效用函数在经济学中的发展前景以及期望效用函数存在定理的另一种证明

经济学文献

首都师范大学

硕士学位论文

效用函数在经济学中的发展前景以及期望效用函数存在定理的

另一种证明

姓名：付卫强

申请学位级别：硕士

专业：概率与数理统计

指导教师：刘宗谦

20080420

经济学文献

摘要

在研究确定性环境中的消费选择问题时，１９５４年德布罗（Ｄｅｂｒｕｅ，１９５９）证明了效用函数存在性定理，这是效用理论的基础，在消费理论中具有重要的作用．

但是，实际消费选择并非总是在确定性条件下进行的．在最近几十年，有关在不确定性下构造个体行为模型的研究已成为数理经济学的重要内容，大量数理经济学方面的文献都涉及到期望效用最大化的讨论．期望效用理论是效用理论在不确定环境中的推广，在消费理论中得到了深入的发展，在经济学领域得到了广泛的应用．

期望效用函数存在定理是期望效用理论中最重要的定理．卡尼和施梅得利（ＫａｒｎｉａｎｄＳｃｈｍｅｉｄｌｅｒ，１９９１）论述了“效用理论与不确定性一，提供一个有关ｙｏｎＮｅｕｍａｎｎ和Ｓａｖａｇｅ理论及其发展的详尽叙述，强调放宽独立性公理和一些必然性原则的重要性．

本文首先介绍了效用理论尤其是期望效用理论的发展历史以及各个时期重要理论的基本思想，介绍了效用理论在金融决策，财务分析，评价评估，保险和博弈论等方面的应用，说明效用函数在经济学中的发展前景；然后，为了证明期望效用函数存在定理引入相关概念和期望效用性质，在阿基米德公理与独立性公理基础上推出了它们的一些相应性质；最后，根据概率分布与分布函数一一对应，把风险选择集视为欧几里德空间尺“的有界闭凸子集，利用所得出的若干性质给出了期望效用函数存在定理的必要性、充分性和唯一性的证明．关键词：偏好关系，风险选择，期望效用，存在性定理

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Ａｂｓｔｒａｃｔ

Ｉｎ１９５４，Ｄｅｂｒｕｅｈａｄｓｈｏｗｅｄｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｔｈｅｏｒｅｍｏｆｕｔｉｌｉｔｙｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｕｔｉｌｉｔｙｔｈｅｏｒｙｏｎｗｈｉｃｈｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｂａｓｅ，＃ａ．ｎｇｉｍｐｏｒｔａｎｔｒｏｌｅｉｎｃｏｎｓＢｍｅｒｔｈｅｏｒｙ，ｗｈｅｎｈｅｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ

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ｅｘｐｅｃｔｅｄｕｔｉｌｉｔｙ．Ｉｎｆａｃｔ，ｔｈｅａ１１．Ｉｎｔｈｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｒｅｌａｔｅｄｔｏｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｏｆｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｏｆｅｘｐｅｃｔｅｄｕｔｉｌｉｔｙｔｈｅｏｒｙａｎｄｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｉｎｔｈｅｃｏｎｓｕｍｅｒｔｈｅｏｒｙｈａｄｂｅｅｎｗｉｄｅｌｙａｐｐｌｉｅｄｉｎｔｈｅｆｉｅｌｄｏｆｅｅｏｎｏｍｉｅｓ．

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ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｉｎｅｘｐｅｃｔｅｄｕｔｉｌｉｔｙｔｈｅｏｒｙ．ＩｎＫａｍｉａｎｄＳｃｈｒｎｅｉｄｌｅｒ’Ｓｐａｐｅｒ（１９９１），ｔｈｅｙｄｉｓｃｕｓｓｅｄ‘＇ｕｔｉｌｉｔｙｔｈｅｏｒｙ

ｙｏｎａｎｄｕｎｃｈａｉｎＳ＇’ａｎｄｐｒｏｖｉｄｅｄｔｈｅｄｅｔａｉｌｅｄｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＯｉｌＮｅｕｍａｎｎａｎｄＳａｖａｇｅ’ｓｔｈｅｏｒｙａｎｄｉｔｓｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ，ａｎｄｅｍｐｈａｓｉｚｅｄｔｈｅｉｍｐｏｒｔａｎｃｅｏｆｒｅｌａｘｉｎｇｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅａｘｉｏｍａｎｄｓｏｍｅｎｅｃｅｓｓｉｔｙｐｒｉｎｃｉｐｌｅ．

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Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ，ｃｈｏｉｃｅ

ｏｆｅｘｐｅｃｔｅｄｕｔｉｌｉｔｙｆｕｎｃｔｉｏｎｏｎｒｉｓｋ，ｅｘｐｅｃｔｅｄｕｔｉｌｉｔｙ，ｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｔｈｅｏｒｅｍ

