2022-2022学年重庆一中高一下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年重庆一中高一第二学期期末数学试卷

一、选择题（共12小题）.

1．在△ABC中，若（b+c）（b﹣c）＝a（a+c），则∠B＝（）

A．150°B．120°C．60°D．30°

2．下列命题正确的是（）

A．若ac＜bc，则a＜b

B．若a＜b＜0，则

C．若a＜b，则

D．若a3＞b3，则a＞b

3．某高校调查了100名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），

[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这100名学生中每周的自习时间不

少于22.5小时的人数是（）

A．70B．65C．60D．55

4．已知圆C：（x+1）2+（y+1）2＝8与直线l切于点P（1，1），则直线l的方程是（）A．x﹣y＝0B．2x﹣y﹣1＝0C．x+y﹣2＝0D．x+y+2＝0

5．已知，则向量与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°

6．过点A（2，1），B（m，3）的直线的倾斜角α的范围是，则实数m的取值范围是（）

A．0＜m≤2B．0＜m＜4

C．2≤m＜4D．0＜m＜2或2＜m＜4

7．已知等差数列{a n}，其前n项和为S n，若a3+a4＝12，S3＝S9，则S n的最大值为（）A．12B．24C．36D．48

8．若曲线与直线y＝k（x+2）+1仅有一个交点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．

D．

9．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足面积为，sin C ﹣cos B＝cos（A﹣C），a＝，则△ABC的周长为（）

A．B．C．D．

10．已知圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝3，从点P（﹣1，﹣3）发出的光线，经直线y＝x反射后，恰好经过圆心C，则入射光线的斜率为（）

A．﹣4B．C．D．4

11．已知正项数列{a n}中，a1＝1，前n项和为S n，且当n≥2，n∈N*时，，数列{（﹣1）n a n?cos+1}的前64项和为（）

A．240B．256C．300D．320

12．已知向量⊥，|﹣|＝2，定义：cλ＝λ+（1﹣λ），其中0≤λ≤1．若，则|cλ|的值不可能为（）

A．B．C．D．1

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）

13．若动点P到两点A（1，0），B（2，0）的距离之比为，则点P的运动轨迹方程为．14．重庆一中高一、高二、高三的模联社团的人数分别为25，15，10，现采用分层抽样的方法从中抽取部分学生参加模联会议，已知在高二年级和高三年级中共抽取5名同学，若从这5名同学中再随机抽取2名同学承担文件翻译工作，则抽取的两名同学来自同一年级的概率为．

15．在下列函数中，

①②③④y＝

sin2x cos2x +（x∈（0，））．

其中最小值为2的函数是．

16．函数f（x）＝ax﹣a2﹣4（a＞0，x∈R），若p2+q2＝8，则的取值范围．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知直线l 过点（1，1）且与直线x+2y+1＝0垂直．

（1）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，求|AB|；

（2）求圆心在直线l上且过两点M（1，1），N（3，1）的圆的标准方程．

18．互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲、乙两家网络外卖企业（以下外卖甲、外卖乙）的经营情况进行了调查，调查结果如表；

1日2日3日4日5日外卖甲日接单x

529811（百单）

外卖乙日接单y

2310515（百单）

（1）试根据表格中这五天的日接单量情况，从平均数和方差的角度说明这两家外卖企业的经营状况；

（2）据统计表明，y与x之间具有较强的线性相关关系，请用最小二乘法求出y与x之间的回归方程．若每单外卖业务企业平均能获纯利润3元，试预测当外卖乙日接单量不低于24.16百单时，外卖甲所获取的日纯利润的大致范围．．

19．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足：．（1）求∠B；

（2）若，且BD＝3，求△ABC的面积．

20．已知圆C：x2+y2﹣6x﹣4y+12＝0，

（1）求过点且被圆C所截得的弦长为的直线l的方程；

（2）若P为直线m：x﹣y+2＝0上的动点，且圆C上存在两个不同的点到点P的距离为2，求点P的横坐标的取值范围．

21．已知数列{b n}中，b1＝2b，且b n＝4b n﹣1+1（n≥2且n∈N*）．

（1）当时，求数列{b n}的通项公式；

（2）记，数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，S n≥S2恒成立，求实数b 的取值范围．

22．在平面直角坐标系xOy中，点A为直线l：y＝x上在第一象限内的点，B（﹣1，1），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D，且，

（1）求圆C的方程；

（2）设M，N是圆C上两点，且满足|OM|?|ON|＝1，试问：是否存在一个定圆S，使直线MN恒与圆S相切．

参考答案

一、选择题（共12小题）.

