.

3361

又AB是圆O的直径，OC是圆O的半径，∴OC＝AB.

22

在△ABC中，根据射影定理有：CD2＝AD·BD＝AB2.

9

14

在△OCD中，根据射影定理有：OD2＝OE·OC，CD2＝CE·OC，可得OE＝AB，CE＝AB，∴

189CE

＝8. EO

三、解答题

10．(文)(2012·哈三中模拟)如图，⊙O是△ABC的外接圆，过⊙O上一点H作⊙O的切线，BC与这条线切线平行，AC、AB的延长线交这条切线于点E、F，连接AH、CH.

8

(1)求证：AH平分∠EAF；

(2)若CH＝4，∠CAB＝60°，求圆弧BHC的长． [解析] (1)证明：连接OH，则OH⊥EF. ∵EF∥BC，∴OH⊥BC，∴H为弧BC的中点， ∴∠EAH＝∠FAH，∴AH平分∠EAF.

(2)连接CO、BO，∵∠CAB＝60°，∴∠COB＝120°， ∴∠COH＝60°，∴△COH为等边三角形， ∴CO＝CH＝4，

8π又∵∠BOC＝120°，∴BHC的长为. 3

1

(理)(2013·长春第二次调研)如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且AB＝3AC，作直线AF与圆E相切于点F，连接EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC＝30°.

(1)求AF的长； (2)求证：AD＝3ED.

[解析] (1)延长BE交圆E于点M，连接CM，则∠BCM＝90°，又BM＝2BE＝4，∠EBC＝30°，所以BC＝23.

11

又AB＝AC，则AB＝BC＝3，

32

所以根据切割线定理得，AF2＝AB·AC＝3×33＝9，即AF＝3.

9

(2)过点E作EH⊥BC于点H，则EH＝EB2－BH2＝1，且△EDH与△ADF相似， EDEH1

从而有＝＝，因此AD＝3ED.

ADAF3

能力拓展提升

一、填空题 11．(文)

(2013·广州联考)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于D，且AD＝5DB，设∠OCD＝θ，则cos2θ＝________.

1[答案]

9

11OD

[解析] 设BD＝1，则AD＝5，∴OC＝AB＝(AD＋DB)＝3，∴OD＝OB－BD＝2，∴sinθ＝

22OC2

＝， 3

21

∴cos2θ＝1－2sin2θ＝1－2×()2＝.

39(理)

如图所示，已知圆O直径为6，AB是圆O的直径，C为圆O上一点，且BC＝2，过点B的圆O的切线交AC延长线于点D，则DA＝________.

[答案] 3

[解析] ∵AB为直径， ∴∠ACB为直角，

∵BC＝2，AB＝6，∴AC＝2， ∵DB与⊙O相切，∴∠DBA为直角，

10

由射影定理BC2＝AC·CD，∴CD＝1，∴AD＝3. 12．(文)

(2013·湖南)如图，在半径为7的⊙O中，弦AB、CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．

[答案]

3

2

AP·PB

[解析] 由相交弦定理得AP·PB＝DP·PC，从而PC＝＝4，所以DC＝5，所以圆心O到弦

DPCD的距离等于53

?7?2－??2＝.

22

(理)(2012·天津，13)如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相3

交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则

2线段CD的长为________．

4

[答案]

3

[解析] 如图，由相交弦定理得AF·FB＝EF·FC，

11

AF·FB

∴FC＝＝2，

EF

FCAFFC·AB8

∵FC∥BD，∴＝，BD＝＝. BDABAF3又由切割线定理知BD2＝DC·DA，

644

又由DA＝4CD知4DC2＝BD2＝，∴DC＝.

93明确相交弦定理、切割弦定理等是解题的关键．

13．(文)(2012·湖北理，15)如下图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB＝4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为________．

[答案] 2

[解析] 解法1：∵CD⊥OD，∴OC2＝OD2＋CD2，当OD最小时，CD最大，而OE最小(E为AB的中点)，

∴CDmax＝EB＝2.

