重积分习题及答案

第九章 重积分

(A)

1．填空题

(1) 设P?x,y??x2y，Q?x,y??x3y2，定义于D:0?x?1，0?y?1，则

??P?x,y?d? ??Q?x,y?d?

DD(2) 设曲顶柱体的顶面是z?f?x,y?，?x,y??D，侧面是母线平行于z轴，准线为D

的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为V? 。

(3) 在极坐标系中，面积元素为 。 2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小

(1) 围成。

(2) 围成。

3．利用二重积分性质，估计积分I???2x2?2y2?9d?的值，其中D是圆形闭区域

D2322D与，其中积分区域是由圆周????????x?yd?x?yd?x?2?y?1?2所????DD23与其中积分区域D由x轴，y轴以及直线x?y?1所 ????x?yd?x?yd?，????DD??x2?y2?4。

4．交换积分?2aadx?02ax?x22a?xf?x,y?dy的积分次序。

5．交换积分?dy?122?yf?x,y?dx的积分次序。

y?aa2?y26．交换二次积分?dy?0af?x,y?的积分次序。

7．计算???3x?2y?d?，其中D是由两坐标轴及直线x?y?2所围成的闭区域。

D8．计算??xcos?x?y?d?，其中D是顶点分别为?0,0?，??,0?和??,??的三角形区域。

D9．计算???1?x?sinyd?，其中D是顶点分别为?0,0?，?1,0?，?1,2?和?0,1?的梯形闭区域。

D10．计算二重积分??dxdy，其中区域D由曲线y?1?x2与y?x2?1围成。

D11．计算二重积分??xy2d?，其中D是由圆周x2?y2?4及y轴所围成的右半闭区域。

D 1

12．计算??Dd?x2?y2，其中D是圆环域1?x2?y2?4。

13．计算??ln1?x2?y2d?，D：x2?y2?1，x?0，y?0。

D??14．计算二重积分??x2?y2dxdy，其中D：x2?y2?2x。

D15．计算?xdx?e?ydy。

0x121216．求区域a?r?a?1?cos??的面积。 17．求由y?2x，y?x，xy?2围成的平面图形的面积。 22y218．求椭圆抛物面z?4?x?与平面z?0所围成的立体体积。

419．设平面上半径为a的圆形薄片，其上任一点处的密度与该点到圆心的距离平方成正比，比例系数为k，求该圆形薄片的质量。

20．由圆r?2cos?，r?4cos?所围成的均匀薄片，面密度?为常数，求它关于坐标原点O的动惯量。

(B)

1．选择题

设空间区域?1：x2?y2?z2?R2，z?0，?2：x2?y2?z2?R2，x?0，y?0，z?0，则………………（ ）

A．???zdv?4???dv B．???dv?4???dv C．???ydv?2???ydv D．???dv????zdv

?1?2?1?2?1?2?1?22．根据二重积分性质，比较下列积分大小： (1)

??ln?x?y?d?与???ln?x?y??d?，其中D是三角形区域，三顶点分别为?1,0?，?1,1?，

2DD2与??????lnx?yd?lnx?yd?，其中D是矩形闭区域：3?x?5，0?y?1。 ????DD?2,0?。

(2)

3．估计积分值I????x?y?10?d?，其中D是由圆周x2?y2?4围成。

D4．估计二重积分I?|x|?|y|?10??0?11100?cosx?siny1?y222d?的值。

5．交换二次积分次序?dy?

f?x,y?dx。

2

6．交换二次积分的次序：?dy?1013?y2y2f?x,y?dy。

27．改变积分次序?dx?0D1xx?x2f?x,y?dy。

8．计算二重积分??yexydxdy，其中D是由直线x?1，x?2，y?2及双曲线xy?1所围成的区域。

9．计算二重积分?dx?01x0e?y22dy。

10．计算积分?dx?x1?x2?y2dy。

001x11．??ex?yd?其中D是由|x|?|y|?1所确定的闭区域。

12．??x2?y2?xd?，其中D是由直线y?2，y?x及y?2x所围成的闭区域。

D??13．计算??2xy2dxdy，其中D由抛物线y2?x及直线y?x?2所围成。

D14．计算?dy?x2sinxydx。

0y1115．计算??edxdy，D是由曲线y?x2，y?0，x?1所围成的区域。

Dyx16．计算?a0??a?a2?x2x1x?y224a?x?y2?22?dydx。

?1?x?y?22D?17．计算???，其中为x?y?1在第一象限的部分。 dxdy?1?x2?y2??D?18．计算19．计算20．计算

x2?y2?12212???|x|?|y|?dxdy。

|x|?|y|?1??|xy|dxdy。

?1?x?10?y?12|y?x|dxdy ??21．计算三重积分???xdw，其中?由三个坐标面与平面2x?y?z?1所围成。

?22．计算???sin?x?y?z?dxdydz，其中V是平面x?y?z?V?2和三个坐标平面所围成

的区域。

3

23．计算积分I????xdxdydt。

V24．计算积分????x2?y2?z?dxdydz，其中V为第一象限中由旋转抛物面z?x2?y2与圆

V柱面x2?y2?1所围成的部分。

25．计算I???????y2?2z绕z轴旋转一周而成的曲面与x?ydxdydz，其中?是由曲线??x?022?平面z?2，z?8所围的立体。

26．求由下列曲面所界的体积，z?x?y，z?xy，x?y?1，x?0，y?0。 27．求由圆锥面z?4?x2?y2与旋转抛物面2z?x2?y2所围立体的体积。 28．求平面

