2004-2013北大清华等自主招生考试数学试题汇编(word)(无答案)

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第 1 页 共 75 页 2004-2013北大清华等自主招生考试数学试题

2004年名牌大学自主招生考试试题(l)

适用高校:复旦大学

一、填空题(每题8分,共80分)

1

.设842421(1)(1)x x x ax +=+++,则a= .

2.已知|5x+3|+|5x ?4|=7,则x 的取值范围是 .

3.椭圆22

1169

x y +=内接矩形的周长最大值是 . 4.12只手套(左右有区别)形成6双不同的搭配,要从中取出6只正好能形成2双,有 种取法.

5.已知等比数列{}n a 中a 1=3, ,且第l 项至第8项的几何平均数为9,则第3项为 .

6.若2(1)0x a x a -++<的所有整数解之和为27,则实数a 的取值范围是 .

7.己知22(4)149

x y -+=,则22

49x y +的最大值为 . 8.设x 1、x 2是方程2x ?xsin 3

5π+cos 35

π=0的两个实数解,那么arctanx 1+ arctanx 2= . 9.方程3z z =的非零解是 .

10.方程112x

x y -+=的值域是 .

二、解答题(每题15分,共120分)

1.解方程

: 5log (1x =.

2.已知12sin(),13αβ+=

4sin(),5αβ-=-且0,0,,2παβαβ>>+<求tan 2α.

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第 2 页 共 75 页

3.已知过两抛物线C 1:x +1=(y ?1)2,及C 2: (y ?1)2=?4x ?a+11的一个交点的两条切线互相垂直,求a 的值.

4.若存在M,使任意x ∈D(D 为函数f(x)的定义域),都有|f(x)|≤M .则称函数f(x)有界,函数f(x)=11sin x x 在10,2x ??∈ ???上是否有界?

5.求证

: 13+< .

6.已知E 是棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -的棱AB 的中点,求点B 到平面1A EC 的距离.

7.比较24log 25与25log 26的大小,并说明理由.

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第 3 页 共 75 页 8.已知数列{}{},n n a b 满足12,n n n a a b +=--且166n n n b a b +=+,又12a =,14b =,

求:(1) ,,n n a b ;(2)1im lim

n n n a b →∞.

2004年名牌大学自主招生考试试题(2)

适用高校:上海交通大学

一、填空题(每题4分,共40分)

1.已知x 、y 、z 是作负整数,且x+y+z=10,x+2y+3z=30,则x+5y+3z 的取值范围是 .

2.长为1的钢丝折成三段与另一墙面围成封闭矩形,则矩形面积的最大值是 .

3

.函数02y x π?=≤≤??

的值域是 . 4.已知三角形又边的长a 、b 、c 均为正整数,且a ≤b ≤c ,b=n ,则满足条件的三角形r 的个数为

5.设x 2+ax+b 和x 2+bx+c 的最大公因式为x+1,最小公倍式为x 3+(c ?1)x 2+(b+3)x+d ,则(a,b.c,d)=

6.已知

1a ≤≤

||x =的相异实根的个数是 . 7.整数()8182004736+的个位数是 .

8.已知数列{a n }满足a 1=l,a 2=2,且2132n n n a a a ++=-,则2004a = .

9.在n×n 的正方格中,任意取得的长方形(长方形的边与正方格的边平行或重合)是正方形的概率是 .

10.已知67xyzabc abcxyz =,则xyzabc = .

二、解答题(本大题共60分)

1.已知矩形的长、宽分别为a 、b,现在把矩形翻折,使矩形的对顶点重合,求所得折痕的长.

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第 4 页 共 75 页 2.某二项式展开式中,相邻a(a≥3,a ∈N+)项的二项式系数之比为1:2:3:?:a,求二项式的次数与a 的值,以及各项的二项式系数.

3.已知f(x)=432(58)69ax x a x x a ++-+- ,证明:

(1)恒有实数x,使f(x)=0,

(2)存在实数x ,使f(x)的值恒不为0.

4.已知f 1(x )=

11x x -+ ,对于一切正整数n ,都有11()[()],n n f x f f x += 且366()()f x f x =,求28()f x .

5.对于两条垂直直线和一个椭圆,已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切,求椭圆中心的轨迹.

