第三章微分中值定理及应用Microsoft Word 文档

微分学中值定理

一 费马引理 设函数f(x)在点x0的某邻域U?x0?内有定义，并且在x0处可导，若f(x0) 是f(x)在U?x0?内的最大值或最小值，则f?(x0)?0。

二 罗尔定理 若函数f?x?满足：（1）在闭区间?a,b?上连续；（2）在开区间?a,b?内可导；（3）f?a??f?b?；则至少存在一点???a,b?，使得f?????0

【例1】证明方程4ax?3bx?2cx?a?b?c在?0,1?内至少有一个实根。

32【例2】设函数f?x?在闭区间?0,1?上可微，对于?x??0,1?，函数f?x???0,1?，且

f??x??1，证明：在?0,1?内有且仅有一个x，使f?x??x。

三 拉格朗日中值定理 若函数f?x?满足：（1）在闭区间?a,b?上连续；（2）在开区间?a,b?内可导；则至少存在一点???a,b?，使得f?????f?b??f?a?。

b?a【例】 设f?x?在?a,b?上连续，在?a,b?内可导，f?a??f?b?，且f?x?不恒为常数，求证：在?a,b?内存在一点?，使f?????0

【例】 设函数f?x?定义在?0,c?上，f??x?在?0,c?内存在且单调下降，又f?0??0。 证明：对于0?a?b?a?b?c，恒有f?a?b??f?a??f?b?

拉格朗日中值定理推论 若函数f?x?在区间I上连续，在I内导数恒为零，则f?x?在区间I上恒为常数。 【例】证明：当x?13时，3arccosx?arccos?3x?4x???2

证明 设f?x??3arccosx?arccos3x?4x?3时， ?，则对?x，当x?12f??x???31?x2??3x?4x??1??3x?4x?332??31?x2?3?1?4x2??1?x??1?4x?222?0

13时，3arccosx?arccos?3x?4x??c，c为常数。 213又f?0??2arccos0??，所以当x?时，3arccosx?arccos?3x?4x???2所以当x?

三 柯西中值定理 若函数f?x?和F?x?满足：（1）在闭区间?a,b?上连续；（2）在开区间?a,b?内可导；则至少存在一点???a,b?，使得

f????f?b??f?a?。 ??F???F?b??F?a?【例】设函数f?x?在?a,b?上连续?a?0?，在?a,b?内可导，证明：????a,b?，使

f?b??f?a???f????lnb a【例】设函数f?x?在?a,b?上连续?a?0?，在?a,b?内可导，证明：??,???a,b?，使得

f?????a?bf????。 2?四 泰勒公式

1（拉格朗日型余项）泰勒公式

如果函数f?x?在含有x0的某个开区间?a,b?内具有直到n?1阶的导数，则对任一

x??a,b?，有f?x??Pn?x??Rn?x? （*）

其中 Pn?x??f?x0??f??x0??x?x0?+f???x0?2！?x?x0?2???f?n??x0?n!?x?x0?n，

Rn?x??f????x?xn?0?，?介于x0与x之间。

?n?1?!n?1?注： 1）（*）称为函数f?x?按?x?x0?的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式。 2）pn?x?称为函数f?x?按?x?x0?的幂展开的n次近似多项式。 3）Rn?x?称为拉格朗日型余项。

4）当x0=0时，（*））称为f?x?按x的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式。 5）麦克劳林公式中的?可表示为?=?x?0???1?。

?0???1?。

泰勒公式中的?可表示为??x0???x?x0?2（皮亚诺型余项）泰勒公式

f?x?在x0具有n阶导数，则?U?x0?，对任一x?U?x0?，有

f?x??f?x0??f??x0??x?x0?+f???x0?2！?x?x0?2??

?f?n??x0?n!nn??-----------------------（**） x?x?ox?x?0???0??注： 1）（**）称为函数f?x?按?x?x0?的幂展开的带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式。

n2）o??x?x0??称为皮亚诺型余项。

??3）当x0=0时，（**）称为f?x?按x的幂展开的带有皮亚诺型余项的n阶麦克劳林公式。 4）拉格朗日型余项泰勒公式与皮亚诺型余项的泰勒公式区别：

拉格朗日型余项泰勒公式可估计误差，皮亚诺型余项的泰勒公式不能估计误差。 常用函数麦克劳林展开式

xx2xne?1??????o?xn?

