最新北师大版八年级数学下册教案（9课） - 图文

第六章 平行四边形

１. 平行四边形的性质（一）

一、学生起点分析

学生知识技能基础：学生在小学已经学习过平行四边形，对平行四边形有直观的感知和认识。 学生活动经验基础：在掌握平行线和相交线有关几何事实的过程中，学生已经初步经历过观察、操作等活动过程，获得了一定的探索图形性质的活动经验；同时，在学习数学的过程中也经历了很多合作过程，具有了一定的学习经验，具备了一定的合作和交流能力。

二、学习任务分析

四边形和三角形一样，也是基本的平面图形，在七年级下册有关知识的基础上，探索并掌握四边形的基本性质，进一步学习说理和简单的推理，将为学生学习空间与图形的后继内容打下基础，本节将用多种手段（直观操作、图形的平移、旋转、说理及简单推理等）探索平行四边形的性质并培养学生的探索意识。 教学目标：

1．经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，在活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯； 2．探索并掌握平行四边形的性质，并能简单应用； 3．在探索活动过程中发展学生的探究意识。 教学重点：平行四边形性质的探索。 教学难点：平行四边形性质的理解。 教学方法：探索归纳法

三、教学过程设计

本节课分5个环节：

第一环节：实践探索，直观感知 第二环节：探索归纳，交流合作 第三环节：推理论证，感悟升华 第四环节：应用巩固，深化提高 第五环节：评价反思，概括总结

第一环节：实践探索，直观感知

1．小组活动一 内容：

问题1：同学们拿出准备好的剪刀、彩纸或白纸一张。将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片，

1

将它们相等的一边重合，得到一个四边形。

（1）你拼出了怎样的四边形？与同桌交流一下；

（2）给出小明拼出的四边形，它们的对边有怎样的位置关系？说说你的理由，请用简捷的语言刻画这个图形的特征。

目的：

通过学生动手实践，引出平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形； 平行四边形的相邻的两个顶点连成的一段叫做它的对角线。

教师进一步强调：平行四边形定义中的两个条件：①四边形，②两边分别分别平行即AD // BC 且AB // BC；平行四边形的表示 “ ”。

2．小组活动二

内容：生活中常见到平行四边形的实例有什么呢？你能举例说明吗？

目的：加强知识的直观体验，使学生感受数学来源于生活，数学图形和生活是紧密相联系的。 效果：通过动手实践、探索、感知，学生进一步探索了平行四边形的概念，明确了平行四边形的本质特征。

第二环节 探索归纳、合作交流

小组活动三：

内容：⑴平行四边形是中心对称图形吗？如果是,你能找出他的对称中心并验证你的结论吗? ⑵你还发现平行四边形的那些性质呢?

活动目的：

这个探索活动与第一环节的探索活动有所不同，是从整体的角度研究平行四边形中心对称性的特征,明确了两条对角线的交点就是其对称中心，感知平行四边形的对边,对角的性质：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等等。

活动注意事项：

引导学生动手操作、复制、旋转、观察、分析,在剪切平行四边形纸片时，要保证上下纸片的大小、形状完全相同。

第三环节 推理论证、感悟升华

1．实践探索内容

2

（1）通过剪纸，拼纸片，及旋转，可以观察到平行四边形的对应边、对应角分别相等。 （2）可以通过推理来证明这个结论。

例：如图6-2（1），四边形ABCD是平行四边形. 求证:AB=CD,BC=DA. 证明:如图6-2(2),连接AC. ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴AD // BC， AB // CD ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4 ∴ △ABC和△CDA中 ∠2=∠1 AC=CA ∠3=∠4

∴ △ABC≌△CDA（ASA） ∴ AB=DC， AD=CB

学生证明:平行四边形的对角相等. 2．活动目的：

学生通过说理，由直观感受上升到理性分析，在操作层面感知的基础上提升，并了解图形具有的数学本质。

3．活动效果：

“实践→认识→再实践→认识”是数学学习的重要方法，说理论证平行四边形的性质时学生能很好地接受，由此看出这一年龄段的学习完全可以由感性的认知上升到理性的证明。

第四环节 应用巩固 深化提高

1． 活动内容：

（1）练一练:已知:如图6-3，在 求证：BE=DF． 证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB = CD AB // CD ∴ ∠BAE=∠DCF 又∵ AE=CF ∴ △BAE≌△DCF ∴ BE=DF

ABCD中， E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF．

3

⑵ 议一议：如果已知平行四边形的一个内角度数，能确定其它三个内角的度数吗？ A（学生思考、议论）

B总结归纳：可以确定其它三个内角的度数。

由平行四边形对边分边平行得到邻角互补；又由于平行四边形对角相等，由此已知平行四边形的一个内角的度数，可以确定其它三个角度数。

2．活动目的：

通过练一练,议一议，学生进一步理解平行四边形的性质，并进行简单合情推理，体现性质的应用，同时从不同角度平移、旋转等再一次认识平行四边形的本质特征。

3．活动效果：

学生经过通过此环节的思、议、练进一步理解和应用掌握了平行四边形的性质特征，是对探索归纳：比较的综合提高。

第五环节 评价反思 概括总结

1．活动内容

[1]师生相互交流、反思、总结。

（1）经历了对平行四边形的特征探索，你有什么感受和收获？给自己一个评价。 （2）在与同伴合作交流中练表现，优秀方面有哪些？你看到同伴哪些优点？ （3）本节学习到了什么？（知识上、方法上） 2．活动目的：

鼓励学生交流课堂实践、观察探索的经历、感受和收获；鼓励学生勇于进行自我评价，进一步培养学生反思意识及总结能力。

3．活动效果：

学生踊跃谈感受和收获，本节学习了平行四边形的概念，探索了平行四边形的性质：平行四边形对边相等，平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分。

[2]考一考：

1． ABCD中，∠B=60°，则∠A= ，∠C= ，∠D= 。 2． ABCD中，∠A比∠B大20°，则∠C= 。 3． ABCD中，AB=3，BC=5，则AD= CD= 。

4． ABCD中，周长为40cm，△ABC周长为25，则对角线AC=（ ）cm。 A．5cm B．15cm C．6cm D．16cm 参考答案

1．120° 120° 60° 2．100° 3．5cm 3cm

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4．A [3]布置作业

（1）课本习题6.1 1，2，3，4． （2）想一想（请同学们思考探究）

如图 ABCD中，平行于对角线BD的直线MN分别交CD，CB的延长线于M，N，交AD于P，交AB于Q，你能说明MQ=NP吗？说说你的理由。

[4]师生共勉，把一件平凡的事做好，就是又平凡，把一件简单事情做好就是不简单。 4．活动目的：

1．通过作业的巩固对平行四边形性质理解并学会应用。 2．想一想，旨在的同学们探究意识延伸。

四、教学反思

1．本节教材直观感知活动较多，由学生的心理及年龄特点决定，学生有一定的逻辑思考能力及说理能力，因此从理性角度分析平行四边形的性质特点是非常需要的。

2．学生在“议一议，练一练”环节中，要引导有条理的叙述及数学语言的表达。

１. 平行四边形的性质（二）

一、学生起点分析

学生经历了对平行四边形性质探索的过程，掌握了平行四边形对边、对角的性质特征，并能简单应用，因此对平行四边形具有了一定的观察分析的能力和合情推理能力,具备了自行得出平行四边形对角线的性质的基础。

二、学习任务分析

本节的学习任务主要是进一步掌握平行四边形的性质，因此教学目标为：

1．进一步掌握平行四边形对角线互相平分的性质,学会应用平行四边形的性质；

2．在应用中进一步发展学会合情推理能力，增强学生逻辑推理能力，使学生掌握说理的基本方法。 3．通过解决问题，探究并归纳：“平行线间的距离处处相等”这一性质。 教学重点：平行四边形性质的应用