6.已知{n a }是公差为6的等差数列,11n n n b a a ++=-(n ∈N+).

(l)用a 1、b 1、n 表示数{n a }的通项公式;

(2)若a 1=b 1=a ,a ∈[27,33],求a n 的最小值及取最小值时n 的值.

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第 5 页 共 75 页 2005年名牌大学自主招生考试试题(l)

适用高校:复旦大学

一、填空题(每题5分,共50分)

1.已知集合A=22{|log (1)0,}x x x x R -->∈,B=1{|221,}x x x x R -->∈,则A R eB= .

2.设数x 满足x +1x =?1,则3003001x x

+= . 3.圆ρ

=θ?5cos θ的圆心的极坐标为 ,其中[0,2)θπ∈.

4.设抛物线y=2x 2+2ax+a 2与直线y=x+1交于A ,B 两点, 当|AB|最大时,a = .

5

.计算:n →∞= . 6.化简:l+3+6+…+(1)2

n n += . 7.一个班有20个学生,其中有3个女生,抽4个人去参观展览馆,恰好抽到l 个女生的概率为 .

8.写出31000在十进制中的最后4位 .

9.设定义在R 上的函数f(x)满足f(x)+220021x f x +??

?-??=4015?x(x≠1), 则f(2004)= . 10.函数y =1sin 2cos x x

++的最大值是 . 二、解答(本大题共70分)

1.在四分之一个椭圆22

221(0,0,,0)x y x y a b a b

+=>>>上取一点P,使过点P 椭圆的切线与坐标轴所成的三角形的面积最小.

2.在ABC ?中,已知tan :tan :tan 1:2:3A B C =,求

AC AB

.

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第 6 页 共 75 页 3.在单位正方体ABCD ?1111A B C D 中, E 、F 、G 分别是AD 、A 1A 、1A 1B 的中点,求:

(l)点B 到面EFG 的距离;(2)二而角G ?EF ?1D 的平面角θ.

4

=3的实数根.

5.

已知sin cos (0a a αα+=≤≤,求sin cos n n

αα+关于a 的表达式.

6.设直线l 与双曲线xy=l 交于P 、Q 两点,直线l 与x 轴交于点A,与y 轴交于点B,求证:|AP|=|BQ|.

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第 7 页 共 75 页 7.已知定义在R 上的函数f(x)=442x x +,121n n S f f f n n n -??????=+++ ? ? ???

???? ,n=1,2,3?, (1)求S n ;(2)是否存在常数M>0对,对任意2n ≥,有

231111n M S S S ++++≤ ?

2005年名牌大学自主招生考试试题(2)

适用高校:上海交通大学

一、填空题(每题5分,共50分)

1.已知方程2212x px p

--=0(p R ∈)的两根12,x x

满足44122x x +≤,则p= . 2.设8841sin cos ,0,1282x x x π??+=∈ ???

,则x= . 3.已知,n Z ∈且1200411112004n n +????+=+ ? ?????,则n= .

4.如图,将3个12cm×12cm 的正方形沿邻边的中点剪开,分成两部分,将这6部分接在一个边长为

6的正六边形上,若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图.则该多面体的体积为 .

第4题图

5,,x y Q =∈则(x,y)= .

6.化简:()()122222246812n n +-+-++- = .

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第 8 页 共 75 页 7,若3z =1,且z ∈C ,则3z +22

z +2z+20= .

8.一只蚂蚁沿l×2×3立方体表面爬,从一条对角线一端爬到另一端所爬过的最短距离为 .

9. 4封不同的信放人4个写好地址的信封中,全装错的概率为 ,恰好只有一封信装错的率为 .

10.已知等差数列{a n }中,a 3+a 7+a 11+a 19=44,则a 5+a 9+a 16=

二、解答题(本大题共50分)

1.已知方程x 3+ax 2+bx +c =0的三根分别为a 、b 、c ,且a 、b 、c 是不全为零的有理数,求a 、b 、c 的值.

2.是否存在三边为连续自然数的三角形,使得

(l)最大角是最小角的两倍?

(2)最大角是最小角的三倍?

若存在,分别求出该三角形;若不存在,请说明理由.

