分析型读书报告

《现代分析基础》读书报告

赵海林 学习本学期的《现代分析基础》主要包括泛函分析（functional analysis）和点集拓扑

学（point set topology）有关的知识。 在学习《现代分析基础》之前，需要有扎实的《实变函数》和《点集拓扑》知识。大学期间，曾用一年时间学习过高等教育出版社《实变函数与泛函分析基础》，前半年学习了实变函数，后半年学习了泛函分析基础，而点集拓扑所学甚微，在进入研究生学习阶段，《现代分析基础》作为数学研究生的基础理论课程，是必修学位课。本学期学完该门课后的读书报告主要写泛函分析，可能存在诸多问题，希望老师见谅！下面我从几个方面写本学期学习《现代分析基础》的感受和认识。该读书报告主要的框架结构：1）了解泛函分析是什么，泛函的发展史；2）把空间的理论知识肤浅的系统学习，对于其他理论的学习作抛砖引玉之用；3）

学习泛函分析的实际应用。 摘要 泛函分析理论是为克服黎曼积分理论的缺陷而创立的新积分理论，lebsgue积分是黎曼(riemann)积分的完备化，在数学分析中, riemann积分的概念与理论是十分重要的一部分.它的威力在数学分析的后续课程———常微分方程、复变函数论、概率论以及力学课程中,已经相当充分地表现出来了.但是riemann积分有一个很大的缺点,就是riemann可积函数列的极限并不一定是可积的,或者说riemann可积函数类对极限运算是不封闭的，所以学习泛函分析具有必要性。其基础是集合与测度理论，所以也可以称为测度与积分理论。它是数学

专业特别是将来从事与分析数学有关系的科技工作者的必备工具。 一、泛函分析的概念以及发展史 1、泛函分析的概念 所谓的泛函，就是一般函数，泛函分析当然就是一般函数的分析研究。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科，是二十世纪三十年代形成的一个数学分支，隶属于分析学。从变分法、微分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。其研究的主要对象是函数构成的空间，主要研究无限维空间（具有各种拓扑）

的结 构、它们之间的映射以及映射的微积分。另外，也研究各种子集的解析结构、几何结构和拓扑结构。泛函分析是一门综合性很高的数学分支,在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。 它的诞生和发展受到数学的抽象化、公理化以及量子物理的推动。由于它的高度抽象化, 其概念和方法广泛地渗

透和应用到数学的各个分支以及自然科学和技术科学。 经典的泛函分析综合运用函数论、几何学，代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数， 算子和极限理论。它可以看作数学分析、高等代数和解析几何到无限维向量空间的推广，被认为是无限维空间上的数学分析和高等代数的综合。banach是经典泛函分析理论的一个主

要奠基人; 数学家、物理学家volterra对泛函分析的广泛应用有重要贡献。 现代泛函分析已演变成一个庞大的数学体系。仅就hilbert空间上算子的研究而言，其上算子结构和性质的研究形成算子理论、其上由算子生成代数的研究又形成算子代数，就这

两个密切相关的研究领域，掌握和了解这两个领域的进展和方法已变得十分困难。 2、泛函分析的发展史 十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里德第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本

概念和方法一般化准备了条件。

本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，

在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。 由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们

从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。 非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任

意集合之间的某种对应关系。 这里我们先介绍一下算子的概念。算子也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空

间的变换叫做算子。研究无限维线性空间上的泛函数和算子理 论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已

经成为数学中一门独立的学科了。 二、泛函分析的空间理论知识 1、度量空间 我们在作物理、化学、生物等实验时，通过观察会得到很多值，但总是近似的，这时自然要考虑近似值与准确值的接近程度，反映在数学上这是一个极限问题。数学分析中定义r中点列xn的极限是x时，我们是用|xn?x|来表示xn和x的接近程度，事实上，|xn?x|可表示为数轴上xn和x这两点间的距离，那么实数集r中点列xn收敛于x也就是指xn和x之间

的距离随着n??而趋于0，即 limd(xn,x)?0。 n?? 于是人们就想，在一般的点集x中如果也有“距离”，那么在点集x中也可借这一距离来

定义极限，而究竟什么是距离呢？ 1.1度量空间的定义 定义1.1设x为一非空集合。若存在二元函数d:x?x?r，使得?x,y,z?x，均满足以下三个条件：

（1）d(x,y)?0,且d(x,y)?0?x?y（非负性） （2）d(x,y)?d(y,x) （对称性） （3）d(x,z)?d(x,y)?d(y,z) （三角不等式）， 则称d为x上的一个距离函数，（x,d）为度量空间或距离空间，d(x,y)为x,y两点间的距离。