教学难点：发展合情推理及逻辑推理能力 教学方法：启发诱导法，探索分析法

三、教学过程设计

本节课分5个环节

第一环节 回顾思考，引入新课 第二环节 探索发现，灵活运用 第三环节 观察分析，理性升华 第四环节 巩固反馈，总结提高 第五环节 评价反思，目标回顾

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第一环节 回顾思考，引入新课

活动内容：

以问题串形式回顾平行四边形的概念和平行四这形的性质。温故知新。 1．平行四边形都有哪些性质？ 2．回顾思考 选择题

（1）平行四边形ABCD中，∠A比∠B大20°，则∠C的度数为（ ） A．60° B．80° C．100° D．120°

（2）平行四边形ABCD的周长为40cm，三角形ABC的周长为25cm, 则对角线AC长为（ ） A．5cm B．15cm C．6cm D．16cm

（3）平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于O，则全等三角形的对数有 参考答案：

1． C． 2． A． 3．4对． 活动目的：

1．通过（1）~（3）的问题串，反馈学生对平行四边形的对边、对角性质的理解和简单应用，同时总结结论：平行四边形对角线互相平分。 活动效果：

能真实客观反馈学生对上节“平行四边形性质”的情况，并有针对性的在本节补救强化。

第二环节 探索发现，灵活运用

活动内容：

一、 探索问题1

在上节课的做一做中,我们发现平行四边形除了边、角有特殊的关系以外，对角线还有怎样的特殊关系呢？ A．（学生思考、交流）得出：平行四边形的对角线互相平分。 B．请尝试证明这一结论

已知：如图6-4，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 求证:OA=OC,OB=OD.

证明: ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB=CD AB//DC

∴ ∠BAO=∠DCO ∠ABO=∠CDO

∴ △AOB≌△COD ∴ OA=OC,OB=OD.

你还有其他的证明方法吗，与同伴交流。 活动目的：

通过对上节课做一做的回顾，得出平行四边形对角线互相平分的性质，再通过严格的说理证明，深化对知识的理解。

活动效果及注意：

因为有上节课的基础，学生对于定理的证明已具备一定的基础，但是在证明完定理后应该给学生强调：定理的证明只是让学生进一步理解定理，而在定理的运用时则没必要这么麻烦，直接由平行四边形可得出其对角线互相平分。 二、[练一练] 活动内容

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探索问题2

例1.如图6-5，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O的直线分别与AD、BC交于点E、F. 求证:OE=OF. A．议论交流 B．师生共析归纳

解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD=CB AD//BC OA=OC ∴ ∠DAC=∠ACB 又∵∠AOE=∠COF ∴△AOE≌△COF ∴OE=OF 探索问题2

如图6-6, 平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, ∠ADB=900,OA=6,0B=3.求AD和AC的长度.

解: ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=6 OB=OD=3 ∴AC=12

又∵∠ADB=900

∴在Rt△ADO中，根据勾股定理得

OA2=0D2+AD2 ∴AD=3√3 活动目的：

通过练一练的两个问题的训练，进一步巩固平行四边形的性质，并学会应用。

第三环节 观察分析，理性升华

例2 已知，如图，在平行四边形ABCD中，平行于对角线AC的直线MN分别交DA，DC的延长线于M，N，交BA，BC于点P，点B，你能说明MQ=NP吗？ A．学生独立观察分析

B．交流探索 C．师生共析小结

解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD//BC，AB//CD 即AM//CQ 又∵AC//MN 即AC//MQ

∴由平行四边形定义得四边形MQCA是平行四边形 ∴MQ=AC 同理 NP=AC ∴MQ=NP

小结：利用平行四边形可以证明两线段相等 活动目的：

由学生直观操作得出的结论与简单推理进行有机结合，是对探索活动的自然延续和必要发展，本环节让学生就用的结论进行说理和推理，实验理性升华，培养语言表达能力。

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第四环节 巩固反馈，总结提高

活动内容：

一、通过练习，进一步应用平行四边形性质，达到掌握的程度。

1．在平行四边形ABCD中，∠A=150°，AB=8cm，BC=10cm，求平行四边形ABCD的面积。 A．学生议论 B．师生共评

解：过A作AE⊥BC交BC于E， ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD//BC

∴∠BAD+∠B =180° ∵∠BAD =150° ∴∠B =30°

在Rt△ABE中，∠B =30° ∴AE =1/2AB=4

∴平行四边形ABCD的面积=4×10=40cm2

小结：平行四边形的问题，可以转化为三角形，问题解决。 活动目的：

由学生直观操作得出的结论与简单推理进行有机结合，是对探索活动的自然延续和必要发，本环节让学生应用的结论进行说理和推理实理理性升华，培养语言表达能力。 二、计算题

1．课本随堂练习

2．平行四边形ABCD的两条对角线相交于O，OA，OB，AB的长度分别为3cm、4cm、5cm，求其它各边以及两条对角线的长度。 解：

∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，AD=BC OA=OC，OB=OD

又∵OA=3cm， OB=4cm， AB=5cm ∴AC=6cm BD=8cm CD=5cm

∵△AOB中，32+42=52，即AO2+BO2=AB2 ∴∠AOB =90° ∴AC⊥BD

∴Rt△AOD中，OA2+OD2=AD2 ∴AD=5cm，BC=5cm,

答：这个平行四边形的其它各边都是5cm，两条对角线长分别为6cm和8cm。 活动效果：

通过一组训练，达到了学生对平行四边形性质的掌握。

第五环节 评价反思，目标回顾

活动内容：

1．本节课你有哪些收获？你能将平行四边形的性质进行归纳吗？ 2．本节通过实例，你如何理解“两条平行线间距离”？ 3．利用平行四边形可以解决哪些问题？ 4．你能给自己和同伴本节课一个评价吗？

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活动目的：

通过师生反思评价，实理知识的系统归纳，对知识和方法进行总结，并通过作业和考题全面巩固平行四边形性质。

5．布置作业：习题6.2 1，2，3, 4

师生共勉：把一件平凡的事情做好，就不平凡，把一件简单的事情做好就不简单。

２. 平行四边形的判定（一）

一、学生起点分析

学生知识技能基础：学生在小学已经学习过平行四边形，对平行四边形有直观的感知和认识。在第一节也学习了平行四边形的性质，可以考虑采用类比的方式进行教学设计。

学生活动经验基础：在掌握平行线和相交线有关几何事实的过程和平行四边形性质的学习中，学生已经初步经历过观察、操作等活动过程，获得了一定的探索图形性质的活动经验；同时，在学习数学的过程中也经历了很多合作过程，具有了一定的学习经验，具备了一定的合作和交流能力。

二、教学任务分析

本节课是平行四边形的判定的第一课时，是在学习了三角形的相关知识、平行四边形的概念、性质的基础上进行学习的，在教学内容上起着承上启下的作用．“承上”，首先，在探究判定定理的证明方法和运用判定定理时，都用到了全等三角形的相关知识；其次，平行四边形的判定定理和性质定理是两两对应的互逆定理，本节课在引入新课时就是类比性质引入判定的．“启下”，首先，平行四边形的性质定理、判定定理是研究特殊的平行四边形的基础；其次，平行四边形性质、判定的探究模式从方法上为研究特殊的平行四边形奠定了基础．并且，本节内容还是学生运用化归思想、数学建模思想的良好素材，培养了学生的创新思维和探索精神．

教学目标

知识技能目标

1．会证明平行四边形的2 种判定方法．

2．理解平行四边形的这两种判定方法，并学会简单运用． 过程与方法目标

1．经历平行四边行判别条件的探索过程，在有关活动中发展学生的合情推理意识．

2．在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力．

情感态度价值观目标

通过平行四边形判别条件的探索，培养学生面对挑战，勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情． 教学重点：平行四边形判定方法的探究、运用．

难点：对平行四边形判定方法的探究以及平行四边形的性质和判定的综合运用．

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三、教学过程设计

教学环节

本节可分成五个环节： 第一环节：复习引入 第二环节：定理探究 第三环节：巩固练习 第四环节：回顾小结 第五环节：布置作业

第一环节 复习引入：

问题1（多媒体展示问题）

1．平行四边形的定义是什么？它有什么作用？ 2．平行四边形还有哪些性质？ 目的：

教师提出问题1，2，由学生独立思考，并口答得出定义正反两方面的作用，总结出平行四边形的其他几条性质．

在此活动中，教师应重点关注： （1）学生参与思考问题的积极性；

（2）学生能否准确、全面地回答出平行四边形的全部性质；

（3）学生能否由平行四边形的性质，猜测出平行四边形的判断方法．

D A 第二环节 定理探索

活动1：

工具:两对长度分别相等的笔.