3.已知函数y=2281

ax x b x +++的最大值为9,最小值为1.求实数a 、b 的值

4.已知月利率为y,采用等额还款方式,若本金为1万元,试推导每月等额还款金额m 关于y 的函数关系式(假设贷款时间为2年).

5.对于数列{}n a :1,3,3,3,5,5,5,5,5,?, 即正奇数k 有k 个·是否存在整数r ,s ,t ,使得对于任意正整数n,

都有n a r t =+恒成立([x]表示不超过x 的最大整数)?

2006年名牌大学自主招生考试试题(l)

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第 9 页 共 75 页

适用高校:复旦大学

选择题(共150分,每题5分,答对得5分,答错例扣2分,不答得0分)

1.在(x 2?

1x

)10

的展开式中系数最大的项是_____. A .第4、6项 B .第5、6项 C .第5、7项 D .第6、7项

2.设函数y=? (x)对一切实数x 均满足? (5+x)=?(5?x),且方程? (x)=0恰好有6个不同的实根,则这6个实根的和为____.

A .10

B .12

C .18

D .30 3.若非空集合X={x |a+1≤x≤3a?5},Y={x |1≤x≤16},则使得X ?X ∪Y 成立的所有a 的集合是_____.

A .{a |0≤a≤7}

B .{a |3≤a≤7}

C .{a |a≤7}

D .空集 4.设z 为复数,E={z |(z ?1)2=|z ?1|2},则下列_ __是正确的 A .E={纯虚数} B .E={实数} C .{实数}?

E ?{复数} D .E={复数}

5.把圆x 2

+(y ?1)2

=1与椭圆x 2

+2

(1)9

y +=1的公共点,用线段连接起来所得到的图形为_____.

A .线段

B .等边三角形

C .不等边三角形

D .四边形

6.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,若

1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小是___.

A .60°

B .75°

C .90°

D .105°

A .58

B .60

C .62

D .64

8.若向量a +3b 垂直于向量7a ?5b ,并且向量a ?4b 垂直于向量7a ?2b ,则向量a 与b

的夹角为

___ ___.

A .

2π; B .3π; C .4π; D

.6

π. 9.复旦大学外语系某年级举行一次英语口语演讲比赛,共有十人参赛,其中一班有三位,二班有两

位,其它班有五位.若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班的三位同学恰好演讲序号相连.问二班的两位同学的演讲序号不相连的概率是____.

A .

120 B .140

C .160

D .190

10.已知sin α,cos α是关于x 的方程x 2?αx+α=0的两个根,这里α∈R.则3

sin α+3cos α=___.

A .?1

B .

C .?

D .2

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第 10 页 共 75 页 11.设z 1,z2为一对共轭复数,如果|z 1?z 2

122

z z 为实数,那么|z 1|=|z 2|=____. A

B .2

C .3 D

12.若四面体的一条棱长是x ,其余棱长都是1,体积是V(x),则函数V(x)在其定义域上为____.

A .增函数但无最大值

B .增函数且有最大值

C .不是增函数且无最大值

D .不是增函数但有最大值

13.下列正确的不等式是____.

A .

16<120k =; B .

18<1201

k =; C .

20<120

k =; D .

22<1201k =14.设{αn }是正数列,其前n 项和为S n ,满足:对一切n ∈Z +,αn 和2的等差中项等于S n 和2的等比中项,则lim n x n

→∞α=______. A .0 B .4 C .12 D .100

15.已知x 1,x 2是方程x 2?(α?2)x+(α2+3α+5)=0(α为实数)的两个实根,则x 12+x 22的最大值为______.

A .18

B .19

C .20

D .不存在

16

.条件乙:sin 2

θ+cos 2θ=α.则下列________是正确的. A .甲是乙的充分必要条件 B .甲是乙的必要条件

C .甲是乙的充分条件

D .甲不是乙的必要条件,也不是充分条件

17.已知函数?(x)的定义域为(0,1),则函数g(x)= ?(x+c)+?(x?c)在0

时的定义域为____. A .(?c,1+c); B .(1?c,c); C .(1+c,?c); D .(c,1?c);

18.函数

____.

A .y min =54-

,y max =54; B .无最小值,y max =54

; C .y min =54-,无最大值 D .既无最小值也无最大值 19.等差数列{αn }中,α5<0,α6>0且α6>|α5|,S n 是前n 项之和,则下列___是正确的.