注意：若（x,d）为度量空间，y是x的一个非空子集，则（y,d）也是一个度量空间，

称为（x,d）的子空间。 我们可以验证：欧式空间rn，离散度量空间，连续函数空间c[a,b]，有界数列空间l?，

p次幂可和的数列空间lp，p次幂可积函数空间lp[a,b](p?1)，均满足距离空间的性质。 appendix：p次幂可积函数空间lp[a,b](p?1)介绍 lp[a,b]?{f(t)| |f(t)|p在[a,b]上l可积}，在lp[a,b]中，我们把几乎处处相等的

函数视为同一函数。lp[a,b]有下列重要性质： （1）对线性运算是封闭的。即若f,g?lp[a,b]，则

?f?lp[a,b],f?g?lp[a,b]，其中?是常数。 （2）lp[a,b]?l[a,b](p?1)。 设f?lp[a,b]，令a?e(|f|?1)，b?e(|f|?1),e?[a,b]，则 ?|f|dm??|f|dm??|f|dm aabb ??|f|pdm?(b?a) a

??|f|dm?(b?a)??? abp 故f?l(a,b)。

（3）?f,g?lp[a,b]，定义 1

p?b?dp(f,g)???|f(t)?g(t)|dm? ?a? 则dp是一个距离函数。称(lp[a,b],dp)为p次幂可积函数空间，简记为plp[a,b]。 1.2度量空间有重要的定理 定理 1 对度量空间(x,d)有 （1）任意个开集的并集是开集; 有限个开集的交集是开集; （2）任意个闭集的交集是闭集; 有限个闭集的并集是闭集; （3）x与?既是开集又是闭集. 定理 2设(x,d)是度量空间,x0?x,e?x,则x0是e的聚点的充要条件是存在e中点

列?xn?(xn?x0),使d(xn,x0)?0(n??). 定理 3 设(x,d)是度量空间,e?x,x?e,则下面的三个陈述是等价的: (1) x?e; (2) x的任一邻域中都有e的点; （3）有点列xn?e,使d(xn,x0)?0(n??). 定理 4 设(x,d)是度量空间, e是x的非空子集,则e为闭集的充要条件是e??e. 定理 5 闭集套定理：

设x是完备的，并且非空闭集套f1?f2?f3???? 满足 diamfn?sup

x,y?fnd(x,y)?0， 则存在唯一的点y?nfn. 称x 的一个子集e是疏朗的(也称无处稠的)，如果e的闭包e不 含任何开集。易见一个开集o在x中稠当且仅当o的补集oc是疏 朗的；一个闭集f是疏朗的当且仅当fc是周密的开集。度量空间 的一个子集称为第一纲的，如果它能表为可列个疏朗集之并； 否则称为第二纲的。完备的度量空间享有一个深刻的结构定理－baire纲定理。 定理 6

baire 纲定理：完备的度量空间是第二纲的。 在微积分的发展历程中，一个重要问题是讨论函数间断点集的 特征。读者容易验证定义在闭区间[0,1]上的函数 r(x)?{0x是无理数; 1x?0.

y?x在有理点是间断的，在无理点是连续的（验证当0?x?1,limr(y)?0.） 一个自然的问题是：是否在闭区间 上存在一个函数h使得它 在有理点连续，无理点间断。注意到[0,1]中的无理数集是第二 纲的，下面的命题表明这样的函数是不存在的。 命题：设x是完备的度量空间， f是[0,1]上的实函数， cf?{x:f在x点连续｝，若cf 在x中稠密，那么df是第 ?{x:f在x点间断｝ 一纲。

定理 7 banach不动点定理：完备度量空间x上的压缩映射a有唯一的不动点, 即存在

唯一的x?x满足ax?x.

2、映射的连续性与一致连续 定义 2.1 设x，y是度量空间，f是x到y的一个映射。x0?x如果对任何??0，存在??0当?(x,x0)??时，有?(fx,fx0)??则称f在x0连续。又若f在x中每一点都有连续，则称f是x上的连续映射。若对任何??0，存在???(?)?0，只要x1, x2?x，且d(x1,x2)??，就

有?(f(x1),f(x2))??成立，则称f在x上一致连续。 定理 2.1 设(x,d)，(y,?)是度量空间，f:x?y,x0?x,则下列各命题等价。 (1) f在x0连续；

