91版概率作业6详解

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第6章 样本及抽样分布（作业）

一 填空题 1． 设总体Xn~N(?,?2),,其中?2未知,?已知,设X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个样

2本,作样本函数如下:

11) ?(Xi??) ， 2)

ni?1?(i?1n?1nXi???1n)， 3) ?(Xi?X)

ni?12221n(Xi?X) ， 5) 4) ?n?1i?121?2(n?1)(Xi?1?Xi) i?1这些样本函数中,是统计量的有____1) 3) 4) 5)_______ 解:由统计量的定义1) 3) 4) 5)不含有未知参数. 2．若X,Y是随机变量,X~N(0,1),

Y~?2(n),且X与Y相互独立,

T?解: 有t分布的性质P{T??t?(n)}?1?P{T??t?(n)}?1?P{T?t?(n)}?1?? 3． 若随机变量X和Y相互独立,且都服从N(0,3为来自总体X和Y的简单随机样本,则统计量U由度为 2X~t(n),P{T?t?(n)}??, 则 P{T??t?(n)}? 1?? Yn?),而X1,X2,?,X9和Y1,Y2,?,Y9分别X1?X2?....X9Y?Y?....?Y212229服从 t(9) 分布,自

9

2解: 由于X1?X2???X9~N(0,9),X1?X2???X9~N(0,1)

9Yi1~N(0,1)i?1,2,...,9, (Y12?Y22??Y92)~?2(9)

931(X1?X2?....X9)X1?X2?....X99?~t(9) 由t分布的定义U?2221Y1?Y2?....?Y9(Y12?Y22?....?Y92)9?9二 选择题

1.在下列结果中不正确的是[ C ]

?Y2~?2(2);

222(B) 若 X~?(10),X?Y~?(15), 且X与Y相互独立,则 Y~?(5)

(A) 若X,Y都服从标准正态分布, 且X与Y相互独立,则X(C) 设

2X1,X2,?,Xn是来自于总体X~N(?,?2)样本, X是X1,X2,?,Xn的样本

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概率论与数理统计 作业 学号__________________姓名________________ ?22(D) 设X1,X2,?,Xn与Y1,Y2,?,Yn都是来自于总体X~N(?,?)的样本,并且相互

i?1均值,则

?n(Xi?X)2~?2(n)

独立,X与Y分别是两个样本的样本均值,则

?(Xi?X)2i?1nn~F(n?1,n?1)

?(Yi?Y)2i?1解:由?分布的定义及可加性知A,B正确, 又

2?(Xi?1ni?X)2?2~?2(n?1),2?(Yi?1ni?Y)2~?2(n?1),由F分布的定义

?2?X)2?(Xi?1nni?X)?Y)21??212?(Xi?1nni~F(n?1,n?1)故D正确

i?i?1n(Xi?X)22C错是由于?~?(n?1) 2?i?122.对于给定的正数?,0???1,设z?,??(n),t?(n),F?(n1,n2)分别是

i?1?(Yi?(Y?Y)2N(0,1),?2(n),t(n),F(n1,n2)分布的上?分位点,则下列的结论中不正确的是[ B ]

z1??(n)??z?(n) (B) ?21??(n)???2?(n)

1(C) t1??(n)??t?(n) (D)F1??(n1,n2)?

F?(n2,n1)(A)

A,C 正确,而?2(n)图形不具有对称性故B错. 3.对于给定的正数?是[ D ] (A) (C)

22解: 由F分布的性质D 正确;又由高斯分布和t分布的上?分位点的定义及图形的对称性知

(0???1),设z?是标准正态分布的上?分位点,则下面的结论中正确的

P{Z?z?}?1?? (B) P{|Z|?z?}??

22P{Z?z?}?1?? (D) P{|Z|?z?}??

2解: 由z?标准正态分布的上?分位点的性质知 P(Z?Z?)??2, P{Z?z?}?1?2?2,

P{|Z|?z?}?1??, P{|Z|?z?}??22所以 A,B,C都错,D正确.

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三、计算题

1. 设X1,X2,?,X10是来自于总体X~N(9,40)的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率

解：X~N?9,40?40X?9),所以 Y?~N?0,1? 102?X?91?1?1?1????P{X?9?1}?P????P?Y???P?Y???P?Y???

2?2?2?2?????2N?10,X~N(9,?1?1??????0.6170 ?2P?Y???2?1?PY??2?1???0.5???2??1?0.6915?????2?2?????22.设X1,X2,X3是来自于总体N(0,4)的一个样本,当a,b为何值时,Y?a(4X1?3X2)2?bX3 服从?2分布,并求其自由度.

解：依题意X1,X2,X3是独立同分布，E?4X1?3X2??0

D?4X1?3X2??42D?X1??32D?X2??16?4?9?4?100

X34X1?3X2~N?0,1?,~N?0,1? E?X3??0,D?X3??4

10222X34X1?3X2?4x1?3x2??X3?与相互独立，于是：??~?2?2? ???102?10??2?11,b?时，统计量X服从?2分布其自由度为2. 所以当a?1004

3 .设总体X~N(?,?2),X1,X2,?,X16是来自于总体X的一个样本,

116求概率P{??(Xi??)2?2?2}是多少?

216i?1

解：假若X1,X2,?,Xn是来自于总体X~N(?,?2)的一个样本，则：

?2??211622? ??~?16??P?X???2??? ??i2?i?1?216i?1?2216???????Xi???2???16?Xi?????16?Xi?????P?8???32?P?32?P?8??????? 222?????????I?1???i?1??i?1?22?????16?Xi?????16?Xi?????P???8?P?32???? 22???????i?1??i?1???211622?经查表得：P????Xi????2???0.95?0.01?0.94 216i?1??162(Xi??)2第6章 第 3 页 共 5 页

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4.设总体服从X~N(?,?2),由总体X得到容量为17的样本X1,X2,?,X17,

1171172令X?XiS17??(Xi?X)2试求常数k,使 P{X???kS17}?0.95 ?17i?117i?1

解：由于

X??X??服从自由度为n?1?16的t分布，而 ?SnSnn?116?????X???P?X???kS17??P??4k??0.95

?S17????16?查t分布临界值表，得4k??1.7459 即：k??0.4365

四、 若随机变量X服从F(n1,n2)的分布

1服从F(n2,n1)分布 X1(2) 并由此证明F1??(n1,n2)?

F?(n2,n1)(1) 证明:Y?U 证明：（1）由于X~F(n1,n2) ， 令 X?n1n2V 其中U~?(n1) ， V~?(n2)

221n2 . 由F分布的定义可知 Y~F(n2,n1) ?XUn1 (2) 若Y~F(n1,n2) , 由F分布的定义可知

11} 1???P{F?F1??(n1,n2)?P{?FF1??(n1,n2)1111 ?1?P{? }}??1P{?FF1??(n1,n2)FF??(n1n1,2)11}?? (a) 于是 P{?FF1??(n1,n2)11~F(n2,n1) , 知 P{?F?(n2,n1)}?? (b) 由(1)可知, YF则Y?V第6章 第 4 页 共 5 页

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则由(a), (b)两式得 F?(n2,n1)? 即F1??(n1,n2)?

1

F1??(n1,n2)1

F?(n2,n1)第6章 第 5 页 共 5 页

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