历年高考真题考点归纳 2009年 第七章 不等式

第一节 简单不等式及其解法

一、选择题

1.（2009安徽卷理）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是A.p:a?c＞b+d , q:a＞b且c＞d

xB.p:a＞1,b>1 q:f(x)?a?b(a?0，且a?1)的图像不过第二象限C.p: x=1, q:x?x2 D.p:a＞1, q: f(x)?logax(a?0，且a?1)在(0,??)上为增函数答案 A

解析 由a＞b且c＞d?a?c＞b+d，而由a?c＞b+d a＞b且c＞d，可举反例。选A。 2.（2009安徽卷文）“A. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 答案 A

解析 易得a?b且c?d时必有a?c?b?d.若a?c?b?d时，则可能有a?d且c?b，选A。 3.（2009四川卷文）已知a，b，c，d为实数，且c＞d.则“a＞b”是“a－c＞b－d”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 B

”是“且”的

B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

解析 显然，充分性不成立.又，若a－c＞b－d和c＞d都成立，则同向不等式相加得a＞b

即由“a－c＞b－d”?“a＞b”

4.（2009天津卷理）0?b?1?a,若关于x 的不等式(x?b)＞(ax)的解集中的整数恰有3个，则

A.?1?a?0 B.0?a?1 C.1?a?3 D.3?a?6 答案 C

5.（2009四川卷理）已知a,b,c,d为实数，且c?d。则“a?b”是“a?c?b?d”的

22A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑，基础题。（同文7） 答案 B

解析 a?b推不出a?c?b?d；但a?c?b?d?a?b?c?d?b，故选择B。 解析2：令a?2,b?1,c?3,d?5?，则a?c???1?bd???3?(5)8；由a?c?b?d”

可得，a?b?(c?d)因为c?d，则c?d?0，所以a?b。故“a?b”是“a?c?b?d的必要而不充分条件。

6.（2009重庆卷理）不等式x?3?x?1?a?3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）

A．(??,?1][4,??) B．(??,?2][5,??) C．[1,2] 答案 A

D．(??,1][2,??)

2x?1?对4x解析 因为?4?x?3??3?x?12a?3?a任意x恒成立，所以对

a2?3a?4即a2?3a?0，解得a?4或a??1

二、填空题

4 5 x7.（2009年上海卷理）若行列式1 x 3中，元素4的代数余子式大于0，

7 8 9则x满足的条件是________________________ . 答案 x?8 3 解析 依题意，得： (-1)×(9x-24)＞0，解得：x?2

8 3 三、解答题

8.（2009江苏卷）(本小题满分16分) 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单 价为m元，则他的满意度为mm?a；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度

为n.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交

n?a易的综合满意度为h1h2. 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的 单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与 卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙 (1)求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当mA(2)设mA3?mB时，求证：h甲=h乙； 53?mB，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最 5大的综合满意度为多少？ (3)记(2)中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA、mB的值，使得h甲?h0和

h乙?h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 解析 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽 象概括能力以及数学阅读能力。满分16分。

(1)

3当mA?mB时，h甲?5mBmB2??

,3(mB?20)(mB?5)mB?12mB?553mB5h乙?3mBmBmB25??,h=h

甲乙3m?20(m?5)(m?20)BBmB?3B5 （2）当mA3?mB时， 5mB211h甲=??,

205121(mB?20)(mB?5)(1?)(1?)100()?25?1mBmBmBmB由mB?[5,20]得111?[,]， mB20511故当?即mB?20,mA?12时，

mB20 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为

10。 5（3）（方法一）由（2）知：h0=由h甲=10 5 m?12mB?55mAmB10??， 得：A??h0?mAmB2mA?12mB?55令

3515?x,?y,则x、y?[,1]，即：(1?4x)(1?y)?。 mAmB42105得：(1?x)(1?4y)? 52同理，由h乙?h0?另一方面，x、y?[,1]1?4x、1+4y?[2,5],1?x、1+y?[,2],

1452155(1?4x)(1?y)?,(1?x)(1?4y)?,当且仅当x?y?，即mA=mB时，取等号。

422所以不能否适当选取mA、mB的值，使得h甲?h0和h乙?h0同时成立，但等号不同时成立。

第二节 基本不等式

一、选择题

1.（2009天津卷理）设a?0,b?0.若3是3与3的等比中项，则 A . 8 B . 4 C. 1 D.