A .S 1,S 2,S 3均小于0,而S 4,S 5,…均大于0

B .S 1,S 2,…,S 5均小于0,而S 6,S 7,…均大于0

C .S 1,S 2,…,S 9均小于0,而S 10,S 11,…均大于0

D .S 1,S 2,…,S 10均小于0,而S 11,S 12,…均大于0

20.已知角θ的顶点在原点,始边为x 轴正半轴,而终边经过点

Q(y),(y≠0),则角θ的终边所在的象限为___.

A .第一象限或第二象限

B .第二象限或第三象限

C .第三象限或第四象限

D .第四象限或第一象限

21.在平面直角坐标系中,三角形△ABC 的顶点坐标分别为A(3,4),B(6,0),C(?5,?2),则∠A 的平分线所在直线的方程为_____.

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第 11 页 共 75 页 A .7x ?y ?17=0; B .2x+y+3=0; C .5x+y ?6=0; D .x ?6y=0.

22.对所有满足1≤n≤m≤5的m ,n ,极坐标方程11cos n m C θ

ρ=-表示的不同双曲线条数为_____. A .6 B .9 C .12 D .15

23.设有三个函数,第一个是y=?(x),它的反函数就是第二个函数,而第三个函数的图像与第二个函数的图像关于直线x+y=0对称,则第三个函数是______.

A .y=??(x);

B .y=??(?x);

C .y=???1(x);

D .y=???1(?x);

24.设?(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数,且是偶函数.已知当x ∈[2,3]时,?(x)=x ,则当x ∈[?2,0]时,?(x)的解析式为_____.

A .x+4;

B .2?x;

C .3?|x+1|;

D .2+|x+1|.

25.已知α,b 为实数,满足(α+b )59=?1,( α?b)60=1,则α59+α60+b 59+b 60=_____.

A .?2

B .?1

C .0

D .1

26.设αn 是(2

n

的展开式中x 项的系数(n=2,3,4,…),则极限2323222lim()n

x n →∞+++ααα…=________. A .15 B .6 C .17 D .8

27.设x 1,x 2∈(0,

2π),且x 1≠x 2,不等式成立的有 (1)1

2

(tanx 1+tanx 2)>tan 122x x +; (2) 12(tanx 1+tanx 2)sin 122x x +; (4) 12(sinx 1+sinx 2)>sin 122

x x + A .(1),(3) B .(1),(4) C .(2),(3) D .(2),(4)

28.方程?(x)=213222123333235

x x x x x x x x x ---------=0的实根的个数为_______.

A .1个

B .2个

C .3个

D .无实根

29.如图所示,半径为r 的四分之一的圆ABC 上,分别以AB 和AC 为直径作两个半圆,分别标有α的阴影部分面积和标有b 的阴影部分面积,则这两部分面积α和b 有_____.

A .α>b

B .α

C .α=b

D .无法确定

C

B A b

a

30.设a ,b 是不共线的两个向量.已知PQ =2a +k b ,QR =a +b ,RS =2a ?3b .若P ,Q ,S 三点共线,则k 的值为_____.

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第 12 页 共 75 页 A .?1; B .?3; C .43-; D .35

-;

2006年名牌大学自主招生考试试题(2)

适用高校:上海交通大学

一、填空题(每题5分,共50分) 1.矩形ABCD 中,AD =a ,AB =b ,过A 、C 作相距为h 的平行线AE 、CF ,则

AF =____.

2.一个正实数与它的整数部分,小数部分成等比数列,那么这个正实数是_________.

3.2005!的末尾有连续________个零.

4.210(2)x x -+展开式中,3x 项的系数为__________.

5.在地面距离塔基分别为100m 、200m 、300m 的A 、B 、C 处测得塔顶的仰角分别为,,,90αβγαβγ++=?且,则塔高为______________.

6.三人玩剪子、石头、布的游戏,在一次游戏中,三人不分输赢的概率为_____________;在一次游戏中,甲获胜的概率为___________.

7

.函数23log ()(,1y x ax a =----∞在上单调递增,则实数a 的取值范围是________.

8.51x ω=是的非实数根,2(1)(1)ωωω++=_____________.

