凸函数与极值

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

题目： 凸函数与极值

院（系） 理学院 专 业 年 级 姓 名 指导教师

数学与应用数学 2009级 哦哦 啊啊啊

学 号 09031432 职 称 副教授

2013年 月 日

毕业论文（设计）评语及成绩

论文类型：理论研究型 评语： 该论文的选题有一定的理论价值。本文主要观点正确，选题有一定的新意，论点正确、论据充分、结构严谨、文理通顺、条理清晰、逻辑性强、写作格式规范、图表正确、清晰。所采用的资料可信度、支撑度高。全文理论结合实际，对应用凸函数的性质求解极值问题做出了全面而深刻的分析和总结，反映了该生较扎实的理论基础。本文对提高学生解题能力、培养创新能力具有一定的指导作用。符合本科毕业论文的规范要求。 可以提交答辩。 指导教师（签字） 年 月 日 评语及评分 成绩： 答辩委员会主席（签字） 年 月 日 院（系）学位评定委员会意见： 签字： 年 月 日 学校学位评定委员会意见： 签字： 年 月 日

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承 诺 书

本人 哦哦 ，哈尔滨学院 理 学院 数学与应用数学 专业 09—4 班学生，学号： 09031432 。

本人郑重承诺：本人撰写的毕业论文《凸函数与极值 》，是个人的研究成果，数据来源真实可靠，无剽窃行为。

承诺人：董春

年 月 日

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目 录

摘 要 ................................................................................................................................................................ 1 Abstract ......................................................................................................................................... 2 前 言 ............................................................................................................................................. 3 第一章 凸函数的定义与性质 ....................................................................................................... 4

1.1 一元凸函数的定义与性质 ........................................................................................................... 4

1.1.1一元凸函数的定义 ............................................................................................................. 4 1.1.2一元凸函数的性质 ............................................................................................................. 4 1.1.3一元凸函数的判定 ............................................................................................................. 7 1.2 多元凸函数的定义与性质 ........................................................................................................... 9

1.2.1多元凸函数的定义 ............................................................................................................. 9 1.2.2多元凸函数的性质 ........................................................................................................... 10 1.2.3多元凸函数的判定 ........................................................................................................... 10

第二章极值的定义与判别法 ....................................................................................................... 14

2.1一元函数极值 ................................................................................................................................ 14

2.1.1一元函数极值的定义 ...................................................................................................... 14 2.1.2一元函数极值的判定 ...................................................................................................... 14 2.1.3可导凸函数极值问题 .................................................................................................... 15 2.1.4一般凸函数极值问题 ...................................................................................................... 17 2.2 多元函数极值 .............................................................................................................................. 18 2.1.1多元函数极值的定义 ...................................................................................................... 18 2.1.2多元函数极值的判定 ...................................................................................................... 19

第三章 凸函数与极值相关理论 ............................................................................................... 22 第四章 利用凸函数求解极值问题 ........................................................................................... 24

4.1将极值问题转化为凸函数问题求解 ................................................................................ 24 4.2弓形面积的最值 .................................................................................................................... 26

参考文献 ....................................................................................................................................... 30 后 记 ........................................................................................................................................... 31

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摘 要

本文第一章对凸函数的定义及性质问题作了简单的阐述。研究一元凸函数和多元凸函数的定义，性质及其判定；刻画了凸函数极值点的分布规律，并将所得的结果推广到可导严格凸函数和一般凸函数中。第二章介绍了极值的定义与判别法，从一元极值的定义与判别法推出可导凸函数的极值问题以至推广到一般凸函数极值问题。第三章介绍了凸函数与极值的相关理论为后续第四章的利用凸函数求解极值问题作了铺垫。

关键词：凸函数；严格凸函数；极值；最值

1

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x1?x2f(x1)?f(x2)nfn(x1)?fn(x2)]? f()? [

222n可知fn(x)在区间(a,b)上也为凸函数。

性质5 设函数f(x)在区间(a,b)为凸函数，设函数g(x)在区间(c,d)为单调增加凸函数，且f(x)的值域A={f(x)x?(a,b)}?(c,d)，则g[f(x)]在(a,b)为凸函数。