动手:能否在平面内用这四根笔摆成一个平行四边形？

B 思考1.1：你能说明你所摆出的四边形是平行四边形吗？

已知：如图6-8（1），在四边形ABCD中，AB=CD,BC=AD 求证：四边形ABCD是平行四边形.

证明:如图6-8（2）连接BD. 在△ABD和△CDB中

∵AB=CD AD=CB BD=DB ∴△ABD≌△CDB ∴∠1=∠2 ∠3=∠4

∴AB∥CD AD∥CB

∴四边形ABCD是平行四边形

思考1.2：以上活动事实,能用文字语言表达吗？ 得出：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

C

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目的：

学生以小组为单位，利用课前准备好的学具动手操作、观察,完成探究活动1，共同得到： （1）只有将两两相等的木条分别作为四边形的两组对边才能得到平行四边形． （2）通过观察、实验、猜想到：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

通过学生的互相交流，口述其推理论证的过程．根据学生的认知水平，教师应估计到学生可能会在推理论证时遇到困难，所以应加以适当引导．

在此活动中，教师应重点关注：

（1）学生在拼四边形时，能否将相等两木条作为四边形的对边；

（2）转动四边形，改变它的形状的过程中，能否观察得到在此过程中它始终是一个平行四边形； （3）学生能否通过独立思考、小组合作得出正确的证明思路．

活动2

工具:两根长度相等的笔,

两条平行线(可利用横格线）.

动手:请利用两根长度相等的笔能摆出以笔顶端为顶点的平行四边形吗?

利用两根长度相等的笔和两条平行线,能摆出以笔顶端为顶点的平行四边形吗? 思考2.1：你能说明你所摆出的四边形是平行四边形吗？ 如图6-9（1），在四边形ABCD中，AB∥CD, 且AB=CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形.

证明：如图6-9（2），连接AC. ∵ AB∥CD

∴ ∠BAC=∠ACD 又∵ AB=CD AC=CA

∴ △BAC≌△DCA ∴ BC=AD

∴ 四边形ABCD是平行四边形

思考2.2：以上活动事实,能用文字语言表达吗？ 得出：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 目的：

得出平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 注意事项

在此活动中，教师应重点关注： （1）学生实验操作的准确性；

（2）学生能否运用不同的方法从理论上证明他们的猜想、发现； （3）学生使用几何语言的规范性和严谨性．

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第三环节 巩固练习

例1 如图6-10，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD和BC的 中点． 求证：四边形BFDE是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD=CB AD//BC

又∵E、F分别是AD和BC的 中点

∴ED=1|2AD BF=1|2BC ∴DE=BF 又∵ED∥BF

∴四边形BFDE是平行四边形

随堂练习：

1.如图：线段AD是线段BC经过平移所得到的，分别连接AB、CD．四边形ABCD是平行四边形吗?为什么? CAAA D E AA

DB AAAB C F

2.如图所示，AC=BD=16，AB=CD=EF=15，CE=DF=9，图中有哪些互相平行的线段？

3如图所示，四个全等的三角形拼成一个大的三角形，找出图中所有的平行四边形，并说明理由． 目的:通过练习,让学生进一步熟练掌握平行四边形判定定理得.

123465第四环节 回顾小结:

师生共同小结，主要围绕下列几个问题：

（1）判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种？这些方法是从什么角度去考虑的？

（2）我们是通过什么方法得出平行四边形的这几种判定方法的，这样的探索过程对你有什么启发？ （3）类比、观察、拼图、实验等都是学习数学、发现结论的常用方法．

目的: 鼓励学生畅所欲言，总结对本节课的收获和体会;自主建构知识体系，锻炼学生的口头表达能力,培养学生的自信心;进一步加深对所学知识的理解和记忆。

第五环节 布置作业:

（1）基础题：

课本习题6.3第1题、第2题、第3题 （2）思考题：

有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形吗？为什么？

四、设计说明与反思

本节课在引入的环节上，采用复习引入的方式．首先复习了平行四边形的定义和性质，唤起学生对已有知识的回忆，让学生初步感受平行四边形的性质与判定的区别与联系，为平行四边形的性质和判定的综合运用作了铺垫．

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知识的真正获得不是靠知者的“告诉”，而是在于学习者的亲身体验所得，本节课判定方法的得出都非常重视知识的发生、形成过程，让学生亲历了类比、观察、实验、猜想、验证、推理的整个过程，培养学生的探究能力，发展学生的合情推理能力．学生把所学知识灵活地加以运用，有效地激发了学生的学习兴趣，提高了学习效率．

数学的学习要重视学习方法的指导．本节课通过由浅入深的练习和灵活的变式，引导学生善于抓住图形的基本特征和题目的内在联系，达到触类旁通的效果．

２. 平行四边形的判定（二）

一、学生起点分析

学生知识技能基础：学生在小学已经学习过平行四边形，对平行四边形有直观的感知和认识。在第一节也学习了平行四边形的性质，第二节第一课时学生也已经掌握了几种判定的方法。

学生活动经验基础：在掌握平行线和相交线有关几何事实的过程和平行四边形性质的学习中，学生已经初步经历过观察、操作等活动过程，获得了一定的探索图形性质的活动经验；同时，在学习数学的过程中也经历了很多合作过程，具有了一定的学习经验，具备了一定的合作和交流能力。

二、教学任务分析

本节课是平行四边形的判定的第2课时，是在平行四边形的定义、性质的基础上又学习了平行四边形的两种判定方法进行学习的，在教学内容上起着承上启下的作用．“承上”，首先，在探究判定定理的证明方法和运用判定定理时，用到了前一节课的探究方法及证明；其次，平行四边形的判定定理和性质定理是两两对应的互逆定理； “启下”，首先，平行四边形的性质定理、判定定理是研究特殊的平行四边形的基础；其次，平行四边形性质、判定的探究模式从方法上为研究特殊的平行四边形奠定了基础．并且，本节内容还是学生运用化归思想、数学建模思想的良好素材，培养了学生的创新思维和探索精神． 教学目标

知识技能目标

1．会证明对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理．

2．理解对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理，并学会简单运用． 过程与方法目标

1．经历平行四边行判别条件的探索过程，在探究活动中发展学生的合情推理意识．

2．在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的几何表达能力．

情感态度价值观目标

通过平行四边形判别条件的探索，培养学生面对挑战，勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情． 教学重点：平行四边形判定方法的探究、运用．

教学难点：对平行四边形判定方法的探究以及平行四边形的性质和判定的综合运用．

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三、教学过程设计

教学环节

本节可分成五个环节： 第一环节：复习引入 第二环节：定理探究 第三环节：巩固练习 第四环节：回顾小结 第五环节：布置作业

第一环节 复习引入：

问题1（多媒体展示问题）

1．平行四边形的定义是什么？它有什么作用？ 2．判定四边形是平行四边形的方法有哪些？ （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形. （2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. （3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

目的：

1．教师提出问题1，2，由学生独立思考，并口答得出定义正反两方面的作用，总结出判定四边形是平行四边形的几个条件．

2．对比平行四边形的性质，猜测平行四边形判断的其他方法。

第二环节 探索活动

活动：

工具:两根不同长度的细木条.