9.2张100元,3张50元,4张10元人民币,共可组成_______种不同的面值.

10.已知2!(1)!(2)!

k k a k k k +=++++,则数列{}n a 前100项和为___________. 二、解答题(第11题8分,第12、13、14题每题10分,第15题12分) 11.a ,b ,c ∈R ,abc ≠0,b ≠c ,a (b -c)x 2+b (c -a )x +c (a -b )=0有两个相等根,求证:

111,,a b c 成等差数列.

12.椭圆2

221(1)x y a a

+=>,一顶点A (0,1),是否存在这样的以A 为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形,若存在,求出共有几个,若不存在,请说明理由.

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第 13 页 共 75 页

13.已知|z |=1,k 是实数,z 是复数,求|z 2+kz +1|的最大值.

14.若函数形式为(,)()()()(),(),()f x y a x b y c x d y a x c x =+其中为关于x 的多项式,(),()b y d y 为关于y 的多项式,则称(,)f x y 为P 类函数,判断下列函数是否是P 类函数,并说明理由.

(1) 1+xy ; (2) 1+xy+x 2y 2.

15.设3229,29270k x kx k x k ≥++++=解方程.

2006年名牌大学自主招生考试试题(3)

适用高校:北京大学

解答题(本大题共200分)

1.(本题20分)求和

(1)7+77+777+?+7

7777n

个 (2)2005+20052005+200520052005+?+200520052005n 个2005

2.(本题15分)试构造函数f(x)、g(x),使其定义域都为(0,1),值域都为[0,1],且

(1)对于任意[0,1],()a f x a ∈=只有一解;

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第 14 页 共 75 页 (2)对于任意[0,1],()a g x a ∈=有无穷多个解.

3.(本题15分)对于一个四位数,其各位数字至多有两个不相同,试求共有多少个这种四位数.

4.(本题15分)对于任意*n N ∈,12,,,n x x x 均为非负实数,且1212

n x x x +++≤ ,试用数学归纳法证明:121(1)(1)(1)2n x x x ---≥

成立.

5.(本题20分)求证:()()()()22220122n n n n n n n C

C C C C ++++=

6.(本题20分)当实数a 、b 满足何条件时,可使22122

x ax b x x ++<++恒成立?

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第 15 页 共 75 页

7.(本题20分)下列各式能否在实数范围内分解因式?若能,请作出分解;若不能,请说明理由.

(1)x +1;(2)21x x ++; (3) 321x x x +++;(4) 4321x x x x ++++.

8.(本题20分)解三角方程:asin(x +

4

π)=sin2x +9,其a 为实常数.

9.(本题20分)已知曲线C:2

214

x y +=, 曲线C 关于直线y=2x 对称的曲线为曲线C’,曲线C’与曲线C”关于直线y =?

12x+5对称,求曲线C’、C”的方程.

2006年名牌大学自主招生考试试题(4)

适用高校:清华大学

解答题(本大题共100分)

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第 16 页 共 75 页 1.(本题10分)求最小正整数n ,使得n i I )32121(+

=为纯虚数,并求出I .

2.(本题10分)已知b a 、为非负数,44,1M a b a b =++=,求M 的最值.

3.(本题10分)已知sin sin cos θαθ、

、为等差数列,sin sin cos θβθ、、为等比数列,求1cos 2cos 22

αβ-的值.

4.(本题10分)求由正整数组成的集合S ,使S 中的元素之和等于元素之积.

5.(本题15分)随机取多少个整数,才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数.

6.(本题15分)2y x =上一点P (非原点),在P 处引切线交x y 、轴于Q R 、,求

PQ PR .

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第 17 页 共 75 页

7.(本题15分)已知)(x f 满足:对实数b a 、有)()()(a bf b af b a f +=?,且1)(≤x f ,求证:)(x f 恒为零.

(可用以下结论:若M x f x g x ≤=∞→)(,0)(lim ,M 为一常数,那么0))()((lim =?∞

→x g x f x )

8. (本题15分)已知A 、B 、C 为ABC ?的三个内角,它们所对的边分别a 、b 、c,求证:

2cos cos 4sin 2

a A B C

b

c ++≥+. (在所有定周长的空间四边形ABCD 中,求对角线AC 和BD 的最大值,并证明?)