证明：?x1,x2?I,???(0,1), 因函数f(x),g(x)在区间I为凸函数，从而

f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2)

且

g(?x1?(1??)x2)??g(x1)?(1??)g(x2)

因此

g[f(?x1?(1??)x2)]?g[?f(x1)?(1??)f(x2)]??g[f(x1)]?(1??)g[f(x2)]

可知g[f(x)]在(a,b)为凸函数。

性质6 设y?f(x)在区间I为严格减少的凸函数，则反函数x?f?1(y)也为凸函数。

分析:根据凸函数的性质和反比例函数的性质，利用函数y?f(x)在区间I上的单调性可以证明反函数x?f?1(y)也为凸函数。

?1证明：因y?f(x)在区间I上严格减少，从而存在反函数x?fA={yy?f(x)x?I}，???(0,1).?y1,y2?A, 则?x1,x2?I，使

y1?f(x1),y2?f(x2)

(y)，设

即

x1?f?1(y1),x2?f?1(y2)

则y?f(x)为凸函数，从而

f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2)=f{f?1[?f(x1)?(1??)f(x2)]}

因为y?f(x)严格减少。因此，

f?1[?f(x1)?(1??)f(x2)]??x1?(1??)x2

即

f?1[?y1?(1??)y2]??f?1(y1)?(1??)f?1(y2)

因此，由定义知x?f?1(y)在A={yy?f(x)x?I}也为凸函数。

2.凸函数的积分性质

将凸性与函数的连续性（甚至单侧连续性）、单调性等联系起来,应用到积分学中可以

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得到许多好的结论。

1x性质7 设f(x)是[0,??)上的凸函数,则F(x)??f(t)dt为(0,??)上的凸函数.

x0分析：利用凸函数的定义和求导公式可以证明 F(x)?数。

1xf(t)dt为(0,??)上的凸函?0x 证明：f(x)为[0,??)上的凸函数,因此它在(0,??)内连续,f(x)在[0,x]上有界.由此知

1xtF(x)??f(t)dt有意义. ?x?0,令 u? 时

xx0x1xF(x)??f(t)dt??0x01?t?tf?x?d??f(xu)du ?x?x0???(0,1),?x1,x2?0，恒有

F[?x1?(1??)x2]??f{[?x1?(1??)x2]u}du

01 =?f[?x1u?(1??)x2u]du

01 ??[?f(x1u)?(1??)f(x2u)]du （因f的凸性）

01 ??F(x1)?(1??)F(x2)

所以F是(0,??)上的凸函数.

性质8 设函数g(x)在[a,b]上递增,则?c?(a,b),函数f(x)??g(x)为凸函数.

cx分析：利用函数的增减性不等式的性质可以证明函数f(x)??g(x)为凸函数。

cx 证明： 因g(x) 递增,积分有意义.且?x1?x2?x3。

x2f(x2)?f(x1)1?g(x)dx?g(x2)

x2?x1x2?x1?x1?1x3?x2?x3x2g(x)dx?f(x3)?f(x2)

x3?x2故f(x)为凸函数.

1.1.3一元凸函数的判定

定理1[1] 设函数f?x?为I上可导，则f?x?为I凸函数的充要条件是：?x1,x2?I,总有

f?x2??f?x1??f??x1??x2?x1? ?3?

且当f?x?为I上的严格凸函数时，不等式（3）严格成立。

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定理2 函数f?x?为I上的凸函数的充要条件是：?x1,x2?I,x1?x?x2,总有

f?x??f?x1?f?x2??f?x? ?4? ?x?x1x2?x?2?且当f?x?为I上的严格凸函数时，不等式（4）严格成立。

定理3?2? 函数f?x?为I上的凸函数的充要条件是：?x1,x2?I,x1?x?x2,总有 f?x??x2?xx?x1f?x1??f?x2? ?5? x2?x1x2?x1且当f?x?为I上的严格凸函数时，不等式（5）严格成立。

定理4[11] 设函数f(x)在开区间I可导，函数f(x)在区间I是凸函数（凹函数）

??x1,x2?I，且x1?x2,有

f'(x1)?f'(x2)（f'(x1)?f'(x2)）.

