专题教案之整式的乘除与因式的分解

本章节目录

一．本章中考考纲解读

二．不同程度的学生学习本章知识所需课时 三．本章知识目录

1.基础知识梳理 2.方法总结 3.典型例题讲解 4.真题精炼

A组 2009-2013北京市中考题汇编

B组 2011-2013 北京市各城区一模试题汇编 C组 2011-2013 北京市各城区二模试题汇编

四．本章练习题

整式与因式分解练习题

五．本章知识验收测试卷

1.本章知识验收测试卷A卷 2.本章知识验收测试卷B卷 3.本章知识验收测试卷C卷

一．本章中考考纲解读

（本章一直是中考的热门章节，主要考察的知识有） 1.整式的混合运算。 2.整式的指数幂。

3. 整式的乘法、平方、平法差公式、完全平方公式。 4. 因式分解。

考点 全等三角形 整式 整式的加减运算 整式指数幂 C A B 内容 要求 北京近5年中考统计 2009 15题 5分 2010 2011 2012 2013 题型 中考预测 2014年必考一题关于全等三角形的解答题 整式的乘法、平方、平法差公式、完全平方公式 因式分解 c 7题4分 10题4分 10题4分

9题4分 c 11题4分16题5分 15题5分 15题 165分 题 5分 16题 15题 5分 5分 解答题 二．不同程度的学生学习本章知识所需课时

1.对于基础很好的同学学习本章知识需要3个课时 2.对于基础中等的同学学习本章知识需要4个课时 3.对于基础薄弱的同学学习本章知识需要5个课时

三．专题教案之整式的乘除与因式分解 一．基础知识梳理

整式的有关概念

1、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或

一个字母也是代数式。

2、单项式：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。

注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如

113?4a2b，这种表示就是错误的，应写成?a2b。一个单项式中，所有字母的指数

33的和叫做这个单项式的次数。如?5abc是6次单项式。

多项式

1、多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项多项式中不

含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 ①单项式和多项式统称整式。 ②用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。 ③注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。 （2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。 2、同类项：所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 3、去括号法则 ①括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。 ②括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。 4、整式的运算法则

整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。

整式的乘法：a?a?a （a）?anmnmnm?n32(m,n都是正整数)

mn(m,n都是正整数)

n (ab)?ab(n都是正整数) (a?b)(a?b)?a?b (a?b)?a?2ab?b (a?b)?a?2ab?b 整式的除法：a?a?amnm?n22222222n(m,n都是正整数,a?0)

注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。

（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。

（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号， 同时还要注意单项式的符号。

（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。 （5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。

（6）a?1(a?0);a0?p?1(a?0,p为正整数) pa（7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得

的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。

因式分解

1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 2、因式分解的常用方法

（1）提公因式法：ab?ac?a(b?c) （2）运用公式法：a2?b2?(a?b)(a?b) a2?2ab?b2?(a?b)2 a2?2ab?b2?(a?b)2

（3）分组分解法：ac?ad?bc?bd?a(c?d)?b(c?d)?(a?b)(c?d) （4）十字相乘法：a2?(p?q)a?pq?(a?p)(a?q)

3、因式分解的一般步骤：

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：二项式可

以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式 （3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，

若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。

二．方法总结

1.提取公因式法、 2.公式法、 3.分组分解法、 4.十字相乘法

三、典型例题分析

例1 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a?b)，再沿虚线剪开，如图

（1），然后拼成一个梯形，如图（2）.根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是（ ）

Ａ．a2?b2?(a?b)(a?b) Ｂ．(a?b)2?a2?2ab?b2 Ｃ．(a?b)2?a2?2ab?b2 Ｄ．a?b?(a?b)

答案：A

例2 如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a，b的矩形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张．用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为__________．

答案：a?3b

例3 (?8)2006222?(?8)2005能被下列数整除的是（ ）

A．3 B．5 C．7 D．9 答案：C

例4 从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式______________．

b a a b

甲

22222乙

2例5 因式分解ab?ab?ac?ac?bc?bc?2abc 解析：这是一个轮换对称多项式，不妨以a为主元进行整理

a2b?ab2?a2c?ac2?b2c?bc2?2abc

=a2(b?c)?a(b2?2bc?c2)?bc(b?c) =a2(b?c)?a(b?c)2?bc(b?c)

=(b?c)[a2?a(b?c)?bc]?(b?c)(a2?ab?ac?bc) =(b?c)[a(a?b)?c(a?b)]?(a?b)(a?c)(b?c) 例6 已知a=

111222x+20，b=x+19，c=x+21，那么代数式a?b?c?ab?bc?ac的202020值是

（ ） A.4 B.3 C.2 D.1

【分析】因本题所求代数式中含有a、b、c的平方项与二次乘积项与完全平方展开式所含的项基本相同，所以应想办法，如何造型利用公式法分解因式进行化简. 解：原式= 当a=

1?a?b?2??b?c?2??a?c?2? 2?111x+20，b=x+19，c=x+21时，有：a－b=1，b－c=－2，a－c=－1， 202020∴原式=

121221???2????1???1?4?1??3.故应选B. 22222??例7 设a、b、c是三角形的三边长,求证:a?b?c?2bc?0.