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密的学位论文在解密后适合本规定．

学位论文作者签名：Ｉ／一音凼≈．

日期：二零零八年三月二十日¨

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引言

在研究确定性环境中的消费选择问题时，１９５４年德布罗（Ｄｅｂｒｕｅ，１９５９）ｎ１

证明了效用函数存在性定理（随后他发现证明中有不正确的地方，１９６４年又给出

了证明），这是效用理论的基础．它在消费理论具有重要的作用，例如，可以在偏

好关系与效用函数之间随意选择使用，从效用最大化和支出最小化的角度，分别

提出马歇尔需求和希克斯需求，并证明二者的对偶性．

在不确定环境中，投资者对未来可能出现的状态预先不知道哪个会发生。于

是，期望效用理论应运而生．１９４４年ｙｏｎＮｏｒｕ砚ｎ和Ｍｏｒｇｅｎｓｔｅｒｎ嘲提出的不确

定下投资者决策的期望效用理论是传统期望效用理论开始的重要标志；他们用公

理化给出了期望效用的存在．随后，经过经济学家如Ｍａｒｓｃｈａｋ（１９５０）嘲、

Ｓａｍｕｅｌｓｏｎ（１９５０，１９５２）Ⅲ，嘲、Ｈｅｓｔｅｉｎ和Ｍｉｌｎｏ（１９５３）嘲、Ｊｅｎｓｅｎ（１９６７）忉和

Ｆｉｓｈｂｕｒｎ（１９７０）嘲等的不断改进和完善，最终以公理形式建立起期望效用函数存

在定理；同时，统计学家Ｓａｖｅｇｅ（１９５４）口３建立起主观期望效用理论；在不少的经

济学文献中也出现了以有区别的公理形式为条件来论证期望效用函数存在定理

的情况．正如卡尼和旌梅得利（ＫａｒｎｉａｎｄＳｃｈｍｅｉｄｌｅｒ，１９９１）ｎ们在“效用理论与

不确定性＂中，提供了一个有关ｙｏｎＮｅｕｍａｎｎ和Ｓａｖａｇｅ理论及其发展的详尽叙

述，强调放宽独立性公理和一些必然性原则的重要性．’

后来，随着理论的深入研究以及实际问题的推动，又出现了展望理论，等级

依赖期望效用理论以及Ｃｈｏｑｕｅｔ期望效用理论，最后发展到非期望效用理论．

“目前对效用理论的研究，除了非线性效用理论的进展外，较多的是具有各种

特性的效用函数模型．如Ｐ．Ｌ．Ｂｒｏｃｋｅｔｔ等的一类包含所有常用效用函数；

Ｊ．Ｌ．Ｂｅｃｋｅｒ等的不随抽奖变化的抽奖独立效用以及Ｍ．Ｊ．Ｓｃｈｅｒｖｉｓｈ等介绍的具

有状态附属效用的二代理入在Ｐａｒｅｔｏ准则下的分享偏好以及Ｂａｙｅｓ妥协解存在

条件，都有实用价值．．。

效用理论尤其是期望效用理论在经济学，金融学中具有广泛的应用，涉及很

多方面，比如金融决策，财务分析，评价评估，保险和博弈论等．

本文的主要内容分为四部分．

第一章主要简述效用理论的发展以及不同时期主要理论的基本思想．该章分３

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为两节，第一节介绍确定性条件下效用理论的发展和作用，第二节阐述了在不确定性条件期望效用理论的发展以及某些主要理论的基本思想，叙述了期望效用函数存在定理被完善和最终确定的过程及其研究情况．

第二章阐述效用理论尤其是期望效用理论在经济学、金融学中的应用和重要

作用．该章分为八节．前七节分别从金融决策，静态选择，财务分析，评价评估，工程风险管理，保险和博弈论七个方面介绍了期望效用理论的应用以及应用前景；第八节是前七节的小结．

其中，在第一章和第二章中适当介绍了国内近几年来的有关研究工作．

第三章是期望效用存在定理证明的预备知识．该章分为三节．第一节通过抽

彩的例子介绍了风险选择集的概念，它扩充了确定性选择集合，即每一个确定性选择都可以看作一种特殊的随机选择．在确定性的选择环境中，消费者的目标是使效用最大化；第二节阐述了重要的期望效用性质；第三节由偏好关系引出期望效用函数，即ＶＮＭ效用函数．本节类似确定性环境下选择集的偏好关系，利用序数效用理论定义风险选择集的偏好关系，这是期望效用理论的基础．接着，引进偏好关系的三条行为公理：阿基米德公理，独立性公理，连续性公理．其中，所引进的独立性公理与Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ（１９５９，２０００）ｎ妇以及Ｃｈｉ－ｆｕＨｕａｎｇ和Ｌｉｔｚｅｎｂｅｒｇｅｒ（１９９８，２００３）ｎ２１给出的假设有所不同，Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ采用的是等价形式，而后者采用的是严格偏好关系，。也参见毛二万（２００２）ｎ３３给出的不同假设．在阿基米德公理与独立性公理基础上，我们证明了一些相应的性质，这是本文所作的工作之一．

第四章是本文的主要工作所在：用新颖的方法证明了期望效用函数存在定理．

它根据概率分布与分布函数一一对应，把风险选择集视为欧几里德空间Ｒ”的有界闭凸子集，利用第三章所得出的若干性质给出了期望效用函数存在定理的必要性、充分性和唯一性的证明．因此，上述所有的证明也就不完全同于Ｆｉｓｈｂｕｒｎ（１９７０）以及Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ，Ｃｈｉ—ｆｕＨｕａｎｇ和Ｌｉｔｚｅｎｂｅｒｇｅｒ的证明方法．４

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第一章效用理论的发展以及研究现状

１．１确定性条件下效用理论的发展

效用理论是消费者理论的基础，起源于基数效用学说．

Ｐａｒｅｔｏ（１８９６）用序数效用替代基数效用，他是序数效用学说的创始人之一．序数效用的重要性和合理性直到Ｓｌｕｔｓｋｙ在１９１５年才真正认识到．在１９４３－４４年，Ｗｏｌｄｎ钔对序数效用学说做了较为细致的研究．后来基数效用学说发展为序数效用理论．最先提出这一理论的是Ｅｉｌｅｎｂｅｒｇ（１９４１），后来由Ｄｅｂｅｒｕ（１９５４，１９５９，１９６４），Ｒａｄｅｒ（１９６３），Ｂｏｗｅｎ（１９６８）ｎ嗣共同使这一理论形成了一套完整的体系．序数效用论认为：作为主观感受的效用是一个抽象概念，不能计算多少，只能利用序数比较优劣．这个观点的正确性Ｄｅｂｅｒｕ（１９５４）以效用函数存在定理的发现和证明得到验证．Ｄｅｂｅｒｕ认为：商品空间硝的任何连通子集上的连续偏好都有连续的效用函数．因此，理性消费者的偏好关系必然有连续的效用函数．但是后来，Ｄｅｂｅｒｕ发现１９５４年的证明有不严密的地方，于１９６４年他又给出了正确的证明ｎ钉，其中Ｄｅｂｅｒｕ在证明时利用了Ｒａｄｅｒ（１９６３）的一个成果，即构造了一个代表函数ｙ（功＝∑石１．ｎｅＮ（ｘ）二