1．在△ABC中，若（b+c）（b﹣c）＝a（a+c），则∠B＝（）

A．150°B．120°C．60°D．30°

【分析】由已知整理可得：a2+c2﹣b2＝﹣ac，利用余弦定理可得cos B＝﹣，结合范围B∈（0°，180°），可求B的值．

解：∵（b+c）（b﹣c）＝a（a+c），

∴整理可得：a2+c2﹣b2＝﹣ac，

∴cos B＝＝＝﹣，

∵B∈（0°，180°），

∴B＝120°．

故选：B．

2．下列命题正确的是（）

A．若ac＜bc，则a＜b

B．若a＜b＜0，则

C．若a＜b，则

D．若a3＞b3，则a＞b

【分析】直接利用不等式的性质的应用求出结果．

解：对于选项A：当c＜0时，若ac＜bc，则a＞b，故错误．

对于选项B：若a＜b＜0，则：，所以，故错误．对于选项C：若a＜b，则，故错误．

对于选项D：由于a3＞b3，即a3﹣b3＞0，整理得（a﹣b）（a2+ab+b2）＞0，即：

．

所以a＞b，正确．

故选：D．

3．某高校调查了100名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），

[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这100名学生中每周的自习时间不

少于22.5小时的人数是（）

A．70B．65C．60D．55

【分析】由频率分布直方图求出这100名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率，由此能求出这100名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数．

解：由频率分布直方图得：这100名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5＝0.7，

∴这100名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是0.7×100＝70．

故选：A．

4．已知圆C：（x+1）2+（y+1）2＝8与直线l切于点P（1，1），则直线l的方程是（）A．x﹣y＝0B．2x﹣y﹣1＝0C．x+y﹣2＝0D．x+y+2＝0

【分析】由圆的方程求出圆心坐标，再由题意可得与直线l的斜率垂直的直线的斜率，再求出切线方程的斜率，再由点斜式求出切线的方程．

解：圆C：（x+1）2+（y+1）2＝8的圆心坐标（﹣1，﹣1），

所以由题意知，与直线l垂直的斜率为：＝1，所以切线的斜率为：﹣1，

所以切线方程为：y﹣1＝﹣（x﹣1），即x+y﹣2＝0，

故选：C．

5．已知，则向量与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°

【分析】根据平面向量的数量积和模长与夹角公式，计算即可．

解：由||＝2，＝（1，），所以||＝；

又|2﹣|＝，

即＝4﹣4?+＝7，

所以4×4﹣4×2××cosθ+3＝7，

解得cosθ＝；

又θ∈[0°，180°]，

所以向量与的夹角θ＝30°．

故选：A．

6．过点A（2，1），B（m，3）的直线的倾斜角α的范围是，则实数m的取值范围是（）

A．0＜m≤2B．0＜m＜4

C．2≤m＜4D．0＜m＜2或2＜m＜4

【分析】由直线的倾斜角的范围求出直线的斜率的范围，再由两点求斜率求出AB所在直线的斜率，得到关于m的不等式，求解m的范围，再由m＝2时直线的倾斜角为，符合题意，则答案可求．