(2) 对于fx0的任一邻域b(tx0,?)，都存在x0的一个邻域b(x0,?)使得 f?b(x0,?)??b(tx0,?)；

(3)对于x中的任意点列{xn}，若xn?x0(n??)，则f(xn)?f(x0)(n??)。 定理 2.2 设(x,d)，(y,?)是度量空间，f:x?y。则f是连续映射的充分必要条件是，对

y中的任一开集g，其原象f?1(g)??xx?x, f(x)?g}是开集。 定义 2.2篇二：数学分析读书报告 读 书 报

告 院系：数学与统计学院 班级：09级本一班 学号：0501090132

姓名：蒋旭辉 读书时间：2010.03-2010 我的《数学分析》观 数科一斑 蒋旭辉、 大一开学以后，我们就接触了《数学分析》，经过了一学年的学习，对它也有了初步的了解，实话实说，我的这些了解也只是皮毛而已，俗话说的好：“仰之弥高，钻之弥深。”又说：“温故而知新，可以为师矣》”下面就对我的《数学分析.做一个系统性的总结。 《数学分析》是数学专业课中最重要的基础课之一，对学生数学思想的形成，后继课程的学习都有着重要的意义。该课程的特点是： 学习时间的跨度很大，内容极为丰富。我们学时为四个学期。课程的目的是通过四个学期学习和系统的数学训练，使我们逐步提高数学修养，特别是分析的修养，积累从事进一步学习所需要的数学知识，掌握数学的基本思想方法，最终使我们的数学思维能力得到根本的提高。我们已经学习数学分析一年了，我对它也有了一些了解，开始学习感觉非常的难。学习成绩不太理想。但是老师说，学习数学分析需要长

期的坚持和积累，我们在探索中得以提高。 《数学分析》课程是一门面向数学类专业的基础课。学好数学分析是学好其他后继数学课程如微分几何，微分方程，复变函数,实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课的必备的基础。数学分析的学习,可以按照它各部分內容的特点,把基本理論的学习与基

本训练的过程紧密地結合起来,以便很好地掌握。 我学了一年的数学分析，现在感觉就是一定要把概念弄清，千万不要背，要理解，每一个题做完了都要看看琢磨一下。当你做到这点后就是不断去做练习了，但是请记住，不能去看答案，实在做不出来的可以先不做。总之请尽量不要看答案。我们刚上大一，我们就要尽量的忘记高中时学习数学的方法，忘记高中的数学知识， 因为初等数学是离散的与具体的,数学分析是连续的与抽象的，所以请不要把你以前学高中数学的方法放在数分上，我们要把

它当作一门新学科来学习。 数学分析说白了就是证明的多，我们老师说多看题，看看别人的思路。相信自己，只要

用心，就能学好。从前面推一下，推到感觉和问题不同后，从后面推回前面，一般很容易就可以推到相同点！数分跟其它课都不同，一开始学习时，我还怀疑自己不是学习数学的材料，感觉《数学分析》比高中的数学学习起来更加的困难。后来我还是坚持继续看数分，现在虽然还不算学有所成，但是已经可以自己做一些题，还可以自己证明一些简单的推论或者定理了。

作为数学系最重要的基础课之一，数学科学的逻辑性和历史继承性决定了数学分析在数学科学中举足轻重的地位，数学的许多新思想，新应用都源于这坚实的基础。数学分析出于对微积分在理论体系上的严格化和精确化，从而确立了在整个自然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域。同时，数学研究的主体是经过抽象后的对象，数学的思考方式有鲜明的特色，包括抽象化，逻辑推理，最优分析，符号运算等。这些知识和能力的培养需要

通过系统、扎实而严格的基础教育来实现，数学分析课程正是其中最重要的一个环节。 数学分析课程有一个特点是重要、枯燥。重要是显而易见的，数学分析作为专业基础课程，对其它后继课程的学习至关重要；同时它又是枯燥乏味的，这似乎是一对矛盾，要处理

这对矛盾，就要解决一个数学分析学习当中的技巧性问题和心 理问题。当然不可能人人都能把数学分析学好，由于各人的性向不同，有的人倾向于人文学科，有的人倾向于逻辑思维，有的人倾向于空间思维，有的人则倾向于动手能力?.各人

的倾向性不一样，擅长的方 面也各不相同，对数学分析能达到的程度也不一样。 一. 数学分析中关于概念的问题 概念的形成需要一个过程。与人生哲理等概念不同，数学分析概念具有叠加性，也就是说新概念是在旧概念叠加的基础上来认识的。概念是数学分析中的一个根本问题，不是靠背，而是在不断地运用中逐渐形成的，须经过比较、实践、摸索、总结、归纳等过程，最后建立

一个完整的概念。这个过程甚至可以说是痛苦的，漫长的 一个阶 段。 概念具有长期性。每个概念都有一个失败— 认识 —再失败的过程，伴随着你对这个概

念的错误理解，在挫折中不断加深的。 概念是随着一个人知识的增加而不断深入的。学数学分析对一个人建立完整的思维方式

很重要，随着对不同数学分析概念的深入理解，人们处理问题的方式可以越来越趋于严谨。 要建立一个数学分析的概念网。数学分析是一个个概念的点阵，所有的相关的、从属的概念要在头脑中形成一个网络。学概念要把不能纳入其中的或相关概念认识清楚。总概念中