证明： 只给出凸函数情况的证明，同法可证凹函数的情况。

必要性(?)若函数f(x)在区间I是下凸函数，?x1,x2?I，且x1?x2，?x:x1?x?x2由

f(x)?f(x1)?x?x1f(x2)?f(x) （6）

x2?x有

f(x)?f(x1)f(x)?f(x2) ?x?x1x?x2已知函数在x1与x2都可导（当然也连续）。根据极限保号性定理分别有

limx?x1f(x)?f(x1)f(x)?f(x2) ?limx?x1x?x2x?x1即

f'(x1)?f(x1)?f(x2)

x1?x2与

limf(x)?f(x1)f(x)?f(x2) ?limx?x2x?x1x?x2x?x2即

f(x2)?f(x1)?f'(x2)

x2?x1

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于是

f'(x1)?f(x1)?f(x2)f(x2)?f(x1)= ?f'(x2)

x1?x2x2?x1充分性(?)?x1,x,x2?I,且x1?x?x2. 根据微分中值定理,??1,?2:x1??1?x??2?x2, 有

f(x)?f(x1)=f'(?1)

x?x1与

f(x)?f(x2)= f'(?2)

x?x2已知f'(?1)?f'(?2)，即

f(x)?f(x1)f(x)?f(x2) ?x?x1x?x2由（6）式知，函数在区间I是凸函数。

定理5[11] 若函数f(x)在开区间I存在二阶导数，且

（1）?x?I,有f''(x)?0,则函数f(x)在区间I严格凸函数。 （2）?x?I,有f''(x)?0,则函数f(x)在区间I严格凹函数。

1.2 多元凸函数的定义及性质

凸函数的概念可以从一元函数推广到多元函数，但是，这需要多元函数的定义域是凸的。

1.2.1多元凸函数的定义

定义3[12] 设集合S?Rn，若对于任意的x1,x2?S以及任意的??(0,1)，有

xa??x1?(1??)x2?S

则称集合S是凸集。

由定义易知，S是凸集，当且仅当连接S中任意两点的线段在S中。 性质9[12] 集合S?Rn是凸集的充要条件是对于任意自然数n?2，若点

x1,x2,?,xn?S，则其非负线性组合

10

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??kxk?S

k?1n其中?k?0,且??k?1.

k?1n性质10[12] 任意两个凸集的交集是凸集。 注1 两个凸集的并集未必是凸集。 定义4[12] 设A,B?Rn，定义

?A??B?{cc??a??b,a?A,b?B}

性质11[12] 设A,B(?Rn)是凸集，?,?是实数，则?A??B是凸集。

定义5[12] 设S?Rn是一非空凸集，f:S?R，若对于任意的x1,x2?S及任意的

??(0,1)，有

f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2) 则称f(x)在集合S上是凸函数；若

f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2) 则称f(x)在集合S上是凹函数。

1.2.2多元凸函数的性质

定理6[12] 设S?Rn是凸集，f:S?R，则f(x)是凸函数当且仅当对于任意的自然数

n?2,xk?S,k?1,2,?,n,有

nn f(??kxk)???kf(xk)

k?1k?1其中?k?0,??k?1.

k?1n定理7[12] 设fi(x)是凸集S上的凸函数，i?1,2,?,n,又?i?0,i?1,2,?,n，则

f(x)???ifi(x)是凸函数。

i?1n定理8[12] 设f:Rn?R是凸函数，?:R?R是非减凸函数，则复合函数?[f(x)]是Rn上的凸函数。

1.2.3多元凸函数的判定

如果可行域是凸集，目标函数是凸函数，则所论的最优化问题是一个凸规划问题。那么哪些函数是凸函数呢? 最常见也是最简单的凸函数是变量x?(x1???xn)? 的线性函数，例

