七年级知识框架

一、知识框架

1.1有理数 1.有理数的概念

凡能写成

形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整

数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数;-a不一定是负数，+a也不一定是正数;π不是有理数;

2.有理数的分类:

①

②

1.2数轴

数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.

1.3相反数

1.只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;

2.注意：a-b+c的相反数是-a+b-c;a-b的相反数是b-a;a+b的相反数是-a-b; 3.

1.4绝对值

1.正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数;注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;

2绝对值可表示为：论;

绝对值的问题经常分类讨

3.

4.|a|是重要的非负数，即|a|≥0;注意：|a|·|b|=|a·b|,

1.5.有理数比大小

(1)正数的绝对值越大，这个数越大; (2)正数永远比0大，负数永远比0小; (3)正数大于一切负数;

(4)两个负数比大小，绝对值大的反而小; (5)数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大; (6)大数-小数>0，小数-大数<0.

1.6有理数法则及运算规律

(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加;

(2)异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值; (3)一个数与0相加，仍得这个数. 有理数加法的运算律 (1)加法的交换律：a+b=b+a; (2)加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b).

有理数乘法法则

(1)两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘; (2)任何数同零相乘都得零;

(3)几个数相乘，有一个因式为零，积为零;各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 有理数乘法的运算律 (1)乘法的交换律：ab=ba; (2)乘法的结合律：(ab)c=a(bc); (3)乘法的分配律：a(b+c)=ab+ac. 有理数除法法则

除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意：零不能做除数，

有理数乘方的法则

(1)正数的任何次幂都是正数; (2)负数的奇次幂是负数；负数的偶次是正数；注意当n为正奇数时??a?n???a?n 或者?a?b?n???b?a?n，当n为正偶数时：??a?n??a?n或者?a?b?n??b?a?n （3）a2是重要的非负数，即a2?0；若a2?b?0那么a?0,b?0

.

1.7乘方的定义

(1)求相同因式积的运算，叫做乘方;

(2)乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂;

1.8科学记数法

1.把一个大于10的数记成a×10n的形式；其中a是整数数位只有1位的数，即

a的取

值范围为1?a?10

2.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.

3.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.

4.混合运算法则：先乘方，后乘除

二、知识框架

1.1整式的概念 1.单项式 单项式的概念：

（1）在代数式中，若只含有乘法(包括乘方)运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.

(2) 单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数;系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数. 2.多项式

(1)多项式的概念：几个单项式的和叫多项式

(2)多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项;多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数;注意：(若a、b、c、p、q是常数)3.整式

整式的概念：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式.

是常见的两个二次三项式.

整式分类为

1.2同类项的概念及运算

1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项. 2.合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变.

3.去(添)括号法则：去(添)括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号;若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.

4.整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并.

5.多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大(或从大到小)排列起来，叫做按这个字母的升幂排列(或降幂排列).注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂(或降幂)排列. 1.3整式的加减运算规律

1、把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变。 2、如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 3、如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 4、一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。

二、重点和难点

整式的加减

1 、在做整式加减运算时，要复习上学期所学的合并同类项、去括号等内容，灵活正确的计算，注意符号问题和乘方分配律的运用，整式加减的结果仍是整式。 2 、对于几个幂的运算，要注意它们之间的联系与区别，不能混淆。

整式的乘除

1、单项式乘以单项式应分三步完成：首先是系数乘以系数，要注意有理数乘法的法则，特别符号问题，其次利用同底数幂的乘法的法则，把相同字母相乘，最后是其余不同字母连同它的指数，作为积的因式。

2、多项式的乘法，要利用乘法分配律将多项式乘以单项式，多项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式，再把所得积相加。

3、公式乘法其实是多项式乘以多项式的特殊情形，在运用公式时，要熟记套用公式的表达形式，不能出错。 4、整式的除法，是以同底数幂除法单项式除法为基础的一种运算，其结果应为整式。练习时，要知道整式除法的算法，同时还可以用不同方法做整式除法运算，如约分法，还可利用除以一个数等于乘以这个数的倒数的算法把除法转化为乘法等方法。 三、易错点 整式的书写 （1）数与字母相乘，或字母与字母相乘中通常使用“· ” 乘，或省略不写； （2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号； （3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a； 13（4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a×2应写成2a； 1（5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a3写成a的形式；出现除式时，用分数表示； （6）a与b的差写作a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a . (7)若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。 多项式的排列 多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列. 添括号法则 添括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.