动手:能否合理摆放这两根细木条,使得连接四个顶点后成为平行四边形？ 思考2.1：你能说明你得到的四边形是平行四边形吗？ 思考2.2：以上活动事实,能用文字语言表达吗？ (得出:对角线互相平分的四边形是平行四边形.)

已知:如图6-12,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,并且OA=OC,OB=OD. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明: ∵OA=OC,OB=OD 且∠AOB=∠COD ∴△AOB≌△COD ∴AB=CD

同理可得:BC=AD

∴四边形ABCD是平行四边形. 目的：

得出平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形

注意事项

在此活动中，教师应重点关注： （1）学生实验操作的准确性；

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（2）学生能否运用不同的方法从理论上证明他们的猜想、发现； （3）学生使用几何语言的规范性和严谨性．

第三环节 巩固练习

例1 ．已知：如图6-13(1),在平行四边形ABCD 中，点E、F在对角线AC上，并且AE=CF． 求证:四边形BFDE是平行四边形吗？

证明: 如图6-13(2),连接BD.

∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ OA=OC OB=OD 又∵AE=CF

∴OA-AE=OC-CF ∴OE=OF

∴四边形BFDE是平行四边形

变式练习:② 对于上述例题，若E，F继续移动至OA，OC的延长线上，仍使AE=CF（如图），则结论还成立吗？

EDA

O

CBF随堂练习

1．判断下列说法是否正确

(1)一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 ( ) (2)两组对角都相等的四边形是平行四边形 ( ) (3)一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 ( ) (4)一组对边平行,一组邻角互补的四边形是平行四边形 ( ）

A2．如图:AD是ΔABC的边BC边上的中线.

(1)画图:延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,CE; BDC(2)判断四边形ABEC的形状,并说明理由. E3．想一想：如图有一块平行四边形玻璃镜片,不小心打掉了一块,但是有两条边是完好的.同学们想想看，有没有办法把原来的平行四边形重新画出来？

（让学生思考讨论，再各自画图，画好后互相交流画法，教师巡回检查．对个别学生稍加点拨，最后请学生回答画图方法） 学生想到的画法有：

(1)分别过A，C作BC，BA的平行线，两平行线相交于D；

(2）分别以A，C为圆心，以BC， BA的长为半径画弧，两弧相交于D，连接AD，CD；

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(3)这一种方法学生不易想到，即为平行四边形对角线的特性，引导学生得出连线AC，取AC的中点O，再连接BO，并延长BO到D，使BO=DO，连接AD，CD．

目的:通过练习进行强化和巩固,加深学生对定理的理解,从而达到灵活的运用.

第四环节 回顾小结：

师生共同小结，主要围绕下列几个问题：

（1）判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种？

（2）我们是通过什么方法得出平行四边形的这几种判定方法的，这样的探索过程对你有什么启发？ （3）平行四边形判定的应用

目的: 鼓励学生畅所欲言，总结对本节课的收获和体会;自主建构知识体系，锻炼学生的口头表达能力,培养学生的自信心;进一步加深对所学知识的理解和记忆。

第五环节 布置作业：

C组 随堂练习第1题 课本习题6.4的第1题，第2题 B组 课本习题6.4的第3题.

四、教学设计反思与说明

本节课的设计通过探究活动的开展探求平行四边形的判定方法，通过对判定方法的进一步理解，典型例题的分析，精选的随堂练习，学生一定能够掌握平行四边形的判定方法及应用判定方法解决实际生活的问题．

２. 平行四边形的判定（三）

一、学生起点分析

学生知识技能基础：学生在小学已经学习过平行四边形，对平行四边形有直观的感知和认识。在第一节也学习了平行四边形的性质，第二节第一课时学生也已经掌握了几种判定的方法。

学生活动经验基础：在掌握平行线和相交线有关几何事实的过程和平行四边形性质的学习中，学生已经初步经历过观察、操作等活动过程，获得了一定的探索图形性质的活动经验；同时，在学习数学的过程中也经历了很多合作过程，具有了一定的学习经验，具备了一定的合作和交流能力。

二、教学任务分析

本节课是平行四边形的判定的第三课时，是在平行四边形的定义、性质的基础上又学习了平行四边形的判定方法后进行学习的，在教学内容上起着承上启下的作用．“承上”，首先，在探究判定定理的证明方法和运用判定定理时，用到了前一节课的探究方法及证明；其次，平行四边形的判定定理和性质定理是两两对应的互逆定理； “启下”，首先，平行四边形的性质定理、判定定理是研究特殊的平行四边

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形的基础；其次，平行四边形性质、判定的探究模式从方法上为研究特殊的平行四边形奠定了基础．并且，本节内容还是学生运用化归思想、数学建模思想的良好素材，培养了学生的创新思维和探索精神． 教学目标

知识技能目标

1．运用类比的方法，通过学生的合作探究，得出平行四边形的判定方法．

2．理解对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理，并学会简单运用． 过程与方法目标

1．经历平行四边行判别条件的探索过程，在探究活动中发展学生的合情推理意识．

2．在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的几何表达能力．

教学重点：平行四边形判定方法的综合运用． 教学难点：平行四边形的性质和判定的综合运用．

三、教学过程设计

教学环节

本节可分成五个环节： 第一环节：复习引入 第二环节：定理探究 第三环节：巩固练习 第四环节：回顾小结 第五环节：布置作业

第一环节 复习引入：

问题1（多媒体展示问题）

1． 平行四边形的定义是什么？它有什么作用？ 2． 平行四边形有那些性质?

3．判定四边形是平行四边形的方法有哪些？

目的：

教师提出问题,由学生独立思考，并口答得出定义正反两方面的作用.总结出平行四边形的性质和判定四边形是平行四边形的几个条件．

问题2 （多媒体展示问题）

在笔直的铁轨上,夹在铁轨之间的平行枕木是否一样长? 你能说明理由吗?与同伴交流.

目的:

从实际的生活出发,让学生感受数学来源于生活又服务于生活.

将生活中的问题抽象成数学问题:

已知，直线a//b，过直线a上任两点A，B分别向直线b作垂线，交直线b于点C，点D，如图， （1）线段AC，BD所在直线有什么样的位置关系？ （2）比较线段AC，BD的长。 A．（学生思考、交流） B．（师生归纳）

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解（1）由AC⊥b，BD⊥b，得AC//BD。

（2）a//b，AC//BD，→四边形ACDB是平行四边形 →AC=BD 归纳：

若两条直线平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线间的距离。 即平行线间的距离相等。

[议一议]：

夹在平行线之间的平行线段一定相等吗？ 结论:夹在平行线间的平行线段一定相等. 活动目的：

通过对平行四边形性质的简单应用，引入了平行线之间的距离的概念;再通过生活中的生活实例的应用，深化对知识的理解。 活动效果及注意：

1．在引入平行线之间的距离概念中，先引入点到直线的距离，再通过点到直线的距离来刻画平行线间的距离。

2．在应用平行四边形性质的同时深入知识、效果很好，学生易于接受。、

第二环节 探索活动

做一做:

如图6-15,以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形,并说明的画得方法和其中的道理.

目的：

通过网格中学生画平行四边形并说理,进一步让学生掌握平行四边形的判定定理.

