2019年广西省桂林高中名校高三上学期第三次月考理科数学试卷（含

高考数学精品复习资料

2019.5

桂林市第十八中学13级高三第三次月考

理 科 数 学

命题人：秦芳军 审题人：霍荣友

考试时间 20xx年11月07日15:00——17:00

第I卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

要求的．

1. 已知全集U??1,2,3,4,5?, 集合M??3,4,5?, N??1,2,5?, 则集合(eUM)N可以表示为（ ） A． ?1? B．?1,2?2. 若复数

a?3i?a?R,i为虚数单位?是纯虚数，则实数a的值为（ ） 1?2iA.?6 B. ?2 C. 4 D. 6 3．已知等差数列?an?的首项a1?1,公差d?0，且a2是a1与a4的等比

C． ?1,2,3? D．?1,2,3,4?

中项，则d?（ ） A．1 B．2 C．3 D．4

1???4. 已知x??0,??，且sin2x?，则sin??x??5?4?

151555 B. ? C. D.? 55555.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

5475A． B． C． D．

2333

6. 有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有

A．26种 B．32种 C．36种 D．56种

?2x?y?4?0,?7.已知不等式组?x?y?3?0,构成平面区域?(其中x,y是变量)，则目标函数 开始?y?0?A.

z?3x?6y的最小值为（ ）

S?0,n?1A． -3 B．3 C．-6 D． 6

8.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17

9.在ΔABC中，?BAC?120，AB?2，AC?1，D是边BC上的点?包括端点?， 则AD?BC的取值范围是（ ）

S?S?log2n?1n?2n?n?1S??3?是输出n结束否A． [1，2]

B．[0，1] C．[0，2] D． [﹣5，2]

10. 已知函数f(x)?3sin?xcos?x?3cos2?x(??0)的最小正周期为移? （?＞0）个单位后，得到的函数图形的一条对称轴为x?A．

?，将函数f(x)的图像向左平2?8，则?的值不可能为（ ）

23?5?13?17? B． C． D．

2424242411. 如图过拋物线y2?2px?p?0?的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，

若BC?2BF，且AF?3，则拋物线的方程为（ ）

39x B y2?9x C．y2?x D．y2?3x] 2212. 已知a?0，函数f?x??eaxsinx?x?[0,??)?.记xn为f?x?的从小到大的第n?n?N??个极值点，则

A．y2?数列?f?xn??是（ ）

A．等差数列，公差为ea? B．等差数列，公差为?ea? C．等比数列，公比为ea? D．等比数列，公比为?ea?

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

?1??x2?的展开式中的常数项是________. 13. 二项式??x?

14. 如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y?x2图象下方的点构成

的区域.在D内随机取一点，则该点落在E中的概率为 .

15. A、B、C、D是同一球面上的四个点,其中?ABC是正三角形, AD⊥平面ABC，

AD=4,AB=23,则该球的表面积为_________.

16. 已知数列?an?的前n项和Sn?2an?2n?1，若不等式2n2?n?3?(5??)an对?n?N?恒成立，则整数

10?的最大值为_________.

三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）

如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处． (1)求船的航行速度是每小时多少千米？

(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？

18.（本小题满分12分）

某市工业部门计划度所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表： 支持 不支持 合计 80 40 120 中型企业 240 200 440 小型企业 320 240 560 合计 （Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？

（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元。记X表示所发奖励的钱数，求X的分布列和数学期望： 附：K2?k0 n(ad?bc)2

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)P(K2?k0) 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635

19.（本小题满分12分）

如图,四棱锥P?ABCD,侧面PAD是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是?ABC?60?的菱形,M为棱PC上的动点,且(Ⅰ) 求证:BC?PC；

(Ⅱ) 试确定?的值,使得二面角P?AD?M的平面角余弦值为

20.（本小题满分12分）

已知抛物线?：y2?2px?p?0?的焦点到准线的距离为2。 （Ⅰ）求p的值；

25. 5ADBCPM??(???0,1?)。 PCPMC为抛物线?上异于A,B的一点，（Ⅱ）如图所示，直线l1与抛物线?相交于A,B两点，且AC?且k1k2?1。

① 线段MN的长是否为定值?若是定值,请求出定值;若不是定值,请说明理由; ② 求证:A,B,C,N四点共圆.

x轴，过B作AC的垂线，垂足为M,过C作直线l2交直线BM于点N,设l1,l2的斜率分别为k1,k2，

21．（本小题满分12分） 已知f?x??lnx?ex?a ?1?若x?1是f?x?的极值点，讨论f?x?的单调性；?2?当a??2时，证明：f?x?在定义域内无零点.