（一）多姿多彩的图形

?立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等. ?1、几何图形 ?平面图形：三角形、四边形、圆、多边形等.

?主视图---------从正面看 ?2、几何体的三视图左视图---------从左边看 ?俯视图---------从上面看

（1）会判断简单物体（棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图. （2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型.

3、立体图形的平面展开图

（1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平现图形不一样的.

（2）了解直棱柱、圆柱、圆锥、的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型.

4、点、线、面、体 （1）几何图形的组成

点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形. 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线. 面：包围着体的是面，分为平面和曲面. 体：几何体也简称体.

（2）点动成线，线动成面，面动成体. （二）直线、射线、线段 1、基本概念 名称 图形 A B a 直线 射线 A a B 线段 A a B 端点个数 无 表示法 直线a 直线AB（BA） 作直线a 作直线AB； 向两端无限延长 一个 射线a 射线AB 作射线a 作射线AB 向一端无限延长 两个 线段a 线段AB（BA） 作线段a； 作线段AB； 连接AB 不可延长 作法叙述 延长

2、直线的性质

经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单地：两点确定一条直线.

3、画一条线段等于已知线段 （1）度量法 （2）用尺规作图法

4、线段的长短比较方法 （1）度量法 （2）叠合法 （3）圆规截取法

5、线段的中点（二等分点）、三等分点、四等分点等 定义：把一条线段平均分成两条相等线段的点. 图形：

A M B

符号：若点M是线段AB的中点，则AM=BM=6、线段的性质

两点的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间，线段最短. 7、两点的距离

1AB，AB=2AM=2BM. 2连接两点的线段的长度叫做两点的距离（距离是线段的长度，而不是线段本身）.

8、点与直线的位置关系

（1）点在直线上（或者直线经过点）（2）点在直线外（或者直线不经过点）. （三）角

1、角：有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角. 2、角的表示法（四种）： 表示方法 用三个大写字母表示 用一个大写字母表示 用数字表示 图例 ? 1 A O B A 记法 ?AOB或?BOA 适用范围 任何情况下都适应。表示端点的字母必须写在中间。 以这个点为顶点的角只?A 有一个。 任何情况下都适用。但必须在靠近顶点处加上弧线表示角的范围，并?1 用希腊字母表示

?? 注上数字或希腊字母。 3、角的度量单位及换算（度”?”、分”?”、秒”?”）60进制 1?=60?=3600?， 1?=60?； 1?=(4、角的分类 ∠β 范围

5、角的比较方法 （1）度量法

锐角 0＜∠β＜90° 直角 钝角 90°<∠β<180° 平角 ∠β=180° 周角 ∠β=360° 111)?， 1?=()?=()? 60603600∠β=90° （2）叠合法

6、角的四则运算

角的和、差、倍、分及其近似值

7、画一个角等于已知角

（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 8、角的平分线

定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线（若OB是?AOC的平分线，则?AOB=?BOC=?AOC=2?AOB =2?BOC）. 9、互余、互补

（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.

（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.

（3）∠1的余角可以用90°-∠1表示；∠1的补角可以用180°-∠1表示. （4）余角的性质：同角(等角)的余角相等； 补角的性质：同角(等角)的补角相等.

10、方向角 （1）正方向

（2）南或北写在前面，东或西写在后面 西

(北偏东、北偏西、南偏东、南偏西)

西南

南

东

西偏南

南偏西

东南

西北

北偏西

北偏东

东北

北

1?AOC, 2

知识框架

知识点一:方程的有关概念

1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程.

