概率同步练习答案1-2章

第一次

1设A,B,表示三随机事件，表示下列随机事件 （1）A出现，B，C不出现（2）A，B都出现，C不出现（3）三事件都出现（4）三事件至少有一个出现（5）三事件都不出现（6）不多于一个事件出现（7）A，B，C 中恰好有两个出现

解 （1）{A出现，B，C不出现}?ABC （2）{A，B都出现，C不出现}?ABC （3）{三事件都出现}?ABC

（4）{三事件至少有一个出现}?A?B?C （5）{三事件都不出现}?ABC

（6）{不多于一个事件出现}?ABC?ABC?ABC?ABC （7）{A，B，C 中恰好有两个出现}?ABC?ABC?ABC

2 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个班的数学考试平均成绩（2）同时抛三个骰子，记录点数之和 （3）10件产品中有3件次品，每次从中取一件（不放

回）直到将三件次品取出，记录抽取次数 （4）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数 ，（5）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标

解 （1） S1?{x|0?x?100} （2）S2?{3,4,5...18} （3）S3?{3,4,5,...10} （4） S4?{10,11,12,13...} （5）S5?{(x,y)|x2?y2?1}

3 随机抽查三件产品，A={三件中至少有一件废品} B={三件中至少有二件废品} C={三件正品}，问 A， B A?C A?C A?B 各表示什么事件（用文字描述） 解 A----- 三件产品全为正品 B-----三件中至多一件废品

A?C?S A?C?? A?B----恰有一件废品

4 下列各式是否成立 （1）（A-B）+B=A （2） （A+B）-C=A+（B-C） 解 如图

（1）(A?B)?B?A?B （2）(A?B)?C?A?(B?C) 5 下列各式说明什么关系？

（1） AB=A (2) A+B=A (3) A+B+C=A

解 （1）AB=A ?A?B (2) A+B=A ?B?A

(3) A+B+C=A ?B?A且?C?A

第二次

1 罐中有围棋子8白子4黑子，今任取3子 ，求下列事件的概率 (1) 全是白子 (2) 取到2黑子1白子 （3）至少有一颗黑子

解 A={全是白子} B={2白子1黑子} C={至少有一颗黑子}

31C8C82C41428 （1） P(A)?3= （2） P(B)? （3） =3C1255C121653C841P(C)?1?P(A)?1?3=

C12552 从1至200的正整数中任取一数,求此数能被6或8整除的概率 解 A={此数能被6整除} B={此数能被8整除} P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?3 设P(A)?332581??=? 200200200411，P(B)? 试求下列三种情况下P(A?B)的值 231 （1）AB?? （2）A?B （3）P(AB)?

41解 （1）AB?? A?B?A ， ?P(A?B)?

2111（2）A?B P(A?B)?P(A)?P(B)???

2361111（3）P(AB)? P(A?B)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)???

42444 袋中有9红球3白球,任取5球,求(1) 其中至少有1个白球的概率(2) 其中至多有2个白球

的概率

解 A={至少有1个白球} B={至多有2个白球}

532C9C3C2137P(A)?1?P(A)?1?5= P(B)?1?P(B)?1?59=

C1244C12225设A,B为两个事件,且P(A)?0.5 , P(B)?0.4,P(A?B)?0.8 求 (1) P(A?B) (2) P(AB)

解 （2）?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB) ?P(AB)?0.1

（1） 如图 A?B?A?AB

A?(AB)??

?P(A?B)?P(A)?P(AB)=1-0.5+0.1=0.6

6若A?B,A?C，且P（A）=0.9 ，求 P(A?BC)

解 如图：B?C?S?BC P(BC)?1?P(B?C)?0.2

P(A?BC)?P(A)?P(BC)?0.9?0.2?0.7 参考题 设 P(A)?P(B)?P(B?C)?0.8，

1, 求证 P(AB)?P(AB) 2证明 ?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

?P(A?B)?1?P(AB)

P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(AB) ?P(AB)?P(AB)

第三次

1 袋中有3红球2白球,不放回地抽取2次,每次取一个,求(1) 第二次取红的概率 (2) 已知第一次取白球,求第二次取红球的概率 解 Ai={第i次取红球} （i=1，2）

（1） P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)? （2） P(A2|A1)?32233???? 545453 42 袋中有3红球2白球,抽取3次,每次取一个,取出后不放回,再放入与取出与取出的球颜色相同的两个球, 求 连续3次取白球的概率 解 Ai={第i次取白球} （i=1，2，3） P(A1A2A3)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)?2344??? 567353 10件产品中有7件正品，3件次品

