江苏省徐州市2014届高三数学第一次质量检测试题

江苏省徐州市2014届高三数学第一次质量检测试题（扫描版）新人教A

版

徐州市2014届高三年级第一次质量检测

数学Ⅰ参考答案与评分标准

一、填空题：

1．2 2．1 3．20 4． 5

6．25 7．( ,0)

13

113 9．7 10． 1, 11．[ ,]12．129 13．7 14．18 644 二、解答题： 8．

15．（1）由a b可知，a b 2cos sin 0，所以sin 2cos ，…………………2分

所以

sin cos

sin cos 2cos

2cos cos

cos 1

． …………………………………………6分（2）由3

a b (cos 2,sin 1)可得，

a

b 2，

即1 2cos sin 0， ① ……………………………………………………10分 3 sin 522

cos sin 1又，且 (0,) ②，由①②可解得， ，…………12分

42 cos

5 34 cos ) ) 所以sin( ) ． ……………………14分

45516．（1）在 PAC中，E、F分别是PC、AC的中点，所以PA//EF，

又PA 平面BEF，EF 平面BEF，所以PA//平面BEF．………………6分

（2）在平面PAB内过点P作PD AB，垂足为D．因为平面PAB 平面ABC，平面PAB 平面

ABC AB，PD 平面PAB，所以PD 平面ABC， ……………8分

又BC 平面ABC，所以PD BC，………………………………………………10分 又PB BC，PD PB P，PD 平面PAB，PB 平面PAB，

所以BC 平面PAB， ……………………………………………………………12分 又PA 平面PAB，所以BC PA．………………………………………………14分 17．(1)设扇环的圆心角为 ，则30 10 x 2(10 x)，所以

10 2x

，…………4分 10 x

1

(2) 花坛的面积为 (102 x2) (5 x)(10 x) x2 5x 50, (0 x 10)．……………7分

2装饰总费用为9 10 x 8(10 x) 170 10x， ………………………………9分 x2 5x 50x2 5x 50

= 所以花坛的面积与装饰总费用的比y=， …………11分

170 10x10(17 x)

391324312

(t ) ，当且仅当t=18时取等号，此时x 1, ． 1010t1011

答：当x＝１时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．……………………………14分 (注：对y也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分) 令t 17 x，则y

18．(1)线段AB的垂直平分线方程为x 0，线段BC的垂直平分线方程为x y 3 0，

所以外接圆圆心H

(0,3)， H的方程为x2 (y 3)2 10．4分

设圆心H到直线l的距离为d，因为直线l被 H截得的弦长为2，

所以d 3．

当直线l垂直于x轴时，显然符合题意，即x 3为所求；…………………………6分 当直线l不垂直于x轴时，设直线方程为y 2 k(x

3) 3，解得k

4， 3

综上，直线l的方程为x 3或4x 3y 6 0． ……………………………………8分 (2) 直线BH的方程为3x y 3 0，设P(m,n)(0 m 1),N(x,y)， 因为点M是点P，N的中点，所以M(

m xn y

,)，又M,N都在半径为r的 C上， 22

(x 3)2 (y 2)2 r2,

(x 3)2 (y 2)2 r2,

所以 m x即 ……………10分 n y222222

( 3) ( 2) r.(x m 6) (y n 4) 4r. 22

因为该关于x,y的方程组有解，即以(3,2)为圆心r为半径的圆与以(6 m,4 n)为圆心2r为半径的圆有公共点，所以(2r r)2 (3 6 m)2 (2 4 n)2 (r 2r)2， …12分 12m 10≤9r2对 m [0，1]]成立． 又3m n－3 0，所以r2≤10m2－

3232而f m 10m2－12m 10在[0，1]上的值域为10]，故r2≤且10≤9r2． 15分

551]成立，又线段BH与圆C无公共点，所以(m 3)2 (3 3m 2)2 r2对 m [0，即r2

32

.故 C的半5

径r

的取值范围为． ……………………………16分 (注：本题方法较多，可参考上述评分标准给分．如果没有必要的说理过程，但答案正确的，可酌

情扣3～4分)

19．(1)当a 2时， f (x) 3x2 5x 2 (3x 1)(x 2). ……………………………2分

11

令f (x)<0，解得 2 x ，f(x)的单调减区间为( 2,)． …………………4分

33 (2) f (x) 3x2 5x a，

2

3x0 5x0 a 0

5

由题意知 352消去a，得2x03 x02 x0 b 0有唯一解．……6分

2 x0 x0 ax0 b x0

2

5

令g(x) 2x3 x2 x，则g (x) 6x2 5x 1 (2x 1)(3x 1)，

2

1111

以g(x)在区间( , )，( , )上是增函数，在( , )上是减函数，………8分

2323

1117又g( ) ，g( ) ，

28354

71

故实数b的取值范围是( , ) ( , )． ……………………………………10分

548

(3) 设A(x0,f(x0))，则点A处切线方程为y f(x0) f (x0)(x x0)，

5

与曲线C：y f(x)联立方程组，得f(x) f(x0) f (x0)(x x0)，即(x x0)2[x (2x0 )]，所以B点

2

的横坐标x (2x5

B 0 2

)． ……………………12分

由题意知，k f (x( 2x525

10) 3x20 5x0 a，k2 f 0 2) 12x20 20x0 4 a，

若存在常数 ，使得k k25

21，则12x20 20x0

4 a (3x20 5x0 a)， 即常数 ，使得(4 )(3x225

0 5x0) ( 1)a 4

，

4 所以常数 ，使得

0,

( 1)a 25

解得常数 ，使得 4，a 254

0.12． ………15分 故a 2512时，存在常数 4，使kk252 41；a 12时，不存在常数 ，使k2 k1．16分

20．(1)（ⅰ）因为Sn 1 Sn Sn 1 3n2 2(n≥2,n N*)，所以S3 S2 S1 14，

即a3 2a2 3a1 14，又a1 x,a2 3x，所以a3 14 9x， ……………………2分 又因为数列{an}成等差数列，所以2a2 a1 a3，即6x x 14 9x ，解得x 1， 所以an a1 n 1 d 1 n 1 2 2n 1 n N* ； ……………………4分 （ⅱ）因为an 2n 1 n N* ，所以bn 2an 22n 1 0，其前n项和Bn 0，

