第11章 麦克斯韦方程组

大学物理第十一章

第 11 章

麦克斯韦方程组

麦克斯韦提出两点假设： 麦克斯韦提出两点假设： (1)变化的电场(即位移电流)激发磁场； )变化的电场(即位移电流)激发磁场； (2)变化的磁场也会激发(涡旋)电场。 )变化的磁场也会激发(涡旋)电场。 所以随时间变化的电场和磁场，相互激发， 所以随时间变化的电场和磁场，相互激发， 相互制约，不可分割，形成了统一的电磁场。 相互制约，不可分割，形成了统一的电磁场。 本章提要： 本章提要： 1、麦克斯韦方程组； 2、电磁波的性质、电磁波的能量。

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§11-1 麦克斯韦方程组 §11-2 电磁波 电磁波的能量

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§11-1 麦克斯韦方程组真空中，静电场和恒定(稳恒)磁场的基本规律， 真空中，静电场和恒定(稳恒)磁场的基本规律， 可归纳为如下四个方程： 可归纳为如下四个方程： 静电场的高斯定律： 静电场的高斯定律： 静电场的环路定理： 静电场的环路定理： 稳恒磁场的高斯定律： 稳恒磁场的高斯定律：

∫ E dS = ε ∑qS 0

1

int

∫ E dr = 0 ∫ B dS = 0L S

稳恒磁场的安培环路定理： 稳恒磁场的安培环路定理：

∫ B dr = ∑IL 0

int

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麦克斯韦总结了电磁现象的实验规律， 麦克斯韦总结了电磁现象的实验规律，提出了 位移电流” 感生电场”两个基本假说： “位移电流”和“感生电场”两个基本假说： 1、变化的电场产生位移电流 、

dE Jd = ε0 dt

dΦe E dS Id = ε0 = ε0 ∫ S t dt

2、变化的磁场产生感生电场 、

B ∫L Ei dr = ∫S t dS将静电场和稳恒磁场的方程进行补充和推广， 将静电场和稳恒磁场的方程进行补充和推广，导 出了电磁场所满足的基本方程——麦克斯韦方程组， 麦克斯韦方程组， 出了电磁场所满足的基本方程 麦克斯韦方程组 建立了电磁场理论，并预言了电磁波的存在。 建立了电磁场理论，并预言了电磁波的存在。

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真空中，麦克斯韦方程组的积分形式： 真空中，麦克斯韦方程组的积分形式：

(1)

(2)(3)

(4)

式中的 E 为电荷激发的电场和变化磁场激发的感 生电场的总电场； 生电场的总电场；式中的 B 为传导电流和位移电流 变化电场)激发的总磁场。 (变化电场)激发的总磁场。

dΦe ∫LB dr = 0 (Ic +ε0 dt ) E = 0 (Ic +ε0 ∫ dS) S t

∫ E dS = ε ∫ B dS = 0 B ∫ E dr = ∫ t dSS 0

q

S

L

S

c=

1

0ε0

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(1)式是电场的高斯定律，它说明电场强度和电 )式是电场的高斯定律， 荷的关系； 荷的关系； (2)式是磁场的高斯定律，即磁通连续定理； )式是磁场的高斯定律，即磁通连续定理； (3)式是法拉第电磁感应定律的推广，它说明变 )式是法拉第电磁感应定律的推广， 化的磁场和电场

的联系； 化的磁场和电场的联系； 4)式是全电流的安培环路定理， (4)式是全电流的安培环路定理，它说明磁场和 电流、变化的电场的联系。 电流、变化的电场的联系。 麦克斯韦方程组说明了运动电荷产生的电磁 场和电磁场的运动变化规律。 场和电磁场的运动变化规律。 电磁场对运动电荷的作用， 电磁场对运动电荷的作用，应由洛仑兹力来 表示： 表示：

F = qE + qv × B

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麦克斯韦电磁场理论最显著的成功是： 麦克斯韦电磁场理论最显著的成功是： 由于变化电场可产生右旋的磁场； 由于变化电场可产生右旋的磁场；变化的磁场能 产生反右旋(左旋)的电场。 产生反右旋(左旋)的电场。这种变化的电磁场将以 波动形式向外传播——即预言了电磁波的存在。 即预言了电磁波的存在。 波动形式向外传播 即预言了电磁波的存在 二十年后，赫兹用实验证实了此预言。 二十年后，赫兹用实验证实了此预言。

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§11-2 电磁波 电磁波的能量一、电磁波的形成天线

磁场 电场 磁场

电场

磁场 电场

磁场

电场

磁场

电荷沿天线上下振荡， 电荷沿天线上下振荡，在其周围将产生变化的磁 这变化的磁场又将在较远的空间产生变化的电场， 场，这变化的磁场又将在较远的空间产生变化的电场， 变化的电场与变化的磁场相互激发、交替产生， 变化的电场与变化的磁场相互激发、交替产生，以有 限的速度由近及远向四周传播。 限的速度由近及远向四周传播。这种变化的电磁场在 空间的传播过程称为电磁波。 空间的传播过程称为电磁波。

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二、电磁波的性质 相互垂直， 1、电磁波的电矢量 E 和磁矢量 B 相互垂直，且与 传播方向垂直。 说明电磁波是横波。 传播方向垂直。 说明电磁波是横波。 的方向总是沿着传播方向。 E × B 的方向总是沿着传播方向。 沿给定方向传播的电磁波， 2、沿给定方向传播的电磁波，E 和 B分别在各自的平 面上振动。这一特性称为电磁波的偏振性。 面上振动。这一特性称为电磁波的偏振性。