2007年名牌大学自主招生考试试题(2)

适用高校:复旦大学

选择题(每题5分,共150分,答对得5分,答错扣2分,不答得0分)

1.三边均为整数,且最大边长为11的三角形,共有 个.

A.20

B.26

C.30

D.36

2.若a>1,b>1且lg(a+b)=lga+lgb ,则lg(a ?1)+lg(b ?1)= .

A.lg2

B.1

C.不是与a 、b 无关的常数

D.0

3.已知z ∈C ,若∣z ∣=2-4i ,则

z

1的值是 . A .3+4i B.i 5453+ C.i 154153+ D.i 25

4253- 4.已知函数f(x)=cos(x k 2316++π)+cos(x k 2316--)=23sin(x 23+π),其中x 为实数且k 为整数.则f(x)的最小正周期为 .

王老师精品讲义

第 18 页 共 75 页 A .3π B. 2

π C.π D.2π 5.已知A ={(x,y)∣y≥x 2},B={(x,y)∣x 2+(y ?a)2≤1}.则使A∩B =B 成立的充分必要条件为 . A.a=

45 B.a≥45 C.0

a ,连接A ,E 两点以及C ,D 两点.则AE 和CD 之间的最小夹角为 . A. 9πa B. 3πa C. 3

π D.以上均不对 7.已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4,(n≥1),且a 1=9, 其前n 项之和为S n ,则满足不等式∣S n ?n ?6∣<1251的最小整数是4

5 . A.

6 b.

7 C.

8 D.9

8.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使用一条棱的两端点异色,若只有五种颜色可供使用,则不同的染色方法的总数为 .

A.120

B.260

C.340

D.420

9.设甲乙两个袋子中装有若干个均匀白球和红球,且甲乙两个袋子中的球数比为1∶3.已知从甲袋中摸到红球的概率为

31,而将甲乙两个袋子中的球装在一起后,从中摸到红球的概率为32.则从乙袋中摸到红球率为 .

A .97 B. 4519 C. 30

13 D. 4522 10.方程f(x)=5

43423322212321

---------x x x x x x x x x =0 的实根的个数是 .

A .1个 B. 2个 C.3个 D.无实根

11.已知a,b 为实数,满足(a+b)59=?1,(a ?b)60=1,则

∑=-601)(n n n b a = . A.0121 B.?49 C.0 D.23

12.a=2

1是“直线(a+2)x+3ay+1=0与直线(a ?2)x+(a+2)y ?3=0相互垂直”的 . A.充分必要条件 B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

13.设函数y=f(x)对一切实数x 均满足f(2+x)=f(2?x),且方程f(x)=0恰好有7个不同的实根,则这7个不同实根的和为 .

A.0

B.10

C.12

D.14

14.已知α,β,γ分别为某三角形中的三个内角且满足tan 2β

α+=sinγ,则下列四个表达式:

(1)tan αt an β=1 (2)0

A.(1)(3)

B.(10(4)

C.(2)(3)

D.(2)(4)

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第 19 页 共 75 页 15.设S n =1+2+…+n,n ∈N.则∞→n lim 1

)32(2++n n S n nS = . A.2 B.

32

1 C. 161 D.64 16.复数z=i i a 212+-(a ∈R,i=1-)在复平面上对应的点不可能位于 . A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

17.已知f(x)=asinx+b 3x +4(a,b 为实数)且f [lg(lg 310)]=5,则f [lg(lg3)]= .

A.?5

B.?3

C.3

D.随a,b 取不同值而取不同值

18.已知四棱锥P -ABCD ,底面ABCD 是菱形,∠DAB =3

π,PD ⊥平面ABCD ,线段PD =AD ,点E 是AB 的中点,点F 是PD 的中点,则二面角P -AB -F 的平面角的余弦值= .

A .21 B. 552 C. 1475 D. 14

73 19.在(32-)50的展开式中有 项为有理数.

A.10

B.11

C.12

D.13

20.棱长为a 的正方体内有两球互相外切,且两球各与正方体的三个面相切.则两球半径之和为为 .