xyz???1被三坐标面所割出部分的面积。 abc29．求底圆半径相等的两个直交圆柱面x2?y2?R2及x2?z2?R2所围立体的表面积。 30．一个物体由旋转抛物面z?x2?y2及平面z?1所围成，已知其任一点处的体密度?与到z轴的距离成正比，求其质量m。

31．求由圆r?acos?，r?2acos?所围成的均匀薄片的重心。

32．一均匀物体(密度?为常量)占有的闭区域?是由曲面z?x2?y2和平面z?0，

|x|?a，|y|?a所围成的。

(1) 求其体积；(2) 求物体的重心；(3) 求物体关于z轴的转动质量。

(C)

1．将下面积分化为重积分，并求I的值。

I??常数。

asin?0????b2?y2a2?y2e??x2?y2?dx?dy?????b2?y2??x2?y2??0?a?b0???，其中，为edxdy??asin???ycgt?2??bsin?2．设区域D为图中斜线部分，试将二重积分I???f?x,y?dxdy化为两种次序的二次积分。

D3．计算三重积分????x?z?dv，其中?是由曲面z?x2?y2与z?1?x2?y2所围成的

?区域。

4．计算??|3x?4y|dxdy，D：x2?y2?1。

D 4

5．设f?x,y?连续，且f?x,y??x???yf?u,v?dudv，其中D是由y?D1，x?1，y?2所围x区域，求f?x,y?。

6．(1) 计算??e??x2?y2d?，其中???x,y?|x2?y2?R2；

?? (2) 试证???0e?xdx?2?2。

7．求曲面Σ：z?x2?y2?1上任一点的切平面与曲面S：z?x2?y2所围立体?的体积。 8．设F?t??x2?y2?z2?t2???f?x2?y2?z2?dxdydz，其中f?u?为连续函数，f??0?存在，且f?0??0，

f??0??1，求limt?0F?t?。

t5第九章 重积分

(A)

1．填空题

(1) 设P?x,y??x2y，Q?x,y??x3y2，定义于D:0?x?1，0?y?1，则

??P?x,y?d? > ??Q?x,y?d?

DD(2) 设曲顶柱体的顶面是z?f?x,y?，?x,y??D，侧面是母线平行于z轴，准线为D

的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为V???|f?x,y?|d?。

D(3) 在极坐标系中，面积元素为d??rdrd?。 2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小

(1) 围成。

解：在区域D内，x?y?1，两边乘以?x?y?，得?x?y???x?y?，故由性质得：

23223与其中积分区域D由x轴，y轴以及直线x?y?1所 ????x?yd?x?yd?，????DD32????x?yd??x?yd? ????DD 5

?1?x?y?22D?17．计算???，其中为x?y?1在第一象限的部分。 dxdy?1?x2?y2??D?解：采用极坐标计算：

?211?r?1?r?1?r2原式????rdrd???2d??rdr ?1?r2??rdrd????00441?r1?r?D?D2122212

令t?r2?4?01?t2111?tdt????4??0111??1?t21?t220dt??d?1?t???

?122? ????1?t?arcsti0n4??x2?y2?1?1122???????2?? ????1??0??4?2?8418．计算

???|x|?|y|?dxdy。

解：利用函数和积分区域的对称性，

原式?4???|x|?|y|?dxdy(D1为积分区域在第一象限的部分)

D1s?rsin??rdr ?4?2d???rco?

00?13??r2? ?4??sin??co?s?03??1?8??

30??19．计算

|x|?|y|?1??|xy|dxdy。

解：由于积分区域D是一个正方形，坐标轴将D分成四个相等的子区域，被积函数|xy|关于这四个子区域是对称的，故

原式?4??|xy|dxdy?4?xdx?D1011?x0ydy

11?1? ??x?y2?dx?2?x?2x2?x3dx?

006?2?011?x??20．计算

?1?x?10?y?12|y?x|dxdy ??

解：根据绝对值，将积分区域分成两部分，

22??y?x,y?x;|y?x|??2 记区域D为?1?x?1，0?y?1，D?D1?Dl2，D1：2??x?y,y?x;2 16

x2?y?1，?1?x?1；D2：??x?1，0?y?x2，则

原式???|y?x2|dxdy???|y?x2|dxdy

D1D2 ??dx??1111x2?y?x?dy??dx??x21x2?1012?ydy

2x2?1??yy?2?2 ????xy?dx???xy??dx

?1?12?0?2?x2?2

1?11?1?? ????x2?x4?dx?2???x2?x4?dx

?1202?????1x3x5?11?2?x????