ab11?的最小值为 ab1 4考点定位 本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力。 答案 C

解析 因为3?3?3，所以a?b?1，

ab1111bababa1??(a?b)(?)?2???2?2??4，当且仅当?即a?b?ababababab2时“=”成立，故选择C

2.（2009重庆卷文）已知a?0,b?0，则A．2 答案 C 解析 因为

B．22

C．4

11??2ab的最小值是（ ） abD．5

111111??2ab?2?2ab?2(?ab)?4当且仅当?，且 ，abababab即a?b时，取“=”号。 二、填空题

3.（2009湖南卷文）若x?0，则x?答案22

2的最小值为 . x解析 三、解答题

x?0?x?22?22，当且仅当x??x?2时取等号. xx4.（2009湖北卷文）（本小题满分12分）

围建一个面积为360m的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。

（Ⅰ）将y表示为x的函数：

2

（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。 解：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则y-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360

2

由已知xa=360,得a=

360, x 3602?360(x?0) 所以y=225x+x3602?2225?3602?10800 (II)?x?0,?225x?x36023602?y?225x??360?10440.当且仅当225x=时，等号成立.

xx即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.

第三节 不等式组与简单的线性规划

一、选择题

y x-y+2=0

?3x?y?6?0?1. (2009山东卷理)设x，y满足约束条件?x?y?2?0 ， ?x?0,y?0?若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的是最大值为12，

z=ax+by

2 x 23则?的最小值为 ( ). ab25811A. B. C. D. 4 633

答案 A

-2 O 2 3x-y-6=0 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a>0，b>0） 过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时, 目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12, 即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而

23232a?3b13ba1325,故选?=(?)??(?)??2?abab66ab66A.

【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求

23?的最小值常用乘积进而用基本不等式解答. ab?x?02.（2009安徽卷理）若不等式组?x?3y?4所表示的平面区域被直线y??3x?y?4?4?kx?分为面积

3相等的两部分，则k的值是A.

7343 B. C. D. 3734 答案 B

解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC 由?y ?x?3y?44得A（1，1），又B（0，4），C（0，）

3?3x?y?4y=kx+ D 3C O A x 4144(4?)?1?，设y?kx与3x?y?4的 2331215交点为D，则由S?BCD?S?ABC?知xD?，∴yD?

23225147∴?k??,k?选A。 2233∴S△ABC=

3.（2009安徽卷文）不等式组 所表示的平面区域的面积等于 A. 解析 由?322343 B. C. D.

34?x?3y?4?014可得C(1,1)，故S阴 =?AB?xc?，选C。

23?3x?y?4?0答案 C

4.（2009四川卷文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是

A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 答案 D

解析 设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系：

13 y （0，6） （3，4） 甲产品x吨 乙产品y吨 A原料 3x y B原料 2x 3y ?x?0?y?0? 则有：?

?3x?y?13??2x?3y?18 目标函数z?5x?3y

作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知： 当x＝3，y＝5时可获得最大利润为27万元，故选D

?2x?y?4?5.（2009宁夏海南卷理）设x,y满足?x?y??1,则z?x?y

?x?2y?2?A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，无最大值 C.有最大值3，无最小值 D.既无最小值，也无最大值 答案 B

解析 画出可行域可知，当z?x?y过点（2，0）时，zmin?2，但无最大值。选B.

?2x?y?4,?6.（2009宁夏海南卷文）设x,y满足?x?y?1,则z?x?y

?x?2y?2,?A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，无最大值 C.有最大值3，无最小值 D.既无最小值，也无最大值

答案 B

解析 画出不等式表示的平面区域，如右图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图象，当它的平行线经过A（2,0）时，z取得最小值，最小值为：z＝2，无最大值，故选.B

7.(2009湖南卷理)已知D是由不等式组?在区域D内

的弧长为 [ B] A .

?x?2y?022，所确定的平面区域，则圆 x?y?4

?x?3y?03?3??? B. C. D.