【分析】本题是证明一个不等问题,想办法利用三角形三边的关系以及因式分解来证明. 证明:∵a?b?c?2bc?a?(b?c)=(a?b?c)(a?b?c), 又∵a、b、c是三角形的三边长, ∴a?b?c?0,a?b?c， 即(a?b?c)(a?b?c)?0， ∴a?b?c?2bc?0.

【方法指导】本题借助因式分解，将左边的多项式分解成一次因式的积，再根据三角形

的三边的关系进行判断因式的符号.

例8 已知x?x?1?0,求x?2x?3的值.

【研析】本题要充分利用“x?x?1?0”这个条件,经过变式来求值.这里可将2x拆成两项,变为(x?x),再添加(x?x). 解:∵x?x?1?0，

∴x?2x?3?(x?x?x)?(x?x?3)?x(x?x?1)?(x?x?1?4)=4.

32322222222222222223222 【品思感悟】将多项式变形或拆项，整体运用已知条件，体现“整体”与“分解”思想的有机统一. 例9 已知248?1可以被在60到70之间的两个数整除,则它们是 （ ）

A．61、63 B．61、65 C．63、65 D．63、67 【分析】由2

48?1联想到运用平方差公式进行因式分解，从而做出判断.

因

为

248?1=(224?1)(224?1)?(224?1)(212?1)(212?1)=(224?1)(212?1)(26?1)(26?1)

=(224?1)(212?1)(26?1)(23?1)(23?1), 而 (26?1)?65,(23?1)(23?1)=9×7=63,所以选择C.

【品思感悟】利用因式分解判断数的整除性，大大的简化运算量.从而体现公式方便快捷.

例10 如图所示,把R1,R2,R3三个电阻串联起来,线路AB上的电流为I,电压为V,则

V?IR1?IR2?IR3,当R1=34.9,R2=20.8,R3=32.3,I=2.5时,求V的值.

【分析】将因式分解的知识运用到物理学的运算当中,可减少运算量,使运算简化. 解：当R1=34.9,R2=20.8,R3=32.3,I=2.5时,

V?IR1?IR2?IR3=I(R1?R2?R3)=2.5(34.9+20.8+32.3)=220.

【梳理总结】根据物理学的知识，串联线路电压等于各部分电压之和，构造数学模型， 运用因式分解中的提取公因式，使运算得以简化. 例11 （第十届希望杯全国数学邀请赛）计算

.

【分析】仔细观察算式发现：最后两项?2?2可分解因式，提公因式2后得2，再依次和前一项进行类似计算. 解：

=2?2?2?2?2?2?2?2?(223456782345678109109

?29)

=2?2?2?2?2?2?2?2?2(2?1) =2?2?2?2?2?2?2?2?2

＝??=6.【技巧点拨】本题逆向思考，从最高的两项进行因式分解，逐次提取公因式，达到消项的目的.

234567899四．真题精炼

A组 2009-2013北京市中考试题汇编

1.（2009北京,7,5分） 把x3?2x2y?xy2分解因式，结果正确的是（）

22A.x?x?y??x?y? B.xx?2xy?y C.x?x?y? D.x?x?y?

??2222. （2009北京,16,5分） 已知x?5x?14，求?x?1??2x?1???x?1??1的值

23．（2010北京,10,4分）分解因式：m﹣4m= _________ ．

322

4.（2011北京,10,4分）分解因式：a﹣10a+25a= a（a﹣5）．

22

5．（2011北京，15,5分）已知a+2ab+b=0，求代数式a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）的值．

22

6.（2012北京，9,4分）分解因式：mn+6mn+9m= m（n+3） ．

7．（2012北京，15,5分）已知

，求代数式

的值．

3

B组 2011-2013年北京市各城区一模试题汇编

1．（2013丰台一模，10,4分）分解因式：ab?4b= ．

23(x?1)2x2?2．（2013丰台一模，16,5分）已知：x?2?0,求代数式2的值．

x?1x?123．（2013门头沟一模，10,4分）分解因式：ax2?10ax?25a? ．

24．（2013门头沟一模，15,5分）已知x?8x?15，求(x?2)(x?2)?4x(x?1)?(2x?1)2的值.

5．（2013石景山一模，10,4分）分解因式：x?4x?4x=_______________． 6．（2013石景山一模，16,5分）已知：4x?5x?1?0，

232?2x?1?求代数式

2?x?x?1???x?2??x?2?的值.

7．（2013通州一模，10,4分）分解因式：x3?2x2?x? ．

?y2?x?yg8．（2013通州一模，16,5分）化简求值：?1?2，其中x?3y?0，且y?0. 2??x?y?x9．（2013西城一模，10,4分）分解因式：a?8a?16a= ．

32xx2?y22(x?y)210．（2013西城一模，16,5分）已知=3，求的值． ?2yxyxy?y11．（2013大兴一模，10,4分）分解因式：mx2?8mx?16m = .

12．（2013大兴一模，15,5分）证明：不论x取何实数，多项式?2x?12x?18x的值都不会是正数.

