2004-2013北大清华等自主招生考试数学试题汇编(word)(无答案)
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第 1 页 共 75 页 2004-2013北大清华等自主招生考试数学试题
2004年名牌大学自主招生考试试题(l)
适用高校:复旦大学
一、填空题(每题8分,共80分)
1
.设842421(1)(1)x x x ax +=+++,则a= .
2.已知|5x+3|+|5x ?4|=7,则x 的取值范围是 .
3.椭圆22
1169
x y +=内接矩形的周长最大值是 . 4.12只手套(左右有区别)形成6双不同的搭配,要从中取出6只正好能形成2双,有 种取法.
5.已知等比数列{}n a 中a 1=3, ,且第l 项至第8项的几何平均数为9,则第3项为 .
6.若2(1)0x a x a -++<的所有整数解之和为27,则实数a 的取值范围是 .
7.己知22(4)149
x y -+=,则22
49x y +的最大值为 . 8.设x 1、x 2是方程2x ?xsin 3
5π+cos 35
π=0的两个实数解,那么arctanx 1+ arctanx 2= . 9.方程3z z =的非零解是 .
10.方程112x
x y -+=的值域是 .
二、解答题(每题15分,共120分)
1.解方程
: 5log (1x =.
2.已知12sin(),13αβ+=
4sin(),5αβ-=-且0,0,,2παβαβ>>+<求tan 2α.
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第 2 页 共 75 页
3.已知过两抛物线C 1:x +1=(y ?1)2,及C 2: (y ?1)2=?4x ?a+11的一个交点的两条切线互相垂直,求a 的值.
4.若存在M,使任意x ∈D(D 为函数f(x)的定义域),都有|f(x)|≤M .则称函数f(x)有界,函数f(x)=11sin x x 在10,2x ??∈ ???上是否有界?
5.求证
: 13+< .
6.已知E 是棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -的棱AB 的中点,求点B 到平面1A EC 的距离.
7.比较24log 25与25log 26的大小,并说明理由.
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第 3 页 共 75 页 8.已知数列{}{},n n a b 满足12,n n n a a b +=--且166n n n b a b +=+,又12a =,14b =,
求:(1) ,,n n a b ;(2)1im lim
n n n a b →∞.
2004年名牌大学自主招生考试试题(2)
适用高校:上海交通大学
一、填空题(每题4分,共40分)
1.已知x 、y 、z 是作负整数,且x+y+z=10,x+2y+3z=30,则x+5y+3z 的取值范围是 .
2.长为1的钢丝折成三段与另一墙面围成封闭矩形,则矩形面积的最大值是 .
3
.函数02y x π?=≤≤??
的值域是 . 4.已知三角形又边的长a 、b 、c 均为正整数,且a ≤b ≤c ,b=n ,则满足条件的三角形r 的个数为
5.设x 2+ax+b 和x 2+bx+c 的最大公因式为x+1,最小公倍式为x 3+(c ?1)x 2+(b+3)x+d ,则(a,b.c,d)=
6.已知
1a ≤≤
||x =的相异实根的个数是 . 7.整数()8182004736+的个位数是 .
8.已知数列{a n }满足a 1=l,a 2=2,且2132n n n a a a ++=-,则2004a = .
9.在n×n 的正方格中,任意取得的长方形(长方形的边与正方格的边平行或重合)是正方形的概率是 .
10.已知67xyzabc abcxyz =,则xyzabc = .
二、解答题(本大题共60分)
1.已知矩形的长、宽分别为a 、b,现在把矩形翻折,使矩形的对顶点重合,求所得折痕的长.
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第 4 页 共 75 页 2.某二项式展开式中,相邻a(a≥3,a ∈N+)项的二项式系数之比为1:2:3:?:a,求二项式的次数与a 的值,以及各项的二项式系数.
3.已知f(x)=432(58)69ax x a x x a ++-+- ,证明:
(1)恒有实数x,使f(x)=0,
(2)存在实数x ,使f(x)的值恒不为0.
4.已知f 1(x )=
11x x -+ ,对于一切正整数n ,都有11()[()],n n f x f f x += 且366()()f x f x =,求28()f x .
5.对于两条垂直直线和一个椭圆,已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切,求椭圆中心的轨迹.