注意事项

在此活动中，教师应重点关注： （1）学生实验操作的准确性；

（2）学生能否运用不同的判定方法对所画得图形进行说明； （3）学生使用几何语言的规范性和严谨性．

第三环节 巩固练习

例1 ．如图6-16,在平行四边形ABCD中,点M、N 分别是AD、BC上的两点，点E、F在对角线BD上，且DM=BN，BE=DF.

求证：四边形MENF是平行四边形.

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证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥CB

∴∠MDF=∠NBE 又∵DM=BN DF=BE ∴△MDF≌△NBE

∴MF=EN ∠MFD=∠NEB ∴∠MFE=∠NEF ∴MF∥EN

∴四边形MENF是平行四边形.

随堂练习：

0

如图：平行四边形ABCD中，∠ABC=70，∠ABC的平分线交AD于点E,过 D作BE的平行线交BC于点F , 求∠CDF的度数.

(作法多种，可让学生板演，教师在学生中巡视，随时指出学生作业中的问题)

目的:通过练习进行强化和巩固,加深学生对平行四边形的性质定理和判定定理的理解,从而达到灵活的运用.

第四环节 回顾小结：

师生共同小结，主要围绕下列几个问题：

（1）平行四边形的性质有哪些，判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种？ （2）夹在平行线间的平行线段有何特点，你是怎样得到结论的？ （3）能综合运用平行线的性质和判定定理。

目的: 鼓励学生畅所欲言，总结对本节课的收获和体会;自主建构知识体系，锻炼学生的口头表达能力,培养学生的自信心;进一步加深对所学知识的理解和记忆。

第五环节 布置作业：

C组 随堂练习第1题 课本习题6.5的第1，2，3, 4, 5题

B组 自行总结平行四边形的性质和判定定理，以手抄报的形式呈现。

四、教学设计反思与说明

本节课的设计通过探究活动的开展探求平行四边形的判定方法，通过对判定方法的进一步理解，典型例题的分析，精选的随堂练习，学生一定能够掌握平行四边形的判定方法及应用判定方法解决实际生活的问题．

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3. 三角形的中位线

一、学生知识状况分析

本节课是在学生学习了全等三角形、平行四边形的性质与判定的基础上学习三角形中位线的概念和性质。三角形中位线是继三角形的角平分线、中线、高线后的第四种重要线段。三角形中位线定理为证明直线的平行和线段的倍分关系提供了新的方法和依据，也是后续研究梯形中位线的基础。三角形中位线定理所显示的特点既有线段的位置关系又有线段的数量关系，因此对实际问题可进行定性和定量的描述，在生活中有着广泛的应用。

二、教学任务分析

本节课以“问题情境——建立模型——巩固训练——拓展延伸”的模式展开，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索、讨论解决问题的方法，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义。

利用制作的多媒体课件，让学生通过课件进行探究活动，使他们直观、具体、形象地感知知识，进而达到化解难点、突破重点的目的。 教学目标

1、认知目标

（1） 知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同。 （2） 理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算。

（3） 通过对问题的探索及进一步变式，培养学生逆向思维及分解构造基本图形解

决较复杂问题的能力．

2、能力目标

引导学生通过观察、实验、联想来发现三角形中位线的性质，培养学生 观察问题、分析问题和解决问题的能力。 3、德育目标

对学生进行事物之间相互转化的辩证的观点的教育。 4、情感目标

利用制作的Powerpoint课件，创设问题情景，激发学生的热情和兴趣，激活学生思维。

教学重难点

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【重点】：三角形中位线定理

【难点】：难点是证明三角形中位线性质定理时辅助线的添法和性质的录活应用．

三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情景,导入课题；第二环节：教师讲授、传授新知；第三环节：师生共析、证明定理；第四环节：灵活运用、自我检测；第五环节：回顾小结、共同提升；第六环节：分层作业，拓展延伸；第七环节：课后反思。

第一环节：创设情景，导入课题

１．怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？ 操作：（1）剪一个三角形，记为△ABC

（2）分别取AB,AC中点D,E，连接DE

（3） 沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ABC绕点E旋转180°，得四边形BCFD.

2、思考：四边形ABCD是平行四边形吗？

3、探索新结论：若四边形ABCD是平行四边形，那么ＤＥ与ＢＣ有什么位置和数量关系呢？

目的：通过一个有趣的动手操作问题入手入手，激发学生学习兴趣，然后设置一连串的

1递进问题，启发学生逆向类比猜想：ＤＥ∥ＢＣ，ＤＥ＝ＢＣ．

2由此引出课题．。

效果：激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究活动的兴趣。

第二环节：教师讲授，传授新知

内容： 引入三角形中位线的定义和性质

1．定义三角形的中位线，强调它与三角形的中线的区别．

2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

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目的：通过学生前期的猜测，测量，初步感知三角形中位线的定理和性质。

第三环节：师生共析，证明定理

内容：已知：如图6-20（1），DE是△ABC的中位线. 求证:DE∥BC,DE=1／2BC

证明:如图6-20(2),延长DE到F,使 DE=EF,连接CF. 在△ADE和△CFE中 ∵AE=CE,∠1=∠2,DE=FE ∴△ADE≌△CFE ∴∠A=∠ECF,AD=CF ∴CF∥AB ∵BD=AD ∴BD=CF

∴四边形DBCF是平行四边形 ∴DF∥BC,DF=BC ∴DE∥BC,DE=1／2BC

目的:通过严密的几何证明将三角形中位线定理进行证明,由感性到理性,使学生经历定理的探究过程,积累数学活动的经验.

第四环节：灵活运用，自我检测

内容:如图,顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形有什么特点？

学生容易发现：四边形ABCD是平行四边形

已知：在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，如图4-94．求证：四边形EFGH是平行四边形．

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分析：

(1) 已知四条线段的中点，可设法应用三角形中位线定理，找到四边形EFGH的边之间的关系．而四边形ABCD的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连结AC或BD，构造“三角形的中位线”的基本图形． 练一练:

1. A、B两点被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小明通过下面的

方法估测出了A,B间 的距离：在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别 找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN = 20m，那么A、B两点的距离是多少？为什么 ？

2．已知:三角形的各边分别为6cm,8cm, 10cm，则连结各边中点所成三角形的周长为 cm,面积为 cm2,为原三角形面积的 。

3．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、 AC、BD的中点 。四边形EGFH是平行 四边形吗？ 请证明你的结论。

目的:巩固三角形中位线定理,同时也兼顾平行四边形判定定理的熟练运用.

第五环节：回顾小结，共同提升

1．教师提问引起学生思考： （1）这节课学习了哪些具体内容： （2）用什么思维方法提出猜想的？ （3）应注意哪些概念之间的区别？

第六环节：分层作业，拓展延伸

C组习题6.6 1, 2, 3题 B组习题6.6问题解决第4题

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第七环节： 课后反思

本节课以探究三角形中位线的性质及证明为主线，开展教学活动。在三角形中位线定理探究过程中，学生先是通过动手画图、观察、测量、猜想出三角形中位线的性质，然后师生利用几何画板的测量和动态演示功能验证猜想的正确性，再引导学生尝试构造平行四边形进行证明。通过知识的形成过程，使学生体会探究数学问题的基本方法；通过定理的探究与证明，努力培养学生分析问题和解决问题的能力，提升学生数学的思维品质。

同时,问题是创造性思维的起点，是兴趣的激发点。好的问题情境，可以调动学生主动积极的探究。 本课采用问题驱动，从概念的产生，到概念的辨析、再到定理的发现及证明，设计了一个个问题，层层递进，激活了学生的思维，促使学生不断的深入思考。