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．（本小题满分10分） 22.选修4－1：几何证明选讲

如图所示， AB为圆O的直径，BC,CD为圆O的切线，B,D为切点. （Ⅰ）求证： AD//OC；

（Ⅱ）若圆O的半径为2，求AD?OC的值.

23.选修4－4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为??x?3?2cos?（?为参数）.

?y??4?2sin?（Ⅰ）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；

0?，B?0,2?，圆C上任意一点M?x,y?，求?ABM面积的最大值. （Ⅱ）已知A??2，

24.选修4-5：不等式选讲

已知函数f?x??k?x?3,k?R且f?x?3??0的解集为??1,1? （Ⅰ）求k的值；

?II?若a,b,c是正实数，且111123???1,证明：a?b?c?1. ka2kb3kc999

桂林市第十八中学13级高三第三次月考

理 科 数 学 答 案

一、选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分 1.答案：B

解析：有元素1，2的是eUM,N，分析选项则只有B符合。 2.答案：A 解析：

a?3i(a?3i)(1?2i)a?6???1?2i(1?2i)(1?i2)5?3a2a?63?2ai，所以。 ?0,?0?,a??65553.答案：A

4.答案：A

?13??22??sin??x????sinx?cosx????1?sin2x??25?4??2?15???x??0,??,sin2x?2sinxcosx?0?sinx?0,cosx?0?sin??x??5?4?5.答案：A

解析：该几何体是下面是一个三棱柱，

上面是一个有一个侧面垂直于底面的三棱锥。

其体积为?2 1?14?1???1?2??1????1?2??1?。

3?23?2??6.答案：36

21解析：先从4名优秀学生A，乙，丙3所学校中的某一所，有C4C3?18C，B，D中选出2名保送到甲，

2种方案；然后将剩余的2名优秀学生保送到剩余的2所学校，有A2?2种方案；故不同的保送

方案共有18?2?36种。

7.答案：C

?2x?y?4?0,?解析：不等式组?x?y?3?0,表示的平面区域如图阴影部分所示，

?y?0?由限性规划知识可求答案。 8.答案：C

解析：由程序框图可知，从n?1到n?15得到S n?16. 故选C。 9.答案：D

解析：∵D是边BC上的一点（包括端点），

∴可设CD??CB?AD??AB?(1??)AC(0???1)

??3，因此将输出

?BAC?120,AB?2,AC?1,?ABAC?2?1?cos120??1

22?(AC?AB)?(2??1)ABAC??AB?(1??)AC??(2??1)?4??1???ADBC???AB?(1??)AC????7??2.

0???1?(?7??2)????5,2??

?ADBC的取值范围是???5,2??。

10.答案：B 解析：

f(x)?333313?3，故

sin2?x?cos2?x??3(sin2?x?cos2?x)??3sin(2?x?)?222222622???，所以2??4，即f(x)?3sin(42?20）个单位后得到g(x)?3sin(4x?x?)?6?3。将函数f(x)的图片向左平移?（?＞2?3，因为函数的一条对称轴为。故x?g(x)?4?)?862????k?4??4???k?(k?Z)，解得????(k?Z)，观察可知，选B。 86224411.答案：D

解析：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，

设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a， 由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，

在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a， ∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，

?∵BD∥FG，∴

123?,求得p=， p32因此抛物线方程为y2=3x。

12.答案：D

解析：f??x??aeaxsinx?eaxcosx?eax?asinx?cosx??eaxa2?1sin?x???其中tan??1???,???0,?a?2?sin?n????sin??n?1??????ea?n????sin?n????a?n???????e?sin?n??????f??x??0?x???k??x?k???,k?N??f?xn??e?f?xn?f?xn?1?a?n????

?ea?n????sin?n????ea??n?1??????ea?sin?n?????sin?n??????ea?二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.答案：45

10?r5r??55r110?r2rrr2rrr解析：Tr?1?C()(?x)?C10x2(?1)x?C10(?1)x2，则?5?0?r?2，故

2x22常数项为C10(?1)?45。

114.答案：

3x328222?xdx2|02?3?1 解析：由几何概型得，该点落在E中的概率为P?0?3?4?41616315.答案：32?

r10解析：由题意画出几何体的图形如图，

把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，

AD=4，AB=23，△ABC是正三角形，所以AE=2，AO=22。

所求球的表面积为：4?（22）2=32?。 16.答案：4

解析：当n?1时，S1?2a1?22得a1?4，Sn?2an?2n?1；

当n?2时，Sn?1?2an?2n，两式相减得an?2an?2an?1?2n，得an?2an?1?2n， 所以又

anan?1??1。 2n2n?1ana1?an??2?n?1，即an?(n?1)?2n。 ，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，??1nn22?2?2n?3。 2n因为an?0，所以不等式2n2?n?3?(5??)an，等价于5???2n?1n?12n?3b2n?1记bn?n，n?2时，n?1?2。 ?2n?34n?62bn2nb3所以n?3时，n?1?1,(bn)max?b3?。

bn8所以5???,??5??