又因为c2n tbn 2 tbn 1 bn 16t2 4t 1

bn， …………………………………5分 所以其前n项和Cn 16t2 4t 1

Bn，所以Cn Bn 2 8t2 2t 1

Bn， ……7分

当t 1111

4或t 2时，Cn Bn；当t 4或t 2

时，Cn Bn；

当 14 t 1

2时，Cn Bn．…………………………………………………………9分

（2）由S22

n 1 Sn Sn 1 3n 2(n≥2,n N*)知Sn 2 Sn 1 Sn 3 n 1 2(n N*)，

两式作差，得an 2 an 1 an 6n 3(n≥2,n N*)， ……………………10分 所以an 3 an 2 an 1 6 n 1 3(n N*),

再作差得an 3 an 6(n≥2,n N*)，………………………………………………11分 所以，当n 1时，a.n a1 x；

当n 3k 1时，a.n a3k 1 a2 k 1 6 3x 6k 6 2n 3x 4； 当n 3k时，a.n a3k a3 k 1 6 14 9x 6k 6 2n 9x 8；

当n 3k 1时，a.n a3k 1 a4 k 1 6 1 6x 6k 6 2n 6x 7；……14分 因为对任意n N*，an an 1恒成立，所以a1 a2且a3k 1 a3k a3k 1 a3k 2， x 3x

6k 3x 6 6k 9x 8

137

所以 ，解得， x ，

156 6k 9x 8 6k 6x 5

6k 6x 5 6k 3x

137

故实数x的取值范围为 , ．…………………………………………………16分

156

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数学Ⅱ参考答案与评分标准

21．

A．由圆D与边AC相切于点E，得 AED 90 ，因为DF AF，得 AFD 90 ，所以A，D，F，E

四点共圆． 所以 DEF DAF． ……………………5分

111

又 ADF ABD BAD ( ABC BAC) (180 C) 90 C，

2221

所以 DEF DAF 90 ADF C，由 C 50 ，得 DEF 25 ．……10分

2

B．设曲线C：x2+y2=1上任意一点P(x,y)，在矩阵M所对应的变换作用下得到点P1(x1,y1)，则

ax x1, a0 x x1

，即． ………………………………………5分 0b y y by y, 1 1 x12x22

y12 1， 又点P1(x1,y1)在曲线C y 1上，所以44

ax2

by2 1为曲线C的方程．又曲线C的方程为x2+y2=1， 则4

故a2=4，b2=1，因为a＞0，

b＞0，所以a+b=3． …………………………10分 C． 2cos 2sin ， 2 2 cos 2 sin ，

圆C的直角坐标方程为x2 y2 2x 2y 0， 即(x

22)2 (y 22

2

) 1 圆心直角坐标为(

22, 2

2

)． ……………………………………………………4分 直线l上的点向圆C 引切线长是

(

2t 22)2 (22t 22

42)2 1 t22 8t 40 (t 4)2 24 26， 所以直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是26．…………………………10分

2D．证法一：因为a，，

bc均为正数，由均值不等式得a2

b2

c2

≥3(abc)3

， ………2分 1a 1b 1c≥3(abc) 13

，所以(1112 2

a b c

)≥9(abc)3 ．………………………………5分 故a2 b2 c2 (1a 11223

2

b c

)≥3(abc) 9(abc)3．

2又

3(abc)3

9(abc)

23

≥ ………………10分

证法二：因为a，，

bc均为正数，由基本不等式得， a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca．

所以a2+b2+c2≥ab bc ca． ……………………………………………………2分

同理11ab+1111

2+2c2≥ab bc ca

， ……………………………………………5分

故a2+b2+c2 (111333

a+b+c)2≥ab bc ca ab bc ca

≥．

所以原不等式成立． …………………………………………………………………10分 22. (1)设该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车为事件M，则

P(M) C3411

C3 55.所以该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车的概率为55

．…4分

12(2)随机变量X的所有可能取值为１，２，３.

P(X 1) C3C33111

5 4 C33

C5C4C3C3

,P(X 3) 3， 1244

C31211P(X 2) 1 P(X 1) P(X 3) 2944

． 所以X的分布列为

…………………8分

数学期望E(X) 1 329397

44 2 44 3 ．……………………………………10分

23．(1)设P(x,y)，则 AP (x 1,y)， 1144

FP (x 1,y)， AF

(2,0)，

，

由AP AF 2|FP|，得2(x 1) y2 4x.

故动点P的轨迹C的方程y2 4x. ………………………………………………5分 (2)直线l方程为y 2(x 1)，设Q(x0,y0)，M(x1,y1) ，N(x2,y2)． 过点M的切线方程设为x x1 m(y y1)，代入y2 4x，

y1

， 2

所以过点M的切线方程为y1y 2(x x1)， ………………………………………7分 同理过点N的切线方程为y2y 2(x x2)．

得y2 4my 4my1 y12 0，由 16m2 16my1 4y12 0，得m

所以直线MN的方程为y0y 2(x0 x)， …………………………………………9分

21

又MN//l，所以 2，y0 1，而y0 2(x0 1)，故点Q的坐标为( ,1)． 10分

y02

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