AD＋DB2AB2

解法2：由题意知，CD＝AD·DB≤()＝＝4.(当且仅当AD＝DB时取等号)．

24

2

∴CDmax＝2. (理)

12

(2012·广州测试)如图，AB是圆O的直径，延长AB至C，使BC＝2OB，CD是圆O的切线，切点为D，连接AD、BD，则

[答案]

2

AD

的值为________． BD

[解析] 连接OD，则OD⊥CD.设圆O的半径为r，则OA＝OB＝OD＝r，BC＝2r.所以OC＝3r，CD＝OC2－OD2＝22r.

由弦切角定理得，∠CDB＝∠CAD， 又∠DCB＝∠ACD，所以△CDB△CAD. ADAC4r所以＝＝＝2.

BDCD22r二、解答题

14．(文)(2012·昆明一中测试)如图，已知A、B、C、D四点共圆，延长AD和BC相交于点E，AB＝AC.

(1)证明：AB2＝AD·AE；

(2)若EG平分∠AEB，且与AB、CD分别相交于点G、F，证明：∠CFG＝∠BGF. [证明] (1)如图，连接BD.

因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝∠ADB.

13

又因为∠BAD＝∠EAB，所以△ABD△AEB， ABAE

所以＝，即AB2＝AD·AE.

ADAB

(2)因为A、B、C、D四点共圆，所以∠ABC＝∠EDF. 又因为∠DEF＝∠BEG，所以∠DFE＝∠BGF. 又因为∠DFE＝∠CFG，所以∠CFG＝∠BGF.

(理)(2013·石家庄模拟)如图，过圆O外一点P作该圆的两条割线PAB和PCD，分别交圆O于点A、B，C、D，弦AD和BC交于点Q，割线PEF经过点Q交圆O于点E、F，点M在EF上，且∠BAD＝∠BMF.

(1)求证：PA·PB＝PM·PQ； (2)求证：∠BMD＝∠BOD. [证明] (1)∵∠BAD＝∠BMF，

∴A、Q、M、B四点共圆，∴PA·PB＝PM·PQ. (2)∵PA·PB＝PC·PD，∴PC·PD＝PM·PQ， 又∠CPQ＝∠MPD，∴△CPQ∽△MPD， ∴∠PCQ＝∠PMD，则∠BCD＝∠DMF， ∵∠BAD＝∠BCD，

∴∠BMD＝∠BMF＋∠DMF＝2∠BAD， 又∠BOD＝2∠BAD，∴∠BMD＝∠BOD.

15．(文)(2013·黑龙江哈尔滨六校联考)如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，且AB是⊙O的直径，过点D的⊙O的切线与BA的延长线交于点M.

(1)若MD＝6，MB＝12，求AB的长；

14

(2)若AM＝AD，求∠DCB的大小．

[解析] (1)因为MD为⊙O的切线，由切割线定理知， MD2＝MA·MB.

又MD＝6，MB＝12，MB＝MA＋AB， 所以MA＝3，AB＝12－3＝9.

(2)因为AM＝AD，所以∠AMD＝∠ADM，连接DB， 又MD为⊙O的切线，

由弦切角定理知，∠ADM＝∠ABD，

又因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB为直角， 即∠BAD＝90°－∠ABD.

又∠BAD＝∠AMD＋∠ADM＝2∠ABD， 于是90°－∠ABD＝2∠ABD，所以∠ABD＝30°. 所以∠BAD＝60°.

又四边形ABCD是圆内接四边形， 所以∠BAD＋∠DCB＝180°. 所以∠DCB＝120°.

(理)(2012·河南商丘模拟)如图，在△ABC和△ACD中，∠ACB＝∠ADC＝90°，∠BAC＝∠CAD，⊙O是以AB为直径的圆，DC的延长线与AB的延长线交于点E.

(1)求证：DC是⊙O的切线；

(2)若EB＝6，EC＝62，求BC的长． [解析] (1)∵AB是⊙O的直径，∠ACB＝90°， ∴点C在⊙O上，

连接OC，可得∠OCA＝∠OAC＝∠DAC，∴OC∥AD， 又∵AD⊥DC，∴DC⊥OC， ∵OC为半径， ∴DC是⊙O的切线． (2)∵DC是⊙O的切线， ∴EC2＝EB·EA.