383837，所以整数?的最大值为4。 817.解：(1)在Rt△PAB中，∠APB=60° ,PA=1，∴AB=3 (千米)

在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC=在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°

3 (千米)…………3分 3?BC?AC2?AB2?(3230)?(3)2?33 …….6分

301??230(千米/时)36(2)∠DAC=90°－60°=30°，sin∠DCA=sin(180°－∠ACB)=sin∠ACB=

AB?BC3303?310 10sin∠CDA=sin(∠ACB－30°)=sin∠ACB·cos30°－cos∠ACB·sin30°?310. 10313(33?1)10??1?(10)2?……….9分 221020ADAC?在△ACD中，据正弦定理得，

sinDCAsinCDA9?3∴答：此时船距岛A为千米………… 12分.

13

560(80×200－40×240)2

18.解：（Ⅰ）K＝≈5.657，………… 4分

120×440×320×240

因为5.657＞5.024，

所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有… 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1:3， 按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．

设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m家和n家，则（m，n）可能为 （0，9），（1，8），（2，7），（3，6）．与之对应， X的可能取值为90，130，170，210．………… 7分

0918C3C91C3C927

P(X＝90)＝9＝， P(X＝130)＝9＝，

C12220C122202736C3C9108C3C984

P(X＝170)＝9＝， P(X＝210)＝9＝， ………… 9分(每两个1分)

C12220C12220

分布列如下：

X 90 130 170 210 12710884P 220220220220………… 10分

12710884

期望E（X）＝90×＋130×＋170×＋210×＝180 ………… 12分

220220220220

19.解： (Ⅰ)取AD中点O,连结OP,OC,AC,依题意可知△PAD,△ACD均为正三角形,

2

所以OC?AD,OP?AD,又OCOP?O,OC,OP?平面POC,

所以AD?平面POC,又PC?平面POC,所以AD?PC, 因为BC//AD,所以BC?PC。…………5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知PO?AD,又平面PAD?平面ABCD, 平面PAD平面ABCD?AD,

PO?平面PAD,所以PO?平面ABCD.…………6分

以O为原点,建立空间直角坐标系O?xyz如图所示, …………7分 则P0,0,3,A?0,?1,0?,D?0,1,0?,Cz P M A O C x D y

???3,0,0,

B ??由PM??PC???所以AM??3?,1,PC??3,0,?3

3,0,?3可得点M的坐标为3?3?,DM???3?,0,3?3?,

???3?,?1,3?3?,

??3?x?y??n?AM?0?设平面MAD的法向量为n??x,y,z?,则?,即??n?DM?0???3?x?y????3?3?z?03?? 3??z?0??1?z?x?解得??,令z??,得n????1,0,??,…………8分

??y?0显然平面PAD的一个法向量为OC?依题意cosn,OC??3,0,0,…………9分

?n?OCnOC?3???1??2????1??32?25,………… 10分 5解得??所以,当??1或???1(舍去), ………… 11分 3125时,二面角P?AD?M的余弦值为.………… 12分 3520.解: （Ⅰ）p?2 ………… 3分

（Ⅱ）①设A?x1,y1?,B?x2,y2?,则C?x1,?y1?,M?x1,y2?, 直线l1的方程为：y?k1x?b…………4分

?y?k1x?b222由?2消元整理可得：k1x??2bk1?4?x?b?0 ?y?4x4?2bk1?x?x?2?1k12?所以 ? ………… 5分 2?xx?b12?k12?4?y?y?2?1k1?可求得：?

?yy?4b12?k1??y?y2?直线l2的方程为：y?y1?k2(x?x1) 所以可求得N?1?…………6分 ?x,y12??k2??所以MN=

y1?y24==4………… 7分 k2k1k2?2?bk12? ………… 8分

?k2,k??1??12?bk1?21?则AB的中垂线方程为：y????x? ?2??k1k1?k1?② AB的中点E??2k12?bk1?2?与BC的中垂线x轴交点为：o?? ………… 9分 ,0?2??k1??所以?ABC的外接圆的方程为：

?2k12?bk1?2?2k12?bk1?2222??x??y?(?x)?y…………10分 2222??k1k1??由上可知N?x1?4,y2?

