辽宁省重点高中协作体2011年高考夺标预测试卷03数学

辽宁省重点高中协作体 2011年高考夺标预测试卷（三）

数学[内部资料]

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项

是符合题目要求的.

1．若集合A?{x|?2?x?3},B?{x|x??1或x?4},则集合A?B等于

A．{x|x?3或x?4} C．{x|3?x?4}

B．{x|?1?x?3} D．{x|?2?x??1}

（ ） （ ）

2．复数Z满足条件Z?|Z|?2?i,则Z是

A．?3333?i B．?i C．??i D．?i 44443．已知一空间几何体的三视图的如右图所

示，它的表面积是 （ ）

A．2 C．3

B．3 D．4

4． 给出下面四个函数，其中既是区间给出下面四个函数，其中既是区间（0，

?上的增函数又是以2?为周期的偶函数的函数是

A．y?tan2x

（ ）

B．y?sinx C．y＝cos2x D．y?cosx

5．把函数Ⅰy?sin(?x??)?(??0,|?|??)的图象向左平移

?个单位，再将图象上所有点的横6坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得图象的解析式是y?sinx,则（ ）

A．??2,???6 B．??2,????3 C．??1?1?,?? D．??,??? 26212 D．30°

（ ）

6．已知△ABC中，a?

A．135°

2,b?3,B?60?，那么角A等于

B．90°

C．45°

7．已知四边形ABCD的三个顶点A（0，2），B（—1，—2），C（3，1），且BC?2AD，则顶点D

的坐标为

A．?2,?

B．?2,??

D．（1，3）

（ ）

??7?2???1?2?C．（3，2）

8． 某体育彩票规定：从01号到36号中任意抽取7个构成一注。某人要求从01号到10号中任意抽

取2个连续的号，从21号到30号中任意抽取1个号，从31号到36号中任意抽取1个号，形成一注，那么此人采用的抽样方法是

A．简单随机抽样 C．系统抽样

B．分层抽样 D．抽签法

（ ）

9．设x?(0,?),则函数y?

A．2

sinx2?的最小值是 2sinx9 4C．

（ ）

B．

5 2D．3

（ ）

10．已知二面角??l??,直线m??,直线n??,且m,n均不与l垂直，则

A．m、n不可能垂直，但可能平行 C．m、n可能垂直，也可能平行

B．m、n可能垂直，但不可能平行

D．m、n不可能垂直，也不可能平行

（ ）

x2y211．方程??1表示双曲线，则k的取值范围是

|k|?24?k

A．k?2或k?5 C．k?5或?2?k?2

B．2?k?5 D．k?5或k?2

x2y212．已知点F1、F2分别是双曲线2?2?1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交

ab于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是

A．（1，+?）

B．(1,3)

（ ）

C．(2?1,1?2) D．(1,1?2)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。 13．函数y?sin(?4?2x)的单调递增区间 ，

14．如图是根据2008年北京奥运会上甲、乙两篮球运动员每场比赛的得分情况制作成的茎叶图，则

甲、乙两位运动员中发挥得比较稳定的一位运动员是 ，

15．13阅读图4的程序框图，若输入m?4,n?3,则输出a= ，i= 。（注：

框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”）

16．一个骰子连续投2次，点数和为4的概率 。 三、解答题（本题共6小题，共74分） 17．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?cos(2x??3)?2sin(x??4)sin(x??4)

（1）求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程 （2）求函数f(x)在区间[?

18．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

若E、F分别为PC、BD的中点。 （1）求证：EF//平面PAD； （2）求证：EF⊥平面PDC；

,]上的值域

1212??2AD,2

19．（本小题满分12分）已知数列{an}的首项a1?（1）求数列{an}的通项公式；

1,前n项和Sn?n2an(n?1). 2Sn?1n2. （2）设b1?0,bn?(n?2),Tn为数列{bn}的前n项和，求证：Tn?n?1Sn

20．（本小题满分12分）

在△ABC中，a，b，c分别为A、B、C的对边，a?c?b?积为6，D为△ABC内任意一点，点D到三边距离之和为d。 （1）求角A的正弦值； （2）求边b、c； （3）求d的取值范围。

2228bc,a?3，?ABC 的面5

21．（本小题满分12分）

设函数f(x)?a332x?x?(a?1)x?1,其中a为实数。 32（1）已知函数f(x)在x?1处取得极值，求a的值；

（2）已知不等式f(x)?x2?x?a?1对任意a?(0,??)都成立，求实数x的取值范围。

22．（本小题满分14分）

已知椭圆C的中心坐标在原点，焦点在x同上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1。

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l:y?kx?m与椭圆C相交于A、B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径

的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标 。

数学试题（三）参考答案

一、1—5 DDDBB 二、13．[

6—10 CABCA 11—12 CD

3?7??k?,?k?](K?Z) 8815．12，3

16．

14．甲

1 12三、17．解：

（1）∵f(x)cos(2x??3)?2sin(x??4sin(x??4))

=

13cos2x?sin2x?(sinx?cosx)(sinx?cosx) 2213cos2x?sin2x?sin2x?cos2x 2213cos2x?sin2x?cos2x 22 =

=

=sin(2x??6)

∴周期T?2??? 2 （2）∵x?[?