13．（2013房山一模，10,4分）分解因式：x3y?xy? ． 14．（2013房山一模，15，5分） 已知a是关于x的方程x?4?0的解， 求代数式?a?1??a?a?1??a?7的值．

2243215.（2013海淀一模，9,4分）分解因式：a2b?6ab2?9b3? ． 1?x2?1?16.（2013海淀一模，15,5分）先化简，再求值：?1?，其中x?3． ??x?22x?4??32a?2a?a?____________. 17.（2013密云一模，9,4分）分解因式：

11ab?的值18.（2013密云一模，15,5分） 已知：??5?a?b?，求abb(a?b)a(a?b)

3219. （2013平谷一模，10,4分）分解因式：a?4ab?__________ ．

2x?1)20..（2013 平谷一模，14,5分）已知x2?2x?5?0，求(的值．

21.（2013顺义一模，5,4分）下列计算正确的是（）

2(?x2?)(2)x?4(?x)x?12235A．a?a?a B．a?a?a C. (a)?a D. a?a?a

23523653222.（2013顺义一模，9,4分）分解因式：3ab2?12ab?12a= ．

31a2?)?23.（2013顺义一模，16,5分）已知a?3a?2?0，求代数式(2 a?9a?3a?3224.（2013延庆一模，9,4分）分解因式：3x2?27= __________ ．

225.（2013延庆一模,15,4分）已知a?2a?3?0，求代数式2a(a?1)?(a?2)(a?2)的值.

26.（2013昌平一模，10,4分）把多项式x?2x?x分解因式，结果为 ． 27.（2013昌平一模，15，5分）已知2a?a?2，求(2232a?23?)?a2的值. 2a?4a?228.（2013朝阳一模，10,4分）分解因式：2m?18= ． 29.（2013东城一模，10,4分）分解因式：a?16a=________________.

30.（2013东城一模，16,5分）先化简，再求值：2(m?1)?3(2m?1)，其中m是方程

23

（1）若9月30日来旅游人数记为a万人，请用a的代数式表示10月2日来旅游的人数。

（2）请判断七天内来旅游的人数最多是哪一天？最少是哪一天？它们相差多少万人？

（3）统计来旅游的人数，最多的一天是3万人，问9月30日来旅游的人数有多少人？

第二练：整式乘除和幂运算

11xy25?2000,80?2000,则?等于 ． 【练习1】 已知

xy【练习2】 满足(x?1)200?3300的x的最小正整数为 ．

2n?4?2(2n)【练习3】 化简得 ．

2(2n?3)【练习4】 计算(0.04)2003?[(?5)2003]2得 ． 【练习5】

(x?y?z)4的乘积展开式中数字系数的和是 ．

【练习6】 若多项式3x2?4x?7能表示成a(x?1)2?b(x?1)?c的形式，求a，b，c． 【练习7】 若a?2b?3c?7,4a?3b?2c?3,则5a?12b?13c?（ ）

Ａ．３０ Ｂ．－３０ Ｃ．１５ Ｄ．－１５

【练习8】 若2x?5y?4z?6,3x?y?7z??4,则x?y?z? ．

【练习9】 如果代数式ax5?bx3?cx?6,当x??2时的值是７，那么当x?2时，该代数式的值是 ．

【练习10】 多项式x2?x?1的最小值是 ．

第三练：因式分解（一）

【练习1】 下列各式得公因式是a得是（ ）

222

A.ax＋ay＋5 B．3ma－6ma C．4a＋10ab D．a－2a＋ma

22

【练习2】 －6xyz＋3xy－9xy的公因式是（ ）

A.－3x B．3xz C．3yz D．－3xy 【练习3】 把多项式（3a－4b）（7a－8b）＋（11a－12b）（8b－7a）分解因式的结果是（ ）

2

A．8（7a－8b）（a－b） B．2（7a－8b）C．8（7a－8b）（b－a）D．－2（7a－8b）

2

【练习4】 把（x－y）－（y－x）分解因式为（ ）

A．（x－y）（x－y－1） B．（y－x）（x－y－1） C．（y－x）（y－x－1） D．（y－x）（y－x＋1） 【练习5】 下列各个分解因式中正确的是（ ）

222

A．10abc＋6ac＋2ac＝2ac（5b＋3c）

322

B．（a－b）－（b－a）＝（a－b）（a－b＋1）

C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1）

2

D．（a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）＝（a－2b）（11b－2a）

【练习6】 观察下列各式①2a＋b和a＋b，②5m（a－b）和－a＋b，③3（a＋b）和－a

2222

－b，④x－y和x和y。其中有公因式的是（ ）

A．①② B.②③ C．③④ D．①④ 【练习7】 当n为_____时，（a－b）n＝（b－a）n；当n为______时，（a－b）n＝－（b－na）。（其中n为正整数）

222

【练习8】 多项式－ab（a－b）＋a（b－a）－ac（a－b）分解因式时，所提取的公因式应是_____。

【练习9】 （a－b）2（x－y）－（b－a）（y－x）2＝（a－b）（x－y）×________。 【练习10】 多项式18xn＋1－24xn的公因式是_______。 【练习11】 把下列各式分解因式：