4. 多边形的内角和与外角和（一）

一．学生起点分析

学生已学过三角形的内角和定理，以及三角形的边、顶点、内角等概念，并且已初步了解四边形可分成两个三角形来求内角和，这为本节课的学习打下了基础。因而学生在探索多边形内角和时，便会很容易想到“拼”和“量”和把多边形转化成三角形等方法，但是，学生对把多边形转化成三角形这种化归思想的理解和应用还存在一定的困难。尽管如此，由于在以往的学习中，学生的动手实践、自主探索及合作探究能力都得到了一定的训练，通过本节课的学习，这一方面的能力将会得到进一步的提高，学生将会轻松、愉快地完成本节课的学习任务。

二．教学任务分析

本节内容是七年级上册多边形相关知识的延展和升华，并且在探索学习过程中又与三角形相联系，从三角形的内角和到多边形的内角和环环相扣，前面的知识为后边的知识做了铺垫，联系性比较强，特别是教材中设计了现实情境，“想一想”， “议一议”等内容，体现了课改的精神．在编写意图上，编者强调使学生经历探索、猜想、归纳等过程，回归多边形的几何特征，而不是硬背公式，发展了学生的合情推理能力． 教学目标

【知识与技能】掌握多边形内角和定理，进一步了解转化的数学思想

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【过程与方法】经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的合情推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会交流自己的思想和方法．

【情感态度与价值观】让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满着探索和创造． 教学重难点

【教学重点】多边形内角和定理的探索和应用

【教学难点】多边形定义的理解；多边形内角和公式的推导；转化的数学思维方法的渗透．

三．教学过程设计

本节课分成八个环节：

第一环节 创设现实情境，提出问题，引入新课 第二环节 实验探究 第三环节 巩固训练 第四环节 拓展延伸 第五环节 思维升华 第六环节 知识小结 第七环节 作业布置 第八环节 课后反思

第一环节 创设现实情境，提出问题，引入新课

1．三角形是如何定义的？

2．仿照三角形定义，你能学着给四边形、五边形??边形下定义吗？ 3．结合图形认识多边形的顶点、边、内角及对角线。

目的：对概念分析和归纳，培养学生的口头表达能力和语言组织能力。同时渗透类比思想。

第二环节 实验探究

1．三角形的内角和是多少度？你是怎么得出的？

①用量角器度量：分别测量出三角形三个内角的度数，再求和。

②拼角：将三角形两个内角裁剪下来与第三个角拼在一起，可组成一个平角。

目的：学生分组，利用度量和拼角的方法验证三角形的内角和，为四边形内角和的探索奠定基础。

2．四边形的内角和是多少？你又是怎样得出的？

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1度量 ； 2拼角； 3将四边形转化成三角形求内角和。

目的：学生先通过度量、拼角两种方法，猜想得出四边形的内角和是360°，然后引导学生利用分割的方法，将四边形分割成两个三角形来得到四边形的内角和，进一步渗透类比，转化的数学思想。

3．在四边形内角和的探索过程中，用到了几种方法，你认为哪种方法好？请讲述你的理由。 度量法：不精确； 拼角法：操作不方便；

当多边形边数较大时，度量法、拼角法都不可取。 第三种方法：精确、省事且有理论根据。

目的：通过几种方法的展示，比较几种方法的优劣，为五边形内角和的探索提供最简捷的方法。

4．根据四边形的内角和的求法，你能否求出五边形的内角和呢？ 学生动手实践，小组讨论、交流，寻找解答方法，并共同进行归纳总结。 估计学生可能有以下几种方法：

方法1：如图1，连结AD、AC，五边形的内角和为：3×180°=540°。 方法2：如图2，连结AC，则五边形内角和为：360°+180°=540°。

方法3：如图3，在AB上任取一点F，连结FC、FD、FE，则五边形的内角和为： 4×180°-180°=540°。

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方法4：如图4，在五边形内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则五边形内角和为：5×180°-360°=540°。

方法5：如图5，在AB上任取一点F，连结FD，则五边形的内角和为： 2×360°-180°=540°。

方法6：如图6，在五边开外任取一点O，连接OA、OB、OC、OD、OE，则五边形内角和为：4×180°-180°=540°。

小结：纵观以上各种证明思路，其共同点是通过图形分割，把五边形问题转化为熟悉的三角形、四边形问题来解决。

目的：由于四边形的内角和易求得，这里采用略讲，而着重研究求五边形的内角和。在课堂上应该留给学生充足的时间讨论、交流，寻求多种不同的分割方法来得出五边形的内角和。这既符合新课程教学理念，又符合学生的认知规律和年龄特征，同时渗透转化思想。

5．小组合作，完成下面的表格。

（课件出示讨论结果）

6．从表格中你发现了什么规律？ 从边形的一个顶点可以引出的内角和是

。

条对角线，把边形分成

个三角形。从而得出：边形

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目的：在数学学习中，培养学生善于总结规律，构建知识体系是培养数学能力的一项重要内容，这样不仅使学生把本节课所学的知识形成一个完整的知识体系，而且进一步理解了多边形的内角和公式中的

的来历，更有利于培养学生善于归纳、总结的数学习惯和能力。

第三环节 巩固训练

1．如图6-24，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，∠B与∠D有怎样的关系？ 2．一个多边形的内角和为1440°，则它是几边形？

3．一个多边形的边数增加1，则它的内角和将如何变化？

结论：多边形每增加一条边，它的内角和增加180°

目的：通过本组练习题的训练，既巩固了新知，又训练了学生思维的灵活性与开阔性。同时在分组交流的过程中，学生又感受到了合作的重要性，体验到了成功的快乐，增强了学生的自信心。

第四环节 拓展延伸

1．想一想：观察图中的多边形，它们的边、角有什么特点？

正多边形定义：在平面内，每个内角都 、每条边也都 的多边形叫做正多边形。

目的：学生分组动手实践，通过度量和叠合，感知正多边形的特征（每个角都相等，每条边都相等），从而使得正多边形的定义的得出水到渠成。 2．议一议：

①一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？ ②一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？ 目的：通过辨析，进一步理解正多边形的定义。

3．练一练：

①正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？ ②正边形的内角是多少度？

③一个正多边形的每个内角都是150°，求它的边数 ？

目的：本组练习的设计，不仅巩固了多边形内角和公式的应用，进一步理解了正多边形的定义，而且通过第③题的一题多解，培养学生的发散思维，引出下一课时“探索多边形的外角和”的学习，激发学生预习下一课时的兴趣，培养学生良好的学习习惯。

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第五环节 思维升华

议一议: 剪掉一张长方形纸片的一个角后,纸片还剩几个角?这个多边形的内角和是多少度?与同伴交流. 目的：引导学生在探究实践的过程中，真正理解和掌握数学的知识、技能和数学思想方法，增强空间观念及数学思考能力的培养，并获得数学活动经验。

第六环节 知识小结

1．过本节课的学习，你学到了哪些知识？有何体会？（多边形的有关概念、正多边形、多边形的内角和定理，并能利用公式进行计算）

2．在学习多边形的有关概念时，我们是通过复习三角形的有关概念来类比得出的。在研究、探索多边形的内角和公式时，首先从具体的、特殊的四边形、五边形入手，来得出多边形的内角和公式。在研究问题的过程中，把多边形问题通过分割成三角形来研究，即把复杂问题转化为简单问题，这种研究和探索问题的方法都是我们在学习数学过程中，经常要用到的，希同学们要领悟这种思想方法。

目的：鼓励学生畅所欲言，总结对本节课的收获和体会，自主建构知识体系，锻炼学生的口头表达能力，培养学生的自信心。

第七环节 作业布置

作业：

C．155页习题6.7 1,2.3题; B．探究五角星的五个角的度数之和;