效用函数存在定理奠定了效用理论的基础，是经济学的基本定理之一．

在效用函数存在性定理的基础上，研究者提出了一个问题：效用函数的一阶偏导数是否存在，即可微效用函数是否存在呢？仍然是Ｄｅｂｅｒｕ（１９７２）蚴给出了这个问题的答案，即可微效用函数存在定理：消费集合ｘ的内部ｉｎｔＸ是商品空间Ｒ。的连通开子集，５是Ｘ上的单调，连续的偏好关系．５具有无奇点的Ｃ２一效用函数的充分必要条件是５是Ｃ２一偏好关系．

后来，为了反映消费者生活水平同价格和收入关系，又引进了间接效用函数的定义，它是由效用函数来定义的．这一概念为讨论消费最优化的实现问题和需求变动规律提供了工具．．

效用理论在数理经济学理论中具有重要的作用，例如，在消费理论中，可以弓

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在偏好关系与效用函数之间随意选择使用，从效用最大化和支出最小化的角度，分别提出马歇尔需求和希克斯需求，并证明二者的对偶性．

１．２不确定性条件下效用理论的发展

确定性条件下涉及到的价格，收入，消费等都具有确定性，然而实际消费选

择并不是总在确定性环境下进行的．为了解决在不确定环境下的消费选择问题，期望效用理论应运而生．期望效用理论作为不确定决策问题的一个著名理论，从１７３８年就由ＤａｎｉｌＢｅｒｎｏｕｌｌｉ最初提出，到１９４４年ｙｏｎＮｏｎｍａｎ和Ｍｏｒｇｅｎｓｔｅｒｎ共同使之形成了一个基本的期望效用理论框架，再到１９５４年Ｓａｖａｇｅ的主观期望效用理论，发展到Ｃｈｏｑｕｅｔ期望，等级秩依赖期望，最大最小期望等，已经被广泛应用到经济学领域的决策分析中去．期望效用理论的发展大致可以分为三个阶段：

１．２．１数学期望收益与期望效用最大化准则

在不确定条件下，投资者预先不会知道未来可能出现的状态中哪一个会发生，

使平均损失最小或平均赢利最大就成为在随机现象下决策和优化的目标，所以数学期望收益最大化原则在一段时间内一直被认为是在风险下评价投资者决策的最佳规则．然而，１７１３年尼可拉 贝努里（ＮｉｃｈｏｌａｓＢｅｒｎｏｕｌｌｉ）提出著名缈圣彼得堡悖论”推翻了上述规则．这一悖论说明了最大期望收益准则并不能通用于不确定性的投资决策问题，他认为人们关心的是财富的效用（即财富给其所有者带来的满意程度）而并非财富本身的价值；后来在１７３８年，他提出了用一个基于参与者目前财富水平的对数效用函数，即通过货币期望效用函数来解决了这一 问题．贝努里提出的用期望效用替代期望收益的思想为在风险或不确定条件下的消费投资决策问题提供了可能的途径．．近两个世纪后，ＦｒａｎｋＫｎｉｇｈｔ（１９２１）ｎ们在他的著作彪砒Ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙａｎｄｉ吁ｏｆｉｔ指出：经济分析应该考虑风险性和不确定性，最大期望效用准则是理性行为理论研究的主要内容．最大期望效用准则认为消费投资者的行为原则是：把效用水平和各种可能的收益结果联系起来；面对各种可供选择的机会时，将选择效用期望值中最大的一个．

１．２．２期望效用理论

１９４４年ｙｏｎＮｅｕｍａｎｎ和Ｍｏｒｇｅｎｓｔｅｎ（１９４４）在著名的著作“博弈论与经济行６

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为（ＴｈｅｏｒｙｏｆＧａｍｅｓａｎｄＥｃｏｎｏｍｉｃＢｅｈａｖｉｏｒ）’’中，提出了不确定下投资者决策的期望效用理论．ｙｏｎＮｅｕｍａｎｎ和Ｍｏｒｇｅｎｓｔｅｎ的贡献不仅为创立一般博弈理论的思想和建立起博弈论与经济学的密切联系作出了开创性工作，也为理性决策者在不确定性条件下进行选择的理论建立了基础．ｊ

期望效用函数存在定理是期望效用理论中最重要的定理．１９４４年ｙｏｎ

Ｎｏｎｍａｎ和Ｍｏｒｇｅｎｓｔｅｒｎ利用最大期望效用法则和公理化给出了期望效用函数存在性，它是由个人的初始偏好与用于描述个人信念的主观概率之上的抽彩来构建的．随后，经过经济学家如Ｍａｒｓｃｈａｋ（１９５０）、Ｓａｍｕｅｌｓｏｎ（１９５０，１９５２）、Ｈｅｓｔｅｉｎ和Ｍｉｌｎｏ（１９５３）、Ｊｅｎｓｅｎ（１９６７）和Ｆｉｓｈｂｕｒｎ（１９７０）等的不断改进和完善，最终以公理形式建立起期望效用函数存在定理；同时，在不少的经济学领域的文献中出现了以有区别的公理形式为条件来论证期望效用函数存在定理的情况．正如Ｋａｒｎｉ和Ｓｃｌｌｌｎｅｉｄｌｅｒ（１９９１）指出了，放宽独立性公理和一些必然性原则的重要性．