2

（1）15×（a－b）－3y（b－a）

2

（2）（a－3）－（2a－6） （3）－20a－15ax （4）（m＋n）（p－q）－（m＋n）（q＋p） 【练习12】 利用分解因式方法计算：

4

（1）39×37-13×3

（2）29×19.99+72×19.99+13×19.99-19.99×14

【练习13】 已知a＋b＝－4，ab＝2，求多项式4a2b＋4ab2－4a－4b的值。

第四练：因式分解（二）

【练习1】 下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ）

22 22222 42

A，-a+b B，-x-y C，49xy-zD 16m-25n 【练习2】 下列各式中能用完全平方公式分解的是（ ）

22222 22 ①x-4x+4 ②6x+3x+1 ③ 4x-4x+1 ④ x+4xy+2y⑤9x-20xy+16yA，①② B，①③ C，②③ D,①⑤

【练习3】 在多项式①16x5-x ②（x-1）2-4（x-1）+4 ③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2 ④2

-4x-1+4x中，分解因式的结果中含有相同因式的是（ ）

A，①② B，③④ C，①④ D, ②③ 【练习4】 分解因式3x2-3y4的结果是（ ）

A，3(x+y2)(x-y2) B，3(x+y2)(x+y)(x-y) C，3(x-y2)2 D, 3(x-y)2(x+y)2

2

【练习5】 若k-12xy+9x是一个完全平方式，那么k应为（ ）

2 2

A，2 B，4 C，2yD, 4y

2

【练习6】 若x+2(m-3)x+16, 是一个完全平方式，那么m应为（ ）

A，-5 B，3 C，7 D, 7或-1

22

【练习7】 若n 为正整数，（n+11）-n 的值总可以被k整除，则k等于（ ）

A，11 B，22 C，11或22 D，11的倍数 【练习8】 （ ）2+20pq+25q2= （ ）2 【练习9】 分解因式x2-4y2=

2

【练习10】 分解因式ma+2ma+m= .

3223

【练习11】 分解因式2xy+8xy+8xy .

【练习12】 运用平方差公式可以可到：两个偶数的平方差一定能被 整除。 【练习13】 分解多项式

222

（1）16xyz-9

22

（2）81(a+b)-4(a-b)

【练习14】 试用简便方法计算：198-396?202+202【练习15】 已知x=40,y=50,试求x4-2x2y2+y4的值。

2

2

第五练：因式分解（三）

【练习1】 下列各式从左到右的变形，是分解因式的是（ ）

A. ?a?1??a?1??a2?1 B. x2?4x?5?x?x?4??5 C. a3?b3??a?b?a2?ab?b2 D. 3x2?6x?3x2?2x

【练习2】 下列因式分解错误的是（ ）

A. 1?16a??1?4a??1?4a?

232 B. x?x?xx?1

?????? C. a?bc??a?bc??a?bc?

222 D.

422??2??m?0.01n2??01.n?m??m?01.n?

??93??3【练习3】 如果二次三项式x2?kx?15分解因式的结果是?x?5??x?3?，则

k?_________。

【练习4】 如果将x4?yn分解后得x2?y2?x?y??x?y?，那么n?___________。 【练习5】 下列各组多项式中，没有公因式的一组是（ ）

A. ax?bx与by?ay B. 6xy?8x2y与?4x?3 C. ab?ac与ab?bc D. ?a?b?3x与?b?a?2y

【练习6】 已知a?2?b?c，则代数式a?a?b?c??b?a?b?c??c?b?a?c?的值是_____。

【练习7】 如果多项式mx?A可分解为m?x?y?，则A为___________。 【练习8】

???21999???2?2000分解因式得________________。

【练习9】 计算：

（1）2005.?52?2005.?74?2005.?26

（2）9?102004?102005 【练习10】 分解因式：

（1）9a2?6ab?3a

（2）?10x3y2z3?35xy3z?15x2yz （3）7a?x?y??4b?y?x? （4）3x?x?y??6y?y?x? （5）a3b2?a?b??a2b3?b?a? （6）4a?a?b?3?6b?b?a?2

【练习11】 已知a?b?5，ab?3，求代数式a3b?2a2b2?ab3的值。

333322

第六练：因式分解的应用

【练习1】 当a，b取任意有理数时，代数式（1）（2）2(a?1)2?(2a?1)2；a2?7a?12；

（3）（4?3a)2?(b?4)2;（4）3a?2b?4?3a?12a?13中，其值恒为正的有（ ）个．

Ａ．４个 Ｂ．３个 Ｃ．２个 Ｄ．１个

【练习2】 已知四个代数式：（１）m?n;(2)m?n;(3)2m?n;(4)2m?n．当用2m2n乘以上面四个式子中的两个之积时，便得到多项式4m4n?2m3n2?2m2n3．那么这两个式子的编号是（ ）

Ａ．（１）与（２） Ｂ．（１）与（３） Ｃ．（２）与（３） Ｄ．（３）与（４） 【练习3】 已知x?y?3,x2?y2?xy?4,则x4?y4?x3y?xy3的值为 ． 【练习4】 当x?y?1时，x4?xy3?x3y?3x2y?3xy2?y4的值是 ． 【练习5】 已知a，b，c，d为非负整数，且ac?bd?ad?bc?1997，则a?b?c?d? 【练习6】 若3x3?x?1,则9x4?12x3?3x2?7x?1999的值等于 ． 【练习7】 已知(2000?a)(1998?a)?1999,那么，(2000?a)2?(1998?a)2? 21a4?a2?1【练习8】 已知a??5,则? 2aa【练习9】 已知x?y?a,z?y?10,则代数式x2?y2?z2?xy?yz?zx的最小值等于 ．