各相关概念是怎样发展的要有一个清晰的脉络。 从不同的层面上来理解一个数学概念。有比较才有认识，对于一个数学分析概念要擅于从正面、侧面、上面、下面等各个层面上来认识它。对于相似的、类似的概念或概念的内部

关系认识不清，不利于理解概念，这说明数学分析末学深入。 二. 运算能力

符号化、模式化是数学分析的一大特点，对这点我们应该有深刻的认识。 1. 模式化。数学分析的一些定理、原理、公理都有一定的模式，“因为??所以?”即最简

单的一种模式，对各种数学模式的理解认识也是对人的逻辑思维能力的训练。 符号化。数学分析的符号与表达性符号不同，文学艺术中的表达性符号是需要我们仔细体会其中的含义的；而数学分析 中的符号是一种替代性符号，它无需我们想其含义，作用就在于推导，它只是一个替身，帮助我们进行数学思维，所以我们不可以在它的含义上耗费太

多的精力。数学就是符号游戏，我们对符号必须精通，才能进行迅速变形。 三. 做题技巧 从做题方式来分，平时作业可分为硬作业和软作业两种：硬作业是指每天需要认认真真做的作业，这类作业要按正规的步骤一丝不苟地做，旨在训练自己的笔头功夫和书写能力；软作业是指每日需抽出一定的时间来浏览若干习题，这类题主要是用来锻炼自己的思维能力

的，具体做法是无需动笔，眼睛看着习题，大脑中迅速掠过 这道题的思路、做法，整个过程有点类似空对空。所以在平日做题中两种方式要搭配使用，认真做的题和浏览的题要相济并用。

做题要有节奏，难易结合。做题要讲质量，不能把精力都放在做偏、难、怪的题型上，若平时将重心放在难题上，基础知识难免会偏失，所以平时适度地做一些中等难度的题即可，

关键是要学好基础知识，循序渐进。 做题要留下体会，留下痕迹，学习分为三个过程：模仿、品味、迁移。模仿是初始阶段经常作用的一种方式，以老师或教科书为参照，按部就班地做。经过一次次地模仿，我们自

己对这些记忆中的题型在大脑中进一步地加工、体会，形 成自己对这类题的成型的理解。经过前两个阶段的积累，最后达到将原知识体系与现有

知识的 相互融合，就实现了对新、旧知识的最新体会。 四. 数学分析学习方法

常见的数学方法有如下几种： 化归法。将复杂化问题化为若干个简单的问题的一种思想。 注意经常对知识进行归纳、整理、总结，促进学过的知识更加般。系统化、条理化，解

题时就能比较顺利地将内在关系理顺。 函数及其导数是两个不同的的函数；而导数只是反映函数在一点的局部特征；如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用。微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础。拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态；中值定理的主要作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则。中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数上升，下降，取极值，凹形，凸形和拐点等项的重要性态。从而能把握住函数图象的各种几何特征。

在极值问题上也有重要的实际应用。 微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具。它包括： （1）拉格朗日定理 内容：

如果函数 f(x) 满足： 1)在闭区间[a,b]上连续； 2)在开区间(a,b)内可导。 那么：在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。 [中值定理]分为： 微分中值定理和积分中值定理:f(x)在a到b上的积分等于a-b分之

一倍的（f(a)-f(b)）ξ （2）罗尔定理 内容：

如果函数f(x)满足,在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得f(ξ)=0。 补充

如果函数f(x)满足：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；在区间端点处的函

数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得 f(ξ)=0. 几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧 （方程）是一条连续的曲线弧 ，除端点外处处有不垂直于 轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明，弧上至少有一点 ，曲线在该

点切线是水平的.

（3）柯西中值定理 内容：

如果函数f(x)及f(x)满足 (1)在闭区间[a,b]上连续； (2)在开区间(a,b)内可导； (3)对任一x(a,b)，f(x)!=0 那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[f(b)-f(a)]=f(ξ)/f(ξ) 成立

（4）费马中值定理 内容：

设函数f(x)在ξ处取得极值 且f(x)在点ξ处可导 则f(ξ)=0. 推论：若函数f(x)在区间i上的最大值（最小值）在i内的点c处达到,且f(x)在点c处可导,则f(c)=0.