6.已知{n a }是公差为6的等差数列,11n n n b a a ++=-(n ∈N+).
(l)用a 1、b 1、n 表示数{n a }的通项公式;
(2)若a 1=b 1=a ,a ∈[27,33],求a n 的最小值及取最小值时n 的值.
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第 5 页 共 75 页 2005年名牌大学自主招生考试试题(l)
适用高校:复旦大学
一、填空题(每题5分,共50分)
1.已知集合A=22{|log (1)0,}x x x x R -->∈,B=1{|221,}x x x x R -->∈,则A R eB= .
2.设数x 满足x +1x =?1,则3003001x x
+= . 3.圆ρ
=θ?5cos θ的圆心的极坐标为 ,其中[0,2)θπ∈.
4.设抛物线y=2x 2+2ax+a 2与直线y=x+1交于A ,B 两点, 当|AB|最大时,a = .
5
.计算:n →∞= . 6.化简:l+3+6+…+(1)2
n n += . 7.一个班有20个学生,其中有3个女生,抽4个人去参观展览馆,恰好抽到l 个女生的概率为 .
8.写出31000在十进制中的最后4位 .
9.设定义在R 上的函数f(x)满足f(x)+220021x f x +??
?-??=4015?x(x≠1), 则f(2004)= . 10.函数y =1sin 2cos x x
++的最大值是 . 二、解答(本大题共70分)
1.在四分之一个椭圆22
221(0,0,,0)x y x y a b a b
+=>>>上取一点P,使过点P 椭圆的切线与坐标轴所成的三角形的面积最小.
2.在ABC ?中,已知tan :tan :tan 1:2:3A B C =,求
AC AB
.
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第 6 页 共 75 页 3.在单位正方体ABCD ?1111A B C D 中, E 、F 、G 分别是AD 、A 1A 、1A 1B 的中点,求:
(l)点B 到面EFG 的距离;(2)二而角G ?EF ?1D 的平面角θ.
4
=3的实数根.
5.
已知sin cos (0a a αα+=≤≤,求sin cos n n
αα+关于a 的表达式.
6.设直线l 与双曲线xy=l 交于P 、Q 两点,直线l 与x 轴交于点A,与y 轴交于点B,求证:|AP|=|BQ|.
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第 7 页 共 75 页 7.已知定义在R 上的函数f(x)=442x x +,121n n S f f f n n n -??????=+++ ? ? ???
???? ,n=1,2,3?, (1)求S n ;(2)是否存在常数M>0对,对任意2n ≥,有
231111n M S S S ++++≤ ?
2005年名牌大学自主招生考试试题(2)
适用高校:上海交通大学
一、填空题(每题5分,共50分)
1.已知方程2212x px p
--=0(p R ∈)的两根12,x x
满足44122x x +≤,则p= . 2.设8841sin cos ,0,1282x x x π??+=∈ ???
,则x= . 3.已知,n Z ∈且1200411112004n n +????+=+ ? ?????,则n= .
4.如图,将3个12cm×12cm 的正方形沿邻边的中点剪开,分成两部分,将这6部分接在一个边长为
6的正六边形上,若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图.则该多面体的体积为 .
第4题图
5,,x y Q =∈则(x,y)= .
6.化简:()()122222246812n n +-+-++- = .
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第 8 页 共 75 页 7,若3z =1,且z ∈C ,则3z +22
z +2z+20= .
8.一只蚂蚁沿l×2×3立方体表面爬,从一条对角线一端爬到另一端所爬过的最短距离为 .
9. 4封不同的信放人4个写好地址的信封中,全装错的概率为 ,恰好只有一封信装错的率为 .
10.已知等差数列{a n }中,a 3+a 7+a 11+a 19=44,则a 5+a 9+a 16=
二、解答题(本大题共50分)
1.已知方程x 3+ax 2+bx +c =0的三根分别为a 、b 、c ,且a 、b 、c 是不全为零的有理数,求a 、b 、c 的值.
2.是否存在三边为连续自然数的三角形,使得
(l)最大角是最小角的两倍?
(2)最大角是最小角的三倍?
若存在,分别求出该三角形;若不存在,请说明理由.