【练习10】 已知A?a2?b2?c2,B??4a2?2b2?3c2．若A?B?C?0，则Ｃ＝ ．

【练习11】 已知x和y满足2x?3y?5，则当x＝４时，代数式3x2?12xy?y2的值是 ．

【练习12】 已知

x3?y3?z3?96,xyz?4,x2?y2?z2?xy?xz?yz?12,则x?y?z? ．

五．本章知识验收测试卷A

一、选择题（每题3分，共30分）

1、(?5a2?4b2)(______)?25a4?16b4括号内应填（ ）

A、5a?4b B、5a?4b C、?5a?4b D、?5a?4b 2、下列计算正确的是（ ）

A、(x?y)(y?x)?x?y B、(?x?2y)?x?4xy?4y C、(2x?22222222222222121y)?4x2?xy?y2 D、(?3x?2y)2?9x2?12xy?4y2 242222223、在(1)x?(?5)?(x?5)(x?5),(2)x?y?(x?y),(3)(?a?b)?(a?b) （4）(3a?b)(b?2a)?3ab?2ab?ab中错误的有（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

4、下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）

A、(?a?b)(a?b) B、(?a?b)(a?b) C、(?a?b?c)(?a?b?c) D、(?a?b)(a?b) 5、如果：x?8xy?16y?0,且x?5,则（2x?3y)?（ ）

A、

222256253025225 B、 C、 D、 41616166、计算：1.992－1.98×1.99+0.992得（ ）

A、0 B、1 C、8.8804 D、3.9601 7、如果x?8x?k可运用完全平方公式进行因式分解，则k的值是（ ）

2A、8 B、16 C、32 D、64 8、(x2+px+8)(x-3x+q)乘积中不含x项和x项,则p,q的值 (

2

2

3

)

A、p=0,q=0 B、p=3,q=1 C、p=–3,–9 D、p=–3,q=1 9、对于任何整数m，多项式(4m?5)2?9都能（ ）

A、被8整除 B、被m整除 C、被m－1整除 D、被（2m-1）整除 10．已知多项式A?x2?2y2?z2，B??4x2?3y2?2z2且A+B+C=0，则C为（ ） A、5x2?y2?z2 B、3x2?5y2?z2 C、3x2?y2?3z2 D、3x2?5y2?z2 二、填空题（每题3分，共30分） 11、9x2?12xy? =（3x+ ）

2

12、2012= , 48×52= 。

13、4x2?9y2?(2x?3y)2?__________?(2x?3y)2?_____。 14、x2?y2?48,x?y?6,则x?_________,。 y?________15、?7ab?14abx?49aby??7ab(________), mn(m?n)2?n(n?m)3?n(m?n)2(________)。

23m?131xy与?x5y2n?1是同类项，则5m+3n的值是 ． 34111217、如果a?k?(a?)(a?),则k? 。

3221．已知

18、把边长为12.75cm的正方形中，挖去一个边长为7.25cm 的小正方形，则剩下的面积

为 。 19、写一个代数式 ，使其至少含有三项，且合并同类项后的结果为3ab 20、有一串单项式：?x,2x,?3x,4x,??，?19x,20x

（1）你能说出它们的规律是 吗？（2）第2006个单项式是 ； （3）第（n+1）个单项式是 ． 三、解答题（共60分） 21、（本题6分）计算下列各题： （1）(?4x?3y)3y?4x； （2）?3a?223419202?2???21??21??412?b??3a?b??9a?b?2??2??4?

（3）a?a?b??2b?a?b??a?b?； （4）(a2?ab?b2)a2?ab?b2

2?? 22、（本题6分）化简求值:

22??1??1???1??1??122???a?b???a?b???2a?b??b?2a??b?4a?（其中a??1,b?2）

2??2??2??2??4??????

23、（本题7分）试说明：无论x,y取何值时，代数式

(x3+3x2y-5xy+6y3)+(y3+2xy2+x2y-2x3)-(4x2y-x3-3xy2+7y3)的值是常数. 24、（本题7分）找规律：1×3+1=4=22， 2×4+1=9=32， 3×5+1=16=42，

4×6+1=25=52??

请将找出的规律用公式表示出来。

25、（本题8分）计算：?1???1??1??1?1??1?? 1?1???????1?1?????????22222?2??3??4??2002??2003?