这就是我对《数学分析》的读后感。篇三：数值分析读书报告报告 数 值 分 析 线性方程组迭代解法的比较 姓名：xxxx 班级：xxxxxx 流水号：xxxx 学号：xxxx 指导老师：xx 线性方程组迭代解法的比较 1、问题的提出 科学研究与生产实践中许多问题都可归结为线性方程组的求解，高效求解线性方程组成

为了许多科学与工程计算的核心。 数值分析中，线性方程组的数值解法主要分为直接法和迭代法两大类。直接法是用有限次计算就能求出线性方程组“准确解”的方法（不考虑舍入误差），但是在运用此法求解n元线性方程组时，其所需的乘法运算次数随n的增大而明显增加。当n稍大时，其运算量非常大，所以在实际工作中很少运用；迭代法是一种逐次逼近的方法，它是由线性方程组构造出迭代计算公式，然后以一个猜测的向量作为迭代计算的初始向量逐步迭代计算，来获得满足精度要求的近似解。但是迭代法不能通过有限次算术运算求的方程组的精确解，而只能逐

步逼近它。因此，凡是迭代法都存在收敛性和精度控制的问题。 本文主要讨论目前常用的3种解线性方程组的迭代方法：jacobi迭代法(j法)、gauss-seidel迭代法(gs法)和逐次超松驰法(sor法)。从迭代法的收敛性、迭代法的收敛速度、每迭代一次所需的计算量及实际计算时需要的存贮量等四个方面进行了比较和误差估计，

并根据比较和分析作了总结。 线性方程组的直接解法，用于阶数不太高的线性方程组效果较好。实际工作中有的线性方程组的阶数很高，用直接法求解效果不是很好。而迭代法与直接法不同，它是通过从某些

初始向量出发，用设计好的步骤逐次计算出近似解向量 x(k)，从而得到向量序列{x(0),x(1),x(2),?}。 2、常用迭代方法的介绍及比较 2.1常用迭代方法的介绍 设有线性代数方程组： ?a11x1???a1nxn?b1 ? ??

?ax???ax?b

nnnn?n11

或记为 ax?b （1.1） 其中a?aij?rn?n，x??x1,...,xn?,b??b1,...,bn?,a为奇异矩阵，下面主要讨 t t ?? 论的3种解线性方程ax?b，的迭代方法的迭代格式如下： jacobi迭代法的计算公式为： 迭代矩阵

记a?d?l?u 0??a11 ?? d???? ?0ann???

0??an1??0?0?a12??????a00???21??? ? u??? l?????? ????

00?an?1n????

???a???ann?10?0??0??n1 易知，jacobi迭代有

(d?l?u)x?b dx?(l?u)x?b x?d?1(l?u)x?d?1b ? b0?d?1(l?u)?i?d?1a , f0?d?1b，b0是jacobi迭代法的迭代矩阵。 得到jacobi迭代法的计算公式： ?x?0??x?0?,x?0?,...,x?0?t 12n? ?

?? （1.2） n?1 ?xi?k?1???bi??aijxj?k?? ?aii??j?1??i?j??? ??

gauss-seidel迭代法计算公式为： ?x?0??x?0?,x?0?,...,x?0?t 12n??

（1.3） i?1n?1??k?1??k?1??k???xi??bi??aijxj??aijxj? a?j?1j?i?1ii??? ??

迭代公式的矩阵形式为： x? k?1? ?gx???f k ?1 ?1

其中：g??d?l?u， f??d?l?b，称g为gauss-seidel迭代方法的迭代矩阵。 sor方法的计算公式： ?x0?x?0?,?x?0?t,

1n

??i?1n （1.4） ??k?1????k??k?1??k? ?（1??）xi???bi??aijxj??aijxj?/aii?xi???j?1j?1??? ??

（1.2～1.4式中，i?1,2?,n;k?0,1,?为迭代次数；?为松弛因子） 2.2 常用迭代方法的比较 评判和比较各种迭代法的标准可局限于其自身的性质，主要依据迭代法的收敛性、迭代法的收敛速度、每迭代一次所需的计算量、实际计算时需要的存贮量。 jacobi迭代法公式在用计算机计算时，计算x(k+1)时需要x(k)的所有分量，而由gauss—seidel迭代公式(1.3)可知，计算x?k?1?的第i个分量xi?k?1?时，利用了已经计算出的最新分量x?jk?1?

(j?1,2,?,i?1)。gauss—seidel迭代法可看作jacobi迭代法的一种改进。 由(1.2)式可知，jacobi迭代法计算公式简单，每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法，且计算过程中原始矩阵a始终不变．其计算量为：至多需要n2次乘(除)法运算，n?n?1?

次加(减)法运算，实际计算时一般需要两组存贮单元，以存放x?k?和x?k?1?。 例2.1 用jacobi迭代法解方程组 ?10x1?2x2?x3?3 ?

??2x1?10x2?x3?15 ??x?2x?5x?10 23?1

解：解出x1,x2,x3： 0.2x2?0.1x3?0.3?x1? ?