解：由直线的倾斜角α的范围是，

得直线的斜率存在时，有k＜﹣1或k＞1．

又k AB＝，

∴或，

解得0＜m＜2或2＜m＜4．

当直线的斜率不存在时，m＝2．

综上，实数m的取值范围是（0，4）．

故选：B．

7．已知等差数列{a n}，其前n项和为S n，若a3+a4＝12，S3＝S9，则S n的最大值为（）A．12B．24C．36D．48

【分析】利用等差数列通项公式求出a1＝11，d＝﹣2，求出等差数列的前n项和，由此能求出S n的最大值．

解：∵等差数列{a n}，其前n项和为S n，a3+a4＝12，S3＝S9，

∴，

解得a1＝11，d＝﹣2，

∴S n＝＝﹣（n﹣6）2+36．

∴n＝6时，S n取最大值36．

故选：C．

8．若曲线与直线y＝k（x+2）+1仅有一个交点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．

D．

【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得到结论．

解：由y＝k（x+2）+1知直线l过定点D（﹣2，1），将曲线移项两边平方得x2+y2＝1（y≥0），

则曲线是以（0，0）为圆心，1为半径，且位于直线x轴上方的半圆．

当直线l过点B（1，0）时，直线l与曲线有两个不同的交点，如图：

此时k＝＝﹣，DC有一个交点，此时k＝＝﹣1，

当直线l与曲线相切时，直线和圆有一个交点，

要使曲线与直线y＝k（x+2）+1有1个交点，

结合图形可知：﹣1≤k＜﹣，或k＝0．

故选：D．

9．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足面积为，sin C ﹣cos B＝cos（A﹣C），a＝，则△ABC的周长为（）

A．B．C．D．

【分析】先根据同角的三角函数的关系可得sin A＝，即可求出A，再根据三角形的面积可得bc＝6，根据余弦定理可求出b+c＝5，即可求出周长．

解：∵sin C﹣cos B＝cos（A﹣C），

∴sin C+cos（A+C）＝cos（A﹣C），

∴sin C+cos A cos C﹣sin A sin C＝cos A cos C+sin A sin C，

∴sin C＝2sin A sin C

∵sin C≠0，

∴sin A＝，

∵△ABC为锐角三角形，

∴A＝60°，

∵S＝bc sin A＝，

∴bc＝6，

由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc，

∴（b+c）2＝7+18＝25，

∴b+c＝5，

∴△ABC的周长为5+，

故选：D．

10．已知圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝3，从点P（﹣1，﹣3）发出的光线，经直线y＝x反射后，恰好经过圆心C，则入射光线的斜率为（）