26、（本题8分）某工地为了存放水泥，临时建筑一个长方体的活动房，活动房的高度一定，

为m米，活动房的四周周长为n米，要想使活动房的体积最大，则如何搭建？最大的体积是多少？ 27、（本题9分）为节约用水，某市规定三口之家每月标准用水量为15立方米，超过部分加价收费，假设不超过部分水费为1.5元/立方米，超过部分水费为3元/立方米. （1）请用代数式分别表示这家按标准用水和超出标准用水各应缴纳的水费； （2）如果这家某月用水20立方米，那么该月应交多少水费？ 28、（本题9分）如图是L形钢条截面，是写出它的面积公式。并计算：

a?36mm,b?32mm,c?8.5mm时的面积。

五．本章知识验收测试卷B

2n

一、选择题。

1. 计算 (-3)

2n+1

+3?(-3)结果正确的是( )

2

2

2

2

2

2

3

4

12

4

2

A. 32n+2 B. -32n+2 C. 0 D. 1 2. 有以下

2

5

3

个命题:①3a+5a=8a②m?m=2m

5

③x?x=x④(-3)?(-3)=-36

⑤(x-y)?(y-x)=(y-x)中,正确命题个数有( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 适合2x(x-1)-x(2x-5)=12的x值是( )

A. x=1 B. x=2 C. x=4 D. x=0 4. 设(5a+3b)=(5a-3b)+M,则M的值是( )

2

2

A. 30ab B. 60ab C. 15ab D. 12ab

5. 已知xa=3 xb=5 则x3a+2b的值为( )

A. 27 B. 675 C. 52 D. 90 6. -an与(-a)n的关系是( )

A. 相等 B. 互为相反数

C. 当n为奇数时,它们相等; 当n为偶数时,它们互为相反数 D. 当n为奇数时,它们互为相反数; 当n为偶数时,它们相等 7.下列计算正确的是( )

A .(-4x)(2x2+3x-1)=-8x3-12x2-4x B. (x+y)(x2+y2)= x3+ y3 C. (-4a-1)(4a-1)=1-16a2 D. (x-2y)2=x2-2xy+4y2 8. 下列从左到右的变形中,属于因式分解的是( )

A.( x+1)( x-1)=- x2-1 B. x2-2x+1= x(x-2)+1 C. a-b=(a+b)(a-b) D. mx+my+nx+ny=(x+y)m+n(x+y)

2

2

9.若x2+mx-15=(x+3)(x+n),则m的值为( )

A. -5 B. 5 C. -2 D. 2 10. 4(a-b)2-4(b-a)+1分解因式的结果是( ) A.(2a-2b+1)2 B. (2a+2b+1)2

C. (2a-2b-1)2 D. (2a-2b+1) (2a-2b-1)

二、 填空题。

11.计算3xy2·(-2xy)=

12.多项式6x2y-2xy3+4xyz的公因式是 13.多项式(mx+8)(2-3x)展开后不含x项, 则m= 14.设4x2+mx+121是一个完全平方式,则m= 15.已知a+b=7,ab=12,则a2+b2= 三. 解答题( 共55分 )

16. 计算 (a)a-(a)a

17. 计算(5ab)·(-4abc) ·(-5ab)

18. 已知22n+1+4n=48, 求n的值.

19. 先化简,再求值 (x+3)(x-4)-x(x-2) ,其中x=11

20. 利用乘法公式计算

3

24

323

(1) 1.02×0.98 (2) 99

21. 因式分解 4x-16x3

22. 因式分解 4a(b-a)-b2

23. 已知(x+my)(x+ny)=x2+2xy-6y2,求 -(m+n)?mn的值.

24. 已知a+b=3, ab= -12,求下列各式的值. (1) a2+b2 (2) a2-ab+b2

2

附加题。

1. 你能说明为什么对于任意自然数n,代数式n(n+7)-(n-3)(n-2)的值都能被6整除吗?

2. 已知a,b,c 是△ABC的三边的长,且满足: a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,试判断此三角形的形状.

本章知识验收测试卷C

一、选择题

1、下列计算正确的是 ( )

A、3x－2x＝1 B、3x+2x=5x2 C、3x·2x=6x D、3x－2x=x 2、如图，阴影部分的面积是（ ） A、

7xy 2 B、

9xy 2 C、4xy

D、2xy

第2题图

3、下列计算中正确的是（ ） A、2x+3y=5xy B、x·x4=x4 C、x8÷x2=x4 D、（x2y）3=x6y3 4、在下列的计算中正确的是（ ） A、2x＋3y＝5xy； B、（a＋2）（a－2）＝a2＋4； C、a2?ab＝a3b； D、（x－3）2＝x2＋6x＋9 5、下列运算中结果正确的是（ ）

x?x； B、3x?2x?5x；C、(x2)3?x5； D、(x?y)2?x2?y2. A、x·6、下列说法中正确的是（ ）。

336224t13不是整式；B、?3xy的次数是4；C、4ab与4xy是同类项；D、是单项式 2y227、ab减去a?ab?b等于 ( )。

22222222A、a?2ab?b；B、?a?2ab?b； C、?a?2ab?b；D、?a?2ab?b

A、

8、下列各式中与a－b－c的值不相等的是（ ） A、a－（b+c） B、a－（b－c） C、（a－b）+（－c） D、（－c）－（b－a） 9、已知x2+kxy+64y2是一个完全式，则k的值是（ ） A、8 B、±8 C、16 D、±16

a a 10、如下图（1），边长为a的大正方形中一个边长为b的 小正方形，小明将图（1）的阴影部分拼成了一个矩形， 如图（2）。这一过程可以验证（ ） b b 222222

A、a+b－2ab=(a－b) ； B、a+b+2ab=(a+b) ；

图1 图2 2222

C、2a－3ab+b=(2a－b)(a－b) ；D、a－b=(a+b) (a－b) (第10题图)

