2018版高中数学必修二同步讲义（人教A版）第三章直线与方程习题课Word版含答案

学习目标 1.能熟练求出两直线的交点坐标.2.理解直线过定点的含义.3.能解决简单的对称问题.4.体会坐标法的基本思想．

知识点一 两直线的交点坐标

已知直线：l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0，点A(a，b)． (1)若点A在直线l：Ax＋By＋C＝0上，则有：Aa＋Bb＋C＝0. (2)若点A是直线l1与l2的交点，则有：

??A1a＋B1b＋C1＝0，? ?Aa＋Bb＋C＝0.?222

知识点二 两直线的位置关系

??A1x＋B1y＋C1＝0方程组?的解 ??A2x＋B2y＋C2＝0 一组 一个 相交 无数组 无数个 重合 无解 零个 平行 直线l1与l2的公共点的个数 直线l1与l2的位置关系

知识点三 两点间的距离公式 (1)条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)． (2)结论：|P1P2|＝?x1－x2?2＋?y1－y2?2.

(3)特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝x2＋y2.

类型一 直线恒过定点问题

例1 求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标．

证明 方法一 对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，

令m＝0，得x－3y－11＝0； 令m＝1，得x＋4y＋10＝0.

??x－3y－11＝0，

解方程组?

?x＋4y＋10＝0，?

得两条直线的交点坐标为(2，－3)．

将点(2，－3)代入方程组左边，得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝0. 这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．

方法二 将已知方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.

??2x＋y－1＝0，

由于m取值的任意性，有?

?－x＋3y＋11＝0，???x＝2，

解得?

?y＝－3.?

所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)． 反思与感悟 解含有参数的直线恒过定点的问题

(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．

(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，

??A1x＋B1y＋C1＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组?

?A2x＋B2y＋C2＝0?

解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示所有直线必过定点(x0，y0)．

跟踪训练1 不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过的定点坐标是________________． 答案 (9，－4)

解析 方法一 取m＝1，得直线y＝－4.

1

取m＝，得直线x＝9.故两直线的交点为(9，－4)，

2下面验证直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过点(9，－4)．

将x＝9，y＝－4代入方程，左边＝(m－1)·9－4·(2m－1)＝m－5＝右边， 故直线恒过点(9，－4)．

方法二 直线方程可变形为(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0， ∵对任意m该方程恒成立，

???x＋2y－1＝0，?x＝9，∴?解得? ?x＋y－5＝0，???y＝－4，

故直线恒过定点(9，－4)． 类型二 对称问题

命题角度1 关于点对称问题

例2 (1)求点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点P′的坐标； (2)求直线3x－y－4＝0关于点(2，－1)的对称直线l的方程． 解 (1)根据题意可知点A(a，b)为PP′的中点， 设P′点的坐标为(x，y)， x，?a＝x＋2

则根据中点坐标公式得?y＋y

b＝?2，00

??x＝2a－x0，

所以?

?y＝2b－y0.?

所以点P′的坐标为(2a－x0，2b－y0)．

(2)方法一 设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)， 则此点关于点(2，－1)的对称点为M1(4－x，－2－y)， 且M1在直线3x－y－4＝0上， 所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0， 即3x－y－10＝0.

所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0.

方法二 在直线3x－y－4＝0上取两点A(0，－4)，B(1，－1)， 则点A(0，－4)关于点(2，－1)的对称点为A1(4,2)， 点B(1，－1)关于点(2，－1)的对称点为B1(3，－1)． 可得直线A1B1的方程为3x－y－10＝0， 即所求直线l的方程为3x－y－10＝0.

反思与感悟 (1)点关于点的对称问题：若两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于点P(x0，y0)对称，则x

，?x＝x＋2

P是线段AB的中点，并且?y＋y

y＝.?2

1

2

0

1

2

0

(2)直线关于点的对称问题：若两条直线l1，l2关于点P对称，则：①l1上任意一点关于点P的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于点P的对称点必在l1上；②若l1∥l2，则点P到直线l1，l2的距离相等；③过点P作一直线与l1，l2分别交于A，B两点，则点P是线段AB的中点．

跟踪训练2 与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )

A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0 C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0 答案 D

解析 由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x＋3y－6＝0平行，则可设所求直线方程为2x＋3y＋C＝0.

在直线2x＋3y－6＝0上任取一点(3,0)， 关于点(1，－1)的对称点为(－1，－2)， 则点(－1，－2)必在所求直线上， ∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，C＝8. ∴所求直线方程为2x＋3y＋8＝0. 命题角度2 关于轴对称问题

例3 点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是( ) A．(－2,1) C．(2，－5) 答案 B

解析 设对称点坐标为(a，b)， a－3b＋4

??2＋2－2＝0，

由题意，得?b－4

??a＋3＝1，

??a＝－2，

解得?即Q(－2,5)．

??b＝5，

B．(－2,5) D．(4，－3)

反思与感悟 (1)点关于直线的对称问题

y－yA

·?－?＝－1，??x－xB

求P(x，y)关于Ax＋By＋C＝0的对称点P′(x，y)时，利用?x＋xy＋y

A·＋B·＋C＝0??22

00

0

0

0

0

可

以求P′点的坐标．

(2)直线关于直线的对称问题：若两条直线l1，l2关于直线l对称，①l1上任意一点关于直线l的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于直线l的对称点必在l1上；②过直线l上的一点P且垂直于直线l作一直线与l1，l2分别交于点A，B，则点P是线段AB的中点． 跟踪训练3 一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程．

解 设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)， 由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得

?

?ab

?8×2＋6×2＝25，

b4·?－?＝－1，a3

?a＝4，?

解是?

?b＝3，?

∴点A的坐标为(4,3)．

∵反射光线的反向延长线过A(4,3)， 又∵反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线方程为y＝3.

??y＝3，

由方程组?

?8x＋6y＝25，?

7??x＝8，

解得?

??y＝3，由于反射光线为射线，

7故反射光线的方程为y＝3(x≤)．

8类型三 运用坐标法解决平面几何问题

例4 在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．

证明 设BC所在边为x轴， 以D为原点，建立坐标系， 如图所示，设A(b，c)，C(a,0)， 则B(－a,0)． ∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2， |AC|2＝(a－b)2＋c2， |AD|2＝b2＋c2，

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