（1）不放回地每次从中取一个，共取三次，求取到3件次品的概率 （2）有放回地每次从中取一个，共取三次，求取到3件次品的概率 解 Ai={第i次取次品} （i=1，2，3）

3211??= 109812033327??= （2） P(A1A2A3)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)? 1010101000 （1） P(A1A2A3)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)?4 100件产品中有10件次品90件正品，每次取1件，取后不放回，求第三次才去到正品的概率

解 Ai={第i次取正品} （i=1，2，3）

)? P(A1A2A310990P(A)P(A|A)P(A|A?A)??12131210099989=

10785某人有一笔资金,他投入基金的概率为0.58,买股票的概率为0.28,两项同时投入的概率为0.19, 求(1)已知他买入基金的条件下,他再买股票的概率 (2) 已知他买入股票的条件下,他再买基金的概率

解 A={买基金} B={买股票} （1）P(B|A)?P(AB)0.19P(AB)0.19?? （2）P(A|B)?

0.280.58P(A)P(B)6某厂有编号为1,2,3的三台机器生产同种产品,其产量分别占总产量的25%, 35% 40%,次品

率分别为5%,4% 2%,今从总产品中取一件 (1) 产品为次品的概率 (2) 若抽取的为次品求它是编号为2的机器生产的概率

解 Ai（i=1，2，3）B={任取一件产品为次品}

(1)P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)

?25%?5%?35%?4%?40%?2%=0.0345

(2)

P(A2|B)?P(A2B)P(A2)P(B|A2)?P(B)P(B)?35%?4%?0.406

25%?55%?4%?40%?2%第四次

1设 P(A)?0.4,P(A?B)?0.7在下列条件下求P(B) (1) A,B互不相容 (2) A,B独立 解 (1) A,B互不相容 则P(A?B)?P(A)?P(B)?0.7 ?P(B)?0.3

(2)A,B独立 则P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?0.7

?P(B)?0.5

2设 P(A)?0.3,P(A?B)?0.6在下列条件下求P(B) (1) A,B互不相容 (2) A,B独立 (3) A?B

解 (1) A,B互不相容 则P(A?B)?P(A)?P(B)?0.6 ?P(B)?0.3

(2)A,B独立 则P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?0.6

?P(B)?3 7(3) A?B A?B?B ?P(A?B)?P(B)?0.6

3两种花籽，发芽率分别为0.8，0.9 ， 从中各取一粒，设花籽发芽独立，求（1）两颗都发芽的概率 （2）至少有一颗发芽的概率（3）恰有一颗发芽的概率 解 A={第一种花籽发芽} B={第二种花籽发芽}

（1） P(AB)?P(A)P(B)?0.8?0.9=0.72

（2） P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B) ?0.8?0.9?0.8?0.9=0.98

（3） P(AB?AB)?P(AB)?P(AB)?P(A)P(B)?P(A)P(B) ?0.8?0.1?0.2?0.9=0.26 4 甲,乙,丙三人独自破译某个密码,他们各自破译的概率是

111,,,求密码被破译的概率 234解 A={密码被甲破译} B={密码被乙破译} C={密码被丙破译} {密码被破译}=A+B+C

1113P(A?B?C)?1?P(A?B?C)?1?P(ABC)?1?(1?)(1?)(1?)=

23445 加工某零件要经过第一 ,第二 ,第三 ,第四道工序,次品率分别为2%, 3% ,4% ,5% ,各道工

序独立,求加工出来的零件为次品的概率

解 Ai={第i道工序出次品} ( i=1,2,3,4) B={加工出来的零件为次品} B=A1+A2+ A3+A4

P(B)?P(A1?A2?A3?A4)?1?P(A1?A2?A3?A4)?1?P(A1A2A3A4) ?1?P(AA)P(?)?1?(11)P(A2)P(34A2%?)(13?%)(1?4%)?(1 5%)63,求A在一次试验中出现的概率 640.1336 3次独立重复试验,事件A至少出现一次的概率为解 A在一次试验中出现的概率为p

X表示3次实验中A出现的次数 ,则X~B(3,p)

P(X?1)?1?P(X?0)?1?(1?p)3?第五次

1 判断是否为分布表 X 1 2 3…….. n….. P 633 ?p? 6443333 2 3…. n….. 5555n11?()n3a(1?q)5?3?1 解 等比数列求和公式为Sn?1 limSn?limn??n??5141?q1?5 所以上述表不是分布表

2已知离散型随机变量的分布律如下,求常数a=?

a m=1,2,3…25 5a(2) P{X?m}? m=0,1,2,3…

m!(1) P{X?m}?