A．﹣4B．C．D．4

【分析】根据光路可逆，易知圆心C（1，﹣2）关于直线y＝x的对称点M，在入射光线上，由此可求得结果．

解：C：（x﹣1）2+（y+2）2＝3，圆心为C（1，﹣2），

由已知，反射光线经过C（1，﹣2），故C点关于直线y＝x的对称点M（﹣2，1）在入射光线上．

且光源P（﹣1，﹣3），所以入射光线的斜率k＝．

故选：A．

11．已知正项数列{a n}中，a1＝1，前n项和为S n，且当n≥2，n∈N*时，，

数列{（﹣1）n a n?cos+1}的前64项和为（）

A．240B．256C．300D．320

【分析】先根据数列的递推公式可得数列{}从第二项以1为首项，以2为公差的等差数列，即可得到a n＝8（n﹣1），n≥2时，再分类求和，即可求出．

解：当n≥2时，，

则a n＝S n﹣S n﹣1＝（+）（﹣）＝2（+），

∴﹣＝2，

∵＝＝1，

∴数列{}从第二项以1为首项，以2为公差的等差数列，

∴＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，

∴S n＝（2n﹣1）2，

∴S n+1＝（2n+1）2，

∴a n+1＝S n+1﹣S n＝8n，

∴a n＝8（n﹣1），n≥2时，

令c n＝（﹣1）n a n?cos+1＝（﹣1）n?4（n﹣1）cos+1，

当n为奇数时，c n＝1，

当n为偶数时，c n＝（﹣1）×8（n﹣1）+1

则c1+c2+c3+…+c64＝64+8[（﹣1+3）+（﹣5+7）+（﹣9+11）+…+（﹣61+63）]＝64+8×2×16＝320，

故选：D．

12．已知向量⊥，|﹣|＝2，定义：cλ＝λ+（1﹣λ），其中0≤λ≤1．若，则|cλ|的值不可能为（）

A．B．C．D．1

【分析】由题意可得，设，则B，C，D，

P四点共线，在圆中画出图形，由得到两向量夹角的范围，从而求得|cλ|的范围得答案．

解：∵向量⊥，|﹣|＝2，∴以为邻边的平行四边形为长方形，

则，

又＝λ+（1﹣λ），∴，

则＝1．

设，

由＝λ+（1﹣λ），0≤λ≤1，可知B，C，D，P四点共线，

如右图，

设，

∵，∴由＝，得在上的投影为，∴当B、P两点重合时，＝1，，

当P、D重合时，θ＝0．

∴，θ∈（0，]，cosθ∈[，1），

∴．

则|cλ|的值不可能为．

故选：A．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）

13．若动点P到两点A（1，0），B（2，0）的距离之比为，则点P的运动轨迹方程为x2+y2＝2．

【分析】设P（x，y），由已知条件列出方程，由此能求出P点的轨迹方程．

解：设P（x，y），∵动点P到两定点A（1，0），B（2，0）的距离的比为，∴＝，

整理，得x2+y2＝2，

P点的轨迹方程是x2+y2＝2．

故答案为：x2+y2＝2．

14．重庆一中高一、高二、高三的模联社团的人数分别为25，15，10，现采用分层抽样的方法从中抽取部分学生参加模联会议，已知在高二年级和高三年级中共抽取5名同学，若从这5名同学中再随机抽取2名同学承担文件翻译工作，则抽取的两名同学来自同一年级的概率为．

【分析】在高二年级抽取3人，在高三年级抽取2人，从这5名同学中再随机抽取2名同学承担文件翻译工作，基本事件总数n＝＝10，抽取的两名同学来自同一年级包含的基本事件个数m＝＝4，由此能求出抽取的两名同学来自同一年级的概率．解：重庆一中高一、高二、高三的模联社团的人数分别为25，15，10，

现采用分层抽样的方法从中抽取部分学生参加模联会议，

在高二年级和高三年级中共抽取5名同学，

则在高二年级抽取：5×＝3人，在高三年级抽取：5×＝2人，

从这5名同学中再随机抽取2名同学承担文件翻译工作，

基本事件总数n＝＝10，

抽取的两名同学来自同一年级包含的基本事件个数m＝＝4，

则抽取的两名同学来自同一年级的概率为p＝．

故答案为：．

15．在下列函数中，

①②③④y＝

sin2x cos2x+（x∈（0，））．

其中最小值为2的函数是①③．

【分析】由函数的单调性可得各个函数在给定区间的值域，进而选出结果．

解：①因为y＝|x+|＝|x|+||≥2＝2，所以①的最小值为2，；

②因为y＝2x++3＝2x﹣1++3，

由于x，所以2x﹣1＜0，所以﹣（2x﹣1）+（﹣）≥2

＝2，

所以y＝2x﹣1++4≤﹣2+4＝2，由最大值为2，所以②不正确；

③因为y＝（x+）+，x＞1，所以y＝（x+）+，x＞1，

令t＝x+在（1，+∞）单调递增，所以t＞2，

所以y＝t+，t＞2，令t＝，解得t＝4，当t∈（2，4）单调递减，t∈[4，+∞）单调递增，所以当t＝t时，y取到最小值2，

所以③正确；

④令t＝（sin x cos x）2＝（sin2x）2，x∈（0，），t∈（0，），

以y＝t+在t∈（0，）单调递减，所以当t＝，y由最小值为4+＝，所以④不正确．

故答案为：①③．

16．函数f（x）＝ax﹣a2﹣4（a＞0，x∈R），若p2+q2＝8，则的取值范围[2﹣，2+]．

【分析】推导出＝，表示点A（p，q）与点B（a+，a+）连线的斜率，

取点E（4，4），当AB与圆：x2+y2＝8的切线BC重合时，k AB取最小值，当AB与圆：x2+y2＝8的切线ED重合时，k AB取最大值，由此能求出的取值范围．

解：∵函数f（x）＝ax﹣a2﹣4（a＞0，x∈R），p2+q2＝8，

∴＝＝，

表示点A（p，q）与点B（a+，a+）连线的斜率，

∵a+≥4，∴当等号成立时，a＝2，∴取点E（4，4），

当AB与圆：x2+y2＝8的切线BC重合时，k AB取最小值，

当AB与圆：x2+y2＝8的切线ED重合时，k AB取最大值，

设过点E（4，4）的圆x2+y2＝8的切线为y﹣4＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k+4＝0，则：＝2，解得k＝2±，

