四川省雅安中学2015届高三3月月考数学(理)试题

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雅安中学2015届高三3月月考

数学（理）试题

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷第2至4页。满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将答题卷和机读卡一并收回。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一．选择题（每小题5分，共50分，把每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的选项选出来） 1.{}{}______,0|,0|22==+==-=N M y y y N x x x M 则

A. {}1,0,1-

B. {}1,1-

C. {}0

D. Φ

2.已知_______cos 3sin 7,2tan 22=+=ααα求 A. 51 B. 511 C. 521 D. 5

31 3.并排的5个房间，安排给5个工作人员临时休息，假设每个人可以进入任一房间，且进入每个房间是等可能的，问每个房间恰好进入一人的概率是_______ A. 62524 B 62548 C. 12524 D. 125

48 4.

已知____),10sin ,10(cos ),70sin ,70(cos 0000===b a

A.0

B.1

C.2

D.3

5.已知曲线x y 42

=的焦点F ，曲线上三点A,B,C 满足=++,

则_____=+。

A.2

B.4

C.6

D.8

6.若P 为棱长为1的正四面体内的任一点，则它到这个正四面体各面的距离之和为______. A. 23 B. 33 C. 26 D. 3

6 7.若等差数列{}n a 的前n 项和为184,S S S n =且，则____22=S

A.0

B.12

C.1-

D. 12-

8.“函数)(x f y =在区间（a,b ）上有零点”是“0)()(

A.充分不必要

B.必要不充分

C.充分必要

D.非充分非必要

9.在同一直角坐标系下作)10(log ≠>==a a y a y x a x 且和的图象，有下面四种判断：

·2· ①两支图象可能无公共点。

②若两支图象有公共点，则公共点一定在直线y=x 上

③若两支图象有公共点，则公共点个数可能1个，不可能2个

④若两支图象有公共点，则公共点个数最多可能有3个。 以上这四种判断中，错误的判断共有______个

A.1

B.2

C.3

D.4

10..已知平面上的点{}

R y x y x p ∈=-+-∈ααα,16)sin 2()cos 2(|),(22，则满足条件的点在平面上组成的图形的面积为_______

A. π12

B. π42

C. π22

D. π32

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二．填空题（每小题5分，共25分）

11.平面内与两定点距离之比为定值)1(≠m m 的点的轨迹是_________________.

12.如果直线AB 与平面α相交于B ，且与α内过点B 的三条直线BC,BD,BE 所成的角相同，则直线AB 与CD 所成的角=_________.

13.等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为132,+=n n T S T S n n n n 若和，则___lim =∞→n

n n b a 14．有两个等差数列2，6，10,…,190及2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序

组成一个新数列,则这个新数列的各项之和为 .

15.命题1）若b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，其定义域是[]a a 2,1-，则)(x f 在区间??? ?

?--31,32是减函数。

2）如果一个数列{}n a 的前n 项和)1,1,0(,≠≠≠+=c b a c ab S n n 则此数列是等比数列的充要条件是0=+c a

3）曲线13++=x x y 过点（1,3）处的切线方程为：014=--y x 。

4）已知集合{}{

a a a y y x Q k y y x P x 且10,1|),(,|),(≠>+=∈=∈只有一个子集。则1

以上四个命题中，正确命题的序号是__________

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三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16.（本小题12分）在锐角△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知()

.3),sin(2C A +=, ??? ?

?-=12cos 2,2cos 2B B ,且∥ ①求角B 的大小 ②若b=1，求△ABC 面积的最大值。

17.（本小题12分）在正三棱柱111C B A ABC -中，底面三角形ABC

的边长为a ,侧棱的长为a 2

2，D 为棱11C A 的中点。 ①求证：1BC ∥平面D AB 1

②求二面角D AB A --11的大小

③求点1C 到平面D AB 1的距离。

18.（本小题12分）六名学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核。每个项目只有一次补考机会，补考不合格者不能进入下一个项目的训练（即淘汰）,若每个学生身体体能考核合格的概率是21，外语考核合格的概率是3

2，假设每一次考试是否合格互不影响。 ①求某个学生不被淘汰的概率。

②求6名学生至多有两名被淘汰的概率

③假设某学生不放弃每一次考核的机会，用ζ表示其参加补考的次数，求随机变量ζ的分布列和数学期望。

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19（本小题12分）已知数列{}n a 是公差为1的等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，n n T S ,分别是数列{}n a 和{}n b 前n 项和，且45,41036+==T S b a

①分别求{}n a ，{}n b 的通项公式。

②若6b S n >，求n 的范围

③令n n n b a c )2(-=，求数列{}n c 的前n 项和n R 。

20.1）（本小题6分）在平面直角坐标系中，已知某点),(00y x P ，直线0:=++C By Ax l .求证：点P 到直线l 的距离2200B A C

By Ax d +++=

2)（本小题7分）已知抛物线C: x y 42=的焦点为F ，点P （2,0），O 为坐标原点，过P 的直线l 与抛物线C 相交于A,B 两点，

在向量OF 上的投影为n,且2)(2-=?n OB OA ，求直线l 的

方程。

21（本小题14分）

已知函数3ln )(--=ax x a x f ，R a ∈

·5· ①求函数)(x f 的单调区间。

②若函数)(x f 的图象在点（2，)2(f ）处的切线的倾斜角为0

45，对任意的[]2,1∈t ,函数?????