解法二 y?lnx 单调上升 ，其反函数为x?e (???y???)， x??e

yy2ey pY(y)?pX(e)?e? (???y???) 2y?(1?e)yy第10次

1 设随机变量X为分布表 X -1 0 0.5 1 2 P 11111 366124求（１）E(?X?1) （２）E(X2)

111112?0??0.5??1??2?)?1? 366124311121135222?22??（2）E(X2)?(?1)??0??(0.5)??1?

366124241?|x|2设随机变量X的概率密度为 p(x)?e(???x???),求（１）EX（２） E(X2)

2??1?|x| 解 EX??xedx?0

??2解 （1）E(?X?1)??EX?1??(?1???1?|x|2?x2?x?x?x?? EX??xedx??xedx??xe?2xe?2e?2

??0022??2?0x?0?x3设随机变量X的分布函数为 F(x)??0?x?4

?4x?4?1求 （１）EX（２） E(3X?5)

?0x?041?1解 f(x)??0?x?4 EX??xdx?2 E(3X?5)?3EX?5?11

04?4x?4?04 对圆的直径作测量,设其值均匀地分布在区间[a,b]内,求圆面积的期望

解 X-----直径 则X~U[a, b]

2bxX21?13b?(b3?a3) ES?E?()???dx??x?a24b?a4(b?a)3a12(b?a)5 按规定某车站每天8:00---9:00, 9:00---10:00恰有一辆客车到站,各车到站的时刻是随机的,

且相互独立,其规律为 到站时刻 概率 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 0.2 0.4 0.4 (1) 旅客8:00到站,求他候车时间的数学期望 (2) 旅客8:20到站,求他候车时间的数学期望

解 (1) 旅客8:00到站 X----表示候车时间， 则

X 10 30 50 P 0.2 0.4 0.4 EX?10?0.2?30?0.4?50?0.4?34（分）

(2) 旅客8:20到站 X----表示候车时间， 则

X 10 30 50 70 90 P 0.4 0.4 0.04 0.08 0.08 EX?10?0.4?30?0.4?50?0.04?70?0.08?90?0.08?30.8（分）

第11次

1 设随机变量X为分布表 X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.1 0.4 0.2 求（１）D(?X) （２）D(2X?3)

解 EX?0?0.1?1?0.2?2?0.1?3?0.4?4?0.2?2.4

EX2?02?0.1?12?0.2?22?0.1?32?0.4?42?0.2?7.4

DX?EX2?(EX)2?1.64

D(?X)?DX?1.64 D(2X?3)?4DX?6.56

???kcosx0?x?2设随机变量X的概率密度为 p(x)??2,

?其余?0求（１）k??（２） P{0?x??3}（２） EX,DX

（3） E(3X?2) D(?3X?2)

??kcosxdx?ksinx2?1 ?k?1 0解 (1)

?20 (2) P{0?x??3 }??3cosxdx?sinx3?0320???? (3) EX??20xcosxdx?xsinx?cosx2??1

20??2202?EX??xcosxdx?xsinx?cosx2??2

40DX?EX?(EX)?22?2?24?2?(?2?1)2???3

（3） E(3X?2)?3EX?2?3??1 2D(?3X?2)?9DX?9??27

3设随机变量X服从参数为?的泊松分布,且P{X=1}=P{X=2}求 ,EX,DX 解 P{X?1}?P{X?2} EX?2, DX?2

4 设随机变量X~N(2,9) 求 Y?3X的概率密度函数 解 X~N(2,9) 则Y?3X也是正态分布,且 EY=6 DY=81

?e??1!??2e??2! ???2

即Y?3X~N(6,92) ?fY(y)?1e92?1?y?6????2?9?2

0?x?2?ax?5 设随机变量X的概率密度为 p(x)??cx?b2?x?4,

?0其余?3 求a??,b??,c?? 4248a56EX?xaxdx?x(cx?b)dx??6b?c?2………..(1) 解 ?0?23323353 P{1?X?3}??axdx??(cx?b)dx?a?b?c?….(2)

12224??243 ?p(x)??axdx??(cx?b)dx?a?2b?6c?1…………(3)

??12211 a?,b?1,c??

44已知EX?2 ,P{1?X?3}?

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