∴，，

∴的取值范围是[2﹣，2+]．

故答案为：[2﹣，2+]．

三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知直线l过点（1，1）且与直线x+2y+1＝0垂直．

（1）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，求|AB|；

（2）求圆心在直线l上且过两点M（1，1），N（3，1）的圆的标准方程．

【分析】（1）利用两条直线垂直的性质，求出直线l的斜率，可得直线l的方程．再根据直线在坐标轴上的截距，求得A、B的坐标，可得|AB|．

（2）设出圆心C的坐标，根据CM＝CN求出圆心C的坐标，可得圆心和半径，从而得到圆的标准方程．

解：（1）由于直线l过点（1，1）且与直线x+2y+1＝0垂直，

故直线l的斜率为2，故直线l的方程为y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0．

它与x轴的交点为A （，0），它与y轴的交点为B（0，﹣1），

∴|AB|＝＝．

（2）∵圆心在直线l上，可设圆心为C（a，2a﹣1），

所求的圆过两点M（1，1），N（3，1），∴MC＝NC，

∴（1﹣a）2+（1﹣2a+1）2＝（3﹣a）2+（1﹣2a+1）2，求得a＝2，

故圆心为C（2，3），半径为CM ＝＝，

的圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝5．

18．互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲、乙两家网络外卖企业（以下外卖甲、外卖乙）的经营情况进行了调查，调查结果如表；

1日2日3日4日5日外卖甲日接单x

529811（百单）

外卖乙日接单y

2310515（百单）

（1）试根据表格中这五天的日接单量情况，从平均数和方差的角度说明这两家外卖企业的经营状况；

（2）据统计表明，y与x之间具有较强的线性相关关系，请用最小二乘法求出y与x之间的回归方程．若每单外卖业务企业平均能获纯利润3元，试预测当外卖乙日接单量不低于24.16百单时，外卖甲所获取的日纯利润的大致范围．．

【分析】（1）根据表格中数据，分别求出，及，的值，由平均数相同，甲的方差较小，说明甲的接单量波动性较小；

（2）求出与的值，得到线性回归方程，再求出当外卖乙日接单量不低于24.16百单时的甲的接单量的范围，乘以3得结论．

解：（1）根据表格中数据，计算出＝×（5+2+9+8+11）＝7，

＝×（2+3+10+5+15）＝7，

＝[（5﹣7）2+（2﹣7）2+（9﹣7）2+（8﹣7）2+（11﹣7）2]＝10，

＝[（2﹣7）2+（3﹣7）2+（10﹣7）2+（5﹣7）2+（15﹣7）2]＝23.6．从平均值看，甲乙的平均数相同，从方差看，甲的方差小，即甲的接单量波动性较小；

（2）＝＝1.32，

＝7﹣1.32×7＝﹣2.24．

∴y关于x的线性回归方程为．

由1.32x﹣2.24≥24.16，得x≥20．

∴300x≥300×20﹣6000．

∴外卖甲所获取的日纯利润大于或等于6000元．

19．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足：．（1）求∠B；

（2）若，且BD＝3，求△ABC的面积．

【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合sin A≠0，cos ≠0，可求sin＝，结合范围0＜B＜π，可求＝，进而可求B的值．

（2）由已知利用余弦定理可得16＝a2+c2﹣ac，将已知等式两边平方，可得36＝c2+a2+ac，两式相减可求ac的值，进而利用三角形的面积公式即可求解．

解：（1）＝＝﹣，

由正弦定理以及a sin＝b sin A，可得sin A sin（﹣）＝sin B sin A，

∵sin A≠0，

∴cos＝2sin cos，

∵cos≠0，

∴sin＝，

∵0＜B＜π，

∴＝，

∴B＝；

（2）∵b＝4，B＝，

∴由余弦定理可得16＝a2+c2﹣ac，①

又∵，BD＝3，

∴两边平方，可得42＝2+2+2，

∴4×32＝c2+a2+2×，可得36＝c2+a2+ac，②

∴②﹣①可得：ac＝10，

∴S△ABC＝ac sin B＝10×＝．

20．已知圆C：x2+y2﹣6x﹣4y+12＝0，

（1）求过点且被圆C所截得的弦长为的直线l的方程；

（2）若P为直线m：x﹣y+2＝0上的动点，且圆C上存在两个不同的点到点P的距离为2，求点P的横坐标的取值范围．

【分析】（1）根据弦长公式得到圆心到直线的距离d＝，分别讨论斜率存在与不存在时的情况，列出关于d的方程即可；

（2）根据题意，故设P（x0，x0+2），求出圆C与圆P内切与外切时x0的值，分析可得答案．

解：（1）圆C：x2+y2﹣6x﹣4y+12＝0可化为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1，即有圆心C（3，