二、填空题

11、（1）计算：(?x)3（2）计算：(?3a)?a? ． ·x2? ；12、单项式3xy2n?1322z是关于x、y、z的五次单项式，则n ；

13、若x2?4x?4?(x?2)(x?n)，则n?_______

14、当2y–x=5时，5?x?2y??3??x?2y??60= ；

215、若a2＋b2＝5，ab＝2，则(a＋b)2＝ 。 16、若4x2＋kx＋25＝(2x－5)2，那么k的值是 17、计算：1232－124×122=______ ___．

18、将多项式x?4加上一个整式，使它成为完全平方式，试写出满足上述条件的三个整式： ， ， . 19、一个多项式加上－3+x－2x2 得到x2－1，那么这个多项式为 ； 20、若x?y?1003，x?y?2，则代数式x2?y2的值是 三、解答题

21、计算：(a?b)(a2?ab?b2)；

22、已知2x－3=0，求代数式x(x2－x)＋x2(5－x)－9的值。

23、计算：（x-y）?(x?y)(x?y)

24、（1）先化简，再求值：(a–b)2+b(a–b)，其中a=2，b=–

（2）先化简，再求值：(3x?2)(3x?2)?5x(x?1)?(2x?1)，其中x??

222 ．

1。 213

25、李老师给学生出了一道题：当a=0.35，b= －0.28时，

求7a?6ab?3ab?3a?6ab?3ab?10a的值．题目出完后，小聪说：―老师给的条件a=0.35，b= －0.28是多余的．‖小明说：―不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．‖你认为他们谁说的有道理？为什么？

26、按下列程序计算，把答案写在表格内： +n -n 平方 答案 ?n n

(1)填写表格： 输入n 输出答案 3 1 33233231 21 —2 1 —3 1 … …

(2)请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简．

27、如图为杨辉三角表，它可以帮助我们按规律写出（a+b）n（其中n为正整数）?展开式

的系数，请仔细观察表中规律，填出（a+b）4的展开式中所缺的系数． （a+b）1=a+b；（a+b）2=a2+2ab+b2；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3； （a+b）4=a4+_____a3b+_____a2b2+______ab3+b4

28、阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为?ABC的三边，且满足ca?cb?a?b，试判断?ABC的形状。 解：ca?cb?a?b

222244222244?c2(a2?b2)?(a2?b2)(a2?b2)?c2?a2?b2(C)??ABC是直角三角形(B)

问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；

（2）错误的原因为： ； （3）本题正确的结论为：

A组 2009-2013北京市中考试题汇编答案

1.D

2.．解：(x?1)(2x?1)?(x?1)2?1 ?2x2?x?2x?1?(x2?2x?1)?1 ?2x?x?2x?1?x?2x?1?1 ?x?5x?1． 当x?5x?14时，

原式?(x2?5x)?1?14?1?15．

3．（2010?北京）分解因式：m﹣4m= m（m﹣2）（m+2） ． 考点：提公因式法与公式法的综合运用。

分析：当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

3

解答：解：m﹣4m，

2

=m（m﹣4）， =m（m﹣2）（m+2）．

点评：本题考查提公因式法分解因式，利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，要注意分解因式要彻底． 4.

考点：提公因式法与公式法的综合运用。

分析：先提取公因式a，再利用完全平方公式继续分解．

32

解答：解：a﹣10a+25a，

2

=a（a﹣10a+25），（提取公因式）

2

=a（a﹣5）．（完全平方公式）

点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后可以利用完全平方公式继续进行二次分解，分解因式一定要彻底． 5.

考点：整式的混合运算—化简求值。 专题：计算题。

分析：本题需先要求的式子进行化简整理，再根据已知条件求出a+b的值，即可求出最后结果．

解答：解：a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b） 2222 =a+4ab﹣（a﹣4b）=4ab+4b22∵a+2ab+b=0 ∴a+b=0 ∴原式=4b（a+b）=0 点评：本题主要考查了整式的混合运算，在解题时要注意运算顺序和乘法公式的综合应用是本题的关键． 6. 考点： 提公因式法与公式法的综合运用。 22223

分析： 先提取公因式m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 解答： 解：mn2+6mn+9m =m（n+6n+9） 2=m（n+3）． 2故答案为：m（n+3）． 点评： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 7. 考点： 分式的化简求值。 2专题： 计算题。 分析： 将所求式子第一个因式的分母利用平方差公式分解因式，约分后得到最简结果，然后由已知的等式用b表出a，将表示出的a代入化简后的式子中计算，即可得到所求式子的值． 解答： 解：?（a﹣2b） ==， ?（a﹣2b） ∵=≠0，∴a=b， ∴原式====． 点评： 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分

B组 2011-2013年北京市各城区一模试题汇编答案

1．b(a?2b)(a?2b)

22(x?1)x2．解：原式= ------------ 1分 ?（x?1)(x?1)x?1x?1x2= ------------ 2分 ?x?1x?12x=?x?1 ． ------------- 3分 x?1∵x?2?0，∴x?2． ∴原式=3.a(x?5)222?x?1x?1??1． ------------- 5分

x?1x?12[来源学&科&网]

4 4．解：(x?2)(x?2)?4x(x?1)?(2x?1)2

?x2?4?4x2?4x?4x2?4x?1 ?????????????? 3分 ?x2?8x?3．??????????????????????????4分 当x2?8x?15时，原式?15?3?12． ????????????????? 5分

5．x?x?2?