此后，经济学家结合效用函数的形式和投资者对待风险的态度做出了许多结

果，推动了这一理论的发展．比如Ｍａｒｓｃｈａｋ（１９５０），Ｓａｍｕｅｌｓｏｎ（１９５０，１９５２），

Ｆｒｉｅｄｍａｎ和Ｓａｖａｇｅ（１９４８，１９５２）‘１７１，Ｗｏｌｄ（１９５２）‘１钔，Ａｌｃｈｉａｎ（１９５３）‘瑚，Ｓｔｒｏｔｚ（１９５３）ｎ们，Ｈｅｒｓｔｅｉｎ和。Ｍｉｌｎｏｒ（１９５３）‘删，Ｌｕｃｅ和Ｒａｉｆｆａ（１９５７）‘２¨，Ｂａｕｍｏｌ（１９５８）‘捌，Ｊｅｎｓｅｎ（１９６７）‘翎，以及Ｆｉｓｈｂｕｒｎ（１９６４，１９７０，１９８１）啪 嘲 ‘矧等等，通过对理性行为与标准，不确定性、预期与概率，偏好关系、基数与序数效用，可测效用与公理化方法，决策与风险，期望效用的建立等主题所进行的讨论和研究成果，不断改进和完善了ｙｏｎＮｃｕｍａｎｎ和Ｍｏｒｇｃｎｓｔｅｒａ的期望效用理论．国内也出现了引入其它的公理来说明期望效用理论的实质是对每一种不确定性选择定义其确定性的等价，把不确定性问题转化为确定性问题来进行讨论的研究（见龚云雷，２００５）嘲．

有两种方式研究期望效用理论，其区别在于人们度量状态使用的是主观概率

还是客观概率．ｙｏｎＮｅｕｍａｎｎ和Ｍｏｒｇｅｎｓｔｅｒｎ主张使用客观概率，他们把状态概率看成是已知的，认为投资者对状态出现的看法是一致的．而Ｓａｖａｇｅ（１９７２）嘲主张使用主观概率，他认为对状态概率的估计是投资者偏好的组成部分，状态概率的估计因人而异，反映了每个个体的看法和信念．正是由于这个原因，ｙｏｎＮｏｎｍａｎ７

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和Ｍｏｒｇｅｎｓｔｅｒｎ期望效用对许多购买彩票或者保险这种很普遍的问题无法给出合理的解释．为了解决这个问题，Ｓａｖａｇｅ（１９５４）以及Ａｎｓｃｏｍｂｅ和Ａｕｍａｎｎ（１９５３）嘲把ｙｏｎＮｏｎｍａｎ和Ｍｏｒｇｅｎｓｔｅｒｎ期望效用理论完善为主观期望效用理论，我们把这个理论称为ＳＥＵ（ＳｕｂｊｉｅｃｔｉｖｅＥｘｐｅｃｔｅｄＵｔｉｌｉｔｙ）理论．这一理论认为人们的偏好由主观期望效用决定．其数学表现形式为：

ＳＥＵ＝ＩｕＵ（ｓ））ｄＰ（ｓ）．

；

其中，ｓ为自然状态，．厂为行为函数．主观期望效用设想了一个在价值和理念间的明确界限，可能收益的信息化程度由概率量化，可能收益的主观值由效用量化，价值的评估与信息化的程度是独立的，投资的效果由期望理论评价等等．这是Ｓａｖａｇｅ给出的一套完整的公理体系．

如果所涉及的只是主观概率，那么经济活动的性质就带有真正意义下的不确

定性；如果所涉及的只是客观概率，那么经济决策涉及的就只是风险．但是，在实际的经济决策活动中，理性人涉及的一般都是主观概率与客观概率的混合，主观概率与客观概率的差别并不重要（见毛二万，２００２）．正如（Ｂｉｎｍｏｒｅ（１９９２，２００１）嘲在“博弈论基础一中指出的那样，人们需要解释通常情况下如何知道局中人的效用，而无论怎么说也不会知道他们的信念．

此外，Ａｒｒｏｗ（１９５３）ｎ司和Ｄｅｂｕｒｅ（１９５９）年提出了另外一种主观方法“状态一

偏好一方法．这些方法为后续理论的研究提供了基础，Ｈｉｒｓｈｌｅｉｆｅｒ和Ｄｒｅｚｅ（１９８７）啪１分别从不同方面进行了拓展．

这一阶段的理论一般被称为“传统期望效用理论＂．该理论有两个偏好假设：

一是程序不变（ｐｒｏｃｅｄｕｒｅｉｎｖａｒｉａｎｃｅ），即偏好期望独立于诱出它们的公式；一是描述不变（ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｉｎｖａｒｉａｎｃｅ），即偏好期望只是结果的概率分布函数，且不依赖于分布是如何描述的．

１．２．３非期望效用理论

随着效用理论的发展，有的经济学家认为最大期望效用准则并不是理性行为

理论的实质所在．他们用一些例子来说明人类的行动不受这一准则的主宰，并用例子表明理性行为与最大期望效用准则似乎是互相冲突的．例如，著名的阿莱斯悖论（Ａｌｌａｉｓｐａｒａｄｏｘ）‘３ｌ】和Ａｌｃｈｉａｎ（１９５３）脚１通过投资者可以选择三种彩票的悖８

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论都说明了期望效用准则常常与实际行动有差异．艾尔斯伯格悖论（Ｅｌｌｓｂｅｒｇｐａｒａｄｏｘ）呻１也说明了主观概率理论类似于期望效用准则也常常与实际行动有差异．