3.已知函数y=2281
ax x b x +++的最大值为9,最小值为1.求实数a 、b 的值
4.已知月利率为y,采用等额还款方式,若本金为1万元,试推导每月等额还款金额m 关于y 的函数关系式(假设贷款时间为2年).
5.对于数列{}n a :1,3,3,3,5,5,5,5,5,?, 即正奇数k 有k 个·是否存在整数r ,s ,t ,使得对于任意正整数n,
都有n a r t =+恒成立([x]表示不超过x 的最大整数)?
2006年名牌大学自主招生考试试题(l)
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第 9 页 共 75 页
适用高校:复旦大学
选择题(共150分,每题5分,答对得5分,答错例扣2分,不答得0分)
1.在(x 2?
1x
)10
的展开式中系数最大的项是_____. A .第4、6项 B .第5、6项 C .第5、7项 D .第6、7项
2.设函数y=? (x)对一切实数x 均满足? (5+x)=?(5?x),且方程? (x)=0恰好有6个不同的实根,则这6个实根的和为____.
A .10
B .12
C .18
D .30 3.若非空集合X={x |a+1≤x≤3a?5},Y={x |1≤x≤16},则使得X ?X ∪Y 成立的所有a 的集合是_____.
A .{a |0≤a≤7}
B .{a |3≤a≤7}
C .{a |a≤7}
D .空集 4.设z 为复数,E={z |(z ?1)2=|z ?1|2},则下列_ __是正确的 A .E={纯虚数} B .E={实数} C .{实数}?
E ?{复数} D .E={复数}
5.把圆x 2
+(y ?1)2
=1与椭圆x 2
+2
(1)9
y +=1的公共点,用线段连接起来所得到的图形为_____.
A .线段
B .等边三角形
C .不等边三角形
D .四边形
6.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,若
1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小是___.
A .60°
B .75°
C .90°
D .105°
A .58
B .60
C .62
D .64
8.若向量a +3b 垂直于向量7a ?5b ,并且向量a ?4b 垂直于向量7a ?2b ,则向量a 与b
的夹角为
___ ___.
A .
2π; B .3π; C .4π; D
.6
π. 9.复旦大学外语系某年级举行一次英语口语演讲比赛,共有十人参赛,其中一班有三位,二班有两
位,其它班有五位.若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班的三位同学恰好演讲序号相连.问二班的两位同学的演讲序号不相连的概率是____.
A .
120 B .140
C .160
D .190
10.已知sin α,cos α是关于x 的方程x 2?αx+α=0的两个根,这里α∈R.则3
sin α+3cos α=___.
A .?1
B .
C .?
D .2
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第 10 页 共 75 页 11.设z 1,z2为一对共轭复数,如果|z 1?z 2
122
z z 为实数,那么|z 1|=|z 2|=____. A
B .2
C .3 D
12.若四面体的一条棱长是x ,其余棱长都是1,体积是V(x),则函数V(x)在其定义域上为____.
A .增函数但无最大值
B .增函数且有最大值
C .不是增函数且无最大值
D .不是增函数但有最大值
13.下列正确的不等式是____.
A .
16<120k =; B .
18<1201
k =; C .
20<120
k =; D .
22<1201k =14.设{αn }是正数列,其前n 项和为S n ,满足:对一切n ∈Z +,αn 和2的等差中项等于S n 和2的等比中项,则lim n x n
→∞α=______. A .0 B .4 C .12 D .100
15.已知x 1,x 2是方程x 2?(α?2)x+(α2+3α+5)=0(α为实数)的两个实根,则x 12+x 22的最大值为______.
A .18
B .19
C .20
D .不存在
16
.条件乙:sin 2
θ+cos 2θ=α.则下列________是正确的. A .甲是乙的充分必要条件 B .甲是乙的必要条件
C .甲是乙的充分条件
D .甲不是乙的必要条件,也不是充分条件
17.已知函数?(x)的定义域为(0,1),则函数g(x)= ?(x+c)+?(x?c)在0
时的定义域为____. A .(?c,1+c); B .(1?c,c); C .(1+c,?c); D .(c,1?c);
18.函数
____.
A .y min =54-
,y max =54; B .无最小值,y max =54
; C .y min =54-,无最大值 D .既无最小值也无最大值 19.等差数列{αn }中,α5<0,α6>0且α6>|α5|,S n 是前n 项之和,则下列___是正确的.