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解： 由方程组

22??fx1?6x1?6x1?12x1x2?12x2?6x2?0 ?2f??6x?12xx??6x?0?x21122?得到f 的稳定点p1?0,0?；p2?0,1?；p3??1,?1?；p4?1,0?。 由 于

fx1x1?12x1?6?12x2，fx1x2??12x1?12x2?6，fx2x1??12x1?12x2?6，fx2x2?12x1

??66?Hf?p1????60??是不定矩阵 ， 所以 f 在?0,0?不能取得极值 。

???6?6?Hf?p2????60??是不定矩阵 ，所以 f 在?0,1?不能取得极值 。

????66?Hf?p3????612??是负定矩阵 ，所以??1,?1?是f的极大值点 。

???6?6?Hf?p4?????612??是正定矩阵 ，所以?1,0?是 f 的极小值点 。

??所以f?x?的所有稳定点为?0,0?；?0,1?；??1,?1?；?1,0?。其中?1,0?是f?x?的极小值点，??1,?1?是f?x?的极大值点，?0,0?与?0,1?既不是f?x?的极大值点也不极小值点。

第三章 凸函数与极值相关理论

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众所周知，有界闭区域上的连续函数一定能够取到最大值与最小值，但最大值点与最小值点可能在区域的任意点。但是对于凸函数来说，它的最大（小）值有着一些特殊的性质。

定理1 设4 S?Rn是一非空有界闭凸集，4 f:S?R是凸函数。

（ⅰ）若4 x0是4 f(x)在4 S上的局部极小值，则4 x0是4 f(x)在4 S上的最小值 ；

（ii）若4 f(x)是严格凸函数，则它在4 S上的最小值点是唯一的。

证明：（i）若4 x0是4 f(x)的一个局部极小值点，则存在4 x0的一个邻域4

N(x0,?)，对于4 x?N(x0,?)，有

4 f(x)?f(x0).

0

从而有

4 f((1??)x0??x0)?f(x0)

又由4 f(x)是凸函数，故有

4 f(x0)?(1??)f(x0)??f(x1)

移项即可得，4 f(x0)?f(x1)，故4 f(x0)在4 S上取最小值； （ii）假设4 f(x)在4 S上的两点4 x0,4 x1取到最小值，即

4 f(x0)?f(x1)?min{f(x)x?S}.

因4 S是凸集，故对于4 ??(0,1),?x0?(1??)x1?S. 又由4 f(x)是严格凸的，则有

4 f(?x0?(1??)x1)??f(x0)?(1??)f(x1)?f(x0)

这与4 f(x0)在4 S上取最小值矛盾。

定理2 有界闭凸集4 S上的凸函数4 f(x)必在4 S的边界4 ?S上取到最大值。 证明： 设

4 x0?S?Rn,f(x0)?max{f(x)x?S}，

若4 x0??S则定理得证；否则，4 x0?S的内点，过4 x0任做一“直线”，由有界闭凸集的性质，该“直线”必与边界4 ?S交于两点，设为4 x1,x2,于是存在正数4

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?,? 且????1. 由假设知

4 f(x1)?f(x0),f(x2)?f(x0)

故

若4 f(x2)?f(x0)，则

4 f(x0)??f(x1)??f(x0)

即

4 (1??)f(x0)??f(x1)

从而有4 f(x0)?f(x1)，这与点4 x0为最大值点矛盾，故

4 f(x2)?f(x0).

同理

4 f(x1)?f(x2)?f(x0)?max{f(x)x?S}.

定理3 设4 S?Rn 为有界凸多面体，4 x1,x2,?,xN为4 S的顶点，4 f(x)为4

f(x0)?f(?x1??x2)??f(x1)??f(x2)S上的凸函数，则4 f(x)的最大值必在4 S的顶点上取到，即

4 max{f(x)x?S}?max{f(xi)1?i?N}

证明： 由定理2知，存在4 x0??S, 使

4 f(x0)?max{f(x)x?S}

设4 x0在4 S的某一侧面4 ?上，则4 ?的顶点是4 S的顶点中的一部分。若4 x0是4 ?的顶点，则结论已成立；若4 x0不是4 ?的顶点，设4 x1，?，4 xm是4

?的顶点，则存在

4 ?1?0,?,?m?0,?1??2???m?1

且

4 x0??1x1????mxm

由4 f(x)的凸性知，

4 f(x0)?f(??ixi)???if(xi)?f(x0)

i?1i?1mm由此可知

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4 f(x0)?f(xi),i?1,2,?,m.