出现上述悖论，有些经济学家认为是由于理论的不完善所造成的，需要建立

新的理论或模型来重新解释经济行为；另一些经济学家却认为出现这类悖论是因为理性人也会发生“视觉错误＂；还有的经济学家认为，或者期望效用理论与建立在主观概率基础上的期望效用理论不是理性行为的标准，或者人们具有一种非理性的天生偏好，即使在他们思考最多的时候；支持期望效用准则学者却认为实际行为与这一准则之间冲突的存在与理性行为问题不相关，期望效用准则遵守一些基本原则，并且它支持了对风险行为的评价（Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ，１９９１，２０００）１１０］．

为了避免上述麻烦，Ｋａｈｎｅｍａｎ和Ｔｖｅｒｓｋｙ于１９７９年提出展望理论（Ｐｒｏｓｐｅｃｔ

ｔｈｅｏｒｙ）伽，这一理论以描述性见长，它区别于传统期望效用理论的地方在于：（１）用决策权重而非主观概率作为与结果相关函数的系数；（２）效用函数通常定义在结果或最终财富水平上，展望理论用价值函数代替效用函数；（３）预先对展望模型编码．展望理论可以解释某些与传统效用公理相悖的现象，同时也促进了非线性效用理论的发展．．

为了彻底解决＾ｌｌａｉｓ悖论和Ｅｌｌｓｂｅｒｇ悖论，Ｑｕｉｇｇｉｎ∞１于１９８２年提出包

括一系列完整公理体系的等级依赖期望效用（ＲＤＥＵ）；Ｙａａｒｉ啪１在１９８７年共同将其完善．该模型根据结果的等级对结果赋予权重，这里的权重已经不是结果的概率，而是概率的函数．、

作为等级依赖期望效用（ＲＤＥＵ）的一种，１９８９年Ｓｃｈｍｅｉｄｌｅｒ汹３发现，若允许

决策者有非可加的信念，新模型便可以描述投资者的实际决策行为．因此，为利用Ｃｈｏｑｕｅｔ积分，Ｓｃｈｍｅｉｄｌｅｒ提出了Ｃｈｏｑｕｅｔ期望效用．它成功地解决了＾ｌｌａｉｓ悖论和Ｅｌｌｓｂｅｒｇ悖论，成为在不确定条件下建立金融模型的有效工具．

１９８３年，Ｃｈｅｗ啪１提出权重效用线性模型，解决了Ａｌｌａｉｓ悖论，后来Ｈａｚｅｎ嘲

提出解释Ｅｌｌｓｂｅｒｇ悖论的主观权重线性模型．

另外，针对期望效用函数在经济人面对复杂风险情况下有不合理之处的讨

论，出现了对非期望效用函数形式的研究．

为解决Ｍｅｈｒａ和Ｐｒｅｓｃｏｔｔ（１９８５）‘掣提出著名的“股票溢价＂之谜和９

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Ｗｅｉｌ（１９８９）ｍ１提出的“无风险利率一之谜的问题，经济学者对效用函数进行了修正，或引入小概率的灾难性事件，或对相应市场进行修正．例如，Ｅｐｓｔｅｉｎ和Ｚｉｎ（１９８９，１９９１）ｎ妇提出了风险规避系数与跨期替代系数相分离的非期望效用函数；Ｓｖｅｎｓｓｏｎ（１９９３）Ｈ羽发展了非期望效用的连续时间理论，除了构建非期望效用函数外，还将攀比效应和社会地位效应引入效用函数；Ａｂｅｌ（１９９０）［４３］ｅＢａｓｋｈｉ和Ｃｈｅｎ（１９９６）ｍ１等也提出了一些新的思路．，

上世纪８０年代，ＦｉｓｈｂｕｒｎＨ目在非线性效用函数方面的工作也引起了经济学

家的关注．自上世纪８０年代初，他先后对非传递性可测效用、弱化偏好独立性、偏好逆转以及非传递性多数性等许多非线性效用进行了研究，１９８８年他的著作“非线性偏好于效用理论一对此做了总结．

１．２．４小结

总体而言，效用理论的基本框架已经比较完善，期望效用函数仍然是描述不

确定性选择的主要工具．

但是仍然有许多局部问题需要我们解决，比如几个公理的假设若不加以放松

就会限制在实际中的应用广度．另外，对效用的关联性仍需要加以研究，而这种关联在实际中比较普遍，很多偏好逆转就来自于效用的关联．

在效用理论的发展过程中，为了解决各种悖论，经济学家分别从效用函数的

表现形式和对信息的评价两个方面出发改进模型，使之所对应的偏好关系与实际一致．不论何种理论，它们不同之处仅在于如何给出事件决策的权重．随着科技发展，描述决策行为的理论由期望效用理论到主观期望效用理论再上升到Ｃｈｏｑｕｅｔ期望理论以及非期望效用理论，这标志着人类认识的不断提高，我们相信未来的效用理论的发展会更加容易的应用于实际当中，解决更加复杂的需要解决的实际问题．１０

经济学文献

第二章期望效用理论在经济学中的应用

期望效用理论是经济金融学的一个重要工具，因为期望效用理论在不确定的

情况下提供了～个描述真实的理性行为的简单表达方式．从期望效用理论引申出的公理（Ｓａｖａｇｅ，１９５４）是对基本的理性需求的无可争辩的合理表示．在严格的理性行为假设下期望效用理论为经济学和金融学的研究提供了一个很好的经济学理论基础，在金融决策，财务分析，评价评估，风险管理，保险等方面都有广泛的应用．．

２．１金融决策

。金融决策是时序决策，它包括：选择，选择的结果向未来延伸．由于未来是未知的，金融决策不可避免地在不确定条件下进行．在经济金融学中基于期望效用理论的预期效用方法是不确定条件下决策的主要范式．这种方法对消费者的偏好做了独立性的假设．如果偏好满足独立性，概率分布的无差异曲线就是线形的和平行的，而且效用表达具有下列形式：