?0.1x3?1.5 ?x2?0.2x1 ?x?0.2x?0.4x?212?3 按下式进行迭代：

)k()?x1(k?1)?0.2x2k(?0.x10.33??(k?1)k() ?x2（?0.2x1k()?0.x11.k5?1,2,?） 3? k()k()?x(k?1)?0.2x?0.x4?212?3 任取一初始向量，例如x(0)?(0,0,0)t，得到迭代序列{x(k)}，列表如下 不难验证，原方程组的精确解为x?(1,2,3)t，从上面的计算可以看出，{x(k)}收敛于精确解的。

由(1.3)可知，gauss—seidel迭代法每迭代一次只需计算一次矩阵与向量的乘法．其计算量为：至多需要n2次乘(除)法运算，n?n?1?次加(减)法运算，实际计算时只需要一组存贮单元来存放xk。

例2.2 用gauss—seidel迭代法计算例2.1并做比较。 解：迭代公式为： (k)(k)

?x1(k?1)?0.2x2?0.1x3?0.3?(k?1)(k?1)(k) ?0.1x3?1.5 ?x2?0.2x1

?x(k?1)?0.2x(k?1)?0.4x(k?1) ?212?3

用它计算得到的序列{x(k)}列表如下：篇四：结构分析专题读书报告 读书报告 课程名称

系所 专 业 姓名 学号 日期 结构分析专题理论与实践 目录 1 常见的结构抗震分析方法 .............................................................................

.............................. 4 1.1 反应谱 .............................................................................

................................................... 4 1.1.1 反应谱相关概念 .............................................................................

........................ 4 1.1.2 底部剪力法 .............................................................................

................................ 6 1.1.3 振型分解反应谱法 .............................................................................

.................... 6 1.2 时程分析法 .............................................................................

........................................... 8 1.3 静力弹塑性分析 .............................................................................

................................... 9 1.3.1 等效单自由度体系 .............................................................................

.................. 10 1.3.2 水平侧力加载模式 .............................................................................

.................. 11 1.3.3 结构位移性能需求 .............................................................................

.................. 13 （1）目标位移法 .............................................................................

.............................. 13 （2）能力谱法 .............................................................................

.................................. 14 1.4 基于能量的模态推覆分析（mpa）方

法 ...................................................................... 15 1.5 逐步增量弹塑性时程分析（ida）方

法 ....................................................................... 16 2 钢筋混凝土结构材料的本构关系 .............................................................................

................ 17 2.1 钢筋混凝土材料的理论模型 .......................................................................................... 17 2.1.1 线弹性本构关系 .............................................................................

...................... 17 2.1.2 非线性弹性关系 .............................................................................

...................... 17 2.1.3 弹塑性关系 .............................................................................

.............................. 18 2.1.4 粘弹性和粘塑性的流变模型 ............................................................................... 19 2.1.5 断裂力学理论 .............................................................................

.......................... 19 2.1.6 损伤力学 .............................................................................

.................................. 19 2.2 钢筋的本构关系 .............................................................................

................................. 20 2.2.1 单向加载下，钢筋的应力-应变关

系 .................................................................. 20 2.2.2 反复加载下，钢筋的应力-应变关

系 .................................................................. 21 2.3 混凝土本构关系 .............................................................................

................................. 22 2.3.1 单调加载应力-应变关系 ..................................................................................... 22 2.3.2 重复加载应力-应变关系 ..................................................................................... 24 2.3.3 反复加载应力-应变关系 ..................................................................................... 25 2.3.4 混凝土双向受力下应力-应变关

系 ...................................................................... 25 3 钢筋混凝土有限元模

型 .............................................................................

................................ 29 3.1.1 分离式模型 .............................................................................

.............................. 29 3.1.2 组合式模型 .............................................................................

.............................. 31 3.1.3 整体式模型 .............................................................................

.............................. 32 4 非线性方程组的解法 .............................................................................

.................................... 32 4.1 结构分析的非线性问题 .............................................................................

..................... 32 4.1.1 几何非线性问题 .............................................................................

...................... 32 4.1.2 材料非线性问题 .............................................................................

...................... 32 4.1.3 边界非线性 .............................................................................

.............................. 33 4.2 求解非线性方程组的逐步增量法 .................................................................................. 33 4.3 求解非线性方程组的迭代法 .......................................................................................... 34 4.3.1 割线刚度迭代法 .............................................................................

...................... 34 4.3.2 切线刚度迭代法 .............................................................................

...................... 34 4.3.3 等刚度迭代法 .............................................................................

.......................... 35 4.4 收敛标准 .............................................................................

............................................. 36

5 常用有限元程序中的混凝土模型 ............................................................................................. 37 5.1

ansys ..........................................................................

................................................... 37 5.1.1 混凝土模型 .............................................................................

.............................. 37 5.1.2 钢筋模型 .............................................................................

.................................. 38 5.1.3 前后处理 .............................................................................

.................................. 38 5.1.4 二次开发 .............................................................................

.................................. 38 5.2

abaqus .........................................................................

................................................. 38 5.2.1 混凝土模型 .............................................................................

.............................. 38 5.2.2 钢筋模型 .............................................................................

.................................. 41 5.2.3 前后处理 .............................................................................