A .无法确定 B.a C.a 233- D.a 2

55- 21.在集合{1,2,…11}中任选两个作为椭圆方程122

22=+b

y a x 中的a 和b ,则能组成落在矩形区域{(x,y)||x |<11,|y |<9}内的椭圆个数是 .

A.70

B.72 c.80 D.88

22.设a,b,c 为非负实数,且满足方程02562684495495=+?-++++c b a c b a ,则a+b+c 的最大值和最小值 .

A.互为倒数

B.其和为13

C.其乘积为4

D.均不存在

23.给定正整数n 和正常数a ,对于满足不等式

a 12+a n+12≤a 的所有等差数列a 1,a 2,a 3,…,和式∑++=1211n n i a 的最大值= .

A .)1(210+n a B.n a 210 C.)1(25+n a D.n a 2

5 24.设z 0(z 0≠0)为复平面上一定点,z 1为复平面上的动点,其轨迹方程为|z 1?z 0|=|z 1|,z 为复平面上另一个动点满足z 1z=?1.则z 在复平面上的轨迹形状是 .

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第 20 页 共 75 页 A.一条直线 B.以0

1z -为圆心,01z 为半径的圆 C.焦距为0

12z 的双曲线 D.以上均不对 25.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a ,则这个球的体积为 . A.3123a π B.343a π C. 3242a π D. 324

3a π 26.已知函数f(x)的定义域为(0,2),则函数g(x)=f(x+c)+f(x ?c) 在 0<

21时的定义域为 . A.(1?c,2+c) B.(c,2?c) C.(1?c,2?c) D.(c,2+c)

27.设函数f(x)=sin(2x+?),(?π

π.则?的值为 . A. 4π

B. 43π

C.-4

3π D.2π 28.设f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数,且是偶函数.已知当x ∈[2,3]时,f(x)=?x,则当x ∈[-2,0]时,f(x)的表达式为 .

A .?3+|x+1| B.2?|x+1| C.3?|x+1| D.2+|x+1|

29.当a 和b 取遍所有实数时,则函数f(a,b)=(a+5?3|cosb |)2+(a ?2)|sinb |)2所能达到的最小值为 .

A.1

B.2

C.3

D.4

30.对任意实数x,y,定义运算x oy 为x oy =ax+by+cxy ,其中a,b,c 为常数,且等式右端中的运算为通常的实数加法、乘法运算.已知1o2=3,2o3=4且有一个非零实数d ,使得对于任意实数x 均有x od=x ,则d= .

A.-4

B.-2

C.1

D.4

2007年上海交通大学冬令营数学试题

90分钟答题时间

填空题(每小题5分,共50分)

1. 设函数()f x 满足()()232361f x f x x +-=+,则()f x =_______________.

2. 设,,a b c 均为实数,且364a b ==,则11a b

-=_______________. 3. 设0a >且1a ≠,则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为_______________.

4. 设扇形的周长为6,则其面积的最大值为_______________.

5. 11!22!33!!n n ?+?+?++?= _______________.

6. 设不等式()()11x x y y -≤-与22

x y k +≤的解集分别为M 与N .若M N ü,则k 的最小值为

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第 21 页 共 75 页 _______________.

7. 设函数()x f x x

=,则()()()21123n S f x f x nf x -=+++= _______________. 8. 设0a ≥,且函数()()()cos sin f x a x a x =++的最大值为

252,则a =_______________. 9. 6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考,考生答完试卷的先后次序不定,且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为_______________.

10. 已知函数()1211

x f x x -=+,对于*n N ∈定义()()()11n n f x f f x +=,若()()355f x f x =,则()28f x =_______________.

计算与证明题(每小题10分,共50分)

11. 工件内圆弧半径测量问题.为测量一工件的内圆弧半径R ,工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ,试写出R 用h 表示的函数关系式,并计算当10r mm =,4h mm =时,R 的值.

h

12. 设函数()sin cos f x x x =+,试讨论()f x 的性态(有界性、奇偶性、单调型和周期性),求其极值,并作出其在[]0,2π内的图像.

13. 已知线段AB 长度为3,两端均在抛物线2x y =上,试求AB 的中点M 到y 轴的最短距离此时M 点的坐标.

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/zi0q.html

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《2004-2013北大清华等自主招生考试数学试题汇编(word)(无答案).doc》
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