15

又∵EB＝6，EC＝62， ∴EA＝12，AB＝6.

∵∠ECB＝∠EAC，∠CEB＝∠AEC， ∴△ECB△EAC，

BCEC2

∴＝＝，∴AC＝2BC. ACEA2∵AC2＋BC2＝AB2＝36，∴BC＝23.

考纲要求

1．了解平行截割定理．理解相似三角形的定义与性质． 2．会证明并应用直角三角形射影定理．

3．会证明并应用圆周角定理、圆的切线判定定理与性质定理．

4．会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理． 补充说明

1．与平行线分线段成比例定理有关的推论与结论

(1)经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． (2)经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．

(3)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． (4)两条直线被三个平行平面所截得对应线段成比例． 2．相似三角形

(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比．

(2)预备定理：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．

(3)引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．

(4)直角三角形相似的判定

①有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似．

16

②两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似． ③斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．

(5)有关结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；内切圆的直径比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．

备选习题

1．函数f(x)＝(x－2010)(x＋2011)的图象与x轴、y轴有三个交点，有一个圆恰好通过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是________．

[答案] (0,1)

[解析] f(x)的图象与x轴交于点A(－2011,0)，B(2010,0)，与y轴交于点C(0，－2010×2011)，设经过A、B、C三点的圆与y轴另一个交点为D(0，y0)，易知原点O在圆的内部，y0>0，由相交弦定理知，|OA|·|OB|＝|OC|·|OD|，∴2011×2010＝2010×2011y0，∴y0＝1.

2.

(2013·北京西城模拟)如图，正△ABC的边长为2，点M、N分别是边AB、AC的中点，直线MN与△ABC的外接圆的交点为P、Q，则线段PM＝________.

[答案]

5－1

2

[解析] 设PM＝x，则QN＝x，由相交弦定理可得PM·MQ＝BM·MA即x·(x＋1)＝1，解得x＝5－1. 2

3．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A的度数是________．

17

[答案] 99°

[解析] 连接OB、OC、AC，根据弦切角定理得， ∠EBC＝∠BAC，∠CAD＝∠DCF，

1

可得∠A＝∠BAC＋∠CAD＝(180°－∠E)＋∠DCF＝67°＋32°＝99°.

2

[点评] 可由EB＝EC及∠E求得∠ECB，由∠ECB和∠DCF求得∠BCD，由圆内接四边形对角互补求得∠A.

4．如图，圆O的直径AB＝8，C为圆周上一点，BC＝4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．

[解析]

连接OC、BE、AC，则BE⊥AE.

∵BC＝4，∴OB＝OC＝BC＝4，即△OBC为正三角形， ∴∠CBO＝∠COB＝60°， 又直线l切⊙O于C， ∴∠DCA＝∠CBO＝60°，

∵AD⊥l，∴∠DAC＝90°－60°＝30°，

1

而∠OAC＝∠ACO＝∠COB＝30°，∴∠EAB＝60°，

21

在Rt△BAE中，∠EBA＝30°，∴AE＝AB＝4.

2

5．(2013·银川模拟)如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC＝CB.

18

(1)求证：直线AB是⊙O的切线；

1

(2)若AD＝2，且tan∠ACD＝，求⊙O的半径r的长．

2OAOB

[解析] (1)∵AB∥DE，∴＝，

ODOE又OD＝OE，∴OA＝OB.

如图，连接OC，∵AC＝CB，∴OC⊥AB. 又点C在⊙O上，∴直线AB是⊙O的切线．

(2)如图，延长DO交⊙O于点F，连接FC. 由(1)知AB是⊙O的切线， ∴弦切角∠ACD＝∠F， ∴△ACD∽△AFC.

1CD1

∴tan∠ACD＝tan∠F＝，又∠DCF＝90°，∴＝. 2FC2ADCD1

∴＝＝，而AD＝2，得AC＝4. ACFC2又AC2＝AD·AF，

∴2·(2＋2r)＝42，于是r＝3.

19

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zjho.html