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3、在空间任何地点、任何时刻，E和 B同位相，即二 、在空间任何地点、任何时刻， 同位相， 者的变化步调一致。 者的变化步调一致。 的大小关系为： E 和 B 的大小关系为： B = E / c 4、电磁波在真空中的传播速度为： c = 、电磁波在真空中的传播速度为： 它等于光在真空中的传播速度。 它等于光在真空中的传播速度。

1

ε00

据此，麦克斯韦 年大胆预言， 据此，麦克斯韦1865年大胆预言，光波是一种电磁波。 年大胆预言 光波是一种电磁波。

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三、电磁波的能量 电磁波的传播将有相应的电磁能量的传递，能量 电磁波的传播

将有相应的电磁能量的传递， 的传播方向就是电磁波的传播方向。 的传播方向就是电磁波的传播方向。 1、电磁波的能量密度 在电磁学里，电场和磁场的能量密度分别为： 在电磁学里，电场和磁场的能量密度分别为：

1 2 we = ε0E 2电磁场的总能量密度为： 电磁场的总能量密度为：

B2 wm = 202

1 B 2 2 w = we + wm = ε0E + = ε0E 2 20

B = E/ cc= 1

ε00

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2、电磁波的能流密度 S 、 电磁波的能流密度： 电磁波的能流密度： 单位时间通过垂直于传播 方向、单位截面的电磁波的能量。 方向、单位截面的电磁波的能量。 为垂直于传播方向的一个面元， 设dA 为垂直于传播方向的一个面元，在dt 时 间内通过此面元的能量，应是底面积为dA,厚度为 间内通过此面元的能量，应是底面积为 ， cdt 的柱形体积内的能量： 的柱形体积内的能量：

w(dA cdt) EB 2 S= = cw = cε0E = dAdt 0写成矢量形式： 写成矢量形式： S = E × B0

1

电磁波的能流密度矢量 S又叫 坡印亭矢量，它是表示电磁波性质 ， 的一个重要的物理量。 的一个重要的物理量。

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3、电磁波的强度 I 、 都随时间变化， 由于 E和 B都随时间变化，所以在许多实际问题中 更需要考虑的是一个周期内能流密度S 的平均值。 更需要考虑的是一个周期内能流密度 的平均值。 对于平面简谐电磁波： 对于平面简谐电磁波：

坡印亭矢量的瞬时值为： 坡印亭矢量的瞬时值为：

r E = E0 cosω(t ) c r E0 r B = B0 cosω(t ) = cosω(t ) c c c

E r 2 S= = cos ω(t ) c 0 c0 EB平均能流密度(电磁波的强度) 平均能流密度(电磁波的强度)为：

2 0

E0 1 2 I =S = = cε0E0 2c0 2

2

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例1:有一脉冲强激光束，携带的总能量为 = 100J, :有一脉冲强激光束，携带的总能量为W , 持续时间t 持续时间 = 10 ns,激光束的截面半径 = 1 cm,求这 ，激光束的截面半径r , 一激光束中的电场振幅 E0 和磁场振幅 B0 。 由定义，激光束的强度(平均能流密度) 解： 由定义，激光束的强度(平均能流密度)为：

W 13 2 S = 2 = 3.3×10 W/m πr t 1 2 由：S = cε0E0 2 2S 得： 0 = E =1.6×108 V /m cε0 E0 = 0.53 T B0 = c

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例2:图中表示一正在充电的平行板电容器。电容 ：图中表示一正在充电的平行板电容器。 器圆形极板的半径为R,极板间的距离为b。 器圆形极板的半径为 ，极板间的距离为 。试计 算单位时间内进入电容器内部的总能量。 算单位时间内进入电容器内部的总能量。 充电时， 方向向下，且在增大， 解： 充电时，电场强度 E 方向向下，且在增大， 所以电容器中的位移电流方向向下， 所以电容器中的位移电流方向向下，产生的磁场 磁感应线是顺时针的(俯视)。 磁感应线是顺时针的(

俯视)。

S=

1

0

E× B

所以坡印亭矢量 S 指向 电容器内部。 电容器内部。

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由全电流定律： 由全电流定律：

d ∫LB dr = 0 (Ic +ε0 dt ∫SE dS)得电容器外缘处的磁感应强度为： 得电容器外缘处的磁感应强度为：

dE B 2πR = 0ε0 (πR ) dt2

B=S=

0ε0R dE2=

dt

EB

0

ε0R dE2 E dt

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S=

EB

0

=

ε0R dE2 E dt

单位时间内进入电容器内部的 总能量: 总能量

dE W = S 2πRb = πR ε0bE dt 2 2 d d ε0E d 2 ε0E ) = We = (πR b ) = (V dt dt 2 dt 22

即单位时间内进入电容器内部的总能量， 即单位时间内进入电容器内部的总能量，等于电容器 中储存的总的静电能随时间的变化率。 中储存的总的静电能随时间的变化率。 所以，根据电磁场的观点， 所以，根据电磁场的观点，储存在电容器中的 能量并不是通过导线进入， 能量并不是通过导线进入，而是由电磁场从极板周 围的空间输入的。 围的空间输入的。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zhkm.html