2018年高考数学解析几何压轴解答题专项提分训练（解析版）

2018年高考数学解析几何压轴解答题专项提分训练

x2y2

1．(本小题满分12分)如图，椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶5

点、上顶点分别为点A，B，且|AB|＝2|BF|.

(1)求椭圆C的离心率；

?162?

(2)若点M?－7，17?在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P，Q两点，

??

M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ.求直线l的方程及椭圆C的方程．

5

解：(1)由已知|AB|＝2|BF|， 5

即a＋b＝2a，∴4a2＋4b2＝5a2，

22c3

∴4a2＋4(a2－c2)＝5a2，∴e＝a＝2.

22xy

(2)由(1)知a2＝4b2，∴椭圆C：4b2＋b2＝1.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

222

x2y2x2y2x2y21－x21－y2112由4b2＋b2＝1，4b2＋b2＝1，可得4b2＋b2＝0，

?x1＋x2??x1－x2??y1＋y2??y1－y2?即＋＝0， 4b2b232

－17?x1－x2?

y1－y24

即＋17(y1－y2)＝0，从而kPQ＝＝2， 4x1－x2

??16??2

所以直线l的方程为y－17＝2?x－?－17??，

????

即2x－y＋2＝0.

?2x－y＋2＝0，

由?x2y2

?4b2＋b2＝1

?x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0，

即17x2＋32x＋16－4b2＝0.

217

Δ＝322＋16×17(b2－4)>0?b>17， 16－4b232

x1＋x2＝－17，x1x2＝17.

→·→＝0，即xx＋yy＝0， ∵OP⊥OQ，∴OPOQ1212∴x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0， 即5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0，

5?16－4b2?128

从而－17＋4＝0，解得b＝1， 17x22

∴椭圆C的方程为4＋y＝1.

x2y26

2．(本小题满分12分)已知椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率为3，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x－2y＋6＝0相切．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知点A，B为动直线y＝k(x－2)(k≠0)与椭圆C的两个交点．问：在x→2＋EA→·→为定值？若存在，轴上是否存在定点E，使得EAAB试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．

6c66

解：(1)由e＝3得a＝3，即c＝3a.①

又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2＋y2＝a2， 且与直线2x－2y＋6＝0相切，

6

所以a＝2＝6，代入①得c＝2. 2

2＋?－2?所以b2＝a2－c2＝2.

x2y2

所以椭圆C的标准方程为6＋2＝1.

22xy?＋＝1，(2)由?62得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0.

?y＝k?x－2?

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

12k2－612k2

所以x1＋x2＝，xx＝.

1＋3k2121＋3k2根据题意，假设x轴上存在定点E(m,0)， →2＋EA→·→＝(EA→＋AB→)·→＝EA→·→为定值， 使得EAABEAEB→·→＝(x－m，y)·则EAEB11(x2－m，y2) ＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2

222

?3m－12m＋10?k＋?m－6?2222

＝(k＋1)x1x2－(2k＋m)(x1＋x2)＋(4k＋m)＝.

1＋3k2

要使上式为定值，即与k无关，则3m2－12m＋10＝3(m2－6)， 7得m＝3. ?7?522→→→→?此时，EA＋EA·AB＝m－6＝－9，所以在x轴上存在定点E3，0?，使得EA

?

?

2

5→→＋EA·AB为定值，且定值为－9. 3

3．(本小题满分12分)已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为2的椭

?2??圆过点2，?.

2??

(1)求椭圆的方程；

(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

x2y2c3

解：(1)由题意可设椭圆方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，则a＝2(其中c2＝a2－b2，21

c>0)，且a2＋2b2＝1，故a＝2，b＝1.

x22

所以椭圆的方程为4＋y＝1.

(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l：y＝kx＋m(m≠0)． 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

??y＝kx＋m，由?2消去y得 2

?x＋4y＝4，?

(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，

则Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)>0， 4?m2－1?8km且x1＋x2＝－，xx＝，

1＋4k2121＋4k2故y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2， 因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，

22

y1y2kx1x2＋km?x1＋x2?＋m2

所以x·＝＝k， x1x21x2

8k2m22即－2＋m＝0. 1＋4k

11又m≠0，所以k＝4，即k＝±2.

2

由于直线OP，OQ的斜率存在，且Δ>0， 得0

|2m|设d为点O到直线l的距离，则d＝，

5

22|PQ|＝?1＋k?[?x1＋x2?－4x1x2]

＝5?2－m2?，

22

122m＋2－m2

所以S＝2|PQ|d＝m?2－m?<＝1(m≠1)， 2

故△OPQ面积的取值范围为(0,1)．

4．(本小题满分12分)如图，已知抛物线C1：y2＝4x的焦点为F，椭圆C2

的中心在原点，F为其右焦点，点M为曲线C1和C2在第一象限的交点，且|MF|5＝2.

(1)求椭圆C2的标准方程；

(2)设A，B为抛物线C1上的两个动点，且使得线段AB的中点D在直线y＝x上，P(3,2)为定点，求△PAB面积的最大值．

x2y2

解：(1)设椭圆C2的方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，半焦距为c.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zj7v.html