2．一元一次方程：只含有一个未知数(元)x，未知数x的指数是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程。

例如： 1700+50x=1800， 2(x+1.5x)=5等都是一元一次方程。

概念剖析：①方程一定是等式，但等式不一定都是方程，只有含未知数的等式叫方程；

②等式：用等号“=”表示相等关系的式子叫做等式；

③一元一次方程的条件：是方程；只含有一个未知数；未知数的指数是1；知数的系数不为0；

3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程。

⑵ 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论。 知识点二：等式的性质

等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等。 用式子形式表示为：如果a=b，那么a±c=b±c。

等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 ab用式子形式表示为：如果a=b，那么ac=bc; 如果a=b(c≠0)，那么c = c。

(3)对称性：等式的左、右两边交换位置，所得的结果仍是等式。如果a=b,那么 b=a . (4)传递性：如果a=b,且b=c,那么a=c. 知识点三：解一元一次方程 1、合并同类项与移项

（1）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 （2）合并同类项：将同类项中各项的系数相加，字母与字母的指数不变。 （3）移项：把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号

（4）系数化为1：在方程两边同时除以未知数的系数（方程两边同时乘以未知数系数的倒数） 2、去括号，去分母

（1）去括号法则：括号前面是“＋”，把加号和括号去掉，括号内各项都不变号； 括号前面是“－”号，把“－”号和括号去掉，括号内各项都改变符号。

（2）去分母法则：在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）

3、解一元一次方程的步骤归纳 解一元一次方程的步骤 主要依据 注意问题 注意拿分母的最小公倍数乘遍方程的每一项，1、去分母 等式的性质2 切记不可漏乘某一项，分母是小数的，要先利用分数的性质，把分母化为整数，若分子是代数式，则必加括号。 去括号法2、去括号 则、乘法分配律 严格执行去括号的法则，若是数乘括号，切记不漏乘括号内的项，减号后去括号，括号内各项的符号一定要变号。 越过“=”的叫移项，属移项者必变号；未移项等式的性质1 的项不变号，注意不遗漏,移项时把含未知数的项移在左边，已知数移在右边，书写时，先写不移动的项，把移动过来的项改变符号写在后面。 4、合并同类项 合并同类项法则 注意在合并时，仅将系数加到了一起，而字母及其指数均不改变。 3、移项 5、系数化为1 6、检验

等式的性质2 两边同除以未知数的系数，记住未知数的系数永远是分母（除数），切不可分子、分母颠倒。 知识点四：一元一次方程的实际应用 （一）列方程解应用题的方法及步骤：

（1） 审题：要明确已知什么，未知什么及其相互关系，并用x表示题中的一个合理未知数。

（2） 根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。

（3） 根据相等关系，正确列出方程，即所列方程应满足等号两边的量要相等，方程两边的代数式的单位要相同。 （4） 解方程：求出未知数的值。

（5） 检验后明确地、完整地写出答案。检验应是：检验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义。

（二）应用题的类型和每个类型所用到的基本数量关系： 1、行程问题

基本量及关系：路程=速度×时间速度?[典型问题]

（1）相遇问题中的相等关系：一个的行程 + 另一个的行程=两者之间的距离 （2）追及问题中的相等关系：追及者的行程－被追者的行程=相距的路程 （3）顺（逆）风（水）行驶问题

顺速=V静＋风（水）速逆速=V静－风（水）速

2、销售问题

（1）基本量：成本（进价）、售价（实售价）、利润（亏损额）、利润率（亏损率）

（2）基本关系：利润=售价－成本利润=成本×利润率

路程路程时间=

速度时间 3、工程问题 ·基本量及关系：

工作总量=工作效率×工作时间

4、分配型问题

此问题中一般存在不变量，而不变量正是列方程必不可少的一种相等关系。

工作时间?工作总量工作效率工作效率?工作总量工作时间二、重难点

从算式到方程

1、了解什么是方程、一元一次方程；

2、分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程。 3、等式的两条性质

解一元一次方程——合并同类项与移项 1、会合并同类项解一元一次方程。

2、运用方程解决实际问题，会用移项法则解方程； 3、会建立一元一次方程解决实际问题。

解一元一次方程----去括号与去分母 1、会解含有括号的一元一次方程。

2、运用等式性质2正确去分母解一元一次方程。

实际问题与一元一次方程

1、审清题意，分析实际问题中的数量关系，找出解决问题的等量关系，从而建立一元一次方程。

三、易错点

本章节中学生容易混淆，容易犯错的知识点 （一）等式基本性质易错点

等式基本性质中的关键词是“两边都”和“同一个”，即对等式变形必须两边同

时进行加或减或乘或除以，不可漏掉一边、一项，并且加减乘或除以的数或式完全相同。

例：下列结论中正确的是( )