A .S 1,S 2,S 3均小于0,而S 4,S 5,…均大于0
B .S 1,S 2,…,S 5均小于0,而S 6,S 7,…均大于0
C .S 1,S 2,…,S 9均小于0,而S 10,S 11,…均大于0
D .S 1,S 2,…,S 10均小于0,而S 11,S 12,…均大于0
20.已知角θ的顶点在原点,始边为x 轴正半轴,而终边经过点
Q(y),(y≠0),则角θ的终边所在的象限为___.
A .第一象限或第二象限
B .第二象限或第三象限
C .第三象限或第四象限
D .第四象限或第一象限
21.在平面直角坐标系中,三角形△ABC 的顶点坐标分别为A(3,4),B(6,0),C(?5,?2),则∠A 的平分线所在直线的方程为_____.
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第 11 页 共 75 页 A .7x ?y ?17=0; B .2x+y+3=0; C .5x+y ?6=0; D .x ?6y=0.
22.对所有满足1≤n≤m≤5的m ,n ,极坐标方程11cos n m C θ
ρ=-表示的不同双曲线条数为_____. A .6 B .9 C .12 D .15
23.设有三个函数,第一个是y=?(x),它的反函数就是第二个函数,而第三个函数的图像与第二个函数的图像关于直线x+y=0对称,则第三个函数是______.
A .y=??(x);
B .y=??(?x);
C .y=???1(x);
D .y=???1(?x);
24.设?(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数,且是偶函数.已知当x ∈[2,3]时,?(x)=x ,则当x ∈[?2,0]时,?(x)的解析式为_____.
A .x+4;
B .2?x;
C .3?|x+1|;
D .2+|x+1|.
25.已知α,b 为实数,满足(α+b )59=?1,( α?b)60=1,则α59+α60+b 59+b 60=_____.
A .?2
B .?1
C .0
D .1
26.设αn 是(2
n
的展开式中x 项的系数(n=2,3,4,…),则极限2323222lim()n
x n →∞+++ααα…=________. A .15 B .6 C .17 D .8
27.设x 1,x 2∈(0,
2π),且x 1≠x 2,不等式成立的有 (1)1
2
(tanx 1+tanx 2)>tan 122x x +; (2) 12(tanx 1+tanx 2)
x x + A .(1),(3) B .(1),(4) C .(2),(3) D .(2),(4)
28.方程?(x)=213222123333235
x x x x x x x x x ---------=0的实根的个数为_______.
A .1个
B .2个
C .3个
D .无实根
29.如图所示,半径为r 的四分之一的圆ABC 上,分别以AB 和AC 为直径作两个半圆,分别标有α的阴影部分面积和标有b 的阴影部分面积,则这两部分面积α和b 有_____.
A .α>b
B .α
C .α=b
D .无法确定
C
B A b
a
30.设a ,b 是不共线的两个向量.已知PQ =2a +k b ,QR =a +b ,RS =2a ?3b .若P ,Q ,S 三点共线,则k 的值为_____.
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第 12 页 共 75 页 A .?1; B .?3; C .43-; D .35
-;
2006年名牌大学自主招生考试试题(2)
适用高校:上海交通大学
一、填空题(每题5分,共50分) 1.矩形ABCD 中,AD =a ,AB =b ,过A 、C 作相距为h 的平行线AE 、CF ,则
AF =____.
2.一个正实数与它的整数部分,小数部分成等比数列,那么这个正实数是_________.
3.2005!的末尾有连续________个零.
4.210(2)x x -+展开式中,3x 项的系数为__________.
5.在地面距离塔基分别为100m 、200m 、300m 的A 、B 、C 处测得塔顶的仰角分别为,,,90αβγαβγ++=?且,则塔高为______________.
6.三人玩剪子、石头、布的游戏,在一次游戏中,三人不分输赢的概率为_____________;在一次游戏中,甲获胜的概率为___________.
7
.函数23log ()(,1y x ax a =----∞在上单调递增,则实数a 的取值范围是________.