ＪＬ艺Ａ”（ｑ）

ｊｌＩ

对结果的效用函数为”：Ｃ—Ｒ．预期效用方法通过计算结果的预期效用值去估‘计概率分布．这种决策规则最初由瑞士数学家ＤａｎｉｅｌＢｅｒｎｏｕｌｌｉ提出，ｖｏｎＮｅｕｍａｎｎ和Ｍｏｒｇｅｎｓｔｅｒｎ（１９４４）首先把独立性公理连完全性，传递性和连续性一同作为预期效用表达式的一个充要条件．对结果的效用函数“（ｑ）常被称为ｙｏｎＮｅｕｍａｎｎ—Ｍｏｒｇｅｎｓｔｅｎ预期效用指标，它的曲率常被认为是决策者对待风险的态度．上述预期效用方法适用于状态和结果有限的情况，但在金融学和经济学中，有很多概率分布具有连续分布函数的特点，这个方法似乎不再适用．事实上，经济学家指出，我们可以把预期效用方法拓展，即不再把概率分布给单一的点，对状态或结果的ｙｏｎＮｅｕｍａｎｎ－Ｍｏｒｇｅｎｓｔｅｒｎ预期效用指标进行积分即可．

ｖｏｎＮｅｕｍａｎｎ—Ｍｏｒｇｅｎｓｔｅｒｎ预期效用指标的曲率反映了决策者对待风险的

态度：风险厌恶，风险中性，风险喜爱．这种区分方法比用其它方法更加准确，比如根据决策者是否偏好一个概率分布区分风险态度．在金融决策中，许多比较静

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态的结果依赖决策者厌恶风险的程度．例如，在投资组合选择问题中，一个决策者的绝对厌恶风险程度决定了他是否对通过增加风险资产的需求来增加财富作出选择．

此外，由于资本市场具有更加复杂的不确定性和风险，如第一章第二节对非

期望效用函数形式研究的叙述，非期望效用函数体现了行为金融理论的思想．例如，Ｅｐｓｔｅｉｎ和Ｚｉｎ（１９８９，１９９１）提出的风险规避系数与跨期替代系数相分离的非期望效用函数，通过对美国消费和资产市场进行的实证表明，它似乎比传统的效用函数更加重要．国内学者如杨云红和邹恒甫（２００１）呻１同样把社会地位效应和时间非期望效用理论结合起来，对消费、储蓄与证券组合选择理论进行了深入的研究；邓可斌和何问陶也利用跨期替代资产选择理论，建立一个实际模型，结合相关数据分析了国内的有关消费增长问题．

但是，作为一种特殊情况，如果决策者在概率分布的偏好能够用概率分布的

均值和方差表示，我们通常可以用均值一方差方法来分析他们对待风险的态度．这种方法具有局限性，因为它需要对概率分布和期望效用指标的设置做出限制．不过由于均值方差容易获得，均值一方差方法仍有广泛的应用，特别在金融和投资理论方面．．

２．２静态选择

在静态选择模型中，有诸多经济学家将效用函数的一般形式应用于保险，博

彩，股票，社会选择中去，取得了有用的结果．比如，Ｆｒｉｅｄｍａｎ—Ｓａｖａｇ对保险和博彩业的观察；公式化和应用消除风险规避的强概率；股票市场上个体投资行为的解释；纳什讨价还价公理化基础的证明；对社会选择理论及不相等测度的贡献，等等．

２．３财务分析

财务管理中经常涉及到风险问题，因为财务决策的影响因素很多，而且其中

很多都带有不确定性．财务分析中的许多方法都是从效用的角度来评价各种风险选择方案．例如资本资产定价模型（ＣａｐｉｔａｌＡｓｓｅｔＰｒｉｃｉｎｇＭｏｄｅｌ，ＣＡＰＭ）中的风险就是用方差度量．基于Ｌｕｃａｓ的ＣＡＰＭ和Ｂｒｅｅｄｅｎ的ＣＡＰＭ是金融问题研究中解释超平均回报的两个基本模型．Ｃａｍｂｅｌｌ受在度量消费时出现的问题的启发，为了将消费从资产定价模型中替换出来，采取辅助假设．在他的模型中，具有消费１２

经济学文献

增长的协方差被具有关于未来市场回报折现值的新协方差所取代．

期望效用理论还用于有价债券的优化选择问题，在解决风险偏好态度时，采

用效用分析法．投资决策关于混合债券的利率确定，总是基于投资收益的效用函数．

２．４评价评估

现代效用理论是评价和决策的基础．从１９４４年ｙｏｎＮｅｕｍａｎｎ和Ｍｏｒｇｅｎｓｔｅｎ

的著作“博弈论与经济行为’’发表以来，效用理论在评价方面的应用不断创新和深化，取得了很多成果。比如，１９６９年Ｓｃｈｌａｉｆｅｒ．Ｒ．０对构造和评价一个属性效用函数的技术有较好的开发和实际运用经验；１９７７年，Ｒａｌｐｈ．Ｌ．Ｋｅｅｎｅｙ在“ＭｏｄｅｒｎｄｅｃｉｓｉｏｎＡｎａｌｙｓｉｓ一中发表文章介绍了多元属性函数以及应用一个二元属性的例子一在整理特定医院血库所需血量的订货单中利用定量表示决策人员的偏好的方法，从而将构造和评价多元属性函数的问题简化到可管理的水平；在１９８２年Ｊａｃｑｕｅｔ—ｌａｇｒｅｚｅＥ，ＳｉｓｋｏｓＹ等提出运用多属性决策分析中的ｇｒＡ（ＵｔｉｌｉｔｙＡｄｄｉｔｉｖｅ）方法进行数据分析，构造了顾客对产品属性的效用函数；在２０００年ＮｉｋｏｌａｏｓＦ．Ｍａｔｓａｔｓｉｎｉｓ和ＡｎｄｒｅａｓＰ．Ｓａｍａｒａｓ等人在研究顾客效用函数的基础上对品牌选择模型进行了改进，更加准确的预测了市场的份额．对顾客满意度的研究因为实际的需要研究比较多，比如Ｅ．Ｇｒｉｇｏｒｏｕｄｉｓ等人２０００年开发了一个用于顾客满意度评估的软件系统；２００１年，Ａ．Ｓｐｙｒｉｄａｋｏｓ与Ｙ．Ｓｉｓｋｏｓ等人利用多属性分析方法研究了顾客对银行满意度的评价，等等．

