抛物线焦点弦的弦长公式 2

关于抛物线焦点弦的弦长公式补充

(1)已知：抛物线的方程为

y2?2px(p?0)，过焦点F的弦AB交抛物线于A B两点，

且弦AB的倾斜角为?，求弦AB的长。 解：由题意可设直线AB的方程为y?k(x?p?)(??)将其代入抛物线方程整理得：

224k2x2?(4pk?8p)x?12pk122?0 ，且k?tan?

?pk?2p，

x2设A,B两点的坐标为(x,y),(x,y) 则：x?x2212k21x2?p42

|AB|?1?k2(x1?x2)2?4x1x2?2p(sin?)2

当???2时，斜率不存在，sin??1，|AB|=2p.即为通径

而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。 现在我们来探讨这个问题。

(2)已知：抛物线的方程为

x2?2py(p?0)，过焦点的弦AB交抛物线于A,B两点，

直线AB倾斜角为?，求弦AB的长。

解：设A,B的坐标为(故AB的方程为y?x1,y),(x2,y)，斜率为k(k?tan?)，而焦点坐标为(0,)，

12p2p?kx，将其代入抛物线的方程整理得： 22x2?2pkx?p?0,从而x1?x2?2pk,x1x2??p，

22弦长为：|AB|?1?k(x1?x2)2?4x1x2?2p(cos?)2

??0,cos??1,|AB|?2p，即为通径。

而

y2??2px与（1）的结果一样，x??2py与（2）的结果一样，但是（1）与（2）

2的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。现将改动陈述于下：

（3）已知：抛物线的方程为

y2?2px(p?0)，过焦点F的弦AB交抛物线于A ，B

两点，且弦AB与抛物线的对称轴的夹角为?，求弦AB的长。

解：由题意可设直线AB的方程为y?k(x?p? )(??)将其代入抛物线方程整理得：

224k若倾斜角??若倾斜角??2x2?(4pk?8p)x?2pk22?0 ，

?2，则???,k?tan??tan?；

?2,则?????,k?tan??tan(???)。

设A,B两点的坐标为(则：

x,y),(x,y)

112221x?x12?2pk?2p，

x2kx2?2p42

|AB|???1?k(x1?x2)2?4xx12421?(tan2p?)(pk?2p)k2?pk24

(sin?)2而sin??sin?,sin(???)?sin?，故|AB|?2p(sin?)2；

当??而

?2时，sin??1，|AB|=2p.即为通径。

y2??2px与（3）的结果一样

同理：（4）已知：抛物线的方程为

x22?2py(p?0)，过焦点的弦AB交抛物线于A,B

两点，直线AB与抛物线的对称轴的夹角为?，求弦AB的长。

解：设A,B的坐标为(x,y),(x,y)，若倾斜角为?，斜率为k，

112则k?tan?，而焦点坐标为(0,故AB的方程为y?p)， 2p?kx，将其代入抛物线的方程整理得： 22x2?2pkx?p2?0,从而x1?x2?2pk,x1x2??p，

2弦长为：|AB|?1?k当倾斜角??当倾斜角??(x1?x2)?2?4x1x2?2p(cos?)2

?2，则????,cos??cos(??)?sin?； 22??2,则?????,cos??cos(??)??sin? 22?所以|AB|?2p(sin?)2恒成立。

当??而

?2时，sin??1，|AB|=2p.即为通径。

x2??2py与（4）的结果一样。

故只要直线AB与抛物线的对称轴的夹角为?，那么不论抛物线的开口向上，向下，向左还是向右，过焦点的弦的弦长都可以用一个公式表示，即|AB|?2p(sin?)2。这个公式

包含了抛物线的四种开口形式，没有了因为开口不同而导致的公式不同，便于记忆，便于应用，是一个很好的弦长公式，这里推荐给大家使用。

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