22k12?bk1?22k12?bk1?22k12?bk1?2?x1?4??x2??x1?x2?4??2?0 222k1k1k1?2k12?bk1?2?2k12?bk1?2222 ………… 11分 ???x?4??y?(?x)?y1222??2?k2?k211所以A,B,C,N四点共圆. ………… 12分

21.解：?1?f??x??1xx?e?a1分由已知得f??1??0?1?e1?a?0?a??12分此时f??x??1xx?e?1①当0?x?1时，1x?1,ex?1?e0?1?f??x??0

?f?x?在?0,1?上递增4分②当x?1时,1?1,ex?1?e0x?1?f??x??0?f?x?在?1,???上递减6分?2?f?x?定义域为?0，???当a??2时，ex?a?ex?2?f?x??lnx?ex?a?lnx?ex?27分令g?x??lnx?ex?28分则g??x??1x?x?e2g???x???1?2x2?ex?0?g??x?在?0,???上递减

又g??1??1?e?1?0,g??2??12?e0?0?g??x?在?1,2?上有唯一零点x010分?1?ex0?2?0?lnx?21x0??x0?2,ex0?0x0?当0?x?x0,g??x??0?g?x?在?0,x0?上递增 当x?x0,g??x??0?g?x?在?x0,???上递减g?x??21max?g?x0??lnx0?ex0??x0?2?x0????1?1?x0?x??2??2x0??2?0

0?x0?当a??2时，f?x??0.11分?当a??2时，f?x?在定义域内无零点.12分22.解：(I)连接BD,OD,?CB,CD是圆O的两条切线， ?BD?OC，

??ODB??DOC?90?,又?AB为圆O的直径，

?AD?DB，

??ADO??ODB?90???DOC??ODA,

?AD//OC,即得证，………… 5分 (II)AO?OD,??DAO??DOC, ?Rt△BAD∽Rt△COD，

AD?OC?AB?OD?8。 …………10分

?x?3?2cos?23.解：（I）圆C的参数方程为?（?为参数）

?y??4?2sin?所以普通方程为(x?3)?(y?4)?4

22?圆C的极坐标方程：?2?6?cos??8?sin??21?0…………5分

|2cos??2sin??9|（II）点M(x,y)到直线AB：x?y?2?0的距离为d?2

1?△ABM的面积S??|AB|?d?|2cos??2sin??9|?|22sin(??)?9|

24所以△ABM面积的最大值为9?22………… 10分 24.解：（Ⅰ）因为f(x)?k?x?3，所以f(x?3)?0等价于x?k

由x?k有解，得k?0，且其解集为x?k?x?k 又f(x?3)?0的解集为??1,1?，故k?1 ………… 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知

??又a,b,c是正实数，

由均值不等式得

111???1a2b3c

111aa2b2b3c3ca?2b?3c?(a?2b?3c)(??)?3???????a2b3c2b3ca3ca2ba2ba3c2b3c 3?(?)?(?)?(?)?3?2?2?2?92ba3ca3c2b当且仅当a?2b?3c时取等号。 也即a?

1923b?c?1………… 10分99

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??ADO??ODB?90???DOC??ODA,

?AD//OC,即得证，………… 5分 (II)AO?OD,??DAO??DOC, ?Rt△BAD∽Rt△COD，

AD?OC?AB?OD?8。 …………10分

?x?3?2cos?23.解：（I）圆C的参数方程为?（?为参数）

?y??4?2sin?所以普通方程为(x?3)?(y?4)?4

22?圆C的极坐标方程：?2?6?cos??8?sin??21?0…………5分

|2cos??2sin??9|（II）点M(x,y)到直线AB：x?y?2?0的距离为d?2

1?△ABM的面积S??|AB|?d?|2cos??2sin??9|?|22sin(??)?9|

24所以△ABM面积的最大值为9?22………… 10分 24.解：（Ⅰ）因为f(x)?k?x?3，所以f(x?3)?0等价于x?k

由x?k有解，得k?0，且其解集为x?k?x?k 又f(x?3)?0的解集为??1,1?，故k?1 ………… 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知

??又a,b,c是正实数，

由均值不等式得

111???1a2b3c

111aa2b2b3c3ca?2b?3c?(a?2b?3c)(??)?3???????a2b3c2b3ca3ca2ba2ba3c2b3c 3?(?)?(?)?(?)?3?2?2?2?92ba3ca3c2b当且仅当a?2b?3c时取等号。 也即a?

1923b?c?1………… 10分99

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