A.在等式3a-6=3b+5的两边都除以3，可得等式a-2=b+5 B.在等式7x=5x+3的两边都减去x-3，可以得等式6x-3=4x+6 C.在等式-5=0.1x的两边都除以0.1，可以得等式x=0.5 D.如果-2=x，那么x=-2

（二）解一元一次方程易错点 1、移项易错

移项过程中最易错的就是“变号”的问题 解决这类易错点的办法是：

1、记牢移项过程中的符号法则，从等号的一边移到另一边一定要变好； 2、明确移项原理，移项就是等式两边同加或减该项的相反数，使该项原所在的这边不再含该项----即代数和为0。 2、去括号易错

去括号时没有变号导致错误。去括号时要注意括号前面的符号，如果括号前面是“－”（负号），括号里面的各项都要变号。 3、去分母易错

去分母时某项漏乘导致错误。去分母时注意方程两端同时乘以分母的最小公倍数，不可出现漏项。

4、分式同等变形易错

分式同等变形不当导致错误。根据分式的分子、分母都扩大或缩小一定的倍数，分式值不变的性质，有时需要对分式进行简单的变形，变形的过程，只对分式本身而言，与其它各项无关。

一、知识框架

第一节 二元一次方程组的概念

二元一次方程：方程中含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1． 二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程． 二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值． 二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解． 第二节 二元一次方程组的解法：

（1） 代入法解题步骤：把方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，可先求出一个未知数的值；把求得的这个未知数的值代入第一步所得的式子中，可求得另一个未知数的值，这样就得到了

?x?a方程的解?

?y?b（2） 加减法解题步骤：把方程组里的一个（或两个）方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数的绝对值相等；把所得到的两个方程的两边分别相加（或相减），消去另一个未知数的一元一次方程（以下步骤与代入法相同）

?Ax?By?C?0（3） 二元一次方程组?解的情况：

?Dx?Ey?F?0AB①当?时，方程有唯一解；

DE②当③当

ABC??时，方程组有无数个解； DEFABC??时，方程组无解； DEF第三节 二元一次方程组的应用：

列方程组解应用题的步骤：（1）设出未知数；（2）找出相等关系；（3）根据相等关系列方程组；（4）解方程组；（5）作答． （一）行程问题

1.相遇问题:甲的路程+乙的路程=总的路程；(环形跑道):甲的路程+乙的路程=一圈长

2.追及问题:快者的路程-慢者的路程=原来相距路程 ；(环形跑道): 快者的路程-慢者的路程=一圈长

3.顺逆问题:顺速=静速+水(风)速；逆速=静速-水(风)速

利润售价?进价?进价（二）销售问题: 标价×折扣=售价; 售价-进价=利润; 利润率= 进价（三）图表问题 （四）总量不变问题 （五）配套问题

二、重点和难点

二元一次方程组的概念：

1、二元一次方程（组）的含义；

2、检验一对数是否是某个二元一次方程（组）的解； 2、用一个未知数表示另一个未知数

二元一次方程组的解法：

1、会用代入法解二元一次方程组 2、会用加减消元法解二元一次方程组 3、会灵活运用代入法的技巧

二元一次方程组的应用：

正确找出问题中的两个等量关系，并根据题意列二元一次方程组

1.知识结构图 不等式的定义 概念 不等式的解集 基本性质 不等式 一元一次不等式 的解法 不等式的解法 一元一次不等式组 的解法 实际应用

2.知识点回顾 1．不等式 用不等号连接起来的式子叫做不等式． 常见的不等号有五种： “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”． 2．不等式的解与解集

不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．

不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集． 不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点。解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左。