２．５工程风险管理

效用理论在工程风险管理决策的实际应用中有重要作用，因为工程项目一般

投资大，工期长，所涉及的不确定因素多，整个过程存在各种不同的风险．决策者对待风险的态度对风险管理决策的影响重大．效用理论考虑到了这一点．所以在风险决策中，选择方案可以以效用理论为依据，获得不同损益值对应的效用值，定量评价决策者对风险的主观态度，以期望效用为标准进行决策．

利用期望效用理论进行工程风险决策，由于考虑了不同投资者的风险偏好，

具有其他方法不可比拟的优势．

２．６保险１３

经济学文献

保险经济学是用一般经济理论来研究有关保险领域问题的－ｆ３学科．有学

者认为，保险经济学被正式介绍始于１９４７年ｙｏｎＮｅｕｍａｎｎ和Ｍｏｒｇｅｎｓｔｅｒｎ所建立的期望效用模型．Ｂｏｒｃｈ（１９６０，１９６１）ｎ７１对保险的期望效用理论的应用做出了贡献，其研究方法为精算学和保险经济学提供了联系的纽带，并最终整理成文——“保险经济学＂，为现代意义上的保险经济学的体系构建奠定了基础．在国内，易雁青（１９９２）阳１讨论了保险中的效用理论，认为效用理论可用来解释人们愿意支付比风险所带来的平均损失更多的保险费去购买保险，通过期望效用最大化选择最优的保险策略．汪端阳等（１９９９）㈨在保险中利用效用理论得出最优保险策略的充分必要条件．

２．７博弈论

博弈论已经成为期望效用函数理论最重要的一个应用领域．不过，这一领域

的研究还停留在发展的初级阶段嘞１．一般而言，利用期望效用理论进行博弈论研究，支付的专门化表示的是货币化，而不像期望效用分析中以效用形式表示．这是对博弈论的深入研究有好处的，因为这样可将对策结构从局中人在货币博彩上的偏好中分离出来．

在完全信息有限策略型博弈研究中，期望效用理论得到最直接的应用．假设

一个有限策略型博弈Ｇ＝｛Ｓ，砷）训，其中ｓ＝兀ＭＳ博弈策略组合集，△（ｓ）是ｓ上的所有概率分布的集合，每一概率分布都称为一个相关策略．给定△（Ｓ）中的任一相关策略昂，定义Ｕ（昂）为当昂被所有局中人执行时局中人ｆ∈Ⅳ所得到的期望支付，即ｑ（昂）＝∑瞄Ｐ．（ｓ）ｕＡｓ）．这个定义说明每个局中人ｆ∈Ⅳ执行相关策略晶的期望支付是局中人ｆ在纯策略组合集Ｓ上得到的所有支付按概率（尸（ｓ）），ｄ加权的平均．利用此定义，对ｉ∈Ｎ，有

ｑ（乡昂＋（１一目）ＱⅣ）＝∑，益【％（Ｊ）＋（１一Ｏ）ＱＮ（ｓ）ｌｕ；（ｓ）＝觚（晶）＋（１一日）Ｕ（ＱⅣ）

从而可知：ｑ（昂）（ｉ∈Ⅳ）在ａ（ｓ）上具有期望效用性质，即Ｕ（弓）是一个期望效用函数（ＶＯＤＮｅｕｍａｎｎ—Ｍｏｒｇｅｎｓｔｅｒｎ效用函数）．

另外，效用理论是纳什均衡存在定理的重要的理论工具．最初的效用函数

％和％从艺且ｘＺｃ到货币博弈中的映射导出了在∑置×∑ｃ上代表策略对上的偏好的效用函数是咋和Ｖｃ．Ｄｅｂｅｒｕ（１９５２）指出：如果咋和ｙｃ各自以自己的概率向量对每一个给定对手的策略选择是拟凹的，则纳什均衡存在．１４

经济学文献

Ａｕｍａｎｎ（１９８７）给出的均衡定义也体现了效用理论的重要作用．这个定义有两

个漂亮的特征：（１）只要效用函数连续，这种均衡就存在；（２）若效用函数以概率方式是拟凹的，信念均衡对使行为主体部分随机化是必需的．如果两个局中人都有拟凸的效用函数，则每个局中人会选择一个纯策略，而不会使策略随机化．“

Ｄｅｋｅｌ，Ｓａｆｒａ和Ｓｅｇａｌ在Ｃｒａｗｆｏｒｄ的基础上，对模拟规范型博弈提出了另

一种可供选择的办法．他们的分析集中在规范型和扩展型的博弈模型之间的区别上，这是突破了期望效用框架后出现的基本内容之一．

２．８小结

由此看来，期望效用理论在经济金融方面的应用十分广泛．事实上，除了上

面所简述的几个方面的应用，期望效用理论还被应用于其他方面，比如社会分配的公正，投票选举，社会风险的分布．因此，期望效用理论不管是对经济理论的发展，还是对解决实际问题都有不可替代的作用，我们相信，随着理论研究的进一步深入，以及未解决的实际问题的促使，期望效用理论的应用前景更加广阔．