?++=2)()('23m x f x x x g 在区间()3,t 上总不是单调函数，求m 取值范围 ③求证：

)2,(,1ln 44ln 33ln 22ln ≥∈

n n

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雅安中学2014-2015学年下期高三3月试题

数 学 试 题（理科）参考答案

一． 选择题：

CDABCDADBD

二． 填空题：

11.圆 12.090 13.

3

2 14.1472 15.①② 三．解答题

16.解：1） m ∥n ，∴B B C A 2cos 3)12cos 2)(sin(22=-+ B B B 2cos 3cos sin 2= B B 2cos 32sin =，02cos ≠B ∴32tan =B ，20π<

π。。。。。。。。。。5分 2） ac c a b 3222-+= ∴ ac c a 3122+=+， ac c a 222≥+ ∴ac ac 231≥+，∴32321

+=-≤ac ，当且仅当c a =取等 4

3241sin 21+≤==ac B ac S 17.向量解法

1）略 2）4π 3）a 6

6 18.解：1）正面： ①两个项目都不补考能通过概率：3132211=?=

P

·7· ②两个项目中有一个项目要补考才能通过的概率：

18

532)321(213221)211(2=?-?+??-=P ③两个项目都要补考才能通过的概率：18

132)321(21)21

1(3=?-??-=P ∴3

2181218118531321==++=

++=P P P P 反面（间接法）被淘汰的概率：3

1)31()21()31(2121212221=?+?+?=P ∴3

211=-=P P 2）729

496)32()31()32()31()32()31(422651166006=++=C C C P 3) 3

13221)0(=?==ξP 12

732212131212121)1(=??+?+?==ξP

111)1()2(2=??==ξP 4

12212130=?+?+?=ξE 19.解：1）联立方程可得：2+=n a n ，n n b 2=

2） 2+=n a n ，n n b 2=∴2

)5(+=n n S n ，64266==b ∴642

)5(>+n n ，∴*,10N n n ∈≥ 3)错位相减：12

)1(2+?-+=n n n R 20.1）见教材

2）法一：090=θ时，与已知矛盾 设直线方程：)

,(),,(),2(2211y x B y x A x k y -= ∴0844)2(22=--? ?

?=-=k y ky x y x k y

·8· ∴k y y y y 4,82121=+-=。代入抛物线方程可得：4,416)(2

2212122121y y x x y y x x +=+== 2)(2-=?n ，∴2)(cos 21212-=+y y x x θ ∴2)4(sec 12-=-?θ

，1±=k ∴02:=-±y x l

法二：设直线l 的倾斜角为θ

∴θcos =n ，设直线方程：2+=my x ∴22

222221111

tan 11sec 1cos m m m n +=+=+===θθθ ∴2)(1212122

-=++y y x x m

m ， 0844222=--????=+=my y x

y my x ，∴m y y y y 4,82121=+-= 444)(22121+=++=+m y y m x x ，∴421=x x ∴2)84(122

-=-+m

m ，1,12±=∴=m m ∴02:=-±y x l

21.解：1） 0>x ， x

x a a x a x f )1()('-=-= ∴当0>a 时，↓∞+↑），，（）在（

11,0)(x f 当0=a 时，函数无单调区间,3)(-=x f 当0

2） 32ln 2)(,2,12

,1)2('-+-=∴-=∴=-∴=x x x f a a a f x x m x m x x x x g 2)22

()222()(2323-++=++-+= ∴2)4(3)(2'-++=x m x x g ，

·9· 令024)4(,02)2(3,0)(22'>++=?=-++∴=m x m x x g 。有一正一负的两个实根0)(,03

2'21=∴<-=x g x x 又[]2,1∈t ，)3,(t x ∈ 上只有一个正实根。在上不单调，

在)3,(0)()3,()('t x g t x g =∴ 2)4(3)(2

'-++=x m x x g ，???>-?++<-++????><∴023)4(2702)4(30)3(0)(2''m t m t g t g []??

???->-<+∴∈?????->->+?3373242,1,33732)4(2m t t m t m t t m 恒成立，又 t t t h 32)(-=令，可证[]↓∈-=2,1,32)(t t t

t h 在，5)2()(min -==∴h t h 933733754-<<-???

???->-<+m m m