4242

答案 B

解析 解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分

11|?(?)|113?1，所以别是,?，所以圆心角?即为两直线的所成夹角，所以tan??211231?（??）|23????，而圆的半径是2，所以弧长是，故选B现。

42?x?y?3?8.（2009天津卷理）设变量x，y满足约束条件：?x?y??1.则目标函数z=2x+3y的最小值

?2x?y?3?为

A.6 B.7 C.8 D.23 答案 B

【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。

?x?y?3?解析 画出不等式?x?y??1表示的可行域，如右图，

?2x?y?3?让目标函数表示直线y??2xz?在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方33?x?y?3程组?得(2,1)，所以zmin?4?3?7，故选择B。

2x?y?3? 8f?x? = -x+3g?x? = x+1h?x? = 2?x-3q?x? = -2?x3+76A4x-y=1x+y=322x-y=3B-15-10-551015-2 9.（2009四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B 原

-4料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是

A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元

答案 D

【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。（同文10）

解析 设甲、乙种两种产品各需生产x、y吨，可使利润z最大，故本题即

?3x?y?13?2x?3y?18?已知约束条件?，求目标函数z?5x?3y的最大

x?0???y?0值，可求出最优解为?择D。

?x?3，故zmax?15?12?27，故选

?y?4?x?y?1?0?10.（2009福建卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组?x?1?0（?为常数）所表示

?ax?y?1?0?

的平面区域内的面积等于2，则a的值为

A. -5 B. 1 C. 2 D. 3

答案 D

解析 如图可得黄色即为满足x?1?0与x?y?1?0的可行域，而ax?y?1?0 的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是

3；当a=3时，面积恰好为2，故选D. 2

二、填空题

?x?y?2,?11.（2009浙江理）若实数x,y满足不等式组?2x?y?4,则2x?3y的最小值是 ．

?x?y?0,? 答案 4

解析 通过画出其线性规划，可知直线y??

2x?Z过点?2,0?时，?2x?3y?min?4 3?x?y?2,?12.（2009浙江卷文）若实数x,y满足不等式组?2x?y?4,则2x?3y的最小

?x?y?0,?是 ．

【命题意图】此题主要是考查了线性规划中的最值问题，此题的考查既体现了正确画线性区域的要求，也体现了线性目标函数最值求解的要求 解析 通过画出其线性规划，可知直线y??2x?Z过点?2,0?时，?2x?3y?min?4 3?x?y?2?0,?13.（2009北京文）若实数x,y满足?x?4,则s?x?y的最大值为 .

?x?5,?答案 9

解析：本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查.

如图，当x?4,y?5时，

s?x?y?4?5?9为最大值.

故应填9.

?x?y?2?0?14.（2009北京卷理）若实数x,y满足?x?4则s?y?x的最小值为__________.

?y?5?答案 ?6

解析 本题主要考查线性规划方面 的基础知. 属于基础知识、基本运算 的考查.

如图，当x?4,y??2时，

s?y?x?2?4??6为最小值.

故应填?6.

15.(2009山东卷理)不等式2x?1?x?2?0的解集为 .

答案 {x|?1?x?1}

1?x?2?x?2??解析 原不等式等价于不等式组①?或②? 2?2x?1?(x?2)?0??2x?1?(x?2)?01?x?11?或③?不等式组①无解,由②得?x?1,由③得?1?x?,综上222???(2x?1)?(x?2)?0得?1?x?1,所以原不等式的解集为{x|?1?x?1}.

16.(2009山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为__________元.

答案 2300

解析 设甲种设备需要生产x天, 乙种设备需要生产y天, 该公司所需租赁费为z元,则

z?200x?300y，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示:

产品 A类产品 B类产品 租赁费 设备 (件)(≥50) (件)(≥140) 甲设备 乙设备 5 6 10 20 200 300 (元) ?6x?y?10?5x?6y?50???5则满足的关系为?10x?20y?140即:?,

x?2y?14?x?0,y?0????x?0,y?0 ?6?x?y?10作出不等式表示的平面区域,当z?200x?300y对应的直线过两直线?的交点5??x?2y?14(4,5)时，目标函数z?200x?300y取得最低为2300元.

【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题..

?y?2x?17.（2009上海卷文） 已知实数x、y满足?y??2x 则目标函数z=x-2y的最小值是_______.

?x?3? 答案 －9

解析 画出满足不等式组的可行域如右图，目标函数化为：y?11x－z，画直线y?x及其22平行线，当此直线经过点A时，－z的值最大，z的值最小，A点坐标为（3,6），所以，z的最小值为：3－2×6＝－9。

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