说明：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值．

一、知识框架

1、实数的概念及分类 1.1实数的分类

1.2无理数

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类 （1）开方开不尽的数，如7,32等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π+8等；

3（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o等（这类在初三会出现）

0判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如?,16是有理数，而不是无理数。

1.3有理数与无理数的区别

（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数； （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），

而无理数则不能写成分数形式。

2.平方根、算术平方根、立方根 2.1概念、定义

（1）如果一个正数x的平方等于a，即方根。

（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。如果

，那么x叫做a的平方根。

，那么这个正数x叫做a的算术平

（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。如果2.2运算名称

（1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。 （2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。 2.3运算符号

（1）正数a的算术平方根，记作“（2）a(a≥0)的平方根的符号表达为（3）一个数a的立方根，用2.4运算公式

a，那么x叫做a的立方根。

”。

。

表示，其中a是被开方数，3是根指数。

2.5开方规律小结

（1）若a≥0，则a的平方根是?a，a的算术平方根a；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都

是0；负数没有平方根。

实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 （2）若a<0，则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数，则a的立方根是

。

（3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。

3.实数的性质

有理数的一些概念，如倒数、相反数、绝对值等，在实数范围内仍然不变。

?a(a?0)???a(a?0)

（2）倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4.实数的三个非负性及性质

4.1在实数范围内，正数和零统称为非负数。 4.2非负数有三种形式

（1）任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； （2）任何一个实数a的平方是非负数，即（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即4.3非负数具有以下性质 （1）非负数有最小值零； （2）非负数之和仍是非负数；

（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 5.实数大小的比较

实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：

（1）正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；

≥0；

(

)。

（2）实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；

（3）两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法。

（4）对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。常用有理数来估计无理数的大致范围，要想正确估算需记熟0～20之间整数的平方和0～10之间整数的立方．

一、知识框架

1.有序数对

比如教室中座位的位置，常用“几排几列”来表示，而排数和列数的先后顺序影响座位的位置，因此用有顺序的两个数a与b组成有序数时，记作(a，b)，表示一个物体的位置。我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作: (a,b)．

2.平面直角坐标系以及坐标的概念 1.平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系。水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1)。

注：我们在画直角坐标系时，要注意两坐标轴是互相垂直的，且有公共原点，通常取向右与向上的方向分别为两坐标轴的正方向。平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的。

2.点的坐标

点的坐标是在平面直角坐标系中确定点的位置的主要表示方法，是今后研究函数的基础。在平面直角坐标系中，要想表示一个点的具体位置，就要用它的坐标来表示，要想写出一个点的坐标，应过这个点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是a，垂足N在y轴上的坐标是b，我们说点A的横坐标是a，纵坐标是b，那么有序数对（a,b）叫做点A的坐标.记作:A(a,b).用(a，b)来表示，需要注意的是必须把横坐标写在纵坐标前面，所以这是一对有序数。 3.点坐标的特征

l.四个象限内点坐标的特征：

两条坐标轴将平面分成４个区域称为象限，按逆时针顺序分别叫做第一、二、三、四象限，如图2．这四个象限的点的坐标符号分别是（+，+），（-，+），（-，-），（+，-）．

2.数轴上点坐标的特征：

x轴上的点的纵坐标为0，可表示为（a,0）； y轴上的点的横坐标为0，可表示为(0,b)．

3.象限的角平分线上点坐标的特征：

第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)； 第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)．

4.对称点坐标的特征：

P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)； P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)； P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)．

5.平行于坐标轴的直线上的点：

平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同； 平行于y轴的直线上的点的横坐标相同。

6.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律： 象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x轴上 横纵坐标符号(a，b) (＋，＋)a＞0，b＞0 (－，＋)a＜0，b＞0 (－，－)a＜0，b＜0 (＋，－)a＞0，b＜0 正半轴(＋，0) 负半轴(－，0) y轴上 正半轴(0，＋) 负半轴(0，－) 原点

