高中必修数学公式含经典解题技巧
更新时间:2024-03-05 07:20:01 阅读量: 综合文库 文档下载
高中数学常用公式及结论
1 元素与集合的关系:x?A?x?CUA,x?CUA?x?A.??A?A??
2 集合{a1,a2,?,an}的子集个数共有2n个;真子集有2n?1个;非空子集有2n?1个;非空的真子集有2?2个.
3 二次函数的解析式的三种形式:
n(1) 一般式f(x)?ax2?bx?c(a?0);
(2) 顶点式f(x)?a(x?h)2?k(a?0);(当已知抛物线的顶点坐标(h,k)时,设为此式) (3) 零点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0);当已知抛物线与x轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0)时,设
为此式)
(4)切线式:f(x)?a(x?x0)2?(kx?d),(a?0);(当已知抛物线与直线y?kx?d相切且切点的
横坐标为x0时,设为此式)
4 真值表:同真且真,同假或假 5 常见结论的否定形式; 原结论 反设词 是 不是 都是 不都是 大于 不大于 小于 不小于 对所有x,成立 存在某x,不成立 对任何x,不成立 存在某x,成立 原结论 反设词 至少有一个 一个也没有 至多有一个 至少有两个 至少有n个 至多有(n?1)个 至多有n个 至少有(n?1)个 p或q ?p且?q p且q ?p或?q 6 四种命题的相互关系(下图):(原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假.)
原命题 逆命题
若p则q 若q则p
否命题 逆否命题
若﹃p则﹃q 若﹃q则﹃p
充要条件: (1)、p?q,则p是q的充分条件,反之,q是p的必要条件;
(2)、p?q,且q ≠> p,则P是q的充分不必要条件;
(3)、p ≠> p ,且q?p,则P是q的必要不充分条件;
(4)、p ≠> p ,且q ≠> p,则P是q的既不充分又不必要条件。
7 函数单调性:
增函数:数学符号表述是:设f(x)在x?D上有定义,若对任意的
f(x1)?f(x2)x1,x2?D,且x1?x2,都有
成立,则就叫f(x)在x?D上是增函数。D则就是f(x)的递增区间。
x,x?D,且x1?x2减函数:数学符号表述是:设f(x)在x?D上有定义,若对任意的12,都有
f(x1)?f(x2)
成立,则就叫f(x)在x?D上是减函数。D则就是f(x)的递减区间。
- 1 -
单调性性质:(1)、增+增=增;(2)、减+减=减; (3)、增-减=增;(4)、减-增=减;
注:上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的,是等号左边两个函数定义域的交集。 复合函数的单调性:
单调性 内层函数 减 增 增 减 外层函数 减 增 减 增 复合函数 增 增 减 减 等价关系:
(1)设x1,x2??a,b?,x1?x2那么 (x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)x1?x2f(x1)?f(x2)x1?x2?0?f(x)在?a,b?上是增函数; ?0?f(x)在?a,b?上是减函数.
(2)设函数y?f(x)在某个区间内可导,如果f?(x)?0,则f(x)为增函数;如果f?(x)?0,则f(x)为减函数. 8函数的奇偶性:(注:是奇偶函数的前提条件是:定义域必须关于原点对称) 奇函数:
定义:在前提条件下,若有f(?x)??f(x)或f(?x)?f(x)?0,则f(x)就是奇函数。 性质:(1)、奇函数的图象关于原点对称;
(2)、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间;
(3)、定义在R上的奇函数,有f(0)=0 . 偶函数:
定义:在前提条件下,若有f(?x)?f(x),则f(x)就是偶函数。 性质:(1)、偶函数的图象关于y轴对称;
(2)、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间; 奇偶函数间的关系:(1)、奇·偶=奇;(2)、奇·奇=偶;(3)、偶·偶=偶;(4)、奇±奇=奇(例外是偶)
(5)、偶±偶=偶;(6)、奇±偶=非奇非偶
9函数的周期性: 对函数f(x),若存在T?0,使得f(x+T)=f(x),则就叫f(x)是周期函数,其中,T是f(x)的一个周期。
周期函数几种常见的表述形式:
(1)、f(x+T)= - f(x),此时周期为2T ;(2)、 f(x+m)=f(x+n),此时周期为2m?n ;
1f(x)(3)、f(x?m)??,此时周期为2m 。
10常见函数的图像:
yyyyk<0ok>0xoa<0xy=ax01y=kx+b
a>02 y=ax+bx+c
o1a>1x
- 2 -
11 对于函数y?f(x)(x?R),f(x?a)?f(b?x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是x?函数y?f(x?a)与y?f(b?x) 的图象关于直线x?12 分数指数幂与根式的性质:
ma?b2;两个
b?a2对称.
(1)an?(2)a?mnnam(a?0,m,n?N?,且n?1). ?1nm?1m(a?0,m,n?N?,且n?1).
ana(3)(na)n?a.
nn(4)当n为奇数时,a?a;当n为偶数时,a?|a|??nn?a,a?0??a,a?0.
13 指数式与对数式的互化式: logaN?b?ab?N(a?0,a?1,N?0).