1!2!n!xxx2xne?xe?1??????xn?11!2!n!?n?1?!xn?1?0???1? x????,???

?1?x2n?1?x3x5sinx?x??????o?x2n?

3!5!?2n?1?!?1?x2k?1?sinx???R2n?x? 2k?1!?k?1??k?1???sin?x?2n?1?????1?x2n?1?x3x52?2n?1??x??????x3!5!2n?1!2n?1!????n?1?0???1?

（sinx展开成2n?1阶泰勒公式）

?1?x2n?x2x4cosx?1??????o?x2n?1?

2!4!?2n?!n?1?x2k?cosx??k?0?2k?!n24k?R2n?1?x?n2ncos??x??n?1???2n?2?1?x?xx?1??????x2!4!2n!2n?2!????（cosx展开成2n阶泰勒公式）

?0???1?ln?1?x???n??1?kk?1k?1n1213n?1xx?x?x?x?????1??o?xn?，x???1,1?

23nkn?1??1213n?1xln?1?x??x?x?x?????1??xn?1n?123n?n?1??1??x?n?0???1?

?1+x???1??x????-1?2！x2???????1?????n?1?n!xn?o?xn?

?1+x???1??n????1?????k?1?k!x2???xk?Rn?x?k?1?1??x????-1?2！????1?????n?1?n!xn

?????1?????n?n!?1??x???n?1xn?1x???1,1??0???1?

【例1】设limx?0f?x?x?1，且f???x??0，证明f?x??x

【例2】设函数f?x?在闭区间??1,1?上具有三阶连续导数，且f??1??0，f?1??1，

f??0??0，证明：?????1,1?，使f???????3

cosx?e2【例3】求lim2

x?0x?2x?ln1?2x??????x2导数应用

一 未定式求极限

未定式分类 1）

0?0?0或（基本型） 2）0??，??? 3）1，0，? 0?未定式求极限方法 1基本型

洛必达法则 在自变量同一变化过程中，若函数f?x?,g?x?满足 （1）limf?x?g?x?是

0?或型 0?时，f?x?,g?x?在某U?x0?内可导，且g??x??0；

?（2）当limf?x?g?x?f?x?g?x?x?x0当limx??时，存在某X0?0，?x?X0，f?x?,g?x?可导，且g??x??0

（3）limf??x?f??x?lim=? 存在或

g??x?g??x?存在，且lim则limf?x?g?x?f?x?g?x??limf??x?。 ?g?x?注 1） limf?x?g?x?必须是

0?或未定式才可以使用洛比达法则；因而在每一次使用洛比达0?法则前一定要检查是否是 2） lim0?或未定式。 0?f??x?f?x?f??x?f??x?=?，才有lim?lim存在或lim成立。

g??x?g?x?g??x?g??x?f?x?g?x?是

3） limf??x?0?或型，但不满足洛比达法则的条件（3），即lim不存在且

?gx0???f??x?f?x?x?sinxlim??，此种情况下不能得出lim不存在。例 lim

x??x?sinxg??x?g?x?2 0??，??? 化为

00?或型。 0?3 1?，0，?0 化指数函数求极限法或取对数求极限法 注 幂指函数u?x?v?x?，若limu?x??a?0，limv?x??b，则

v?x?limu?x?典型例题

【例1】求下列极限 （1）limx?0limv?x??? ?a?limu?x???bex?sinx?11?1?x2 （2）lime

x?0x100n2?1x2（3）lim1?x?3sinx? （4）lim?ntan?

n??x??3x?2cosxn??x?x?c??f?x??f?x?1??【例2】设f?x?在R上可导，且limf??x??e，lim???lim?，x??x??x?cx?????求c的值。

二 函数的单调性 1 函数单调性定义

2 判定函数单调性定理 设f?x?在区间I上连续，在I内可导， （1）若?x?I内，f??x??0，则f?x?在I上单调增加； （2）若?x?I内，f??x??0，则f?x?在I上单调减少。

注：若f?x?在?a,b?上连续，在?a,b?内有有限个驻点或不可导点，而在其他点处导数保

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