8.51x ω=是的非实数根,2(1)(1)ωωω++=_____________.
9.2张100元,3张50元,4张10元人民币,共可组成_______种不同的面值.
10.已知2!(1)!(2)!
k k a k k k +=++++,则数列{}n a 前100项和为___________. 二、解答题(第11题8分,第12、13、14题每题10分,第15题12分) 11.a ,b ,c ∈R ,abc ≠0,b ≠c ,a (b -c)x 2+b (c -a )x +c (a -b )=0有两个相等根,求证:
111,,a b c 成等差数列.
12.椭圆2
221(1)x y a a
+=>,一顶点A (0,1),是否存在这样的以A 为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形,若存在,求出共有几个,若不存在,请说明理由.
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第 13 页 共 75 页
13.已知|z |=1,k 是实数,z 是复数,求|z 2+kz +1|的最大值.
14.若函数形式为(,)()()()(),(),()f x y a x b y c x d y a x c x =+其中为关于x 的多项式,(),()b y d y 为关于y 的多项式,则称(,)f x y 为P 类函数,判断下列函数是否是P 类函数,并说明理由.
(1) 1+xy ; (2) 1+xy+x 2y 2.
15.设3229,29270k x kx k x k ≥++++=解方程.
2006年名牌大学自主招生考试试题(3)
适用高校:北京大学
解答题(本大题共200分)
1.(本题20分)求和
(1)7+77+777+?+7
7777n
个 (2)2005+20052005+200520052005+?+200520052005n 个2005
2.(本题15分)试构造函数f(x)、g(x),使其定义域都为(0,1),值域都为[0,1],且
(1)对于任意[0,1],()a f x a ∈=只有一解;
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第 14 页 共 75 页 (2)对于任意[0,1],()a g x a ∈=有无穷多个解.
3.(本题15分)对于一个四位数,其各位数字至多有两个不相同,试求共有多少个这种四位数.
4.(本题15分)对于任意*n N ∈,12,,,n x x x 均为非负实数,且1212
n x x x +++≤ ,试用数学归纳法证明:121(1)(1)(1)2n x x x ---≥
成立.
5.(本题20分)求证:()()()()22220122n n n n n n n C
C C C C ++++=
6.(本题20分)当实数a 、b 满足何条件时,可使22122
x ax b x x ++<++恒成立?
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第 15 页 共 75 页
7.(本题20分)下列各式能否在实数范围内分解因式?若能,请作出分解;若不能,请说明理由.
(1)x +1;(2)21x x ++; (3) 321x x x +++;(4) 4321x x x x ++++.
8.(本题20分)解三角方程:asin(x +
4
π)=sin2x +9,其a 为实常数.
9.(本题20分)已知曲线C:2
214
x y +=, 曲线C 关于直线y=2x 对称的曲线为曲线C’,曲线C’与曲线C”关于直线y =?
12x+5对称,求曲线C’、C”的方程.
2006年名牌大学自主招生考试试题(4)
适用高校:清华大学
解答题(本大题共100分)
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第 16 页 共 75 页 1.(本题10分)求最小正整数n ,使得n i I )32121(+
=为纯虚数,并求出I .
2.(本题10分)已知b a 、为非负数,44,1M a b a b =++=,求M 的最值.
3.(本题10分)已知sin sin cos θαθ、
、为等差数列,sin sin cos θβθ、、为等比数列,求1cos 2cos 22
αβ-的值.
4.(本题10分)求由正整数组成的集合S ,使S 中的元素之和等于元素之积.
5.(本题15分)随机取多少个整数,才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数.
6.(本题15分)2y x =上一点P (非原点),在P 处引切线交x y 、轴于Q R 、,求
PQ PR .
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第 17 页 共 75 页
7.(本题15分)已知)(x f 满足:对实数b a 、有)()()(a bf b af b a f +=?,且1)(≤x f ,求证:)(x f 恒为零.
(可用以下结论:若M x f x g x ≤=∞→)(,0)(lim ,M 为一常数,那么0))()((lim =?∞
→x g x f x )
8. (本题15分)已知A 、B 、C 为ABC ?的三个内角,它们所对的边分别a 、b 、c,求证:
2cos cos 4sin 2
a A B C
b
c ++≥+. (在所有定周长的空间四边形ABCD 中,求对角线AC 和BD 的最大值,并证明?)