指数性质: (1)、a?p?s1ap (2)、a0?1(a?0)(3)、amn?(am)n
m(4)、a?a?arr?s(a?0,r,s?Q) (5)、an?nam
指数函数:指数函数图象都恒过点(0,1)
对数性质:
(1)、 logaM?logaN?loga(MN)(2)、 logaM?logaN?logam(3)、 logab?m?logab (4)、 logab?mMNlogab
?b
nnm?logab (5)、 a对数函数:对数函数图象都恒过点(1,0)
(1)、 logax?0?a,x?(0,1)或a,x?(1,??)
(2)、 logax?0?a?(0,1)则x?(1,??) 或 a?(1,??)则x?(0,1)
14 对数的换底公式 :logaN? 对数恒等式:anmlogmNlogma (a?0,且a?1,m?0,且m?1, N?0).
logaN?N(a?0,且a?1, N?0). logab(a?0,且a?1, N?0).
推论 logab?nm15对数的四则运算法则:若a>0,a≠1,M>0,N>0,则
(1)loga(MN)?logaM?logaN; (2) loga(3)logaMnMNn?logaM?logaN; ?nmlogaN(n,m?R)。
?nlogaM(n?R); (4) logamN16 平均增长率的问题(负增长时p?0):
如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,有y?N(1?p). 17 数列: 等差数列:
通项公式: (1) an?a1?(n?1)d ,其中a1为首项,d为公差,n为项数,an为末项。
x- 3 -
(2)推广: an?ak?(n?k)d
(3)an?Sn?Sn?1(n?2) (注:该公式对任意数列都适用)
前n项和: (1)Sn?n(a1?an)22 ;其中a1为首项,n为项数,an为末项。
d
(2)Sn?na1?n(n?1)(3)Sn?Sn?1?an(n?2) (注:该公式对任意数列都适用) (4)Sn?a1?a2???an (注:该公式对任意数列都适用)
常用性质:(1)、若m+n=p+q ,则有 am?an?ap?aq ;
注:若am是an,ap的等差中项,则有2am?an?ap?n、m、p成等差。
(2)、若?an?、?bn?为等差数列,则?an?bn?为等差数列。
(3)、?an?为等差数列,Sn为其前n项和,则Sm,S2m?Sm,S3m?S2m也成等差数列。 (4)、ap?q,aq?p,则ap?q?0 ; (5) 1+2+3+?+n=
等比数列:
通项公式:(1) an?a1qn?1?a1q?q(n?N) ,其中a1为首项,n为项数,q为公比。
n*n(n?1)2
n?k(2)推广:an?ak?q
(3)an?Sn?Sn?1(n?2) (注:该公式对任意数列都适用)
前n项和:(1)Sn?Sn?1?an(n?2) (注:该公式对任意数列都适用)
(2)Sn?a1?a2???an (注:该公式对任意数列都适用)
na1?? (3)Sn??a1(1?qn)?1?q?(q?1)(q?1)
常用性质:(1)、若m+n=p+q ,则 am?an?ap?aq ;
注:若am是an,ap的等比中项,则有 am?an?ap?n、m、p成等比。 (2)、若?an?、?bn?为等比数列,则?an?bn?为等比数列。
2- 4 -
(3)Sk,S2k?Sk,S3k?S2k成等比数列
23n-1
错位相减求和: Sn=1+2x+3x+4x+ ┄ +nx ①
xSn=0+ x+2x2+3x3+4x3+ ┄ +nxn ② ①-②得(1-x)S n = 1+x+x2+x3+ ┄ +x n-1-nx n
⑴当x=1时,在原式中Sn=1+2+3+4 + ┄ +n=
(1?x)Sn?1?xn2nn(n?1)2
⑵当x?1时,
?Sn?11n1?x??nxnxnn1?x(1?x)?1n?1?11?x?11?(1?n)xn2?nxn
(1?x)?12(1n 裂项相消求和:
n(n?1)1?n(n?2)?1n?2)
(2n?1)(2n?1)22n?1(1?12n?1)1n?1?n?n?1?n
n(n?1)?13?n(n?1)(n?2)?(n?1)n(n?1)?ab(1?b)nn18分期付款(按揭贷款) :每次还款x?19三角不等式:
(1)若x?(0,(2) 若x?(0,?2(1?b)?1元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).
),则sinx?x?tanx.
),则1?sinx?cosx?2(3) |sinx|?|cosx|?1.
?2. 20 同角三角函数的基本关系式 :sin2??cos2??1,tan?=
sin?cos?,
21 正弦、余弦的诱导公式(函数名不变,符号看象限;函数名改变,符号看象限) 22 和角与差角公式
sin(???)?sin?cos??cos?sin? cos(???)?cos?cos??sin?sin?
tan(???)?tan??tan?1?tan?tan?
baasin??bcos?=22a?bsin(???) (辅助角?所在象限由点(a,b)的象限决定,tan??).
23 二倍角公式及降幂公式
sin2??sin?cos??22tan?1?tan?22.
22cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin??tan2??2tan?1?tan?21?tan?1?tan?22.
. tan??sin2?1?cos2??1?cos2?sin2?
24 三角函数的周期公式
- 5 -
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