35?015?2121．计算三重积分???xdw，其中?由三个坐标面与平面2x?y?z?1所围成。

?解：先对z积分，z的变化范围是0?z?1?2x?2y，D可表示为：0?x?0?y?1?2x，

1，2原式??dx???dx?1201?2x01201?2x0dy?1?2x?y0xdz

1112x?1?2x?y?dy??2x?1?2x?dx?

209622．计算???sin?x?y?z?dxdydz，其中V是平面x?y?z?V?2和三个坐标平面所围成

的区域。

??20解：原式??dx?20?x?dy?20?x?ysin?x?y?z?dz

?20??20 ??2dx?0?xco?sx?y?dy????1?sinx?dx?2?1。

23．计算积分I????xdxdydt。

V解：V：其中下底为平面z?0，上底面为平面z?1?x?2y，它在XY平面上的投影?xy

是由x?0，y?0以及x?2y?1所围成，于是

17

I??xy??dxdy?101?x?2y0xdz??xdx?011?x20dy?1?x?2y0dz

1?x2y?0y? ??xdx? ?1?x20?1?x?2y?dy??0x?y?xy?y12?dx

11123x?2x?xdx? 4?048??注：若将V投影在YZ平面上再进行计算，则

I??dy?1201?2y0

dz?1?2y?z0xdx?1 4824．计算积分????x2?y2?z?dxdydz，其中V为第一象限中由旋转抛物面z?x2?y2与圆

V柱面x2?y2?1所围成的部分。

解：采用柱面坐标计算

?20原式??d??rdr?01r02?r2?zdz????2z?rrz???dr 2?0?2?012r2 ??35?rdr? 2?028125．计算I???????y2?2z绕z轴旋转一周而成的曲面与x?ydxdydz，其中?是由曲线??x?022?平面z?2，z?8所围的立体。

解：用柱坐标计算

I??2?0d??r?rdr?dz??022282?0d??r?rdr?r2dz

224288?33?6。 ?48??28?26．求由下列曲面所界的体积，z?x?y，z?xy，x?y?1，x?0，y?0。

18

解：由题意，V????x?y?xy?dxdy，积分区域D是x轴，y轴及x?y?1直线围成的三

D角形，于是

11?xV?????x?y?xy?dy?dx

?0??0?1?? ???xy??1?x??y2?dx

02?0?11?12? ???x?1?x???1?x???1?x??dx

02??1?x ?111173????1?x?dx?

023224

27．求由圆锥面z?4?x2?y2与旋转抛物面2z?x2?y2所围立体的体积。 解：选用极坐标计算

??1V?????4?x2?y2?x2?y22D????????dxdy ???r2??????4?r?2??rdrd?

?D?以下求立体在xoy平面上的投影区域D：

22??z?4?x?y由?，得

22??2z?x?y?z?2??z?8??0，z?2，z?8(舍)

因此，D由x2?y2?4，即r?2围成 故得V??2?0??2r3r4?r3?20?2???。 d???4r?r?dr?2?2r??????0?2?38?03??2228．求平面

xyz???1被三坐标面所割出部分的面积。 abc解：所求平面在xoy面上的投影区域D为以a、b为直角边的直角三角形。

19

z?c?cc?zc?zcx?y，??，?? ab?xa?yb2212???z???z???1???????y????x??????????cc???1???a2b2??。 ??2212122ab?b2c2?c2a2ab??12

122

A???D122ab?b2c2?c2aab??dxdy

11ab?a2b2?b2c2?c2a222122 ?ab?b2c2?c2a2ab??12??12

29．求底圆半径相等的两个直交圆柱面x2?y2?R2及x2?z2?R2所围立体的表面积。 解：由对称性可知，所围立体的表面积等于第一卦限中位于圆柱面x2?z2?R2上的部分面积的16倍，这部分曲面的方程为z?R2?x2

A?16??D??z???z??1?????dxdy ????x???y?22 ?16??D??x1???22?R?xRR?x22???02dxd y??RR2?x202 ?16??Ddxdy?16?dx?0RR?x22dy

?R?R ?16??y?022?R?x?0R2?x2dx?16?Rdx?16R2

0R30．一个物体由旋转抛物面z?x2?y2及平面z?1所围成，已知其任一点处的体密度?与到z轴的距离成正比，求其质量m。

解：由题意，密度??kx2?y2，于是物体的质量为m????kx2?y2dxdydz，其中?为

?曲面z?x2?y2及平面z?1所围成的区域。?在坐标面xoy上的投影区域D为圆x2?y2?1，过D内的任意点M引平面于z轴的直线，其与?表面相交两点的竖坐标z分别是z?x2?y2与z?1，于是

20

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