spss主成分分析(PCA)

主成分分析

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主成分分析的重点

1、掌握什么是主成分分析？ 2、理解主成分分析的基本思想和几何意义？ 3、理解主成分求解方法：协方差矩阵与相 关系数矩阵的差异？ 4、对结果进行正确分析

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5.1 主成分分析的基本思想

一项十分著名的工作是美国的统计学家斯通

(stone)在1947年关于国民经济的研究。他

曾利用美国1929一1938年各年的数据，得到

了17个反映国民收入与支出的变量要素，例

如雇主补贴、消费资料和生产资料、纯公共

支出、净增库存、股息、利息外贸平衡等等。

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在进行主成分分析后，竟以97.4％的精度， 用三新变量就取代了原17个变量。根据经济 学知识，斯通给这三个新变量分别命名为总 收入F1、总收入变化率F2和经济发展或衰退 的趋势F3。

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主成分分析：将原来较多的指标简化为少数 几个新的综合指标的多元统计方法。 主成分：由原始指标综合形成的几个新指标。 依据主成分所含信息量的大小成为第一主成 分，第二主成分等等。

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主成分分析得到的主成分与原始变量之间的关 系：

1、主成分保留了原始变量绝大多数信息。

2、主成分的个数大大少于原始变量的数目。

3、各个主成分之间互不相关。

4、每个主成分都是原始变量的线性组合。

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主成分分析的运用： 1、对一组内部相关的变量作简化的描述 2、用来削减回归分析或群集分析(Cluster) 中变量的数目

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二、数学模型与几何解释－数学模型

假设我们所讨论的实际问题中，有p个指标，我 们把这p个指标看作p个随机变量，记为X1， X2，…，Xp，主成分分析就是要把这p个指标的 问题，转变为讨论p个指标的线性组合的问题， 而这些新的指标F1，F2，…，Fk(k≤p），按照 保留主要信息量的原则充分反映原指标的信息， 并且相互独立。

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这种由讨论多个指标降为少数几个综合指 标的过程在数学上就叫做降维。主成分分 析通常的做法是，寻求原指标的线性组合 Fi。

F1 u11 X 1 u21 X 2 u p1 X p F2 u12 X 1 u22 X 2 u p 2 X p Fp u1 p X 1 u2 p X 2 u pp X p

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满足如下的条件：

1、每个主成分的系数平方和为1。即

2 2 u12i u2 u i pi 1

2、主成分之间相互独立，即无重叠的信息。即

Cov（Fi，Fj） 0，i j，i，j 1， 2， ，p

3、主成分的方差依次递减，重要性依次递减，即

Var（F1） Var ( F2 ) Var ( Fp )

F1、F2….Fp分别称为原变量的第一、第二….第p个主成分。

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5.2 数

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