.................................. 41 5.2.4 二次开发 .............................................................................

.................................. 41 参考文献..............................................................................

........................................................... 41 1 常见的结构抗震分析方法 常用的抗震分析方法可分为两大类。一类是等效地震作用的静力计算方法，运用反应谱（包括底部剪力法和振型分解反应谱法）求得作用于建筑物上的等效地震力，并将其作为静力荷载进行结构分析，得到结构的内力和位移。另一类是直接求解地震作用下结构内力和变

形的方法，如弹性和弹塑性时程分析方法。 我国的抗震设计思想为“三水准设防目标，两阶段设计步骤”。所谓两阶段设计步骤指的是小震作用下的弹性内力和变形分析以及大震作用下的弹塑性变形分析。小震作用下的弹性分析包括反应谱法和弹性时程分析法，这两种分析方法现有的商业化软件做的比较成熟；大

震作用下的弹塑性变形分析包括弹塑性时程分析和静力非线性（推覆）分析，这两种非线性

分析目前还不够完善。 1.1 反应谱

1.1.1 反应谱相关概念 反应谱是指单自由度体系对于某个实际地震地面运动的最大反应与体系的自振特性（自振周期和阻尼比）之间的函数关系。地震反应谱建立了结构体系本身的动力特征与地震反应

之间的关系，反映了地震动的强度及频谱特征。 反应谱的标准化是指反应谱与引起该反应的地震动最大幅值之比，该比值即为标准化反

应谱。对反应谱进行标准化处理可以消除地震动强度的影响，突出地震动频谱特征的影响。 ?g，弹性和弹塑质量为m的单自由度体系在强地面运动作用下，若地面运动加速度为?x 性单自由度体系的运动微分方程可由达朗伯原理得到为： mx?cx?kx??mxg(t) （1.1） mx?cx?f(x)??mxg(t) （1.2） ?,x?及x分别为体系的加速度、式中，c为结构的阻尼系数。?速度及位移。（1.1）和（1.2）x 式的主要区别在于等式左端的第三项，（1.1）式中的k是弹性体系的刚度系数，kx表示体系的弹性恢复力，仅仅是时间的函数，而（1.2）式中的f(x)则表示弹塑性体系的恢复力，当体系在弹性阶段时，它也仅仅是时间的函数，但当体系进入了非弹性变形阶段，它就随体系位移改变而改变。 弹性反应谱基于结构是单质点单自由度的弹性体系，认为结构所处的地面相当于刚性平

面以及地面运动时程就是强震观测记录等三个假设而得到。对于一组n个具有不同自振周 期t（=1，2，??,n）和相同阻尼比的单自由度体系，在某一给定地震加速度的作用下，可求得各体系的最大加速度反应sa，最大速度反应sv和最大位移反应sd。将所得到的最大反应按周期（或频率）的大小排列起来，所得到的sa、sv和sd与周期的关系曲线分别称为绝对加速度反应谱、相对速度反应谱和相对位移反应谱，总称为弹性反应谱。弹性反应谱主

要反映了地震动的频谱特性。 令sa??xg(t)max及xg(t)max?kg，则有 f?msa?m?kg??kg （1.3） 其中xg(t)max为地震动峰值加速度，?

为动力系数，k为地震系数，g为质点的重力 荷载代表值。从式 (1.3)可知，求作用在质点上的水平地震作用的关键在于求出动力系数?和地震系数k。 为简化计算，将地震系数k和动力系数?以两者的乘积?表示，称之为地震影响系数。即： ??k? （1.4） 则有

f??g （1.5） 因为 ??k??(xg/g)(sa/xgmax) （1.6） 所以地震影响系数?就是单质点线性系统在地震时以重力加速度为单位的最大反应加速度。我国抗震设计规范就是以地震影响系数?作为抗震实际依据的，其数值根据设防烈度、场

地类别、设计地震分组以及结构自振周期和阻尼比确定，如图1.1所示。 图1.1 地震影响系数曲线篇五：小波分析读书报告 小波分析读书报告

---何鹏举 2009-12-20 一、概述

小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师j.morlet在1974年首先提 出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到