A. 设计一个实验(如剪纸、拼图等），说明四边形的内角和是360°。

目的：作业布置分A、B、C三类，这样的设计可以让不同层次的学生根据自己的能力得到不同程度的训练，各有所得。通过作业进一步激发探索兴趣，巩固所学知识。

第八环节 课后反思

如何促进学生在主动、探究、合作、实践中学习数学、学好数学，突出新教材的优势呢？我在这节课中做了大胆的尝试和探索，首先，这节课师生教与学活动是建立在学生的认知发展水平和已有的经验基础上，教师充分激发学生的学习兴趣和积极性，向学生提供了从事数学活动的机会，构建了学生自主探究、合作实践与交流的平台；教师较好地引导学生在探究实践的过程中，真正理解和掌握数学的知识、技能和数学思想方法，增强空间观念及数学思考能力的培养，并获得数学活动经验；其次，这节课的学习内容，通过创设情境问题得以构建和发展，体现了新课程目标理念的开放性原则；第三，这节课教师

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恰当的评价学生的学习过程，不仅关注了学生在学习过程中表现的行为、态度情感，更关注对学生激励评价及学生的自我评价感受。

不足之处：1．节课给学生提供的探究思考与交流的时间空间不足，展示交流的机会不够充分，有的同学没有表现的机会。2．本节课学生小组活动的准备、具体实施、归纳交流、评价等环节设计不够完善。

板书设计

4.6.1 探索多边形的内角和 多边形：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连所组成的封闭图形叫做多边形。 n边形的内角和=（n—2）·180° 正n边形的一个内角= ?n?2??180? =180??360? nn4. 多边形的内角和与外角和（二）

一、学生起点分析

在上一节的学习中，学生已经掌握了多边形的内角和公式，对如何探究内角和的问题有了一定的认识，加之八年级学生的好奇心、求知欲强，互相评价、互相提问的积极性高．因此对于学习本节内容的知识条件已经成熟，学生也具备了参加探索活动的热情，所以考虑把这节课设计成一节探索活动课．

二、学任务分析

本节内容是七年级上册多边形相关知识的延展和升华，并且在探索学习过程中又与三角形相联系，从三角形的内角和到多边形的内角和环环相扣，前面的知识为后边的知识做了铺垫，联系性比较强，特别是教材中设计了现实情境，“想一想”， “议一议”等内容，体现了课改的精神．在编写意图上，编者强调使学生经历探索、猜想、归纳等过程，回归多边形的几何特征，而不是硬背公式，发展了学生的合情推理能力． 教学目标

【知识与技能】 经历探索多边形的外角和公式的过程;会应用公式解决问题；

【过程与方法】 培养学生把未知转化为已知进行探究的能力，在探究活动中，进一步发展学生的说

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理能力与简单的推理能力．

【情感态度与价值观】让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满着探索和创造． 教学重难点

【教学重点】多边形外角和定理的探索和应用．

【教学难点】灵活运用公式解决简单的实际问题；转化的数学思维方法的渗透．

三、教学过程设计

本节课分成6个环节：

第一环节：创设情境，引入新课； 第二环节：问题解决；

第三环节：多边形的外角和外角和； 第四环节：巩固练习； 第五环节：课时小结； 第六环节：布置作业。

第一环节 创设情境，引入新课

问题：（多媒体演示）清晨，小明沿一个周围的小路，按逆时针方向跑步。 （1）小明每从一条街道转到下一条街道过的角是哪个角？

（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？

（3）在上图中，你能求出∠1+∠2+ ∠3+ ∠4+∠5的结果吗？你是怎样得到的？ 目的：

利用生活情境，设计问题，激发学生的兴趣和积极性，同时给学生一定的思考空间。

时，身体转五边形广场

第二环节 问题解决

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对于上述的问题，如果学生能给出一些合理的解释和解答（例如利用内角和），可以按照学生的思路走下去。然后再给出“小亮的做法”或以“小亮做法”为提示，鼓励学生思考。如果学生对于这个问题无法突破，教师可以给出“小亮的做法”，或引导学生按“小亮的做法”这样的思路去思考，以便解决这个问题。

小亮是这样思考的：如图所示，过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′，OB′，OC′，OD′，OE′，得到∠α，∠β，∠γ，∠δ，∠θ，其中，∠α=∠1，∠β=∠2，∠γ=∠3，∠δ=∠4，∠θ=∠5．

这样，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360° 问题引申：

1．如果广场的形状是六边形那么还有类似的结论吗？ 2．如果广场的形状是八边形呢？ 目的：

通过问题的解决和延伸，引发学生自主思考，由特殊到一般，培养学生解决问题的逻辑思维能力，也为多边形外角和的得出做好铺垫。

1B2C3A54DA'EOB'E'D'C'第三环节 多边形的外角与外角和

1．多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。 2．在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。 探究多边形的外角和，提出一般性的问题：一个任意的凸n边形，它的外角和是多少？

鼓励学生用多种方法解决这个问题，可以参考第二环节解决特殊问题的方法去解决这个一般性的问题。

方法Ⅰ：类似探究多边形的内角和的方法，由三角形、四边形、五边形?的外角和开始探究；

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方法Ⅱ：由n边形的内角和等于（n-2）·180°出发，探究问题。 结论：多边形的外角和等于360°

（1）还有什么方法可以推导出多边形外角和公式？

（2）利用多边形外角和的结论，能否推导出多边形内角和的结论？

第四环节 巩固练习

例1 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？

解：设这个多边形是n边形，则它的内角和为（n-2）﹒180°，外角和为360°。则根据题意，得（n-2）﹒180°=3×360°

解得n=8

所以这个多边形是八边形。 随堂练习

1．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是几边形?如果一个多边形的每个内角都相等，那么每个内角等于多少度？

2．右图是三个不完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形？为什么？ 挑战自我：

1．在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？ 2．在n边形的n个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？

挑战自我的2个问题，对于新授课上的学生而言，难度是比较大的。因为之前不管是多边形的内角和还是外角和，基本上都是利用等式，从“正向”解决的。而这里要解决的问题，在解决的过程中，需要用到简单的不等式知识和“反证”的思想，对于初次接触这些的学生而言，难度是比较大的。教师要注意讲解的方式方法。

第五环节 课时小结

多边形的外角及外角和的定义；

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多边形的外角和等于360°；

在探求过程中我们使用了观察、归纳的数学方法，并且运用了类比、转化等数学思想.

第六环节 布置作业：

习题6．8第1，2，3, 4, 5题

四、教学反思

本节课的设计突出对多边形的外角和公式的探究与推导过程，探究过程既有类比前一节课的方法，又有承接多边形内角和的新方法；既是新知识的学习过程，又是旧知识的拓展过程。相信这样的设计一定能够达到教学目标的三个维度的要求。

另外，可以考虑增加一些课堂中的习题量，以帮助学生巩固新知识。

设计板书如下

4.6.2 探索多边形的外角和 多边形的外角的概念 （方法Ⅱ） 多边形的外角和的概念 典例精析 推导多边形的外角和公式 （方法Ⅰ） 第六章 平行四边形

回顾与思考

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：学生在前面的学习中已经掌握了全等三角形的性质和判定，在本章前几节课中，又对平行四边形的判定、性质做了进一步学习，通过一定题量的练习，学

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生已经对有关内容得以掌握。在本章后面几节课中，又学习了三角形中位线的定义和性质，并探索了连接四边形各边中点所成的四边形的形状等结论，学生在初一时已经掌握了三角形内角和定理，本章学生也掌握了多边形的内角和、外角和公式，对如何探究内角和、外角和的问题有了一定的认识。