注1 若4 f(x)是凹函数，则4 f(x)在凸多面体上的最小值必在该多面体的顶点得到。 推论1 若4 f(x)是有界凸多面体4 S?Rn上的线性函数，则4 f(x)的最大值，最小值都在该多面体的顶点上取到。

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第四章 利用凸函数求解极值问题

4.1 将极值问题转化为凸函数问题求解

x2?y例1 在条件4 x?1?x?1?y?1?y?1?6的约束下，求函数4 f(x,y)?sin4的最大值和最小值。

解：约束条件在4 xy平面上构成一个八边形（如图4-1）。

y(-1,2)(-2,1)(1,2)(2,1)x(-2,-1)(2,-1)(-1,-2)(1,-2)

图4-1

x2?y先考虑函数4 g(x,y)?,由于4 x2是一元凸函数，

424 [?x1?(1??)x2]2??x12?(1??)x2

而4 y是线性函数，所以

[?x1?(1??)x2]2?[?y1?(1??)y2]g[?(x1,y1)?(1??)(x2,y2)]?44 22x?y1x?y2??1?(1??)2??g(x1,y1)?(1??)g(x2,y2)44有

4 maxg(x,y)?maxg(xi,yi)?g(2,1)?(x,y)?D1?i?85， 45?????又由于4 ?,4 sinx在4 ??,?上单调增，所以

42?22?x2?y5?sin. 4 maxsin(x,y)?D44

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至于最小值，我们注意到当4 x的绝对值越小，4 y的值越小，4 g(x,y)越小，故

1ming(x,y)?g(0,?2)?? (x,y)?D2再由4 sinx的单调性，有

4 minf(x,y)??sin(x,y)?D1. 2注意，4 f(x,y)的极小值点不在八边形的顶点集上。

例2 已知4 x,y满足下列不等式

4 x?2y?7?0,4x?3y?12?0,x?2y?3?0

求4 f(x,y)?x2?y2的最大值和最小值。

5解：约束条件构成4 (x,y)的区域为下图（4-2）中以4 A(9,8),B(?2,),C(3,0)为顶

2点的三

yA(9,8)B(-2,5/2)HOC(3,0)x

图4-2

角形闭域4 S.

我们来证明4 f(x,y)是4 S上的下凸函数。对于任意的4 M1(x1,y2)与M2(x2,y2)，

?x2?22?y2)?0 4 (x2,y2)A(x1,y1)4 ??=4 2(x2?y2?可知4 f(x,y)是4 S上的下凸函数。可得

4 max{f(x,y)(x,y)?S}?max{f(A),f(B),f(C)}?f(A)?f(9,8)?145

为求4 min{f(M)M?S},首先注意到，对于4 M?S,f(M)表示点4 M到坐标原点

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的距离，故

4 min{f(M)M?S}?OH?从而得

4 min{f(x,y)(x,y)?S}?

9 5?312?22?3 54.2 弓形面积的最值

下面我们通过一个例题来研究求弓形面积的最值问题。

例3求抛物线y2?4ax与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值。 解法1： 弦方程法:

./../../Application Data/Tencent/Users/1143905438/QQ/WinTemp/RichOle/R6LIM0

0A0VF{OD@T)S$G2}H.jpg\

图4-3

设过焦点?a,0?的弦的方程为x?ky?a与y2?4ax联立 解这个方程

y2?4a?ky?a? ?y1?2ak?k2?1，y2?2ak?k2?1

????且y1?y2，这样就有了弦与抛物线围成的弓形的面积为

s??y2y1?y2???ky?a?4a??dy ???ky2y3?y2 ???2?ay?12a??y

??1 ?

k213y2?y12?a?y2?y1??y2?y13 212a????28

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我们把y1和y2的值代入

3822 s?a?k?1?2

38通过这个得式我们观察到：当k?0时弓形面积最小，最小面积为a2。

3解法2：极坐标方程法

取?a,0?为极点，x轴为极轴建立极坐标系，则抛物线y2?4ax的极坐标方程为 p2sin2??4apcos??4a2 化简得

p?2a

1?cos?过焦点的弦的极坐标方程为??a,0????，这样我们就可以得到弦与抛物线围成的弓形面积为

1a??s??2a4a2d? 2?1?cos?? ?2a2?a??14sin4a?2d?