26．解：原式?4x?4x?1?x?x?x?4 ?????????????2分

222?4x2?5x?3 ?????????? 3分

22 当4x?5x?1?0时，4x?5x?1 ??????????? 4分 原式?1?3??2． ????????????5分

7. x?x?1?；

2?x2?y2y2?x?y8. 解：原式=??x2?y2?x2?y2???x，

??x2x?y? ?2， ?????? 1分；

x?y2xx2x?y? ?， ?????? 2分；

(x?y)(x?y)x =

x. ?????? 3分； x?y 由x?3y?0，得x?3y， ?????? 4分； ∴原式=9.a(a－4)2

3y3y3== . ?????? 5分.

3y?y4y4y?x?y?10. 解：原式=(x?y)(x?y)? ..….….….…. …..…………..……………………2分 2xy2?x?y?=

x?y. ………………………………………………………… 3分 2x ∵

x?3， y ∴ x?3y.

3y?y2?. ……………………………………………… 5分 ∴ 原式=

2?3y3

11. m ( x – 4 ) 2

12.

证明：原式= – 2 x 2 ( x 2 – 6x + 9 )

= – 2 x 2 ( x – 3 )2 . ????????????????2分 ∵?2x?0，(x?3)2?0 ∴– 2 x 2 ( x – 3 )2 ≤ 0

∴不论x取何实数，原式的值都不会是正数.?????????5分 13.

2xy(x?1)(x?1)

14.

解法一: ∵a是关于x的方程x?4?0的解

∴a?4. -------------------------------------------1分 ∵?a?1??a?a?1??a?7

222=a?2a?1?a?a?a?7 --------------------------------------------3分 =

2222a2?6 --------------------------------------------4分

当a?4时，原式=2 ---------------------------------------------5分 解法二: ?a?1??a?a?1??a?7

2=a?2a?1?a?a?a?7 -----------------------------------------2分 =

222a2?6 -------------------------------------3分

2∵a是关于x的方程x?4?0的解

∴a?2或a??2 -----------------------------------------------------------4分 当a??2时，

原式=2 -----------------------------------------------------------5分 15.

b(a?3b)2

16. 解：原式? ?x?2?12x?4?2 ?????????2分

x?2x?12(x?2)x?1? ?????????3分 x?2(x?1)(x?1)2 . ?????????4分 x?121当x?3时，原式=?.?????????5分

x?12?17. a(a?1)2

18.

11a?b15.???5,??5............1分abababa2?b2??...............................2分b(a?b)a(a?b)ab(a?b)(a?b)(a?b)?..........................3分ab(a?b)a?b?........................................4分ab?5............................................5分

19．a(a?2b)(a?2b)； 20.

解：解：(2x?1)?(x?2)(x?2)?4x(x?)

221 ?4x?4x?1?x22?4?4x2?2 x???????????????????? 3分

?x2?2x?3 ???????????????????????????? 4分

∵ x2?2x?5?0,

∴ 当 x2?2x?5时， 原式 ?2. ???????? ????????????? 5分

21.D 22.

3a(b?2)2

23.

解：原式=(3a?3a?3?)?2 ?????????2分

(a?3)(a?3)(a?3)(a?3)aaa?3?2 ???????????????? 3分

=

(a?3)(a?3)a =

1a(a?3)

=

1a2?3a ?????????????????? 4分 ∵ a2?3a?2?0

∴ a2?3a?2 ∴原式=

12 ??????????????????5分 24.

3(x+3)(x-3) 25.

解：∵a2?2a?3?0

∴a2?2a?3----------------------------------------1分

2a(a?1)?(a?2)(a?2)

=2a2?2a?(a2?4) ----------------------------------2分 =2a2?2a?a2?4----------------------------------------3分 =a2?2a?4- ---------------------------------------4分 =3+4

=7 ----------------------------------------5分 26. x(x-1)2 27.

解

：

原

式

??a?2?(a?2)(a?2)?3?2a?2???a ??????????????????????? 1分

=

(1a?2?3a?2)?a2 ?????????????????????????2分 =

=

4?a2 ?????????????????????????? 3分 a?2 =

4a2． ?????????????????????????? 4分 a?2 当2a–a=2时，2a=a+2. ∴

原

式

=

2

2

4a2

. ????????????????????????? 5分?22a2

28.

2(a?3（)a?3）

29.

a(a?4)(a?4)

30.

解：原式=2(m2?2m?1)?6m?3 =2m?4m?2?6m?3

=2m?2m?5． ………………3分 ∵ m是方程x?x?1?0的根，

∴ m?m?1?0． ∴ m?m?1．

∴ 原式=2(m?m)?5=7．………………………5分

222222C组 2011-2013年北京市各城区二模试题汇编答案

1. 解：原式=

2x(x?5)(x?5)?????????????????2分 x?52x =x?5 ???????????????????3分

解不等组得：－5≤x＜6 ???????????????????4分 选取的数字不为5，－5，0即可（答案不唯一）?????????5分 2.

a(x?4)(x?4) 3.

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