??5?,],?2x??[?,] 122636?6)在区间[?,]上单调递增，

123??因为f(x)?sin(2x?在区间[??

??,]上单调递减， 32

所以，当x??3时，f(x)取最大值1

又?f(??12)??3?1?f()?, 2223 2

∴当x???12时，f(x)取最小值?

所以函数f(x)在区间[?3,]上的值域为[?,1] 1222??18．证明：

（Ⅰ）连接AC，则F是AC的中点，在△CPA中，EF∥PA??????????3分

且PC?平面PAD，EF?PAD，

∴EF∥平面PAD????????????????????????????6分

（Ⅱ）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，又CD⊥AD，

∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA??????????????????????8分 又PA=PD=

?2AD，∴△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=

22即PA⊥PD??????????????????????????????10分 而CD∩PD=D，∴PA⊥平面PDC，又EF∥PA，∴EF⊥平面PDC??????12分

19．（I）由a1?

1,Sn?n2an, ① 2?Sn?1?(n?1)2an?1, ②

①-②得：an?Sn?Sn?1?n2an?(n?1)2an?1, 即

ann?1?(n?2) an?1n?1 ??anaaaa?n?n?1?3?2 a1an?1an?2a2a1n?1n?2212 ????n?1n43n(n?1)1

n(n?1)n, n?1

?an? （II）?Sn?

?bn?Sn?11?1?2(n?2), SnnTn?b1?b2???bn

111?n?(2?2???2)

12n

1n2?n?(1?)?

n?1n?1n2. 故Tn?n?1222

8bcb2?c2?a2443???cosA??sinA? 20．解：（1）a?c?b?52bc555 （2）?S?ABC?

113bcsinA?bc??6, 225?bc?20

b2?c2?a24?及bc=20与a=3 由

2bc5

解得b=4,c=5或b=5,c=4

（3）设D到三边的距离分别为x、y、z

则S?ABC?1(3x?4y?5z)?6 2121?(2x?y) 55

d?x?y?z?

?3x?4y?12,?又x、y满足?x?0,

?y?0,?画出不等式表示的平面区域得：

12?d?4 521．解：（1）f?(x)?ax2?3x?(a?1)

由于函数f(x)在x?1时取得极值， 所以f?(1)?0

即a?3?a?1?0,?a?1

（2）方法一

由 题设知：ax2?3x?(a?1)?x2?x?a?1 对任意a?(0,??)都成立

即a(x?2)?x?2x?0对任意a?(0,??)都成立 设g(a)?a(x?2)?x??2x(a?R)， 则对任意x?R,g(a)为单调递增函数(a?R)

所以对任意a?(0,??),g(a)?0恒成立的充分必要条件是g(0)?0 即?x?2x?0,??2?x?0 于是x的取值范围是{x|?2?x?0} 方法二

由题设知：ax?3x?(a?1)?x?x?a?1 对任意a?(0,??)都成立 即a(x?2)?x?2x?0 对任意a?(0,??)都成立

222222222x2?2x于是a?2对任意a?(0,??)都成立，

x?2x2?2x?0 即2x?2??2?x?0

于是x的取值范围是{x|?2?x?0}

x2y222．解：（I）由题意设椭圆的标准方程为2?2?1(a?b?0)

ab

由已知得：a?c?3,a?c?1,

?b2?a2?c2?3.

x2y2?1 ?椭圆的标准方程为?43 （II）设A(x1,y1),B(x2,y2),

?y?kx?m,?联立?x2 y2?1.??3?4得(3?4k2)x2?8mkx?4(m2?3)?0,

????64m2k2?16(3?4k2)(m2?3)?0，即3?4k2?m2?0，则?8mk?x?x?? ?1223?4k??4(m2?3)?x1?x2?3?4k2?3(m2?4k2)又y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?mk(x1?x2)?m?

3?4k222

因为以AB为直径的圆过椭圆的右焦点D（2，0） ∴kADkBD??1，即y1y?2??1 x1?2x2?2∴y1y2+ x1x2-22(x1?x2)?4?0

3(m2?4k2)4(m2?3)16mk???4?0, ∴2223?4k3?4k3?4k∴9m?16mk?4k?0 解得：

22m1??2k,m2??2k,且均满足3?4k2?m2?0 7当m1?2k时，l的方程为y?k(x?2)，直线过定点（2，0）与已知矛盾； 当m2??2k22时，l的方程为y?k(x?)，直线过定点（，0） 7772，0） 7

所以，直线l过定点，定点坐标为（

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