2007年名牌大学自主招生考试试题(2)
适用高校:复旦大学
选择题(每题5分,共150分,答对得5分,答错扣2分,不答得0分)
1.三边均为整数,且最大边长为11的三角形,共有 个.
A.20
B.26
C.30
D.36
2.若a>1,b>1且lg(a+b)=lga+lgb ,则lg(a ?1)+lg(b ?1)= .
A.lg2
B.1
C.不是与a 、b 无关的常数
D.0
3.已知z ∈C ,若∣z ∣=2-4i ,则
z
1的值是 . A .3+4i B.i 5453+ C.i 154153+ D.i 25
4253- 4.已知函数f(x)=cos(x k 2316++π)+cos(x k 2316--)=23sin(x 23+π),其中x 为实数且k 为整数.则f(x)的最小正周期为 .
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第 18 页 共 75 页 A .3π B. 2
π C.π D.2π 5.已知A ={(x,y)∣y≥x 2},B={(x,y)∣x 2+(y ?a)2≤1}.则使A∩B =B 成立的充分必要条件为 . A.a=
45 B.a≥45 C.0
a ,连接A ,E 两点以及C ,D 两点.则AE 和CD 之间的最小夹角为 . A. 9πa B. 3πa C. 3
π D.以上均不对 7.已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4,(n≥1),且a 1=9, 其前n 项之和为S n ,则满足不等式∣S n ?n ?6∣<1251的最小整数是4
5 . A.
6 b.
7 C.
8 D.9
8.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使用一条棱的两端点异色,若只有五种颜色可供使用,则不同的染色方法的总数为 .
A.120
B.260
C.340
D.420
9.设甲乙两个袋子中装有若干个均匀白球和红球,且甲乙两个袋子中的球数比为1∶3.已知从甲袋中摸到红球的概率为
31,而将甲乙两个袋子中的球装在一起后,从中摸到红球的概率为32.则从乙袋中摸到红球率为 .
A .97 B. 4519 C. 30
13 D. 4522 10.方程f(x)=5
43423322212321
---------x x x x x x x x x =0 的实根的个数是 .
A .1个 B. 2个 C.3个 D.无实根
11.已知a,b 为实数,满足(a+b)59=?1,(a ?b)60=1,则
∑=-601)(n n n b a = . A.0121 B.?49 C.0 D.23
12.a=2
1是“直线(a+2)x+3ay+1=0与直线(a ?2)x+(a+2)y ?3=0相互垂直”的 . A.充分必要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
13.设函数y=f(x)对一切实数x 均满足f(2+x)=f(2?x),且方程f(x)=0恰好有7个不同的实根,则这7个不同实根的和为 .
A.0
B.10
C.12
D.14
14.已知α,β,γ分别为某三角形中的三个内角且满足tan 2β
α+=sinγ,则下列四个表达式:
(1)tan αt an β=1 (2)0
A.(1)(3)
B.(10(4)
C.(2)(3)
D.(2)(4)
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第 19 页 共 75 页 15.设S n =1+2+…+n,n ∈N.则∞→n lim 1
)32(2++n n S n nS = . A.2 B.
32
1 C. 161 D.64 16.复数z=i i a 212+-(a ∈R,i=1-)在复平面上对应的点不可能位于 . A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
17.已知f(x)=asinx+b 3x +4(a,b 为实数)且f [lg(lg 310)]=5,则f [lg(lg3)]= .
A.?5
B.?3
C.3
D.随a,b 取不同值而取不同值
18.已知四棱锥P -ABCD ,底面ABCD 是菱形,∠DAB =3
π,PD ⊥平面ABCD ,线段PD =AD ,点E 是AB 的中点,点F 是PD 的中点,则二面角P -AB -F 的平面角的余弦值= .
A .21 B. 552 C. 1475 D. 14
73 19.在(32-)50的展开式中有 项为有理数.
A.10
B.11
C.12
D.13
20.棱长为a 的正方体内有两球互相外切,且两球各与正方体的三个面相切.则两球半径之和为为 .