学生的能力基础：在相关知识的学习过程中，学生对推理证明的基本要求、基本步骤和基本方法已经掌握，已经能利用平行四边形的判定和性质解决特殊四边形的有关命题，并且也能利用有关知识对探究型题目加以分析和证明。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，已经经历了“探索——发现——猜想——证明”的过程，体会了合情推理与演绎推理在获得结论中各自发挥的作用。掌握了简单证明的方法，解决了简单的现实问题，同时在以前的数学学习中学生已经经历很多合作学习的过程，具有一定的合作学习经验和合作与交流的能力。

二、教学任务分析

本章的定理较多，在系统掌握平行四边形的性质及判定等的基础上，学生还学习了三角形的中位线定理、多边形的内角和、外角和公式，为了让学生进一步掌握这些定理，并能熟练应用，为此，本节课的教学目标是：

（1）能够熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述证明过程。

（2）掌握三角形中位线的定义和性质，明确三角形中位线与中线的不同并能运用它进行有关的论证和计算。

（3）掌握多边形内角和、外角和定理，进一步了解转化的数学思想。

（4）会熟练应用所学定理进行证明。体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。

（5）学会对证明方法的总结。

（6）通过讨论交流，进一步发展学生的合作交流意识。

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：第一环节：教师和学生一起回顾本章的主要内容；第二环节：随堂练习，巩固提高；第三环节：回顾小结，共同提升；第四环节：分层作业，拓展延伸；

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第五环节：课后反思。

第一环节：教师和学生一起回顾本章的主要内容。

一、 “平行四边形性质、平行四边形的判定定理”

内容：从边、角、对角线三个角度对平行四边形的性质、判定进行复习回顾。 学生用“问答”的形式带领其

平行四边形的性质 平行四边（1）两组对边平行 （4）两组对角相等 （5）对角线互相平分 边 对边平行，对边相等 角 对角相等 对角线 对角线互相平分 形的判定 （2）两组对边相等 （3）一组对边平行且相等 他学生将表格完成。应用性质和判定完成例题： 例1.如图，在平行四边形ABCD中，AC与点，点E、F在AC上，且BE∥DF。 求证：BE＝DF。

教师在这里将这道题进行开放处理： 例2、 如图，在平行四边形ABCD中，AC

B A E O F D

BD相交于O

C 与BD相交于

O点，点E、F在AC上，连接DE、BF，_________,求证：四边形BEDF是平行四边形。由学生来填加适当的条件，使得命题成立并证明。学生可以在证明的过程中找到针对条件最简单的判定定理。

目的：这个环节教师和学生一起回顾本章平行四边形的性质定理和判定定理，并通过对定理的分析，体会到了证明的必要性，掌握了一些常规证明方法和工具。

实际效果：教师通过开放例题给学生传递的是一种总结证明方法的信息：根据特殊四边形的性质，学生应该能够体会到，在证明命题时有了很多新的工具。比如证明平行时，除了以前的同位角、内错角等，还可证明平行四边形；在证明边等时，除了全等，还可以分析所证线段是否为平行四边形的边等。 二、“三角形的中位线” 内容：

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这一章节中，除学习了平行四边形相关的性质和判定定理，还学习了三角形中位线的定义和性质定理。

所以，这个环节上，老师选取了学生总结出的几道比较有代表性的例题，帮助学生加深对定理理解，增强恰当应用定理的意识。

例3.如图2，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R那么下列结论成立的是( ) A.线段EF的长逐渐增大 B.线段EF的长逐渐减小 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长与点P的位置有关

解析：由三角形中位线定理可知线段EF的长在P点的运动过程中，EF一定等于AR的一半，又由于AR的长不变，所以可做出正确的判断应选C.

例4. 如图3，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），

G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．请证明四边形EGFH是平行四边形；

1分析:(1)根据三角形中位线定理得GF∥EC, GF=2EC=EH,一组对边平行且相等的四边形是平

D 点，E、F不动时，

P

A E B F R 图2

C

行四边形，所以EGFH是平行四边形.

证明：（1）在△BEC中，?G，F分别是BE，BC的中点

B

A G E

H

D

1GF?EC?GF∥EC且2

EH?1EC2，

F

图3

C

又?H是EC的中点，

?GF∥EH且GF?EH

?四边形EGFH是平行四边形

目的：通过例题的练习和讲解，使学生进一步了解三角形中位线的定义，熟练掌握三角形中

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位线的性质定理，并能运用三角形中位线的性质进行解题。

实际效果：通过本例的讲解，使学生在掌握三角形中位线的性质定理的同时体会到三角形中位线的性质定理对于证明线段相等、线段平行等命题有着特殊的意义。 三、“多边形的内角和与外角和公式”

多边形的内角和、外角和公式主要是多边形边数和内角度数之间的互化：由多边形的边数得内角的度数，由多边形的内角和的度数得变数。所以，这个环节上，老师选取了学生总结出的几道比较有代表性的例题，帮助学生加深对定理理解，增强恰当应用定理的意识。 例5. 若一个多边形内角和为1800°，求该多边形的边数。 解：设这个多边形的边数为n，则：

即该多边形为十二边形。

例6. 多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求该多边形的边数。 分析：该外角的大小范围应该是由此可得到该多边形内角和范围应该是

，而

解1：设该多边形边数为n，这个外角为x° 则

因为n为整数，所以即：又因为

解2：设该多边形边数为n，这个外角为x。

必为整数。

必为180°的倍数。

，所以

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又

为整数，

则该多边形为九边形。 第二环节：随堂练习，巩固提高

1.七边形的内角和等于______度；一个n边形的内角和为1800°，则n=________。 2.多边形的边数每增加一条，那么它的内角和就增加 。

3.从多边形的一个顶点可以画7条对角线，则这个n边形的内角和为（ ） A 1620° B 1800° C 900° D 1440°

4.一个多边形的各个内角都等于120°，它是（ ）边形。

5.小华想在2012年的元旦设计一个内角和是2012°的多边形做窗花装饰教室，他的想法（ ）实现。（填“能”与“不能”）

6. 如图4，要测量A、B两点间距离，在O点打桩，取OA的的中点D，测得CD=30米，则AB=______米．

图4

中点 C，OB

7. 以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

8. 如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC=AD,∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．

求证:四边形AEFD是平行四边形;

9. 已知：如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ

图5

分别是ＡＢ，Ｃ

Ｄ上的两点，且ＡＥ＝ＣＦ，ＡＦ，ＤＥ相交于点Ｍ，ＢＦ，ＣＥ相交于点Ｎ． 求证：四边形ＥＭＦＮ是平行四边形．（要求不用三角形全等来证）

DAENBMFC

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第三环节：回顾小结，共同提升

活动内容：通过本节课的复习，你取得了哪些经验？（学生总结，老师补充） 活动目的：培养学生的语言组织能力、自我表现能力、综合能力，同时也检测了学生听课的认真程度，从学生的回答中了解不同程度的学生对这节课（或整章）内容掌握的程度。这样做，一是利于下一步的学习安排，更重要的是进一步对该章的重点内容加以巩固，易出现问题的地方加以警示。

活动效果：学生踊跃发言，强调了学习定理的重要性；理解并掌握定理的必要性；要善于在生活中发现与数学有关的问题，并要认真分析思考，利用数学知识解决发现的问题；遇到新题时不能想当然，要谨慎思考，不要出现漏洞；数学其实也不难学，但是基础一定要夯实，然后要有信心不断提高，要适时巩固??

B

F

C

A E

D

第四环节：分层作业，拓展延伸

必做题 复习题：1---16题 问题解决第17、18、19题 选作题 问题解决第20、21、22题

第五环节： 课后反思

本节容量较大，教师上课时对知识首先要注意给学生一个系统性的梳理，然后再侧重于解题方法尤其是证明中的综合法以及几何语言的运用的讲解上，思路上可以更灵活一些，要让学生的积极性调动起来，做到以学生为本。

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