2），r＝1，

根据弦长公式可得＝2＝2，解得d＝，

当直线斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣）+，则圆心到l的距离d＝

＝，解得k＝，

所以直线l的方程为y＝（x﹣）+，即8x﹣6y﹣17＝0；

当直线斜率不存在时，直线l的方程为x＝，此时圆心C到直线l的距离d＝|3﹣|＝，满足，

综上，满足条件的直线l的方程为8x﹣6y﹣17＝0或x＝；

（2）由题知点P在直线l：y＝x+2上，故可设P（x0，x0+2）．

依题以点P为圆心，2为半径的圆与圆C相交．

当圆P与圆C相内切时，CP＝＝2﹣1＝1，解得x0无解，

当圆P与圆C相外切时，CP＝＝2+1＝3解得x0＝0或3；

由题意得，圆P与圆心有两个交点时符合题意，

故x0∈（0，3）．

21．已知数列{b n}中，b1＝2b，且b n＝4b n﹣1+1（n≥2且n∈N*）．

（1）当时，求数列{b n}的通项公式；

（2）记，数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，S n≥S2恒成立，求实数b 的取值范围．

【分析】（1）直接利用构造新数列的方法求出数列的通项公式．

（2）利用（1）的结论，进一步利用数列的求和和恒成立问题的应用求出参数的取值范围．

解：（1）知数列{b n}中，b1＝2b，且b n＝4b n﹣1+1（n≥2且n∈N*）．

整理得，

故（常数），

所以数列{}是以为首项，4为公比的等比数列．

所以，

整理得．

所以．

（2）由于，整理得，

所以，

故，

对任意n∈N*，S n≥S2恒成立，

所以，

即恒成立，

当n≥3时，，只要b即可，

当n＝2时，显然S n≥S2恒成立，当n＝1时，，整理得，

所以．

22．在平面直角坐标系xOy中，点A为直线l：y＝x上在第一象限内的点，B（﹣1，1），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D，且，

（1）求圆C的方程；

（2）设M，N是圆C上两点，且满足|OM|?|ON|＝1，试问：是否存在一个定圆S，使直线MN恒与圆S相切．

【分析】（1）根据圆的性质可知D与原点O重合，根据即可求出A点坐标，从而得出圆C的方程；

（2）设设AB：x＝ky+λ，A（x1，y1），B（x2，y2），根据|OM|?|ON|＝1可得y1y2＝，

联立方程组消元，根据根与系数的关系可得y1y2＝，于是O到直线MN的距离d ＝．故而定圆S是以O为圆心，以为半径的圆．

解：（1）连接OB，则∠BOy＝45°，又∠AOy＝45°，∴∠AOB＝90°，

∵AB是圆C的直径，D在圆C上，∴∠ADB＝90°，

∴点D与原点O重合．

∴＝AB?AD?cos∠BAD＝AD2＝2，∴AD＝，

又A点在直线l：y＝x上，且A在第一象限，∴A（1，1）．

∴C（0，1），AB＝2，

∴圆C的方程为：x2+（y﹣1）2＝1．

（2））∵圆M的方程为x2+（y﹣1）2＝1

设AB：x＝ky+λ，A（x1，y1），B（x2，y2），

由|OA|?|OB|＝1可得：（x12+y12）（x22+y22）＝1，

∴[1﹣（y1﹣1）2+y12][1﹣（y2﹣1）2+y22]＝1，

∴4y1y2＝1，即y1y2＝，

联立方程组：，消元可得：（k2+1）y2+2（kλ﹣1）y+λ2＝0，

∴y1y2＝，

∴＝，

∴原点O到直线MN的距离d＝＝，

∴直线AB恒与圆S：x2+y2＝相切．

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