A .无法确定 B.a C.a 233- D.a 2
55- 21.在集合{1,2,…11}中任选两个作为椭圆方程122
22=+b
y a x 中的a 和b ,则能组成落在矩形区域{(x,y)||x |<11,|y |<9}内的椭圆个数是 .
A.70
B.72 c.80 D.88
22.设a,b,c 为非负实数,且满足方程02562684495495=+?-++++c b a c b a ,则a+b+c 的最大值和最小值 .
A.互为倒数
B.其和为13
C.其乘积为4
D.均不存在
23.给定正整数n 和正常数a ,对于满足不等式
a 12+a n+12≤a 的所有等差数列a 1,a 2,a 3,…,和式∑++=1211n n i a 的最大值= .
A .)1(210+n a B.n a 210 C.)1(25+n a D.n a 2
5 24.设z 0(z 0≠0)为复平面上一定点,z 1为复平面上的动点,其轨迹方程为|z 1?z 0|=|z 1|,z 为复平面上另一个动点满足z 1z=?1.则z 在复平面上的轨迹形状是 .
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第 20 页 共 75 页 A.一条直线 B.以0
1z -为圆心,01z 为半径的圆 C.焦距为0
12z 的双曲线 D.以上均不对 25.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a ,则这个球的体积为 . A.3123a π B.343a π C. 3242a π D. 324
3a π 26.已知函数f(x)的定义域为(0,2),则函数g(x)=f(x+c)+f(x ?c) 在 0<
21时的定义域为 . A.(1?c,2+c) B.(c,2?c) C.(1?c,2?c) D.(c,2+c)
27.设函数f(x)=sin(2x+?),(?π
π.则?的值为 . A. 4π
B. 43π
C.-4
3π D.2π 28.设f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数,且是偶函数.已知当x ∈[2,3]时,f(x)=?x,则当x ∈[-2,0]时,f(x)的表达式为 .
A .?3+|x+1| B.2?|x+1| C.3?|x+1| D.2+|x+1|
29.当a 和b 取遍所有实数时,则函数f(a,b)=(a+5?3|cosb |)2+(a ?2)|sinb |)2所能达到的最小值为 .
A.1
B.2
C.3
D.4
30.对任意实数x,y,定义运算x oy 为x oy =ax+by+cxy ,其中a,b,c 为常数,且等式右端中的运算为通常的实数加法、乘法运算.已知1o2=3,2o3=4且有一个非零实数d ,使得对于任意实数x 均有x od=x ,则d= .
A.-4
B.-2
C.1
D.4
2007年上海交通大学冬令营数学试题
90分钟答题时间
填空题(每小题5分,共50分)
1. 设函数()f x 满足()()232361f x f x x +-=+,则()f x =_______________.
2. 设,,a b c 均为实数,且364a b ==,则11a b
-=_______________. 3. 设0a >且1a ≠,则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为_______________.
4. 设扇形的周长为6,则其面积的最大值为_______________.
5. 11!22!33!!n n ?+?+?++?= _______________.
6. 设不等式()()11x x y y -≤-与22
x y k +≤的解集分别为M 与N .若M N ü,则k 的最小值为
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第 21 页 共 75 页 _______________.
7. 设函数()x f x x
=,则()()()21123n S f x f x nf x -=+++= _______________. 8. 设0a ≥,且函数()()()cos sin f x a x a x =++的最大值为
252,则a =_______________. 9. 6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考,考生答完试卷的先后次序不定,且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为_______________.
10. 已知函数()1211
x f x x -=+,对于*n N ∈定义()()()11n n f x f f x +=,若()()355f x f x =,则()28f x =_______________.
计算与证明题(每小题10分,共50分)
11. 工件内圆弧半径测量问题.为测量一工件的内圆弧半径R ,工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ,试写出R 用h 表示的函数关系式,并计算当10r mm =,4h mm =时,R 的值.
h
12. 设函数()sin cos f x x x =+,试讨论()f x 的性态(有界性、奇偶性、单调型和周期性),求其极值,并作出其在[]0,2π内的图像.
13. 已知线段AB 长度为3,两端均在抛物线2x y =上,试求AB 的中点M 到y 轴的最短距离此时M 点的坐标.
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