?a2?a??acsc4d()

22a???? ??a2?a(1?cot2)dcot

221??? ?cot3)|aa232?? ?-a2(cot??1aa1a ?a2(cot?tan3?cot?cot3)

232232aa(sin2)3?(cos2)31122) ?a2(?aa3aasincossin3cos3222211?3cos2a?) ?2a(3sina3sina28a2 ? 33sina 29

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当a??8时，弓形的面积最小，那么它的最小面积是a2。

32解法3： 解法1和解法2综合法

我们将解法1和解法2结合起来，也就是说先在极坐标系下判定何时面积最小，然后在直角坐标系下求得面积。

由解法2，我们得到的面积

1a??4a2 s??d? 2a2(1?cos?）?1ds1?2a2a2??-（)?21?cosada2?1?cos(a??）?

2令

ds??0时，得a? da2由于驻点唯一，所以当过焦点的直线垂直x轴时，弓形面积最小。此时的最小面积为：

s?2?a034axdx

8a2a82?x|0?a 33从以上我们可以看出：无论哪种解法，我们计算起来都有一定的难度，我们通过例题所描述的问题推广到一般的情形，同时也给出了不同的解法。

结论：设x?g(y),y?(??,??)是一光滑凸函数，(x0,y0)是曲线右侧的一个定点，试求过(x0,y0)且与曲线x?g(y)相交的诸弦中，与曲线所围成的弓形面积最小的弦的位置。 解如图4-4，设过点(x0,y0)的弦的方程为x?k(y?y0)?x0，它与曲线x?g(y)交点的纵坐标为y1?y1(k)，y2?y2(k)，不妨设y1?y2 于是我们就得到了弦对应的弓形的面积为

s??y2(k)y（1k)?ky?x0?y0k?g(y)?dy

?k?2(k)y2(k)??y2?(x0?y0k)y?|yg(y)dy y1(k)??y(k)1?2?y2(k)k?y2(k)??k?y1(k)??(x0?y0k)?y2(k)?y1(k)???g(y)dy ?y1(k)222ds?y2(k)???y1(k)?????k?y2(k)y2(k)?y1(k)y1(k)?????dk222

?(k)-y1?(k)??y0?y（-y1(k)??(x0?y0k)?y22k）

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这就是说，当点(x0,y0)为弦的中点时，所形成的弓形的面积最小。

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参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析：上册[M].北京：高等教育出版社，1991 [2]刘玉琏，傅任沛. 数学分析：上册[M].北京：高等教育出版社，1997 [3]裴礼文.数学分析中典型例题与方法[M]. 北京：高等教育出版社，1993 [4]陈太道.凸函数判定及其应用[J].临沂师范学院学报，2002,24(3):90-92 [5]刘文武.凸函数的一个等价性质[J].数学的实践与认识，2010,40（13）：153-159 [6]同济大学应用数学系.高等数学（上册）[M]. 北京：高等教育出版社，2002:281 [7]符丽珍.高等数学导教导学导考（上册）[M].西安：西北农业大学出版社，2001:268 [8]陈子春，刘鹏惠.一道面积题的求解方法[J].高等数学研究，2006（6）：33-34 [9]张文瑜，徐成贤，朱德通.最优化方法[M]. 北京：高等教育出版社，2005 [10]华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].3版. 北京：高等教育出版社，2004 [11] 复旦大学数学系：《数学分析》（上册）第194-217页，高等教育出版社，2005.8 [12] 高夯：《高观点下的中学数学》第214-225页，高等教育出版社，2001.3 [13] 晓文：“凸函数的一个性质及应用”第1-3页，《中国期刊全文数据库》，2007 [14]史树中：《凸分析》，上海科学技术出版社。

[15]傅远德：《线性规划与整数规划》，成都科技大学出版社。 [16]胡炳生：《现代观点下的中学数学》，高等教育出版社。

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后 记

本篇论文是在我的指导老师黄永辉老师的悉心指导下完成的。她治学严谨，工作精益求精，在写论文的这段时间给我以精心指导，在此谨向黄永辉老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意，也感谢在这四年的大学生活中辛勤培养过我的各位老师。我还要感谢在最后论文排版的时候给予我帮助的同学们，正是由于你们的帮助，我才能顺利地完成论文的最后收尾工作。

最后，再次对帮助我的老师和同学表示衷心地感谢！

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