数学家的认可。正如1807年法国的热学工程师j.b.j.fourier提出任一函数都能展开 成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家j.l.lagrange，p.s.laplace 以及a.m.legendre的认可一样。幸运的是，早在七十年代，a.calderon表示定理的 发现、hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的 准备，而且j.o.stromberg还构造了历史上非常类似於现在的小波基；1986年著名 数学家y.meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与s.mallat合作建立了构造小波 基的同意方法，多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学 家i.daubechies撰写的《小波十讲（ten lectures on wavelets）》对小波的普及 起了重要的推动作用。它与fourier变换、视窗fourier变换（gabor变换）相比， 这是一个时间和频率的局网域变换，因而能有效的从信号中提取资讯，通过伸缩和平 移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（multiscale analysis），解决了f ourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和 分析发展史上里程碑式的进展。 小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起地。现在，它已经在 科技资讯产业领网域取得了令人瞩目的成就。 电子资讯技术是六大高新技术中重要 的一个领网域，它的重要方面是影像和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学 技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、 快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。从数学地角度来看，信号与影像处理可以 统一看作是信号处理（影像可以看作是二维信号），在小波分析地许多分析的许多应 用中，都可以归结为信号处理问题。现在，对於其性质随实践是稳定不变的信号，处 理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而 特别适用於非稳定信号的工具就是小波分析。 事实上小波分析的应用领网域十分广泛，它包括：数学领网域的许多学科；信号 分析、影像处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；电脑分类与 识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故 障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲 面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。 在影像处理方面的影像压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少b 超、ct、核磁共振成像的时间，提高解析度等。 二、论述

1、 fourier变换 历史（ft、fs、fft、stft） 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函 数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变 体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

******************************************************************************* ft是傅立叶变换，其定义如下： 一回说到，根据傅立叶积分定理可知，若任意函数f（t）只要满足傅立叶积分定理的条件，

则在其连续点处，函数f（t）可用傅立叶积分表示为 （1）

现在如果我们令 （2）

则傅立叶积分可表示为

（3）

可见函数f（t）和f（ω）可以通过上述两式互相表达。 数学上称式f（ω）为函数f（t）的傅立叶积分变换，记为 （4）

函数f（ω）称为f（t）的像函数； 称式f（t）为f（ω）的傅立叶逆变换，记为 （5）

函数f（t）称为f（ω）的像原函数。 这就是著名的数学法宝――傅立叶变换（ft）的定义

******************************************************************************* fs是傅立叶级数，公式如下： 给定一个周期为t的函数x(t)，那么它可以表示为无穷级数： （i为虚数单位）（1）

其中，ak可以按下式计算： （2）

******************************************************************************* fft是快速傅立叶变换，并不是一种新的傅立叶分析理论，而是减少dft计算量的算法

设 计思想和dft各种快速算法的统称。fft算法设计的基本思想，就是充分利用dft的周期 性和对称性，减少重复的计算量；并把n点长序列分成几个短序列，减少每个序列长度， 可大大减少计算量。

******************************************************************************* stft是短时傅立叶变换，短时傅里叶变换（stft）其窗口函数 通过函数时间轴的平移与

频率限制得到，由此得到的时频分析窗口具有固定的大小。对于非平稳信号而言，需要时频

窗口具有可调的性质，即要求在高频部分具有较好的时间分辨率特性，而在低频部分具有较

好的频率分辨率特性。为此特引入窗口函数 ，并定义变换 。其中，a r且a≠0。该式定义

了连续小波变换，a为尺度因子，表示与频率相关的伸缩，b为时间平移因子。 2、 haar小波 哈尔基函数

a) 基函数是一组线性无关的函数，可以用来构造任意给定的信号，如用基函数的 加权和表示

b) 哈尔基函数(haar basis function) i. 定义在半开区间[0，1)上的一组分段常值函数(piecewise-constant function) 集

ii. 生成矢量空间v0的常值函数 ?10?x?100v: ?0(x)?? 0其他?

为了表示矢量空间中的矢量，每一个矢量空间都需要定义一个基(basis)，哈尔 基定义为

?10?x?1?(x)?? 其他?0

为生成矢量空间而定义的基函数也叫做尺度函数(scaling function)。哈尔基尺度 函数定义为 jjj i

其中，j为尺度因子，使函数图形缩小或放大 i为平移参数，使函数沿x轴方向平移 哈尔小波（函数）

最古老和最简单的小波，定义为 ?1当 0?x?1/2? ?(x)???1 当 1/2?x?1 ?0其他 ? 生成矢量空间w0的哈尔小波 ?10?x?1/2 ?0?(x)???11/2?x?10 ?(x)??(2x?i), i?0,1,???,(2?1)?0? 其他 生成矢量空间w1的哈尔小波 0?x?1/4?1?11/2?x?3/4 ??11?0(x)??11/4?x?1/2?(x)????13/4?x?1/2 1?0?0其他 其

他?? 此外还有生成矢量空间w2,w3的哈尔小波等 3、 多分辨率分析 概念： 倘若一个信号具有变化速度差异大的区段，像是信号快速变化的区段穿插著变化平缓的区段，则上述单一分辨率将不适用于分析信号。因此，多重分辨率分析的概念因此而

生。将信号在不同分辨率上分析。 定义： 令

分簇性(nested)： 稠密性(density)： 分离性(seperation)： 调节性(scaling)： 正规正交基底(orthonormal basis)：正交基底。 则为带有调整函数φ的多分辨率分析。

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