二、知识框架 （一）统计调查

1.数据处理的基本过程:收集数据、整理数据、描述数据、分析数据、得出结论

收集数据的方法：a、问卷调查 b、实地调查：如现场进行观察、收集、统计数据 c、媒体调查：报纸、电视、电话、网络等调查都是媒体调查。

(0,0) 图象 ※注意选择收集数据的方法，要掌握两个要点：①是要简便易行，②要真实、全面。 2.全面调查（普查）

（1）考查全体对象的调查叫全面调查，也叫普查。 （2）全面调查的方法：问卷调查﹑访问调查﹑电话调查等。

（3）当调查范围小﹑调查不具有破坏性﹑数据要求准确全面时，采用全面调查。 3.抽样调查

（1）只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况叫抽样调查。

（2）抽样调查的方法：

随机抽样：它的特点是每一个个体被抽取的可能性都相等。当总体的个数较少时，

采用随机抽样。

分层抽样：当总体由有明显差异的几部分构成时，可将总体按差异情况分成几个

部分，然后按各部分所占的比例进行抽样。

（3）当所调查对象涉及面大，范围广，或受条件限制，或具有破坏性等时，一般采取抽样调查。

※注意当调查的结果有特别要求时，或调查的结果有特殊意义时，如国家的人口普查，全国经济普查我们就仍须采用全面调查的方式进行。

4.总体、个体、样本和样本容量 （1）要考察的对象的全体叫总体. （2）组成总体的每一个考察对象叫个体。

（3）从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 （4）样本中个体的数目叫样本容量，样本容量没有单位。 5.数据的描述

数据的描述方法有：统计表和统计图。统计图包括条形统计图﹑折线统计图﹑扇形统计图。

（1）条形统计图：可以清楚地表示各种情况下每个项目的具体数目，它的适用范围广泛。

（2）折线统计图：易于表示同一对象的发展变化情况。用折线统计图表示的数据通常是从同一个对象上不同时间或地点收集得到的。

（3）扇形统计图：易于表示一个对象在总体中所占的比重的大小。（相应扇形圆心角的度数=相应部分量所占总量的百分比×360°）

二．直方图

1.组距﹑组数﹑频数和频率

组距：每一组两个端点之间的距离叫组距。 组数：把数分成若干组，分成组的个数叫组数。 频数：落在各小组内的数据的个数叫该组的频数。

频率：频数占总数的百分比叫频率，频率=频数/总数×100％。

※ 注意：（1）当数据在100个以内时，根据数据的多少通常分成5—12组。一般地，

组数=最大值-最小值的整数部分+1。

组距（2）为了使数据“不重不漏”，分组时常采用“上限不在内”的原则。 2.频数分布直方图

频数分布直方图也是一种条形图，它用小长方形的面积来反映数据落在各个小组的频数大小。如果是等距分组时，为画图与看图的方便，通常直接用小长方形的高表示频数。

作直方图的步骤：

（1）计算最大值与最小值的差，

（2）确定组距与组数（数据个数在100以内的一般分5—12组），

（3）确定分点， （4）列出频数分布表，

（5）画出直方图，构造一个直角坐标系，

横轴表示各数据段，纵轴表示频数。

注：（1）频数之和等于总数（2）频率之和等于1 （3）频数为矩形的面积

3.频数折线图

频数折线图的制作一般是在频数分布直方图的基础上得到的。首先取直方图中每一个小长方形上边的中点，然后在横轴上直方图的左右取两个频数为0的点，它们分别与直方图在左右相距半个组距，然后将这些点用线段依次连结起来，就得到频数折线图。

二、重点和难点

1、对数据的收集、整理及描述 2、绘制扇形统计图和条形统计图

3、正确确定比例进行抽样和由数据描述作出判断 4、对数据的分组及频数分布表及直方图的制作 5、各矩形的高的确定和小长方形表示的实际意义 三、易错点

误区1、数据收集的相关概念理解错误

如在抽样调查时把随机抽取样本理解为随便抽取样本，把总体、样本、个体等概念理解错误。 误区2、不能正确理解各种统计图

对统计图中所标的数据理解错误，如扇形图中，某一扇形中标出所占总体的百分数被误认为扇形的圆心角。 误区3、制作统计图错误

在制作统计图时，由于数值太多而导致在标数值和画图中出现错误。

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