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第三章预备知识

３．１风险选择集

假设有ｍ个级别的奖金可通过抽彩获得．第一种抽彩方式即第一种彩票是获得第ｉ等级奖金的概率为魏（ｆ＝ｌ，…，ｍ），Ｐ＝（ｐｌ，．”，ｎ）是其获奖的概率分布；第二种抽彩方式即第二种彩票是获得第ｆ等级奖金的概率为吼Ｏ＝ｌ，…，ｍ），ｑ＝（吼，…，‰）是其获奖的概率分布；抽彩人获得第ｆ等级奖金后能得到％个单位的效用．只要计算这两种彩票的期望效用：

助（ｐ）＝∑：。ｐｌｕｌ希ｉｌＥｕ（ｑ）＝∑ｌ啊ｆｆｉ。级％，

利用期望效用准则就可判断抽彩人会喜欢抽哪一种彩票．

一种彩票可用购买它的获奖概率分布来表示，不同彩票具有不同的获奖概率分布．抽彩人可能在各种彩票中选择购买，其选择范围可用可能的概率分布的集合△＝｛ｐ＝（Ａ，…，‰）∈【０’ｌｒ：∑：。Ａ＝１）来表示，称集合△为抽彩的选择集．它是欧几里德空间Ｒ”的有界闭凸子集．

对任何两种彩票Ｐ，ｑ∈△，如果选择Ｐ的概率为０，选择ｇ的概率为ｌ一０，

则印＋（１一Ｏ）ｑ∈Ａ就表示以概率秒获得彩票Ｐ，以概率ｌ一秒获得彩票ｇ的新彩票，称它为彩票ｐ和ｇ的复合抽彩．

在不确定的环境中，人们的选择通常依赖于某些自然状态或事件是否出现，而这些状态发生与否是随机的；如果在时刻ｔ＝Ｏ预测时刻ｔ＝１时有ｍ种可能发生的情形，记为ｑ，…，‰，称它们为状态，记Ｑ＝｛ｑ，…，ｔｏ．）为样本空间或状态空间，随机事件可用Ｑ的子集表示．定义Ｐ为Ｑ的子集全体，（Ｑ，Ｐ）就是一个可测空间；假定Ｐ为Ｐ上的概率测度，（Ｑ，Ｆ。Ｐ）就是一个概率空间．

从这个概率空间出发，一种风险选择是一种随机行为，表现为Ｑ上的一个随机向量善＝（磊，…，茧）（ｆ，：Ｑ专Ｒ，ｊｆ＝ｌ，…，，）（孝，是可测空间（Ｑ，Ｆ）到Ｒ的一个可测函数）．这样，，维随机向量善：Ｑ专Ｒ７的全体Ｓ（孝）＝｛孝：孝：Ｑ—Ｒ７为随机向量｝就１６

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表示某个理性人所有可能的风险选择行为，称Ｓ（孝）为该理性人的风险选择集．

对善＝（磊，…，缶）∈ｓ（４），它的期望向量为研翱＝（研缶】，．． ，研岛】），其中

研白】＝∑砌彭（缈）Ｐ（国），ｊ＝ｌ，…，，．

如果状态ＣＯ∈Ｑ出现，消费选择

ｆ（国）＝（缶（彩），…，磊（缈））∈ｘ＝Ｕｆ醪（。善（Ｑ）ｓＲ７；

由于缈∈Ｑ出现与否不能确定，因而不能确定要选择Ｘ中的哪一个向量，但是Ｘ中各个向量的概率分布是可以确定的，Ｘ称为确定性选择集．风险选择集Ｓ（孝）扩充了确定性选择集Ｘ，即对每个确定性选择工∈Ｘ都可看成是一种特定的随机选择￡∈ｓ（Ｏ，满足量（国）＝工。对ＶｒｏｅＱ．更一般地，如果随机向量ｆ的取值几乎处处相等于工，即Ｐ｛孝（国）＝工）＝１，则可把这个随机向量ｆ看成是确定性向量工，即可认为善＝磊，且研￡】－ｚ．因此，可认为ｊｓｓ（毋．

因为只要知道随机向量的取值范围和概率分布就掌握了它的统计规律，可以

把孝∈Ｓ（善）和它的分布函数

Ｆ（ｘ）＝Ｐ｛ｆ（缈）《３）＝Ｐ｛磊（国）＜五，…，磊（∞）＜而｝

同等对待．这样，利用分布函数为给定函数的随机向量的存在性，可用分布函数集Ｄ（Ｘ）＝｛Ｆ：Ｆ是孝∈Ｓ（孝）的分布函数｝来替代风险选择集Ｓ（孝）．

设善，ｒｌ∈Ｓ（善）是两种随机行为，，，Ｇ∈Ｄ（Ｘ）分别是ｆ．ｒ／的分布函数，０∈【０，ｌ】

为某一事件ＡｅＦ发生的概率；用劈ｅＯ－ｏ）ｒ７表示以概率秒选择ｆ，以概率Ｉ－０选择ｒ／的复合随机行为．称管０（１－ｅ）ｒｔ为随机选择善和ｒ／的复合选择，或称为随机向量孝和ｒ／的复合随机向量．

复合随机向量管０（１－Ｏ）ｒ／的分布函数根据全概率公式计算为

Ｐ｛管ｏ（１一目）刁ｘ｝＝Ｐ（Ａ）Ｐ｛Ｏ譬ｏ（１－Ｏ）ｒ／《ｘ陋卜ｌ－户（彳）尸｛辔ｏ（Ｉ一秒）刁《工ｌ乃

＝卯｛ｆ《石）＋（１一印Ｐ仞《工）＝ＯＦ（ｘ）＋（１－Ｏ）Ｇ（ｘ）

即复合随机向量的分布函数是各个随机向量分布函数的加权平均．

随机向量的复合并不要求确定性选择集Ｘ的凸性，而两个分布函数的加权１７

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